第一章 全等三角形【考点串讲 课件】 （31张ppt）-2023-2024学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

第一章
全等三角形
思维导图
知识大全
考点精析
常用技巧或结论
八年级期中考试复习
思维导图
知识大全
考点一 全等图形
全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形。
全等图形的性质：①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。④周长、面积相等。
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
针对训练
考点一 全等图形
例1 下列叙述中错误的是（ ）
A．能够完全重合的图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形 D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形
1. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是 （ ）
A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4）
C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）
针对训练
考点一 全等图形
针对训练
考点一 全等图形
3. 用不同的方法沿网格线把正方形分割成两个全等的图形
知识大全
考点二 全等三角形概念与性质
全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
针对训练
考点二 全等三角形概念与性质
例3 列说法正确的是（　　）
A．全等三角形是指形状相同的三角形??????B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积相等??????????D．所有等边三角形是全等三角形
1. 一定是全等三角形的是（　　）
A．面积相等的三角形 B．周长相等的三角形
C．形状相同的三角形 D．能够完全重合的两个三角形????
针对训练
考点二 全等三角形概念与性质
例4 已知△ABC≌△A′B′C′，∠C=25°，BC=6 cm，AC=4 cm，你能得出△A′B′C′中哪些角的大小，哪些边的长度．
1.如图，ΔABC≌ΔDEF，∠A=25°，∠B=65°，BF=3cm，求∠DFE的度数和EC的长
【详解】解：∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C′=∠C=25°，B′C′=BC=6cm，A′C′=AC=4cm．
解：△ABC中∠A=25°，∠B=65°，
∴∠BCA=180°-∠A-∠B=180°-25°-65°=90°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠BCA=∠DFE，BC=EF，
∴EC=BF=3cm，
∴∠DFE=90°，EC=3cm．
?
针对训练
考点二 全等三角形概念与性质
2. 如图，已知△ABC≌△DEF，∠B与∠E是对应角，AC与DF是对应边，AB＝3 cm，BC＝4 cm，CE＝2 cm.
1)写出其他的对应边及对应角；
2)求线段DE及线段FC的长．
解：(1)其他的对应边：AB与DE，BC与EF；
其他的对应角：∠A与∠D，∠ACB与∠DFE.
(2)∵△ABC≌△DEF，∴DE＝AB，EF＝BC.
又AB＝3 cm，BC＝4 cm，∴DE＝3 cm，EF＝4 cm.
∵CE＝2 cm，∴FC＝EF－CE＝4－2＝2 cm
知识大全
考点三 全等三角形的判定
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}?
一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质
对应边相等，对应角相等、周长、面积相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
【备注】判定两个三角形全等必须有一组边对应相等。
解题技巧
考点三 全等三角形的判定
针对训练
考点三 全等三角形的判定（sss）
例5 已知：AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE.
1)求证：∠EAC＝∠BAD；
2)若∠BAD＝42°，求∠EDC的度数．
针对训练
考点三 全等三角形的判定（sss）
例5 已知：AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE.
1)求证：∠EAC＝∠BAD；
2)若∠BAD＝42°，求∠EDC的度数．
∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠ADE.
由三角形的外角性质得，∠ADE＋∠EDC＝∠BAD＋∠B，∴∠EDC＝∠BAD.
∵∠BAD＝42°，∴∠EDC＝42°.　
针对训练
考点三 全等三角形的判定（sss）
1.如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
(1)求证：ΔABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
【解析】（1）∵AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CF∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EFAC=DF ∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
?
针对训练
考点三 全等三角形的判定（SAS）
例6 如图，已知等边△ABC中，BD=CE,AD与BE交于点P，则∠APE=________.
解：在等边△ABC中，
∵????????=????????∠????????????=∠????????????=60°????????=????????，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠APE＝∠BAD＋∠ABP＝∠ABP＋∠CBE＝∠ABD＝60°．
?
针对训练
考点三 全等三角形的判定（SAS）
1. 如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．
求证：BE=DF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AE＝CF，∴OE＝OF，
在△BEO和△DFO中，????????＝????????∠????????????＝∠????????????????????＝????????，
∴△BEO≌△DFO，
?
针对训练
考点三 全等三角形的判定（SAS）
2. 如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　 　°．
【详解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，????????=????????∠????=∠????????????????????=????????，∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC=180°?30°2=75°，
?
针对训练
考点三 全等三角形的判定（AAS）
例7 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是( )
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
?
【详解】∵????????//????????，∴∠????=∠????????????，∠????????????=∠????，
在????????????????和????????????????中∠????=∠????????????∠????????????=∠????????????=????????，∴?????????????????????????????????????????????，
∴????????=????????=3，
∵????????=4，∴????????=?????????????????=4?3=1.故选：B．
?
针对训练
考点三 全等三角形的判定（AAS）
如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC=13，AB=5，且E为BC上一点，∠AED=90°，AE=DE，则BE=（　　）
A．13 B．8 C．6 D．5
【详解】解：在△ABE和△ECD中∠????＝∠????＝90°∠????＝∠????????????????????＝????????
∴△ABE≌△ECD（AAS）．∴CE=AB=5．
∴BE=BC-CE=13-5=8．故选B．
?
针对训练
考点三 全等三角形的判定（AAS）
2. 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，
(1)求证:△ABD≌△CFD；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠OCD，
在△ABD和CFD中，∠ADB=∠CDF∠BAD=∠DCFAD=CD，∴△ABD≌△CFD（AAS），
?
针对训练
考点三 全等三角形的判定（AAS）
2. 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，
(1)求证:△ABD≌△CFD；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长．
（2）∵△ABD≌△CFD，∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，∴BD=BC﹣CD=2，
∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．
针对训练
考点三 全等三角形的判定（ASA）
例8 在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于F.
求证：AD=DF.
?
证明：∵平行四边形????????????????，∴????????//????????,????????=????????,
∴∠????=∠????????????
∵????为????????的中点，∴????????=????????,
在????????????????与????????????????中，∠????=∠????????????????????=????????∠????????????=∠????????????
∴????????????????≌???????????????? ∴????????=???????? ∴????????=????????.
?
针对训练
考点三 全等三角形的判定（ASA）
1.已知△ABN和△ACM位置如图所示，∠B=∠C，AB=AC，∠1=∠2．求证：∠M=∠N．
证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠MAN=∠2+∠MAN
即∠MAC=∠NAB
在△MAC和△NAB中，
∠????????????=∠????????????????????=????????∠????=∠????，
∴△MAC≌△NAB(ASA)，
∴∠M=∠N
?
针对训练
考点三 全等三角形的判定（ASA）
2. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（　　）
A．由小变大 B．由大变小
C．始终不变 D．先由大变小，然后又由小变大
【解析】∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=∠EOG=90°∴∠BON=∠MOC．
在△OBN与△OCM中，∠OBC=∠OCD,OB=OC,∠BON=∠MOC，
∴△OBN≌△OCM（ASA），
∴四边形OMCN的面积等于△BOC的面积，
即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的14．
故选C．
?
针对训练
考点三 全等三角形的判定（HL）
例9 如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E ，F，CE=BF．
求证：AE =DF．
A
B
C
D
E
F
证明：∵CE=BF，∴CE-FE=BF-EF
∴CF=BE
∵ AE⊥BC，DF⊥BC
∴△AEB和△DFC为直角三角形
在Rt△AEB和Rt△DFC中
CF=BE
AB=DC
∴ Rt△AEB ≌ Rt△DFC （HL）即证AE=DF
针对训练
考点三 全等三角形的判定（HL）
如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，
试说明EC＝EF＝BF．
证明：在Rt△AEF和Rt△ABF中，????????=????????????????=????????，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF(HL)，∴FE＝FB．
∵正方形ABCD，∴∠ACB＝12∠BCD＝45°，
在Rt△CEF中，
∵∠ACB＝45°，∴∠CFE＝45°，
∴∠ACB＝∠CFE，∴EC＝EF，
∴FB＝EC＝EF．
?
针对训练
考点三 全等三角形的判定（HL）
2. 如图，在ΔABC中，AB=CB，∠ABC=90?，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.
1）求证：ΔABE?ΔCBF
2）若∠CAE=30?，求∠ACF的度数.
?
证明：∵∠????????????=900.∴∠????????????=∠????????????=900，
在????????????????????????和????????????????????????中，????????=????????????????=????????
∴?????????????????????????????????????????????????????????
?
针对训练
考点三 全等三角形的判定（HL）
2. 如图，在ΔABC中，AB=CB，∠ABC=90?，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.
1）求证：ΔABE?ΔCBF
2）若∠CAE=30?，求∠ACF的度数.
?
（2）∵AB=BC，∠ABC=90?，∴∠CAB=∠ACB=45?，
又∵∠BAE=∠CAB?∠CAE∴∠BAE=45??30?=15?，
由（1）知：RtΔABE?RtΔCBF，
∴∠BCF=∠BAE=15?，
∵∠ACF=∠BCF+∠ACB?∴∠ACF=45?+15°=60?
?
针对训练
考点三 全等三角形的判定（选用合适的方法判定全等三角形）
例10 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
1. 如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（　　）
A．∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABC B．∠BAD＝∠ABC，∠ABD＝∠BAC
C．BD＝AC，∠BAD＝∠ABC D．AD＝BC，BD＝AC
2.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.
A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC


谢谢！