专题04等腰三角形的轴对称性 期中专题复习（含解析）2023年秋苏科版数学八年级上册

专题04 等腰三角形的轴对称性
等腰三角形的判定
（2022·泰州期中）
1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B均在格点上，在图中给出的、、、四个格点中，能与点A、B构成等腰三角形，且面积为2的是（ ）
A． B． C． D．
（2022·连云港期中）
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E足BC上的点，∠BAD=∠DAE＝∠EAC，图中等腰三角形的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
（2022·扬州期中）
3．如图：E在的边的延长线上，D点在边上，交于点F，，，过D作交BC于G．
求证：是等腰三角形．
等腰三角形的性质1——两腰相等
（2022·南通期中）
4．如果一个等腰三角形的两边长分别是和，那么此三角形的周长是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
（2022·宿迁期中）
5．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形是是“倍长三角形”，底边长为5，则等腰三角形的周长为 ．
（2022·泰州期中）
6．若二元一次方程组的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为（ ）
A．4 B．1.5或2 C．2 D．4或2
等腰三角形的性质2——等边对等角
（2022·苏州期中）
7．中，，当 时，是等腰三角形．
（2022·无锡期中）
8．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　）
A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°
（2022·连云港期中）
9．如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
（2022·南京期中）
10．如图，， 交于点E．若，则 ＋ = °．
（2022·盐城期中）
11．如图，在钢架、中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条、、…来加固钢架，且，则的最大值为 °．（结果保留整数）
（2022·扬州期中）
12．如图，在第1个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以为顶点的底角度数是（　）
A．
B．
C．
D．
（2022·常州期中）
13．如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是 ．
（2022·南通期中）
14．△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为 ．
等腰三角形的性质3——“三线合一”
（2022·苏州期中）
15．如图，，E，F分别为，的中点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
（2022·扬州期中）
16．如图，中，，，垂足为D．若，则图中阴影部分的面积为 ．
（2022·扬州期中）
17．如图，在中，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为 ．
（2022·常州期中）
18．如图，中，，D、E分别是线段和线段上的动点，且，F是线段上一点，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．4
等腰三角形的判定与性质
（2022·苏州期中）
19．如图，点E是的内角和外角的两条角平分线的交点，过点E作，交于点M，交于点N，若，则线段的长度为 ．
（2022·盐城期中）
20．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（　　）
A．1 B． C． D．4
（2022·连云港期中）
21．如图，是的角平分线，，交于点E．
(1)求证：．
(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
（2022·泰州期中）
22．如图，的两条外角平分线相交于点D，过点D，且，分别交于点M、N．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
（2022·徐州期中）
23．如图，中，，平分，平分，和相交于点O．
(1)与相等吗？请说明你的理由；
(2)连接，的延长线交于点F，试判断与的位置关系，并说明理由．
（2022·南通期中）
24．如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与分别相交于点M，N．若．
(1)求的度数；
(2)求的周长．
等边三角形的判定
（2022·扬州期中）
25．在下列结论中：
（1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形
其中正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
（2022·无锡期中）
26．如图所示，在等腰ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E，求证：BCD是等边三角形．
（2022·常州期中）
27．如图，中，．点D，E在边上，且．
(1)求的度数；
(2)求证：是等边三角形．
等边三角形的判定与性质
（2022·无锡期中）
28．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（　　）
A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里
（2022·苏州期中）
29．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
（2022·宿迁期中）
30．已知：如图，点C为线段上一点，，都是等边三角形，交于点E，交于点F．
(1)求证：：
(2)求证：为等边三角形．
含30°角的直角三角形
（2022·南通期中）
31．如图，在中，，点D在边上，且，若，则 ．

（2022·盐城期中）
32．如图，四边形中，，，连接．是的中点，连接．若，则的面积为 ．
（2022·苏州期中）
33．如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段的长度为 ．
直角三角形的斜边上的中线
（2022·淮安期中）
34．如图，将直角三角形纸片ABC折叠，恰好使直角顶点C落在斜边AB的中点D的位置，EF是折痕，已知DE=3，DF=4，则AB= ．
（2022·无锡期中）
35．如图，在以为斜边的两个直角和中，，，，则 ．
（2022·无锡期中）
36．如图，将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2022·宿迁期中）
37．如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
（2022·无锡期中）
38．如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论：①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022·无锡期中）
39．如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（　　）
A．190° B．195° C．200° D．210°
（2022·扬州期中）
40．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 ．
（2022·无锡期中）
41．如图，已知，点在边上，．过点作于点，以为一边在内作等边三角形，点是内（不包括各边）的一点，过点作交于点，作交于点，设，，则的取值范围是 ．

（2022·无锡期中）
42．如图，在中，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合，则＝ ．若，则＝ ．
（2022·南京期中）
43．如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；
（2）如图2，若AB=8，点P、Q两点在直线BE上且CP=CQ=5，试求PQ的长；
（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】先判断等腰三角形，然后计算等腰三角形的面积，进而作出判断．
【详解】解：根据图形可知，是等腰三角形，
则，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积计算方法是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E是BC上的点，∠BAD＝∠DAE＝∠EAC这些条件，再根据三角形的内角和是180°和等腰三角形的性质，求出各个角的度数，即可判断．
【详解】解：因为在△ABC中，AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形，
因为∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝（180° 36° 36°）÷3＝36°，所以△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，
又因为∠BAE＝∠CAD＝36°＋36°＝72°，∠BEA＝∠CDA＝180° 72° 36°＝72°，所以∠BAE＝∠CAD＝∠BEA＝∠CDA＝72°，
所以△BAE、△CAD是等腰三角形，一共有6个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
3．见解析
【分析】首先根据题意证明出，然后得到，结合得到，即可证明出是等腰三角形．
【详解】∵
∴（两直线平行，内错角相等），
在和中
，
∴；
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
4．C
【分析】因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【详解】解：当腰为时，则三角形的三边长分别为、、，满足三角形的三边关系，周长为；
当腰为时，则三角形的三边长分别为、、，满足三角形的三边关系，周长为；
综上，等腰三角形的周长是或．
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5．
【分析】由等腰是“倍长三角形”，可知或，若，可得的长为；若，因，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．
【详解】解：∵等腰是“倍长三角形”，
∴或，
若，则三边分别是、、，符合题意，
等腰三角形的周长为；
若，则，三边分别是、、，
∵，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，等腰三角形的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，读懂题意，理解“倍长三角形”是解本题的关键．
6．C
【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程求得m，并结合构成三角形的条件判断即可．
【详解】
①-②得：y=3-m
把y=3-m代入②，得x=3m-3
故方程组的解为
①若x为腰，y为底，则2x+y=7，
即2(3m-3)+3-m=7，解得：m=2，
此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件
②若y为腰，x为底，则2y+x=7，
即2(3-m)+3m-3=7，解得：m=4，
此时x=9，y=-1，不合题意；
③若x=y，即3m-3=3-m，
解得：，此时腰为，底为，
但+<4，不符合构成三角形的条件，
故不合题意，
所以满足条件的m为2．
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件．
7．、、
【分析】运用分类讨论的数学思想，借助三角形的内角和定理求出的值，即可解决问题．
【详解】解：若为顶角，且，
则；
若为底角，且为底角，
则；
若为底角，且为顶角，
则，，
故答案为：、、．
【点睛】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是运用分类讨论的数学思想，借助三角形的内角和定理来逐一判断、解析．
8．D
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．
【详解】解：当高在三角形内部时，如图，
∵∠ABD=60°，BD⊥AC，
∴∠A=30°；
∴顶角是30°；
当高在三角形外部时，如图，
∵∠ABD=60°，BD⊥AC于D，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAC=180°-30°=150°
∴顶角是150°．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出高在三角形内部一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
9．A
【分析】连接，中垂线的性质结合外角的性质得到，等边对等角得到，再利用三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：连接，

∵垂直平分，
∴，
∴，
∴；
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，等边对等角，是解题的关键．
10．
【分析】根据外角的性质，可得， ，再根据，可得到， ，根据三角形内角和为，可得到，最后列出等式，即可求出的度数．
【详解】解：根据已知可得 为和的外角，
，
又，
，
，
，
在中，，
,
得：
．
故答案为：145．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质和三角形内角和的性质，解决本题的关键是条件找到等量关系，列出等式求解．
11．12
【分析】设∠BAC=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP6P7，∠AP7P6，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
【详解】解：设∠BAC=x，
∵AP1=P1P2=P2P3=…=P6P7，
∴∠A=∠AP2P1=x，
∴∠P2P1P3=2x，
∴∠P3P2P4=3x，
…，
∠P7P8P6=7x，
∴7x＜90°且8x＞90°，则11.25°＜∠BAC＜（）°，
故∠BAC的最大值约为12°．
故答案为：12．
【点睛】考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．
12．A
【分析】根据等腰三角形的性质，由，，得，，那么．由，得．根据三角形外角的性质，由，得．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
【详解】解∶∵，，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
同理可得：．
…
以此类推，以为顶点的内角度数是．
∴以为顶点的内角度数是．
故选 A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
13．或
【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：①当点P在BC的延长线上时，如图
∵，，
∴
∴
∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，
∴AC=PC
∴
∵
∴
∴
②当点P在CB的延长线上时，如图
由①得，
∵AC=PC
∴
∴
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．
14．117°或108°或84°．
【分析】根据等腰三角形的性质进行分割，写出△ABC中的最大内角的所有可能值.
【详解】①∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣24°）＝78°，∠DAC＝∠DCA＝∠BDA＝39°，如图1所示：
∴∠BAC＝78°+39°＝117°；
②∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠ACD＝2∠DBA＝48°，如图2所示：
∴∠DAC＝180°﹣2×48°＝84°，
∴∠BAC＝24°+84°＝108°；
③∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠DAC＝2∠DBA＝48°，如图3所示：
∴∠BAC＝24°+48°＝72°，∠C＝180°﹣2×48°＝84°；
∴其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为117°或108°或84°，
故答案为：117°或108°或84°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分割找出所有情况.
15．A
【分析】根据题意得和是等腰三角形，根据E，F分别为，的中点，得，，即可得，即可得．
【详解】解：∵，
∴和是等腰三角形，
∵E，F分别为，的中点，，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉等腰三角形的三线合一．
16．6
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：，，
，
，，
，
，
即图中阴影部分的面积为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
17．
【分析】连接，过点A作于点G，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得到，然后根据三角形的面积公式即可得到，结合题意求出即可解决问题．
【详解】解：连接，过点A作于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键．
18．B
【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形三线合一，以及矩形的性质求出，根据，即可得解．
【详解】如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
同理，，
∴ ，即，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵ ，
∴最小值为．
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，以及垂线段最短．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19．6
【分析】根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，同理，，于是得到结论．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
20．A
【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=5，BC=3，即可推出BD的长度．
【详解】延长BD与AC交于点E，
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠EBC=∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC=CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD=BE，
∵AC=5，BC=3，
∴CE=3，
∴AE=AC-EC=5-3=2，
∴BE=2，
∴BD=1．
故选A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
21．(1)见解析
(2)相等，见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
由（1）得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解；
（2）由三角形的周长关系可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵的两条外角平分线相交于点D，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键．
23．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）先根据等边对等角证明，再由角平分线的定义证明，即可证明；
（2）由三角形三条角平分线交于一点可知平分，即可利用三线合一定理得到．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵平分，平分，
∴点O是三条角平分线的交点，
∴平分，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解；
（2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的性质、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
25．C
【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．
【详解】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是，已知有一个外角是，即是有一个内角是，有一个内角为的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．
（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．
（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．
（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．
26．见解析
【分析】根据等腰三角形的性质得出AF⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD＝DC＝BC，根据等边三角形的性质得出即可．
【详解】证明：∵AB＝AC，AF为BC的中线，
∴AF⊥BC，
∴BD＝DC，
∵CE是BD的垂直平分线，
∴BC＝CD，
∴BD＝DC＝BC，
∴△BCD是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，准确分析证明是解题的关键．
27．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等边对等角，以及三角形的内角和定理求解即可；
（2）根据，再根据，，和三角形的内角和定理，证明，得到，即可证明为等边三角形．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）证明： ∵，，，
∴，即，
∴，
∴为等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边对等角，以及三角形的内角和是，是解题的关键．
28．A
【分析】先求得，然后可判断为等边三角形，从而可求得的长．
【详解】解：如图所示：连接．
点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向，
．
又，
为等边三角形．
海里．
故选：．
【点睛】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质和判定，证得为等边三角形是解题的关键．
29．（1）△DEF是等边三角形，见解析；（2）CF=4
【分析】（1）证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，再由平行线的性质可得∠CED=∠EDF=∠DFE=60°，则结论得证；
（2）连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，由△ABD是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=12，由（1）中△EDF是等边三角形，可得EF=DE=4，可得CF的长．
【详解】解：（1）△DEF是等边三角形．
理由是：∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴∠ABD=∠ADB=60°．
∵CE∥AB，
∴∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°，
∴∠CED=∠ADB=∠DFE，
∴△DEF是等边三角形；
（2）连接AC交BD于点O，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
即AC⊥BD．
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠DAC=30°．
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°，
∴AE=CE=8，
∴DE=AD-AE=12-8=4．
∵△DEF是等边三角形，
∴EF=DE=4，
∴CF=CE-EF=8-4=4．
【点睛】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的逆定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
30．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）等边三角形的性质可以得出，两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段与线段相等．
（2）根据平角的定义得出，通过证明得出，根据等边三角形的判定得出的形状．
【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴．
∴，
即：，
在和中
，
∴．
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中
∴．
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，同时考查了等边三角形的性质和判定．
31．1
【分析】过点A作于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出．由含30度角的直角三角形的性质求出，那么．
【详解】解：如图，过点A作于E，

又∵，，
∴．
在直角中，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出与是解题的关键．
32．
【分析】运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等腰三角形，利用四边形内角和定理，三角形外角定理，判定三角形是等腰直角三角形，计算面积即可．
【详解】∵，，是的中点，，，
∴，
∴，
∵∠，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形外角定理，熟练掌握直角三角形的性质，三角形外角定理是解题的关键．
33．
【分析】根据折叠的性质判定是等边三角形，然后再利用求．
【详解】解：连接，
是的中线，且沿着直线翻折，
，
是等腰三角形，
，
，为等边三角形，
，
在中，
，
．
【点睛】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等边三角形的性质求解．解题的关键是掌握以上知识点．
34．
【分析】连接交于点，根据翻转变换的性质得到，，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：连接交于点，
翻折前后对应边相等，
，，是的垂直平分线，
于，为中点，
，
，
，
，
，
为中点，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
35．120°##120度
【分析】取AB的中点F，连接CF，DF，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得出∠CFD＝60°，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，即可得到∠AEB的度数．
【详解】解：取AB的中点F，连接CF，DF，如图所示：
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴CF＝DF=，
又∵CD＝m，AB＝2m，
∴CD＝AB，
∴CF＝DF＝CD，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，
∴∠AFC＋∠BFD＝120°，
∵CF＝BF，AF＝DF，
∴∠AFC＝2∠ABE，∠BFD＝2∠BAE，
即∠ABE＝∠AFC，∠BAE＝∠BFD，
∴∠ABE＋∠BAE＝∠BFD＋∠AFC
＝（∠BFD＋∠AFC）
＝×120°
＝60°，
∴△ABE中，∠AEB＝180° 60°＝120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是利用三角形外角性质得到∠ABE＝∠AFC，∠BAE＝∠BFD．
36．B
【分析】连接、，易得，进而推出，，折叠得到，，得到，，外角的性质，得到，，推出，进而得到，再用三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：如图，连接、，
由题意可知：，
∴，
∴，
，，
∵折叠，
，，
，，
，，
，
，
，
，
．
故本题选：B．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角．熟练掌握折叠的性质，以及等边对等角，是解题的关键．
37．（1）详见解析；（2）∠DME=180°-2∠A；详见解析；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，详见解析
【分析】（1）连接，，根据直角三角形的性质得到，，得到，根据等腰直角三角形的性质证明；
（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；
（3）仿照（2）的计算过程解答．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
、分别是、边上的高，是的中点，
，，
，
又为中点，
；
（2）在中，，
，
∴，，
，
，
，
，
；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：如图，
同理（1）可知：，故结论（1）正确；
，
∴，，
在中，，
，
，故结论（2）不正确．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
38．D
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC=90° ∠A；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形，得出EF=BE+CF；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等；由角平分线的性质与三角形面积的求解方法，即可判定④．
【详解】解：在中，和的平分线相交于点O，
，，，
，
；故②正确；
在中，和的平分线相交于点O，
，，
，
，，
，，
，，
，
故①正确；
过点O作于M，作于N，连接，
在中，和的平分线相交于点O，
，
；故④正确；
在中，和的平分线相交于点O，
点O到各边的距离相等，故③正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
39．D
【分析】作于点D，延长BO交CD于点P，连接AP．由题意可求出．由所作辅助线可判断CD为AB的垂直平分线，即得出，从而得出，进而可求出．由图易求出，由三角形外角性质可求出，即．再根据，即得出，从而可证明，即得出AC=AO．由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出的值，再根据三角形内角和定理可求出的值，相加即可．
【详解】如图，作于点D，延长BO交CD于点P，连接AP．
由题意可求出，
∵，
∴．
∵，
∴CD为AB的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴AC=AO．
∵，
∴．
∵，
∴
故选D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定和性质，综合性强，较难．正确做出辅助线是解题关键．
40．6
【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．
【详解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵△ABC是边长为3的等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC
∴△BDF≌△CND
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN
∵∠MDN=60°
∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．
41．
【分析】过作交于点，证明四边形是平行四边形，得，在中，，可得，计算，确认最大和最小值的位置，可得结论．
【详解】解：如图1，过作交于点，

，，
四边形是平行四边形，，
，
中，，
，
，

当在边上时，与重合，
此时的最小值，
即的最小值是4；
如图2，当在点时，

，，
中，，
，，
则的最大值是：，
即的最大值是10；
的取值范围是．
故本题答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解答本题的关键是掌握的最值就是确认最值的范围．
42． ##90° ##3.5
【详解】根据折叠的性质，容易证明，折叠还可以得到，再由勾股定理定理即可得到结论．
【解答】解：由折叠的性质得：
，
，
在中，，，
将沿翻折，使点落在点处，
，，，
将沿翻折，点恰好与点重合，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题．
43．（1）AD=BE；（2）PQ=2PN=2×3=6；（3）是定值，见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再求出∠ACD=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）过点C作CN⊥BQ于点N，根据等腰三角形三线合一的性质可得PQ=2PN，CM⊥AD，根据全等三角形对应边上的高线相等可得CN=CM，然后利用勾股定理列式求出PN的长度，从而得解；
（3）根据（2）的结论，点C到PQ的距离等于CM的长度，是定值，所以，PQ的长是定值不变．
【详解】解：（1）AD=BE．理由如下：
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°，
∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）如图，过点C作CN⊥BQ于点N，
∵CP=CQ，
∴PQ=2PN，
∵△ABC是等边三角形，AM是中线，
∴CM⊥AD，CM=BC=×8=4，
∴CN=CM=4（全等三角形对应边上的高相等），
∵CP=CQ=5，
∴PN=3，
∴PQ=2PN=2×3=6；
（3）PQ的长为定值6．
∵点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，△ACD和△BCE全等，
∴对应边AD、BE上的高线对应相等，
∴CN=CM=4是定值，
∴PQ的长是定值．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
答案第1页，共2页
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