福建省泉州市泉州中远学校2023-2024学年学业水平合格性考试数学模拟（一）（含解析）

泉州中远学校2023-2024学年学业水平合格性考试数学模拟（一）
（考试时间：90分钟 满分100分）
班级 姓名 座号 成绩
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生注意：
1 . 答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致。
2 . 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。在试题卷上作答，答案无效。
3 . 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
一、单选题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 命题“，”的否定是( )
A. B.
C. D. ，
4. 若，，为实数，且，则下列命题正确的是( )
A. B. C. D.
5. 若，则有( )
A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值
6. 已知二次方程的一个根为，则另一个根为( )
A. B. C. D.
7. 已知二次函数在上为减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 若不等式的解集为空集，则的取值范围是( )
A. B. 或 C. D. ，或
9. 已知函数则( )
A. B. C. D.
10. 下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
11. ( )
A. B. C. D.
12. 若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
13. 中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的长为( )
A. B. C. D.
14. 在中，为边上的中线，为的中点，则( )
A. B. C. D.
15. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
16. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中以下说法正确的是( )
A. 是直角三角形 B. 长为
C. 长为 D. 边上的中线长为
17. 已知曲线，，则( )
A. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动个单位长度，得到曲线
C. 把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线
D. 把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线
18. 在疫情防护知识竞赛中，对某校的名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是( )
A. 成绩在的考生人数最多
B. 不及格的考生人数为
C. 考生竞赛成绩的众数为分
D. 考生竞赛成绩的中位数约为分
19. 已知幂函数的图象经过点，则下列判断中正确的是( )
A. 函数图象经过点 B. 当时，函数的值域是
C. 函数满足 D. 函数的单调减区间为
三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）
20. 复数，其中为虚数单位，则的实部是 ．
21. 年起，多省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择物理和化学的概率为 ．
22. 设向量，，若，则 ．
23. 长、宽、高分别为，，的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
四、解答题（本大题共3小题，共27.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
24. 本小题分
已知函数．
求的最小正周期及单调增区间；
求的图象的对称轴方程和对称中心；
求的最小值及取得最小值时的取值集合．
25. 本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是和的中点，
证明：；
证明：平面平面．
26. 本小题分
已知函数．
判断函数在上的单调性并证明；
判断函数的奇偶性，并求在区间上的最大值与最小值．
泉州中远学校2023-2024学年学业水平合格性考试数学模拟（一）
答案和解析
1.【答案】 解：根据集合的交集运算，即可求出结果．
解： ， ， ．故选：．
2.【答案】 解：由，得或，则“”是“”的充分不必要条件，
3.【答案】 解：命题为全称命题，则命题“，”的否定是：．
4.【答案】
解：选项A，为实数，取，，，此时，故选项A不成立；
选项B，，，，，，即，故选项B不成立；
选项C，，取，，则，，此时，故选项C不成立；
选项D，，，．，故选项D正确，
5.【答案】 解： ，当且仅当，即时取等号，最小值为．
6.【答案】 解：设另一根为，由韦达定理可知，，即．
7.【答案】 解：二次函数是开口向上的抛物线，对称轴为，
二次函数在上为减函数，，解得，的取值范围为．
8.【答案】
解：由不等式的解集为空集，得恒成立，则，解得．
9.【答案】
解：，．
10.【答案】 解：在上单调递增，和在上都单调递减．故选A．
11.【答案】 解：原式．
12.【答案】 解：函数在上为减函数，因为，所以，解得．
13.【答案】
解：在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，
由正弦定理，得．

14.【答案】 解：如图，在中，为边上的中线，为的中点，
则．
15.【答案】 解：若与、的交线平行，显然符合条件但两平面相交，故A错；
B.，，则或，故B错误；
C.平面经过了平面的一条垂线，所以，故C正确；
D.，，则与位置关系不定，可能是交线、可能平行于、可能与相交等，未必，故D错误；
16.【答案】 解：由斜二测画法规则知，即为直角三角形，其中，，所以，边上的中线长度为．
17.【答案】 解：因为曲线，
把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，
再将所得到的函数图象向左平移 个单位长度，可得到故A正确
把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向右平行移动个单位长度，得到，故B正确
把向左平行移动个单位长度，得到，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，故C正确
把向左平行移动个单位长度，得到，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，故D不正确．
18.【答案】
解：由频率分布直方图可得，成绩在分的频率最高，考生的人数最多，所以A正确；
由频率分布直方图可得，成绩在的频率为，
所以不及格的人数为，所以B错误；
由频率分布直方图可得，考生竞赛成绩的众数为分，所以C正确；
因为成绩在的频率为，
的频率为，考生竞赛成绩的中位数为分，
中位数是分，所以D错误．
19.【答案】
解：幂函数的图象经过点，所以，解得，所以，
所以，即函数图象经过点，故A正确；
当时，，函数的值域是，B正确，
易知，函数为偶函数，故C错误；
函数的单调减区间为，故D正确；
20.【答案】 解：，则的实部是，故答案是．
21.【答案】 解：由题意，甲同学除语数英外的选科种数有物理，化学，生物，物理，化学，政治，物理，化学，地理，物理，生物，政治，物理，生物，地理，物理，政治，地理，历史，化学，生物，历史，化学，政治，历史，化学，地理，历史，生物，政治，历史，生物，地理，历史，政治，地理，共种，
同时选择物理和化学的选科种数有物理，化学，生物，物理，化学，政治，物理，化学，地理共种，
则甲同学同时选择物理和化学的概率为．
22.【答案】 解：向量，，若，则，则．
23.【答案】 解：长、宽、高分别为，，的长方体的顶点都在同一球面上，球半径，
该球的表面积为．
24.【答案】解：函数．
最小正周期，
由，．得：，．
的单调增区间为，．
令，则，对称轴方程为，．
令，则，所以对称中心为，．
令，即，得：时，的取得最小值．
此时的取值集合是．
25.【答案】证明：因为平面，平面，所以，
又，平面，平面，，所以平面，
又因为平面，故AB；
因为，是的中点，所以，
又，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，故BE平面，
又中，，分别是和的中点，所以，
又平面，平面，故EF平面，
又因为平面，平面，，
故平面平面．
26.【答案】解：在单调递减，证明如下：
任取，，
，，，
，即在单调递减；
因为函数的定义域对称，且，所以为奇函数，
又由知在单调递减，所以在也单调递减，
所以在区间，，．