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滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高三期中Ⅰ考试
数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设命题p: x ∈(0,+∞),lnx >x -1,则￢p为( )
A. x∈(0,+∞),lnx≤x-1 B. x ∈(0, + ∞),lnx ≤x ﹣1
C. x∈(-∞,0],lnx≤x-1 D. x ∈(-∞,0],lnx ≤x -1
2. 已知集合 则图中阴影部分所表示的集合为 ( )
A. (-∞,2) B. (-∞,2] C. (0,2) D. [0,2]
3．若复数z满足(1－3i)z＝1＋i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知幂函数 在(0,﹢∞)上是减函数, 则 f(m)的值为 ( )
A. 3 B. 1 C. -3 D. -1
5. 函数 (a>0且a≠1)的图象恒过定点(k,b),若m+n=b-k且m>0, n> 0, 则 的最小值为( )
A. 9 B. 8 C. D.
6. 已知△ABC 中,∠BAC = 120°, AC = 3AB=3,DC=2AD,在线段 BD上取点E，使得 则
7. 已知函数 函数 y=f(x)﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x , x , x , x , 则x刂x x +x +x 的取值范围为( )
A. (5,3+e] B. (4,4+e) C. [4, + ∞) D. (-∞,4]
8.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0且| 满足以下条件：
① x∈R, 满足 ② x ,使得 且 则关于 x 的不等式 的最小正整数解为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 下列结论正确的是( )
A. 若a, b为正实数, a>b, 则a ﹢b >a b+ab
B. 若a, b, m为正实数, aC. 若a, b∈R, 则“a>b>0”是 的充分不必要条件
D. 不等式|x﹣m|<1成立的充分不必要条件是 则m的取值范围是
10. 已知向量a,b满足 且 则（ ）
11. 已知f(x)为R上的奇函数, 且当x>0时, f(x)=lgx,记g(x)=sinx+f(x)·cosx,下列结 论正确的是 ( )
A. g(x)为奇函数
B. 若g(x)的一个零点为x ,且x <0,则]
C. g(x)在区间 的零点个数为3个
D. 若g(x)大于1的零点从小到大依次为x ,x ,…, 则712. 已知连续函数 f(x)满足:① x,y∈R,则有f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1,,②当x>0时,f(x)<1,③f(1)=-2,则以下说法中正确的是( )
A. f(x)的图象关于(0, 1)对称
B. f(4x) = 4f(x)﹣4
C. f(x)在[-3,3]上的最大值是 10
D. 不等式f(3x ) ﹣2f(x) >f(3x)+4的解集为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知 则f(x)= .
14. 已知 若⊥,则:
15. 函数 若函数f(x)恰有两个零点， 则a的取值范围是 .
16.牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法， 具体步骤如下： 设r是函数y=f(x)的一个零点， 任意选取x 作为r的初始近似值，以点(x ,f(x ))为切点作曲线y=f(x)的切线l ,设l 与x轴交点的横坐标为x ,并称x 为r的1次近似值；以点(x ,f(x ))为切点作曲线y=f(x)的切线l ，设l 与x轴交点的横坐标为x ，称x 为r的2次近似值，以点( )为切点作曲线y=f(x)的切线ln ,记ln 与x轴交点的横坐标为xn+1，设、f(x)=x +2x-2(x≥0)的零点为r，取x =0,则r的2次近似值为 ： 设 数列{an}的前n项积为Tn. 若任意的；n∈N*, Tn<λ恒成立，则整数λ的最小值为 .
四、解答题：本大题共6小题，共10分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)设S 是公差不为0的等差数列{a }的前 n项和，已知 与 的等比中项为 且 与 的等差中项为
(1)求数列{a }的通项公式;
(2)设 求数列{b }的前 n项和T .
18. (12分)在△ ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c. 已知
(1)求角 A 的大小;
(2)给出以下三个条件：①a=4 , ③若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件，并说明理由，再回答下面问题：
(i)求sinB的值;
（ii）∠BAC 的角平分线交 BC 于点 D，求AD 的长.
19. (12分) 已知数列{a }中, a = 1, 设Sn为{a }前n项和,
(1) 求{a }的通项公式;
(2)求数列 的前n项和T .
20. (12分) 已知函数 （x∈R且）的两个相邻的对称中心的距离为 .
(1)求f(x)在 R上的单调递增区间;
(2)将f(x)图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数 g(x)，若 求 的值
21.(12分) 已知函数
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a=1时,关于 x的不等式f(x)+g(x)≤-1恒成立,求实数b的取值范围.
22. (12分)已知函数
(1)若直线y=x+b与f(x)的图像相切，且切点的横坐标为1，求实数m和b的值；
(2)若函数f(x)在(0,+∞)上存在两个极值点x ,x ,且:x 2.滨城高中联盟 2023-2024 学年度上学期高三期中Ⅰ考试
数学答案
一．单选题
1． A 2． C 3． C 4． B 5．B 6． D 7．A 8．B
9． ACD 10． ABC 11． ABD 12． ACD
三、填空题
2x 1 3 10 1 4
13． 14． 15． 2 < < 0 16． 2 (第一空 2分，第二空 3分）1 x 10 5
四．解答题
17．（1）设数列 的公差为 ( ≠ 0)．
1 3 + 3×2 × 1 4 + 4×3 = 1 5 + 5×4
2
1 1 1 3 3 2 4 2 5 2 1 + 5 = 0 = 5由题意，得 ，即 5 5，解得 1 ，
1 3 + 3×2 + 1 4 4×31 1 + = 2 ×
5 2 1 + = 2 2 = 3
3 2 4 2 4
所以数列 的通项公式为 = 3 8. ---5 分
b 1 1 1 1 （2） n ，(3n 8)(3n 5) 3 3n 8 3n 5
T 1 1 1 1 1所以 n 1 1
1 1 1 1
= 1
1 1 = . ---10 分
3 5 2 2 4 3 n 11 3 n 8 3 n 8 3 n 5 3 5 3 5 25 15
18．（1）解：因为 sin A 3 cos A 0，若 = 0，则 = 0，不满足 sin2 A cos2 A 1，
2
所以， = 3，∵ 0 < < ，∴ = . ---3 分3
= 2 2 （2）解：由 及①，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，即 2 + 4 32 = 0，
3 3
∵ > 0，解得 = 4；
= 2 由 及②，由余弦定理可得 2 + 2 2 = 2 = ，
3
由 2 2 + 2 + 10 = 0 可得 10 = 0，可得 = 10；
= 2 由 及③，由三角形的面积公式可得
3
1
△ = =
3 = 15 3，可得 = 60.
2 4
经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故 = 6， = 10. ---6 分
（i）将 = 6， = 10 代入②可得 36 2 + 100 + 60 = 0 可得 = 14.
在△ 中，由正弦定理 = = 28，故 = 3 3 3 . ---9 分14
1 2 1
（ii）因为 △ = △ + △ ，即 =
+ 1 ，
2 3 2 3 2 3
60 15
所以， = = = . ---12 分
+ 16 4
19. （1）因为 2 = ，
当 = 1 时，2 1 = 1，即 1 = 0；当 = 3 时，2 1 + 3 = 3 3，即 3 = 2，
当 ≥ 2时，2 1 = 1 1，所以 2 1 = 1 1 = 2 ，
{#{QQABDYIQggAAAAJAAQhCUwGwCAMQkBEACAoGgAAEsAIAwANABAA=}#}
2 = 1 ≥ 3
= 1 = = 3化简得： 1，当 时， = 1 1 2 2 ，即 = 1，
当 = 1,2,3时都满足上式，所以 = 1 ∈ ． ---6 分
+1 1 1 1 2 1 3 （2）因为 = ，所以2 2 = 1 × + 2 × + 3 × + + ×
1 ，
2 2 2 2
1 1 2 1 3 +1 = 1 × + 2 × + + ( 1) × 1 + × 1 ，
2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 3 +1
1× 1 1 +1
两式相减得， = + +
1 + + 1 × 1 = 2 2 1
2 2 2 2 2 2 1 1
× ，
2
2
= 1 1 + 1
，即 = 2 2+
1
， ∈ ． ---12 分
2 2 2
20.（1） = 2 3 4 3 cos2 + 4sin cos = 2 3cos 2 + 2sin2
6 3
= 3cos2 + sin2 = 2sin 2 ， ---3 分
3
由题意知， 的最小正周期为 ，所以 = 2 = ，解得 = 1，∴ = 2sin 2 ，
2 3
令 + 2 ≤ 2
≤ + 2 , ∈
2 3 2 ，解得 + ≤ ≤
5 + , ∈
12 12
+ , 5 所以 在 R 上的单调递增区间为 + ∈ ---6 分
12 12
（2） = 2 1 1 2 sin , = ,得 sin = ，∵ ∈ 0, ，∴ ∈ , ，
3 2 3 4 3 3 3
∴ cos = 15, --8 分
3 4
∴ cos 2α =cos 2 α + = -2 15sin cos = ---12 分
6 3 2 3 3 8
21 1 f x (0, ) f (x) 1 2a a 2 x
2 (2 a)x 2a (x 2)(x a)
．（ ） 的定义域为 ，求导得： 2 x x x2
2 ，x
若 a 0时，则 f (x)> 0，此时 f x 在 0, 单调递增；
若 a 0时，则当0 x a时 f x 0， f x 在 0,a 单调递减，
当 x a时， f (x)> 0，f(x)在 a, 单调递增. ---4 分
（2）当 a 1时， f x g x bx ln x xex，
由题意b ex
ln x 1
在 (0, )上恒成立，
x x
h x ex ln x 1
2 x
令 ，则 h
x x x e
x 1 ln x 1 x e ln x ，
x2 x2 x2
令u x x2ex ln x，则u x x2 2x ex 1 0，所以u(x)在 (0, )上递增，x
又u 1 e 0,u 1 e ln 2 0，所以u(x)在 (
1 ,1)上有唯一零点 x0，
2 4 2
x ln x
由u(x 0 00 ) 0得 x0e x ， ---7 分0
{#{QQABDYIQggAAAAJAAQhCUwGwCAMQkBEACAoGgAAEsAIAwANABAA=}#}
当 x 0, x0 时，u x 0即 h x 0，h x 单调递减； x x0 , 时，u x 0即h x 0，h x 单调递增，所
以 h x0 为 h x 在定义域内的最小值.
即 h x hmin x0 e
x ln x 1 0 0 .
x0 x0
令 k x xex (1 x 1) ex x ln x，则方程 等价于 k x k lnx ，
2 x
又易知 k x 单调递增，所以 x lnx，即 ex 1
x
h x ex lnx0 1 1 x0 1所以， h x 的最小值 0 0 1x0 x0 x0 x x
---12 分
0 0
所以b 1，即实数b的取值范围是 ,1
22．已知函数 ( ) = 1 2 ( ∈ )．
2
(1)若直线 = + 与 ( )的图像相切，且切点的横坐标为 1，求实数 m 和 b 的值；
(2)若函数 ( )在(0, + ∞)上存在两个极值点 1, 2，且 1 < 2，证明： 1 + 2 > 2．
(1)由题意，切点坐标为 1, 1 1 , '( ) = ，
2
所以切线斜率为 '(1) = = 1，所以 = 1，
1 3
切线为 + + 1 = 1 ( 1)，整理得 = 3，所以b ． ---4 分
2 2 2
(2)由（1）知 '( ) = ．
由函数 ( ) (0, + ∞) = 0在 上存在两个极值点 , ，且 < ，知 1 11 2 1 2 2 = 0
，
2
= 1+ 2 = 1 2则 1+ 且2 1 ，2
+
联立得 1 2 = 1 2 1+ ，2 1 2
1+1 1
即 + = 1+ 2 1 = 2 21 2 ， 1 12 2 12
= 1 ∈ (0,1) + = ( +1) 设 ，则 1 2 ， ---8 分2 1
+ > 2 ( +1) > 2 2( 1)要证 1 2 ，，只需证 ，只需证 < ， 1 +1
2( 1)
只需证 < 0．
+1
g(t) ln t 2(t 1) g (t) 1 4 (t 1)
2
构造函数 ，则 0．
t 1 t (t 1)2 t(t 1)2
故 g(t)
2(t 1)
ln t ，在 t (0,1)上递增， ( ) < (1) = 0，即 ( ) = 2( 1) < 0，
t 1 +1
所以 1 + 2 > 2． ---12 分
{#{QQABDYIQggAAAAJAAQhCUwGwCAMQkBEACAoGgAAEsAIAwANABAA=}#}
