专题05最短路径问题、特殊三角形的存在性问题 期中专题复习（含解析）2023年秋苏科版数学八年级上册

专题05 最短路径问题、特殊三角形的存在性问题
最短路径（将军饮马）问题
【类型一】
（2022·扬州月考）
1．如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为(　　)

A． B．4 C． D．5
2．如图，中，，垂足为，，为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2022·南京月考）
3．如图，等腰直角中，，D为的中点，，若P为上一个动点，则的最小值为 ．
（2022·无锡期中）
4．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在边BC上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．
（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称；
（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝　 　；
（3）在AE上找一点P，使得PC+PD的值最小．
【类型二】
5．如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为 ．
（2022·镇江期中）
6．如图，在中，，是的角平分线，若分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【类型三】
7．如图，直线l上有两动点C、D，点A、点B在直线l同侧，且A点与B点分别到l的距离为a米和b米（即图中AA′=a米，BB′=b米），且A′B′=c米，动点CD之间的距离总为S米，使C到A的距离与D到B的距离之和最小，则AC+BD的最小值为（　　）
A． B．
C． D．
【类型四】
8．如图，在锐角中，，点为边上的一定点，连接，，，分别为边和上的两动点，连接，，，则周长的最小值为 ．

9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
【类型五】
10．如图，中，，点、点为边上的点，且，点、分别为边、上的点．已知：，，则四边形的周长的最小值为 ．

【类型六】
（2022·扬州期中）
11．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
(1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的；
(2)在上画出点，使的周长最小；
(3)在上找一点，使值最大；
(4)的面积是______．
特殊三角形的存在性问题
【类型一：等腰三角形】
（2022·南京期中）
12．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
（2022·无锡期中）
13．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90 ，∠A＝30 ，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
（2022·盐城期中）
14．如图，直线，交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，且始终位于直线的上方，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则 ．

（2022·连云港期中）
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为 ．
（2022·南京期中）
16．在△ABC中，，，，动点从点C出发，沿着运动，速度为每秒2个单位，到达点时运动停止，设运动时间为t秒，请解答下列问题：
(1)求上的高；
(2)当t为何值时，为等腰三角形？
【类型二：等边三角形】
17．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F是对角线AC上的两个动点，且EF＝2，P是正方形四边上的任意一点．若△PEF是等边三角形，则符合条件的P点共有 个，此时AE的长为 ．
（2022·苏州月考）
18．在边长为9的等边三角形中，点P是上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒．
(1)如图1，若点Q是上一定点，，求t的值；
(2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形？
【类型三：直角三角形】
（2022·南京期中）
19．如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点 B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间 t是 秒时，△ABC是直角三角形．
（2022·南通期末）
20．如图，在△ABC中，，，点P从点B开始以的速度向点C移动，当为直角三角形时，则运动的时间为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【最短路径（将军饮马）问题】
（2022·镇江期中）
21．如图，在中，，，射线平分，，，，点F为的中点，点M为射线上一动点，则的最小值为 ．
（2022·海安期末）
22．如图，在中，，点E为射线上的动点，，且．当的值最小时，的度数为 ．

23．如图，P为内一定点，M、N分别是射线OA、OB上的点，
（1）当周长最小时，在图中画出（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，已知，求的度数．
24．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．
解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______；
(2)代数应用：求代数式（）的最小值；
(3)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，最小值是______．
（2022·扬州月考）
25．“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．
解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长．
(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；
(2)利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______．
(3)应用：
①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值；
②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______．
26．【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论；
【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；
【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE．
①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA＋EG的最小值．
【特殊三角形的存在性问题】
（2022·南京期中）
27．如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S.当S＝ 时，满足条件的点C恰有三个．
（2022·海安期中）
28．如图，在中，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作交线段于E．
(1)当时， ；点D从B向C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）；
(2)当等于多少时，，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形．
（2022·淮安期中）
29．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP=______（用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发__________________秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
30．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点第一次到达点时，，同时停止运动．

(1)点，运动几秒后，，两点重合？
(2)点，运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时，运动的时间．若不存在，请说明理由．
(3)点，运动几秒后，可得到直角三角形？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】在上取一点P，连接，，，由垂直平分线的性质可知，从而得到，点D是定点，由两点之间线段最短可知，最小值为的长，再利用三角形的面积公式求即可．
【详解】解：在上取一点P，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，

点D是定点，由两点之间线段最短可知：点P在上时，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∴最小值为4，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的面积公式，两点之间线段最短，垂直平分线的性质等知识，推导出最小值即为的长是解题的关键．
2．B
【分析】由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，证明△BB'C是等腰直角三角形，得出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案．
【详解】∵S△PBC＝S△ABC，，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，如图，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90° 45°＝45°；
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
3．
【分析】根据中点的含义先求解 作点C关于AB对称点，则，连接，交AB于P，连接，此时的值最小，由对称性可知 于是得到再证明，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：为的中点，

作点C关于AB对称点，交于，则，连接，交AB于P，连接．
此时的值最小．
由对称性可知
∴
∴，点C关于AB对称点，
∴AB垂直平分，
∴
根据勾股定理可得
故答案为：．
【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．
4．（1）见解析；（2）6；（3）见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质确定出点B关于AE的对称点F即可；
（2）即DC与EF的交点为G，由四边形ADGE的面积=平行四边形ADCE的面积-△ECG的面积求解即可；
（3）根据轴对称的性质取格点M，连接MC交AE于点P，此时PC+PD的值最小．
【详解】解：（1）如图所示，△AEF即为所求作：
（2）重叠部分的面积=S四边形ADCE-S△ECG
=2×4-×2×2
=8-2
=6．
故答案为：6；
（3）如图所示，点P即为所求作：
【点睛】本题主要考查的是轴对称变换，重叠部分的面积转化为SADCE-S△GEC是解题的关键．
5．
【分析】要求BE+EF的最小值，需考虑通过作辅助线转化EF，BE的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：连接CF，与AD交于点E．
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴B、C关于AD对称，
∴CF就是BE+EF的最小值．
∵等边△ABC的边长为6，
∴AD=，
当CF⊥AB时，CF的值最小
∴AF=BF=3，
∴CF是AB的垂直平分线，
∴CF=AD=，
∵EF+BE=CF
∴EF+BE的最小值为．
故答案为：．
【点睛】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是本题的关键．
6．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点F，交于点E，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．
【详解】∵，是的平分线，
∴垂直平分，
过点B作于点F，交于点E，
∴，且此时取最小值，最小值为的长，如图所示．
∵，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键．
7．D
【分析】作线段AP∥L且AP=S，且点P在点A的右侧，作P关于L的对称点P′，连接BP′交直线L于点D，在L上D的左侧截取DC=S，此时BP′即为所求的最小值，作P′E⊥BB′交BB′的延长线于E，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：作线段AP∥L且AP=S，且点P在点A的右侧，作P关于L的对称点P′，连接BP′交直线L于点D，
∵P′E=c-S，BE=a+b，
∴P′B==.
故选D．
【点睛】考查最短路线问题及平移问题的综合应用；用平移和对称的知识综合解决最短路线问题是解决本题的关键；构造出直角三角形解决问题是解决本题的难点．
8．4
【分析】根据两点间线段距离最短及轴对称的性质作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，找到的周长最小点求解即可得到答案；
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，此时的周长最小，

由对称的性质可知：，，，
，
，
是等边三角形，
，
的周长的最小值．
故本题答案为：4．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，最小距离问题，解题的关键是找到最短距离点．
9．C
【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．
∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，
∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠MCD+∠NCD=180°，
∴M、C、N共线，
∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵FM+EN+EF≥MN，
∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，
最小值为MN=2CD，
∵CD⊥AB，
∴ AB CD= AB AC，
∴CD===2.4，
∴DE+EF+FD的最小值为4.8．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．##
【分析】如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，此时四边形的周长最小．证明四边形是平行四边形即可解决问题．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，此时四边形的周长最小．

，
，
，
，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形的周长．
故答案为．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
11．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）连接，交直线于点P，连接，此时最小，即可得的周长最小；
（3）延长，交直线于点M，此时值最大；
（4）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）如图，点M即为所求；
（4）的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图 轴对称变换、轴对称 最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
12．C
【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．
【详解】当，，，，
可得，，，为含有边长为3的等腰三角形．
故选C．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．
13．B
【详解】试题解析：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；
第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB=PB；
第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PB；
第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PA；
第5个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PB；
第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；
∴符合条件的点P有6个点．
故选B．
考点：等腰三角形的判定．
14．或或
【分析】根据题意，分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图，要使为等腰三角形需分三种情况讨论：

①当时，；
②当时，；
③当时，；
综上，的度数是或或．
故答案为：40或70或100．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，分类讨论是解题的关键．
15．15°，30°，75°，120°
【详解】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴当AB=BP1时，∠BAP1=∠BP1A=30°，
当AB=AP3时，∠ABP3=∠AP3B=∠BAC=×30°=15°，
当AB=AP2时，∠ABP2=∠AP2B=×（180°﹣30°）=75°，
当AP4=BP4时，∠BAP4=∠ABP4，
∴∠AP4B=180°﹣30°×2=120°，
∴∠APB的度数为：15°、30°、75°、120°．
考点: 等腰三角形的判定
16．(1)
(2)t=3秒或3.6秒或2.5秒
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据三角形的面积公式解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质分三种情况进行解答即可．
【详解】（1）过点A作AD⊥BC于点D，
∵，
∴
∴
即△ABC为直角三角形，
∴=
∴AD=4.8
（2）当时，
∵，
∴，
∴t=3秒；
当时，过点A作于点D，
PD=DC，，
∴，
∴秒；
当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，秒或3.6秒或2.5秒．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质分三种情况进行解答．
17． 4 或
【分析】当点P在AD上时，过点PH⊥EF于H，由等边三角形的性质可求PH＝，由正方形的性质可求∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，可得AH＝PH，可求AE＝﹣1，同理可求点P在AB，CD，BC上时，AE的值，即可求解．
【详解】解：如图，当点P在AD上时，过点PH⊥EF于H，
∵△PEF是等边三角形，PH⊥EF，
∴∠PEF＝60°，PE＝PF＝EF＝2，EH＝FH＝1，
∴PH＝，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，
∵PH⊥AC，
∴∠APH＝∠PAH＝45°，
∴AH＝PH＝，
∴AE＝﹣1，
同理可得：当点P在AB上时，AE＝﹣1，
当点P在CD或BC上时，AE＝4﹣2﹣（﹣1）＝4﹣﹣1，
故答案为：4，或．
【点睛】考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解题关键是灵活运用其性质．
18．(1)3
(2)6
【分析】（1）由平行线的性质得，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；
（2）根据点Q所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图1，∵是等边三角形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由题意可知：，则，
∴，
解得：，
∴当t的值为3时，；
（2）解：①如图2所示，当点Q在边上时，
此时不可能为等边三角形；
②如下图所示，当点Q在边上时，
若为等边三角形，则，
由题意可知，，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定， 熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
19．3或12##12或3
【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．
【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，
∵∠MAN＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AC=，
∴运动时间 t=秒，
当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，
∵∠MAN＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴AC=，
∴运动时间 t=秒，
当运动时间 t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．
故答案为：3或12
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．
20．D
【分析】分当，或当时两类讨论计算即可．
【详解】解：∵在△ABC中，，，
∴，，
当时，在中，，
∴，
∴运动时间为，
当时，在中，，
∴
，
∴运动时间为，
综上，运动时间为或，
故选D．
【点睛】本题主要考查利用勾股定理解直角三角形，能够熟练分类讨论直角是解题关键．
21．26
【分析】连接，交于P，连接，交于M，连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得，进而即可证明为等边三角形，根据三线合一的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，交于P，连接，交于M，连接，
∵，，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵射线平分，
∴，P为中点，
∴，D为F点关于CN的对称点，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴在中，，
故答案为：26．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质和勾股定理的运用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
22．##度
【分析】过点D作于点F，如图，则可求出，过点D作直线，则点D在直线l上运动，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点，则当三点共线时，最小，即此时最小；证明四边形为矩形，得到，进而证明，得到．求出，．
【详解】解：过点D作于点F，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，

∴点D到直线的距离等于定值1．
过点D作直线，则点D在直线l上运动，
作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴ ，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键.
23．（1）见解析，（2）35°
【分析】（1）作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，于是得到结论；
（2）根据对称的性质可以证得∠OPN+∠OPM＝∠OP2N+∠OP1M＝110°，∠P1OP2＝2∠AOB，根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：（1）作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．分别交OA、OB于点M、N，△PMN的周长为P1 P2长，此时周长最短；
（2）连接P1O、P2O，
∵PP1关于OA对称，
∴∠P1OP＝2∠MOP，∠OP1M＝∠OPM，
同理，∠P2OP＝2∠NOP，∠OP2N＝∠OPN，
∴∠P1OP2＝2∠AOB，
∵∠OPN+∠OPM＝∠OP2N+∠OP1M＝110°，
∴∠P1OP2＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝35°．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确作出图形，利用对称得出角之间的关系是解题的关键．
24．(1)
(2)5
(3)
【分析】（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，进行求解即可；
（2）构造图形如图所示：，，AP=x，于A，于B，则，将代数式的最小值，转化为将军饮马问题，进行求解即可；
（3）作点关于直线的对称点，作于，交于，连接，由将军饮马模型和垂线段最短，可知：的最小值即为：，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，
作交的延长线于F，交于点D，
∵，，是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值 ，
故答案为：；
（2）构造图形如图所示：
，，AP=x，于A，于B，
则；
∴代数式的最小值就是求的值，
作点关于的对称点，过作交的延长线于E．
则，，
∴；
∴所求代数式的最小值是5；
（3）如图：作点关于直线的对称点，作于，交于，连接，由将军饮马模型和垂线段最短，可知：的最小值即为：；
则，，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
即：的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用轴对称解决线段和的最小值问题，等边三角形的判定和性质，勾股定理．理解并掌握将军饮马模型，是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)两点之间线段最短
(3)①12；②，
【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形；
（2）根据两点之间线段最短解答；
（3）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）①分别作P关于、的对称点M、N，
连接，交、于C、D，则的周长最小，
连接，如图，
由轴对称的性质可知，，
，
∴为等边三角形，
∴，
∴的周长；
②、都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
点在射线上运动（），
作点关于的对称的，连接交于，如图，
此时的值最小，此时，
，，
是等边三角形，
，
，
周长的最小值是，．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质 最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质是解题的关键．
26．【问题情境】AD＝BE，理由见解析；
【变式探究】∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC，理由见解析；
【拓展应用】①BD+BF＝DC，理由见解析；
②EA+EG的最小值为，理由见解析．
【分析】问题情境：证明△ABD≌△BCE（AAS），即可求解；
变式探究：利用等量代换即可求解；
拓展应用：①用等量代换即可求解；
②如图5，在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，先证明△BDF≌△MED（SAS），得到EM＝CM，在求出∠ECM＝∠MEC＝22.5°，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，在Rt△ANC中求出AN即可．
【详解】解： AD＝BE，理由如下：
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC=90°，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE；
【变式探究】解：∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC；
∵∠EDB+∠BED＝180°﹣∠B，
∠EDB+∠FDC＝180°﹣∠FDE
∠FDC+∠DFC＝180°﹣∠C，
∠B＝∠FDE＝∠C，
∴∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC；
【拓展应用】①解：BD+BF＝DC理由如下：
∵AB＝BC，
∴AF+BF＝BD+DC，
∵AF＝2BD，
∴2BD+BF＝BD+DC，
∴BD+BF＝DC；
②如图5，在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，
∵∠B＝45°，∠EDF＝45°，
∴∠BFD＝∠EDM，
∵DF＝DE，DM＝BF，
∴△BDF≌△MED（SAS），
∴BD＝EM，∠B＝∠DME＝45°，
∵CD＝BD+BF＝CM+DM，BF=DM
∴CM＝BD，
∴EM＝CM，
∴△MEC是等腰三角形
∴∠MCE＝∠MEC，
∵∠EMD＝45°，∠EMD＝∠MCE+∠MEC
∴∠ECM＝∠MEC＝∠EMD =22.5°，
∴E点在射线CE上运动，
∵G点与N的关于CE对称，
∴EG＝EN，
∴EA+EG＝EA+EN≥AN，
∴当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，
∵∠B＝45°，AB＝BC，
∴ △ABC是等腰三角形
∴∠ACB＝∠ BAC=(180°－∠B)= 67.5°，
∴∠ACE＝∠ACB －∠ECM =45°，
由对称性可知，∠ACE＝∠ECN=45°，
∴∠ACN＝90°，
∵点G是AC的中点，AC＝2，
∴CG＝1，
∴CN＝1，
在Rt△ANC中，AN2＝AC2+CN2=5
∴AN=，
∴EA+EG的最小值为．
【点睛】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
27．或2
【分析】分情况讨论，分别以A,B为圆心，AB长为半径作圆，两圆交于点C1，过点C做直线l∥AB，交两圆分别于C2,C3，此时满足条件的点C恰有三个，分别以A,B为圆心，AB长为半径作圆，过点C做直线l与两圆切于C2,C3，此时满足条件的点C恰有三个，画出图形求解.
【详解】解：
（1）如图：
分别以A,B为圆心，AB长为半径作圆，两圆交于点C1，过点C做直线l∥AB，交两圆分别于C2,C3，此时满足条件的点C恰有三个，
由题意可知，此时△ABC为等边三角形，∴
(2)如图
分别以A,B为圆心，AB长为半径作圆，过点C做直线l与两圆切于C2,C3，此时满足条件的点C恰有三个，
由题意可知，此时△ABC为等腰直角三角形，∴
综上，S＝或2时，满足条件的点C恰有三个．
【点睛】分类讨论的思想结合切线及平行线的性质是本题的解题关键.
28．(1)；小
(2)2，理由见解析
(3)当或时，是等腰三角形
【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出，根据点的运动方向可判定的变化情况．
（2）假设，利用全等三角形的对应边相等得出，即可求得答案．
（3）假设是等腰三角形，分为三种情况：①当时，，根据，得出此时不符合；②当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出，根据三角形的内角和定理求出即可；③当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出．
【详解】（1）解：；
从图中可以得知，点从向运动时，逐渐变小；
故答案为：；小；
（2）解：，，
，
，
当时，；
（3）解：，
，
①当时，，
，
此时不符合；
②当时，即，
，
；
；
③当时，，
，
；
当或时，是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
29．（1）；（2）；（3）11秒或12秒
【分析】（1）求出ts时AP的长进而根据即可求得；
（2）成为等腰三角形时利用BP=BQ，得到t的方程即可求解；
（3）分两种情况进行讨论，即CB=CQ，QC=QB，分别求出CQ的长，再求出t的值
【详解】（1）点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，
AB＝16cm
故答案为：
（2）BP=16-t，BQ=2t
由题意得：16-t=2t
∴出发s时，能形成等腰三角形.
（3）依题意，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形即或
①当CQ=BQ时，如图1所示，
则∠C=∠CBQ，
∵，
∴
∴
∴,
∴CQ=AQ=10，
∴BC+CQ=12+10=22，
∴t=22s
②当CQ=CB时，如图2所示，则CB+CQ=12+12=24，
∴t=242=12s
综上所述，当点Q在边CA上运动时，出发11秒或12秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，动点问题，分类讨论是解题的关键．
30．(1)12秒
(2)存在，4或16
(3)或或15或18
【分析】（1）设点M，N运动x秒后重合，表示出M，N的路程，N的路程比M多，列出方程求解即可；
（2）首先假设是等腰三角形，不难得到在上运动时点N在点M前方，如图所示，可证出，可得，设出运动时间，表示出的长，列出方程，可解出未知数的值．
（3）分情况讨论，利用角所对的直角边等于斜边的一半解题即可．
【详解】（1）设点、运动秒后，、两点重合，
由题意可得：，
解得：，
即当、运动12秒时，，两点重合；
（2）当点、运动4或16秒时，存在以为底的等腰三角形，理由如下：
由（1）可知：当、运动12秒时，，两点重合，
当、分别在、上时，，
，
，成立；
如图，当、都在BC上时，，

，
，
，
是等边三角形，
，
，，，
，
，
，
解得：，成立；
综上，满足条件的的值为4或16；
（3）当点在上运动时，
如图，若，

，，
，
，
，即，
解得：；
如图，若，

由，则，
解得：；
当点在上运动时，点也在上，此时，，不能构成三角形；
当点在上运动时，
如图，当点位于中点处时，

由时等边三角形知，即是直角三角形，
则，
解得：；
如图，当点位于中点处时，
由时等边三角形知，即是直角三角形，
则；
综上，当或或15或18时，可得到直角三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
答案第1页，共2页
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