苏科版 八年级数学上册试题 3.2勾股定理的逆定理同步练习（含答案）

3.2勾股定理的逆定理
一、选择题．
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．4，6，8 B．6，8，9 C．7，24，25 D．5，11，12
2．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A﹣∠B＝∠C
C．a＝1，b＝2，c D．（b+c）（b﹣c）＝a2
3．下列各组数不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．32，42，52 D．5，12，13
4．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（　　）
A．三角形的三边长满足关系a+b＝c
B．三角形的三边长之比2：3：4
C．三角形的三边长分别为5、12、13
D．三角形的一边长等于另一边长的一半
5．D是△ABC中BC边上的一点，若AC2﹣CD2＝AD2，则AD是（　　）
A．BC边上的中线 B．∠BAC的角平分线
C．BC边上的高线 D．AC边上的高线
6．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
7．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝7：24：25
C．a2＝b2﹣c2 D．∠A＝∠C﹣∠B
8．a、b、c为△ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（　　）
A．a2＝c2﹣b2
B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝3，b＝4，c＝5
D．a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数）
二、填空题
9．△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则△ABC周长为　 　cm．
10．如图，在3x3的网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为　 　．
11．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于　 　．
12．已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，则∠BCD＝　 　．
13．若一个三角形的三边长分别为1.5、2、2.5，则这个三角形最长边上的中线为　 　．
14．三角形的三边a，b，c满足（a﹣b）2＝c2﹣2ab，则这个三角形是　 　．
15．若△ABC三边之比为5：12：13，则△ABC是　 　三角形．
16．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝　 　s时，△PBQ为直角三角形．
三、解答题
17．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC，试说明：AC⊥CD．
18．在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形，如格点三角形△ABC．
（1）△ABC的面积为　 　；
（2）△ABC的形状为　 　；
（3）根据图中标示的各点（A、B、C、D、E、F）位置，与△ABC全等的格点三角形是　 　．
19．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由．
20．在四边形ABCD中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．
21．【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾为3时，股4，弦5；
当勾为5时，股12，弦13；
当勾为7时，股24，弦25．
请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝　 　，弦＝　 　．
【问题解决】
（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；
（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？
答案
一、选择题．
C．A．C．C．C．A．A．B．
二、填空题
9．2400．
10．45°．
11．36．
12．135°或45°．
13．．
14．直角三角形．
15．直角
16．或．
三、解答题
17．证明：在△ABC中AB⊥BC，根据勾股定理：AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5，
∵在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴根据勾股定理的逆定理，△ACD为直角三角形，
∴AC⊥CD．
18．（1）△ABC的面积为：2×22，
故答案为：2；
（2）由勾股定理得：AC2，BC，AB，
所以AC2+BC2＝AB2，
即∠ACB＝90°，
即△ABC是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（3）与△ABC全等的格点三角形是△DBC，△DAB，△DAC，
故答案为：△DBC，△DAB，△DAC．
19．以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形，
理由：∵m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，
∴c＞a，
∵a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝（m2+1）2，
c2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
∴以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形．
20．在Rt△ACD中，
AC5cm，
在△ABC中，
∵AB2+BC2＝9+16＝25，
AC2＝52＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积AB BCAC CD3×45×12＝36cm2．
21．（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股（n2﹣1），弦（n2+1）；
故答案为：（n2﹣1），（n2+1）；
（2）∵a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m表示大于1的整数）
∴a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2
＝4m2+m4﹣2m2+1
＝m4+2m2+1
＝（m2+1）2＝（m2+1）2＝c2，
∴a2+b2＝c2
∴a、b、c为勾股数；
（3）∵弦与股的差为1，2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，
∴另外两个数的表达式分别是2a2+2a； 2a+1．