2023-2024学年苏科版八年级数学上《第2章轴对称图形》章末强化提优训练（含答案）

2023-2024学年苏科版八年级数学上《第2章轴对称图形》章末强化提优训练
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1．以下京剧脸谱中，不是轴对称图形的是(　　)
第1题图 第2题图 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠B′的度数为(　　)
A．90° B．100° C．70° D．80°
3．三角形纸片上有一点P，量得PA＝3cm，PB＝3cm，则点P一定(　　)
A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上
C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上
4．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PD＝2，则P点到OB的距离是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，AB∥CD，∠A＝70°，AC＝BC，则∠BCD的度数为(　　)
A．100° B．105° C．110° D．140°
6．如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2的度数为(　　)
A．60° B．90° C．120° D．180°
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有(　　)
①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF＋CF.
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8. 如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有( )个.
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
9. 如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE;其中正确结论的个数为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
二．填空题(30分)
11．如图小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是_______．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝20，则△PMN的周长为 .
13．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E……按此做法继续下去，则第5个三角形中以A5为顶点的内角度数是___°
14.如图，已知正方形ABCD的边长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和为____．
15．在等腰△ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为____________.
16. 如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为________．
第16题图 第17题图 第18题图 第20题图
17．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F.若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为________cm.
18．如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD． 当α=_________时，△AOD是等腰三角形.
19. 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若三角形ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为________．
20．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的平分线相交于点D，垂足为点P，连接BD，CD，若∠BAC＝84°，则∠BDC＝________．
三。解答题（60分）
21、（8分）用三角板和直尺作图．（不写作法，保留痕迹）
如图，点A，B在直线l的同侧．
（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小．
（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大．
22. （8分）已知：如图，BD=DE=EF=FG．
（1）若∠ABC=20°，∠ABC内符合条件BD=DE=EF=FG的折线（如DE、EF、FG）共有几条？若∠ABC=10°呢？试一试，并简述理由．
（2）若∠ABC=m°（0＜m＜90），你能找出一个折线条数n与m之间的关系吗？若有，请找出来；若无，请说明理由．
23. （8分）如图，一个四边形纸片ABCD，，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的点，AE是折痕．
（1）判断与DC的位置关系，并说明理由；
（2）如果，求的度数．
24.（12分）已知Rt△ABC和Rt△DBE，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，DB＝EB， CE所在的直线交AD于点F．
（1）如图1，若点D在△ABC外，点B在AB边上，
求证：AD＝CE，AD⊥CE．
（2）若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点E在△ABC内部，如图2，求证：AD＝CE，AD⊥CE．
（3）若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转，使点D、E都在△ABC外部，如图3，请直出AD和CE的数量和位置关系．
25、（12分）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分．点A为OM上一点，过点A作，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明，则，（即点C为AB的中点）．
【问题探究】如图2，中，，，CD平分，，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论：
【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段BC上，且， 于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．
．
26.（12分）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
教师样卷
一．选择题(30分）
1．以下京剧脸谱中，不是轴对称图形的是(　C　)
第1题图 第2题图 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠B′的度数为(　B　)
A．90° B．100° C．70° D．80°
3．三角形纸片上有一点P，量得PA＝3cm，PB＝3cm，则点P一定(　D　)
A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上
C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上
4．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PD＝2，则P点到OB的距离是(　B　)
A．1 B．2 C．3 D．4
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，AB∥CD，∠A＝70°，AC＝BC，则∠BCD的度数为(　C　)
A．100° B．105° C．110° D．140°
6．如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2的度数为(　C　)
A．60° B．90° C．120° D．180°
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有(　B　)
①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF＋CF.
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
[解析] ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°.∴∠A＋∠B＝90°，∠ACD＋∠DCB＝90°.∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B.∴CD＝BD.∴AD＝BD，
∴CD＝AB.故①②正确；∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形．故③错误；∵若∠E＝30°，则∠A＝60°，∠B＝30°.∴△ACD是等边三角形．∴∠ADC＝60°.
∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°.∴CF＝DF，∴DE＝EF＋DF＝EF＋CF.
故④正确．故选B.
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8. 如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有( C )个.
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
解：如图所示：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，故选C．
9. 如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE;其中正确结论的个数为（　D　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解： ∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=60°，∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-60°=120°，故①正确；如图，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，
∴AD为∠BAC的平分线，∴DF=DG，∴∠FDG=360°-90°×2-60°=120°，又∵∠BDC=120°，
∴∠BDF+∠CDF=120°，∠CDG+∠CDF=120°，∴∠BDF=∠CDG，∵在△BDF和△CDG中，
∴△BDF≌△CDG（ASA），∴DB=CD，∴∠DBC=（180°-120°）=30°，∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE，∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠BAC=30°，根据三角形的外角性质，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE，故②正确；∵DB=DE=DC，∴B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，∴∠BDE=2∠BCE，故③正确；综上所述，正确的结论有①②③共3个．
故选D．
10. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　D　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
解： 作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，∵S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，∴×4×7＋×4×AC＝24，∴AC＝5，故选：D．
二．填空题(30分)
11．如图小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是__10：45______．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝20，则△PMN的周长为 20 .
13．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E……按此做法继续下去，则第5个三角形中以A5为顶点的内角度数是__5__°
14.如图，已知正方形ABCD的边长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和为__8__．
15．在等腰△ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为___7或11_________.
16. 如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为___25°_____．
解： ∵△ABC沿EF翻折，∴∠BEF＝∠B′EF，∠CFE＝∠C′FE，∴180° ∠AEF＝∠1＋∠AEF，180° ∠AFE＝∠2＋∠AFE，∵∠1＝95°，∴∠AEF＝12（180° 95°）＝42.5°，∵∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∴∠AFE＝180° 60° 42.5°＝77.5°，∴180° 77.5＝∠2＋77.5°，∴∠2＝25°．故答案为：25°．
第16题图 第17题图 第18题图 第20题图
17．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F.若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为___8_____cm.
解：如图，连接AD.∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴S△ABC＝BC·AD＝×4·AD＝12，解得AD＝6cm.∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM＋MD的最小值．∴△BDM的周长最短为(BM＋MD)＋BD＝AD＋BC＝6＋×4＝6＋2＝8(cm)．故答案为8.
18．如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD． 当α=__125°，110°或140°_______时，△AOD是等腰三角形.
解： ① 要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=190°－α，∠ADO=α－60°，∴190°－α=α－60°，∴α=125°．② 要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO.∵∠OAD=180°－(∠AOD+∠ADO)=180°－(190°－α+α－60°)=50°，∴α－60°－50°．∴α=110°．③要使AD=OD，需∠AOD=∠OAD，∴190°－α=50°．∴α=140°．综上所述，当α为125°，110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
19. 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若三角形ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为___1或3_____．
解：当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFB=90°，∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=CD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠BEF=30°，∵BE=AB+AE=1+2=3，∴FB=EB=，∴CF=FB BC=，则CD=2CF=1；当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFC=90°，∵EC=ED，
∴F为CD的中点，即CF=DF=CD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠EBF=60°，
∴∠BEF=30°，∵BE=AE AB=2 1=1，∴FB=BE=，∴CF=BC+FB=，则CD=2CF=3，
综上，CD的值为1或3．故答案为：1或3
20．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的平分线相交于点D，垂足为点P，连接BD，CD，若∠BAC＝84°，则∠BDC＝___96°_____．
解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，作DF⊥AC于点F.∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF.∵DP是BC的垂直平分线，∴BD＝CD.在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，∴∠BDE＝∠CDF，∴∠BDC＝∠EDF.∵∠DEB＝∠DFA＝90°，∠BAC＝84°，∴∠EDF＝360°－90°－90°－84°＝96°，∴∠BDC＝96°.
三。解答题（60分）
21、（8分）用三角板和直尺作图．（不写作法，保留痕迹）
如图，点A，B在直线l的同侧．
（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小．
（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大．
解：（1）如图所示：（2）如图所示；
理由：∵NB﹣NA≤AB，∴当A、B、N共线时，BN﹣NA的值最大．
22. （8分）已知：如图，BD=DE=EF=FG．
（1）若∠ABC=20°，∠ABC内符合条件BD=DE=EF=FG的折线（如DE、EF、FG）共有几条？若∠ABC=10°呢？试一试，并简述理由．
（2）若∠ABC=m°（0＜m＜90），你能找出一个折线条数n与m之间的关系吗？若有，请找出来；若无，请说明理由．
解：（1）有4条，若∠ABC=10°，有8条．当∠ABC=20°，∵BD=DE=EF=FG=GM，
∴∠DEB=∠B，∠EDF=∠EFD，∠FEG=∠FGE，∠GFM=∠FMG∵∠EDF=2∠B=40°，∠FEG=3∠B=60°，∠AFG=4∠B=80°，∠AMG=5∠B=100°，∴同理：∠AMG将成为下一个等腰三角形的底角∵100°+100°＞180°∴不会再由下一条折线∴共有四条拆线，分别是：DE、EF、FG，GM．同理：当∠ABC=10°，有8条符合条件的折线．
（2）由（1）可知∠EDF=2∠B=2m°，∠FEG=3∠B=3m°，∠AFG=4∠B=4m°，∵根据三角形内角和定理可知，需满足mn＜90°，∴n＜的整数．
23. （8分）如图，一个四边形纸片ABCD，，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的点，AE是折痕．
（1）判断与DC的位置关系，并说明理由；
（2）如果，求的度数．
解：（1）由于是的折叠后形成的，，；
（2）折叠，△，，即，
，，．
24.（12分）已知Rt△ABC和Rt△DBE，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，DB＝EB， CE所在的直线交AD于点F．
（1）如图1，若点D在△ABC外，点B在AB边上，
求证：AD＝CE，AD⊥CE．
（2）若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点E在△ABC内部，如图2，求证：AD＝CE，AD⊥CE．
（3）若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转，使点D、E都在△ABC外部，如图3，请直出AD和CE的数量和位置关系．
解：（1）证明：在和中，，;，，，，，，，，；
（2）证明：，，即，
在和中，，，， ，，，，，，，；
（3），；理由如下：，，即，在和中，，，， ，，，，，，，．
25、（12分）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分．点A为OM上一点，过点A作，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明，则，（即点C为AB的中点）．
【问题探究】如图2，中，，，CD平分，，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论：
【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段BC上，且， 于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．
．
解：问题探究：，理由如下：延长BE交CA延长线于F，∵CD平分，∴，在和中，，∴，∴．，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴； 拓展延伸：．证明：过点D作，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，∵，∴，，∵，∴．∵，∴，∴，∵，∴．
∵，，∴．∵，∴，∴，∴，在和中，，∴；∴，在和中，，∴∴， ∴.
27.（12分）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
解：（1）AF=BD.证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）.同理知，DC=CF，∠DCF=60°.∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF.在△BCD和△ACF中，∴△BCD≌△ACF（SAS）.∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）.
（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立.
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB.证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；同理△BCF′≌△ACD，则BF′=AD.∴AF+BF′=BD+AD=AB；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′.证明如下：在△BCF′和△ACD中，∴△BCF′≌△ACD（SAS）.∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）.又由（2）知，AF=BD,∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．