2023-2024学年苏科版八年级数学上《3.1勾股定理》强化提优训练（一）（含答案）

2023-2024学年苏科版八年级数学上《3.1勾股定理》强化提优训练（一）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1.如图,以Rt△ABC(AC⊥BC)的三边为边,分别向外作正方形,它们的面积分别为S1、S2、S3,若S1+S2+S3=12,则S1的值是(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2.四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图),大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则组成弦图的每个小直角三角形的两条直角边边长的和为(　　)
A.5　　　　B.7　　　　C.25　　　　D.3
3.如图,在四边形ABCD中,∠D=∠ACB=90°,CD=12,AD=16,BC=15,则AB=(　　)
A.20　　　　B.25　　　　C.35　　　　D.30
4.在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,则△ABC的面积为(　　)
A.12　　　　B.14　　　　C.18　　　　D.20
5.已知,如图,一轮船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,两船相距( 　)
A.25海里　　　B.30海里　　　C.40海里　　　D.50海里
6.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,这是历史上第一个把数与形联系起来的定理,其证明是论证几何的发端.下面四幅图中,不能证明勾股定理的是(　　)
A. 　 B. 　　C. 　　D.
7．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（ ）
A．2 B． C．6 D．8
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，有下列结论：①AE＝CF；②△PEF是等腰直角三角形；③EF＝AP；④S四边形AEPF＝S△ABC.当∠EPF在△ABC内部绕顶点P旋转时(点E不与点A，B重合)，上述结论中，始终正确的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
10．正方形ABCD的边长为2，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，…按此规律继续下去，则s2024的值为（　　）
A．（）2022 B．（）2021 C．（）2022 D．（）2021
二．填空题(30分)
11.在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,则△ABC的面积为_______.
12.已知Rt△ABC的两边长为5和12,则其斜边上的中线长为　　　　.
13．如图，将四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，较短直角边长为b．较长直角边长为a，已知a+b=7，ab＝12，大正方形的边长为_____.
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.如图，在△ABC，∠C＝90°，c=5 ，则a2+b2+c2＝　 　．
15.如图所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于_____
16．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为________________．
17.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为　 　
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，则点C到AB的距离是_______．
19、直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为 .
20.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知AC=24,AB=25,则△ABC的面积为　　　　.
三。解答题（60分）
21．(12分)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.
(1)若a＝5，b＝12，求c.
(2)若b＝0.7，c＝2.5，求a.
(3)若a∶b＝3∶4，c＝25，求b.
22.（8分）如图,将一个长为8,宽为4的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合.
(1)求证:AE=AF;
(2)求AE的长.
23.（10分）如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.
(1)求证:△PDE≌△CDF;
(2)若CD=4 cm,EF=5 cm,求BC的长.
24.（10分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,AC=6 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动,设运动时间为t s.
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往点A运动，当运动到点A时停止．若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．
(1)当t＝2时，CD＝________，AD＝________(请直接写出答案)；
(2)当△CBD是直角三角形时，t为________秒，并说明理由．
26.(12分)△ABC中AB=AC,D是射线BC上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. (1)如图1,若D是BC边的中点,求证:DE=DF;
(2)过点B作BG⊥AC于点G.
①如图2,若D是BC边上任意一点,求证:BG=DE+DF;
②若点D是BC延长线上一点,AB=5,BC=6,DF=2,求DE的长.
　
图1 图2
教师样卷
一．选择题(30分）
1.如图,以Rt△ABC(AC⊥BC)的三边为边,分别向外作正方形,它们的面积分别为S1、S2、S3,若S1+S2+S3=12,则S1的值是(　D　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2.四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图),大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则组成弦图的每个小直角三角形的两条直角边边长的和为(　A　)
A.5　　　　B.7　　　　C.25　　　　D.3
3.如图,在四边形ABCD中,∠D=∠ACB=90°,CD=12,AD=16,BC=15,则AB=(　B　)
A.20　　　　B.25　　　　C.35　　　　D.30
4.在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,则△ABC的面积为(　A　)
A.12　　　　B.14　　　　C.18　　　　D.20
5.已知,如图,一轮船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,两船相距(　A　)
A.25海里　　　B.30海里　　　C.40海里　　　D.50海里
6.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,这是历史上第一个把数与形联系起来的定理,其证明是论证几何的发端.下面四幅图中,不能证明勾股定理的是(　D　)
A. 　 B. 　　C. 　　D.
7．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（　A　）
A． B． C． D．
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（ D ）
A．2 B． C．6 D．8
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，有下列结论：①AE＝CF；②△PEF是等腰直角三角形；③EF＝AP；④S四边形AEPF＝S△ABC.当∠EPF在△ABC内部绕顶点P旋转时(点E不与点A，B重合)，上述结论中，始终正确的是(B)
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
10．正方形ABCD的边长为2，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，…按此规律继续下去，则s2024的值为（　B　）
A．（）2022 B．（）2021 C．（）2022 D．（）2021
二．填空题(30分)
11.在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,则△ABC的面积为____12___.
12.已知Rt△ABC的两边长为5和12,则其斜边上的中线长为　　6.5或6　　.
13．如图，将四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，较短直角边长为b．较长直角边长为a，已知a+b=7，ab＝12，大正方形的边长为__5___.
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.如图，在△ABC，∠C＝90°，c=5 ，则a2+b2+c2＝　 50 　．
15.如图所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于_2π____
16．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
17.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为　 　
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，则点C到AB的距离是_______．
19、直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为 24 .
20.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知AC=24,AB=25,则△ABC的面积为　　84　　.
解：在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=24, ∴BC2=AB2-AC2=252-242=49,∴BC=7,
∴△ABC的面积为AC·BC=×24×7=84.
三。解答题（60分）
21．(12分)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.
(1)若a＝5，b＝12，求c.
(2)若b＝0.7，c＝2.5，求a.
(3)若a∶b＝3∶4，c＝25，求b.
解：(1)∵∠C＝90°，a＝5，b＝12，∴c2＝a2＋b2＝52＋122＝169.∵c>0，∴c＝13.
(2)∵∠C＝90°，b＝0.7，c＝2.5，∴a2＝c2－b2＝2.52－0.72＝5.76.∵a>0，∴a＝2.4.
(3)∵a∶b＝3∶4，∴设a＝3x，b＝4x.∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2.∴(3x)2＋(4x)2＝252，∴x2＝25.∵x>0，∴x＝5，∴b＝4×5＝20.
22.（8分）如图,将一个长为8,宽为4的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合.
(1)求证:AE=AF; (2)求AE的长.
解：(1)证明:由折叠可知,AE=CE,∠AEF=∠CEF.又∵AD∥BC,∴∠AFE=∠FEC,
∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF.
(2)由折叠可知,AE=CE,∴BE=BC-CE=BC-AE=8-AE,∵∠B=90°,∴AB2+BE2=AE2,即42+(8-AE)2=AE2,∴AE=5.
23.（10分）如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.
(1)求证:△PDE≌△CDF;
(2)若CD=4 cm,EF=5 cm,求BC的长.
解：(1)证明:∵四边形ABCD是长方形,∴AB=CD,∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°,由折叠知,AB=PD,∠P=∠A=90°,∠PDF=∠B=90°,∴PD=CD,∠P=∠C,∠PDF=∠ADC,∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF,在△PDE和△CDF中,∴△PDE≌△CDF(ASA).
(2)如图,过点E作EG⊥BC于点G,∵四边形ABCD是长方形,∴EG=AB=CD=4 cm,又∵EF=5 cm,GF2=EF2-EG2,∴GF=3 cm,设AE=BG=x cm,则EP=x cm,∵△PDE≌△CDF,∴CF=EP=x cm,PD=CD=4 cm,∴DE=GC=GF+FC=(3+x)cm,在Rt△PED中,PE2+PD2=DE2,即x2+42=(3+x)2,解得x=,∴BC=BG+GC=(cm).
24.（10分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,AC=6 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动,设运动时间为t s.
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
解：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,∵AB=10 cm,AC=6 cm,∴BC2=102-62=64,∴BC=8 cm.
(1)①当∠APB=90°时,点P与点C重合,∴t=8÷1=8.
②当∠BAP=90°时,∵BP=t cm,∴CP=(t-8)cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+PC2=62+(t-8)2,在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,∴102+[62+(t-8)2]=t2,解得t=.综上所述,t的值为8或.
(2)当AB=AP时,BP=2BC=16 cm,则t=16÷1=16;当BA=BP=10 cm时,t=10÷1=10;当PA=PB时,如图,设BP=PA=x cm,则PC=(8-x)cm,在Rt△ACP中,由勾股定理,得PC2+AC2=AP2,即(8-x)2+62=x2,解得x=,∴t=÷1=.综上所述,t的值为16或10或.
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往点A运动，当运动到点A时停止．若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．
(1)当t＝2时，CD＝________，AD＝________(请直接写出答案)；
(2)当△CBD是直角三角形时，t为________秒，并说明理由．
解：(1)2　8 (2)3.6或10理由：①当∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC·BD＝AB·BC，
即×10·BD＝×8×6，解得BD＝4.8，∴CD＝＝＝3.6，∴t＝3.6÷1＝3.6(秒)；②当∠CBD＝90°时，点D和点A重合，t＝10÷1＝10(秒)．
综上所述，t为3.6秒或10秒时，△CBD是直角三角形．
26.(12分)△ABC中AB=AC,D是射线BC上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. (1)如图1,若D是BC边的中点,求证:DE=DF;
(2)过点B作BG⊥AC于点G.
①如图2,若D是BC边上任意一点,求证:BG=DE+DF;
②若点D是BC延长线上一点,AB=5,BC=6,DF=2,求DE的长.
　
图1 图2
解：(1)证明:如图,连结AD.∵AB=AC,BD=CD,∴AD平分∠BAC,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
(2)①证明:如图,连结AD.∵△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积,
∴AB·DE+AC·DF=AC·BG,∵AB=AC,∴DE+DF=BG.
②如图,连结AD,过点A作AH⊥BC于点H.∵△ABC的面积=△ABD的面积-△ACD的面积,
∴AB·DE-AC·DF=AC·BG,∵AB=AC,∴DE-DF=BG,∵AC=AB=5,BC=6,AH⊥BC,∴BH=CH=3,
∵AH2=AB2-BH2,∴AH=4,∵AC·BG=BC·AH,∴BG=,∴DE=DF+BG=2+.