24.2.2 直线和圆的位置关系 课件 3课时 (共69张PPT)

(共69张PPT)
24.2.2 直线和圆的位置关系
第二十四章 圆
人教版九年级数学上
第1课时 直线和圆的位置关系
点和圆的位置关系有几种？
d < r
d = r
d > r
用数量关系如何来判断呢？
(设 OP = d )
知识回顾
(1) 点在圆内
(2) 点在圆上
(3) 点在圆外
r
d
r
r
P
P
P
O
O
O
d
d
问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
用定义判断直线与圆的位置关系
问题2 请同学在纸上画一条直线 l，把圆块的边缘看作圆，在纸上移动圆块，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
l
0
2
●
●
●
图形
公共点个数
直线与圆的 位置关系
公共点名称
直线名称
2 个
交点
割线
1 个
切点
切线
0 个
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数
填一填
直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图中的直线 l），这个唯一的公共点叫做切点（如图中的点 A）.
A
l
O
知识要点
直线与圆最多有两个公共点. （ ）
② 若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. （ ）
③ 若 A 是☉O 上一点，则直线 AB 与☉O 相切. （ ）
④ 若 C 为☉O 外一点，则过点 C 的直线与☉O 相交或相离. （ ）
⑤ 直线 a 和☉O 有公共点，则直线 a 与☉O 相交.（ ）
√
×
×
×
×
判一判
问题1 刚才同学们用圆块移近直线的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？
相关知识：
点到直线的距离是指从直线外一点 (A) 到直线 (l ) 的垂线段 (OA) 的长度.
l
A
O
用数量关系判断直线与圆的位置关系
圆心到直线的距离在
发生变化；
首先距离大于半径，
而后距离等于半径，
最后距离小于半径.
怎样用圆心到直线的距离 d 来判定直线 l 与⊙O 的位置关系呢？
O
思考：
d
l
直线和圆相交
d < r
直线和圆相切
d = r
直线和圆相离
d > r
r
d
∟
r
d
∟
r
d
数形结合：
位置关系
数量关系
用圆心 O 到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判定：
O
O
O
直线与圆的位置关系
的性质与判定的区别：
位置关系 数量关系.
公共点个数
要点归纳
1. 已知圆的半径为 6 cm，设直线和圆心的距离为 d.
(3) 若 d = 8 cm，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点.
(2) 若 d = 6 cm，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点；
(1) 若 d = 4 cm，则直线与圆　　　，直线与圆有____个公共点；
相交
相切
相离
2
1
0
练一练
(3) 若 AB 和⊙O 相交，则 .
2. 已知⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O 与直线 AB 的距离为 d，根据条件填写 d 的范围：
(1) 若 AB 和⊙O 相离，则 ；
(2) 若 AB 和⊙O 相切，则 ；
d ＞5 cm
d = 5 cm
0 cm≤d＜5 cm
例1 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与直线 AB 有怎样的位置关系？为什么？
(1) r = 2 cm；(2) r = 2.4 cm； (3) r = 3 cm．
B
C
A
4
3
分析：要判定 AB 与⊙C 的位置关系，只要知道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的大小关系.已知 r，只需求出 C 到 AB 的距离 d.
D
典例精析
解：过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.
在△ABC 中，
根据三角形的面积公式有
即圆心 C 到 AB 的距离 d = 2.4 cm.
(1) 当 r = 2 cm 时，
有 d > r，
因此⊙C 和 AB 相离；
B
C
A
4
3
D
d
注：斜边上的高等于两直角边长的乘积除以斜边长.
(2) 当 r = 2.4 cm 时，有 d = r，
因此⊙C 和 AB 相切；
B
C
A
4
3
D
d
(3) 当 r = 3 cm 时，有 d < r，
因此⊙C 和 AB 相交.
B
C
A
4
3
D
d
变式题：
1. Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心画圆，当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 没有公共点？
当 0 cm＜r＜2.4 cm 或 r＞4 cm 时，
⊙C 与线段 AB 没有公共点.
A
B
C
D
4
5
3
3
2. Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心画圆，当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 有一个公共点？当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 有两个公共点？
当 r = 2.4 cm 或 3 cm＜r≤4 cm 时，⊙C 与线段 AB 有一个公共点；
当 2.4 cm＜r≤3 cm 时，⊙C 与线段AB 有两公共点.
A
B
C
D
4
5
3
3
直线与圆的位置关系
定义
性质
判定
相离
相切
相交
公共点的个数
d 与 r 的数量关系
定义法
性质法
特别提醒：若图中没有 d 要先作出该垂线段
相离:0 个;相切:1 个;相交:2 个
相离：d > r 相切：d = r
相交：d < r
0个：相离；1个：相切；2个：相交
d > r：相离；d = r：相切；d < r：相交
24.2.2 直线和圆的位置关系
第二十四章 圆
人教版九年级数学上
第2课时 切线的判定与性质
知识回顾
图形
公共点个数
直线与圆的 位置关系
公共点名称
直线名称
2 个
交点
割线
1 个
切点
切线
0 个
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数
情境引入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
A
B
C
问题：已知圆 O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作圆 O 的切线？
观察：
（1） 圆心 O 到直线 AB 的距离和圆的
半径有什么数量关系
（2）二者位置有什么关系？为什么？
切线的判定定理
O
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA 为⊙O 的半径
BC⊥OA 于A
BC 为⊙O 的切线
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
要点归纳
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
(1) 不是，因为没有垂直.
(2) (3) 不是，因为没有经过半径的外端点 A.
判一判
注意
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r)时，直线与圆相切；
3. 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
要点归纳
O
O
例1 如图，线段 AB 是☉O 的直径，直线 AC 与 AB 交于点 A，∠ABC = 45°，且 AB = AC.
求证：AC 是☉O 的切线.
分析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证 OA 垂直于 AC 即可.
证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°，
∴∠ACB =∠ABC = 45°.
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°，
即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，
∴ AC 是☉O 的切线.
A
O
C
B
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
O
B
A
C
证明：连接 OC.
∵ OA ＝ OB，CA ＝ CB，
∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线.　
∴ OC⊥AB.
∵ OC 是 ⊙O 的半径，
∴ AB 是 ⊙O 的切线.
分析：由于 AB 过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要
证明 AB⊥OC 即可.
当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线.
方法总结
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．
求证：AC 是⊙O 的切线．
B
C
D
A
E
证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB = r.
∴ AC 是⊙O 的切线.
当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.
方法总结
(1) 有交点，连半径，证垂直；
证切线时辅助线的添加方法
要点归纳
(2) 无交点，作垂直，证半径.
例3
例2
思考：如图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？
A
l
O
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
∴直线 l⊥OA.
切线的性质定理
切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
（1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作
OM⊥CD，垂足为 M；
理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直.
（2）则 OM＜OA，即圆心到直线 CD 的
距离小于⊙O 的半径，因此，CD
与⊙O 相交. 这与已知条件“直线
与⊙O 相切”相矛盾；
C
D
B
O
A
（3）所以假设不成立，故 AB 与 CD 垂直.
M
证法：反证法
性质定理的证明
例4 如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交⊙O 于点 B，连接 AB. 若∠B = 25°，求∠P 的度数.
B
O
P
A
解：如图，连接 OA.
∵ PA 是⊙O 的切线，
∵∠AOP = 2∠B = 50°，
∴∠P = 90° - 50° = 40°.
∴∠OAP = 90°.
1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线 MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = °.
2. 如图②，AB 为⊙O 的直径，D 为 AB 延长线上一点，DC 与⊙O 相切于点 C，∠DAC = 30°. 若⊙O 的半径长 1 cm，则 OD = cm.
60
练一练
图①
图②
利用切线的性质解题时，常需作辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
方法总结
例5 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D．求证：AC 是⊙O 的切线．
分析：判定切线，无切点，则作垂直(OE)，证半径(OE = OD)；由 AB 与⊙O相切于点 D，得 OD⊥AB；再根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质，即可得出结论.
E
B
O
C
D
A
证明：如图，连接 OD，OA，过 O 作 OE ⊥AC 于 E.
∵ ⊙O 与 AB 相切于 D，∴ OD⊥AB.
又∵△ABC 为等腰三角形，O 是 BC 的中点，
∴ AO 平分∠BAC.
∴ OE = OD.
∵ OD 是⊙O 的半径，
∴ 点 O 到 AC 的距离等于⊙O 的半径.
∴ AC 是⊙O 的切线．
E
B
O
C
D
A
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
(2) 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
要点归纳
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d = r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
有 1 个公共点
d = r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
24.2.2 直线和圆的位置关系
第二十四章 圆
人教版九年级数学上
第3课时 切线长定理及三角形的内切圆
情境引入
同学们玩过抖空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
切线长定理及应用
互动探究
P
O
B
A
O.
P
A
B
P
1. 切线长的定义：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
A
O
① 切线是直线，不能度量；
② 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是
圆外一点和切点，可以度量．
2. 切线长与切线的区别在哪里？
知识要点
问题2 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B．
OB 是☉O 的一条半径吗？
PB 是☉O 的切线吗？
（利用图形轴对称性解释）
PA、PB 有何关系？
∠APO 和∠BPO 有何关系？
O
P
A
B
切线长定理：
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B
PA = PB
∠OPA = ∠OPB
几何语言：
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
的方法.
注意
要点归纳
B
P
O
A
O.
P
已知：如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.
求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线，
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
推理验证
A
B
∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出
什么新的结论 请给出证明.
解：OP 垂直平分 AB.
证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点，
∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
∴ △PAB 是等腰三角形，
PM 为顶角的平分线.
∴ OP 垂直平分 AB.
M
想一想：
O
P
A
B
例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、
DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H.
求证：AB + CD = AD + BC.
证明：∵ AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H，
·
A
B
C
D
O
E
F
G
H
∴ AE = AH，BE = BF，
CG = CF，DG = DH.
∴ AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH，
即 AB + CD = AD + BC.
典例精析
变式训练
如图，四边形 ABCD 是☉O 的外切四边形，且 AB = 10，CD = 15，则四边形 ABCD 的周长为______．
50
·
A
B
C
D
O
例4 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30° 的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径. 若三角板与圆相切且测得 PA =
5 cm，求铁环的半径．
O
B
C
解析：取圆的圆心为O，连接 OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在 Rt△OPA 中由勾股定理易求得半径．
在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°，
又∵∠BAC＝60°，∴∠PAO＝∠BAO＝60°.
即铁环的半径为
∴ OA = 2PA = 10.
解：设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA.
∴ OP⊥AP，∠PAO＝∠BAO.
O
B
C
5
∵ AP、AB 为 ⊙O 的切线，
∴ OP =
∴∠POA＝30°.
切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据.
方法归纳
B
P
O
A
PA、PB 是 ☉O 的两条切线，A，B 是切点，OA = 3.
（1）若 AP = 4，则 OP = ；
（2）若∠BPA = 60°，则 OP = .
5
6
练一练
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
三角形的内切圆及作法
互动探究
问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
问题2 如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为 r 的☉I 与△ABC 的三边都相切，那么
圆心 I 应满足什么条件？
(2) 在△ABC 的内部，如何找到满足条件的圆心 I 呢？
圆心 I 到三角形三边的距离相等，都等于 r.
为什么呢？
三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.
三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？
圆心 I 应是三角形的三条角平分线的交点.
已知：△ABC.
求作：和△ABC 的各边都相切的圆 O.
做一做
M
N
D
作法：
1. 作∠ABC 和∠ACB 的平分线
BM 和 CN，交点为 O.
2. 过点 O 作OD⊥BC，垂足为 D.
3. 以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O 就是所求的圆.
A
B
C
O
1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
A
C
I
☉I 是△ABC 的内切圆，
点 I 是△ABC 的内心，
△ABC 是☉I 的外切三角形.
知识要点
三角形的内心的性质
问题1 如图，☉O 是△ABC 的内切圆，那么 AO、BO、CO 有什么特点？
互动探究
AO、BO、CO 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA.
B
A
C
O
B
A
C
O
问题2 如图，☉O 是△ABC 的内切圆，过点 O 分别作 AB、AC、BC 的垂线，垂足分别为 E、F、G，那么线段 OE、OF、OG 之间有什么数量关系？
E
F
G
解：OE = OF = OG.
知识要点
三角形内心的性质
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE = IF = IG.
B
A
C
I
E
F
G
例3 如图，△ABC 中，∠B = 43°，∠C = 61°，点 I 是△ABC 的内心，求∠BIC 的度数.
解：连接 IB，IC.
A
B
C
I
∵ 点 I 是△ABC 的内心，
∴ BI，CI 分别平分∠ABC，∠ACB.
在△IBC 中，
例4 △ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
B
A
C
E
D
F
O
解：
设 AF = x cm，则 AE = x cm.
∴ CE = CD = AC - AE = 9 - x (cm)，
BF = BD = AB - AF = 13 - x (cm).
由 BD + CD = BC，可得
(13 - x) + (9 - x) = 14，
∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.
方法小结：解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
解得 x = 4.
B
A
C
E
D
F
O
比一比
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边垂直平分线的交点
1.OA = OB = OC；
2.不一定在三角形内部
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边距离相等；
2. AO、BO、CO 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3.在三角形内部
A
B
O
C
A
B
C
O
切线长
切线长定理
作用
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程
应用
重要结论
内心的概念及性质
图形的轴对称性
原理
谢谢观看