2.4.1《圆的标准方程》同步练习（含解析）

圆的标准方程
一．选择题（共9小题）
1．已知三点，，则外接圆的圆心到原点的距离为　　
A． B． C． D．
2．圆的圆心到直线的距离为　　
A．1 B．2 C． D．
3．圆心为且过原点的圆的标准方程是　　
A． B．
C． D．
4．设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离　　
A．4 B． C．8 D．
5．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
6．圆关于直线对称的圆的方程为　　
A． B．
C． D．
7．设，，则以线段为直径的圆的方程是　　
A． B． C． D．
8．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为　　
A． B．
C． D．
9．已知圆的方程为，则圆心坐标为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共15小题）
10．在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　　．
11．已知圆的圆心在轴正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为　　．
12．圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为　　．
13．若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为　　．
14．圆心在原点上与直线相切的圆的方程为 　　．
15．已知圆经过，两点，圆心在轴上．则的方程为　　．
16．已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的标准方程为　　．
17．圆心在直线上的圆与轴交于两点、，则圆的方程为　　．
18．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为　　．
19．圆心为且经过点的圆的方程为　　
20．已知圆的圆心坐标为，且轴被截得的弦长为，则圆的方程为　　．
21．已知圆经过点、，并且直线平分圆．则圆的方程为 　　．
22．已知圆的方程，点到圆上的点的最大距离为 　　．
23．以点为圆心且与直线相切的圆的方程为　　．
24．已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为　　．
三．解答题（共6小题）
25．已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．
（1）求直线的方程；
（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
26．已知圆，
（Ⅰ）若直线过定点，且与圆相切，求的方程；
（Ⅱ）若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．
27．已知的三个顶点，，，其外接圆．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程．
（3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．
28．在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上、半径为2的圆位于轴右侧，且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）在圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．
29．已知圆经过点、两点，且圆心在直线上．求圆的方程．
30．已知直线过点且与直线垂直．
（1）若直线与轴，轴分别交于、两点，求；
（2）求圆心在直线上且过两点，的圆的标准方程．
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．已知三点，，则外接圆的圆心到原点的距离为　　
A． B． C． D．
【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．
【解答】解：因为外接圆的圆心在直线垂直平分线上，即直线上，
可设圆心，由得
，
得
圆心坐标为，
所以圆心到原点的距离，
故选：．
【点评】本题主要考查圆性质及外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．
2．圆的圆心到直线的距离为　　
A．1 B．2 C． D．
【分析】先求出圆的圆心，再利用点到直线的距离公式求解．
【解答】解：圆的圆心为，
圆的圆心到直线的距离为：
．
故选：．
【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．
3．圆心为且过原点的圆的标准方程是　　
A． B．
C． D．
【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．
【解答】解：由题意知圆半径，
圆的方程为．
故选：．
【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．
4．设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离　　
A．4 B． C．8 D．
【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为，，利用条件可得和分别为的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离的值．
【解答】解：两圆、都和两坐标轴相切，且都过点，故圆在第一象限内，
设两个圆的圆心的坐标分别为，，由于两圆都过点，
则有，，
故和分别为的两个实数根，
即和分别为的两个实数根，，，
，两圆心的距离，
故选：．
【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．
5．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】结合题意画出满足条件的图象，结合图象求出答案即可．
【解答】解：如图示：
半径为1的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹为为圆心，1为半径的圆，
故当圆心到原点的距离的最小时，
连结，在上且，此时距离最小，
由，得，
即圆心到原点的距离的最小值是4，
故选：．
【点评】本题考查了圆的基础知识，考查数形结合思想，是一道常规题．
6．圆关于直线对称的圆的方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据已知圆的圆心求出关于直线对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果．
【解答】解；由圆可知，圆心，半径．
设点关于直线对称的点为，
则，
解得．
所求圆的圆心为．
又半径．
圆关于直线对称的圆的方程为．
故选：．
【点评】本题考查点关于直线对称问题，圆的标准方程等知识，属于中档题．
7．设，，则以线段为直径的圆的方程是　　
A． B． C． D．
【分析】由题意求出直径，进而求出半径，再求中点坐标，进而求出圆的标准方程．
【解答】解：弦长，所以半径为，中点坐标，
所以圆的方程，
故选：．
【点评】本题考查求圆的方程，属于基础题．
8．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】圆心在直线上，排除、，再验证圆与直线及都相切，就是圆心到直线等距离，即可．
【解答】解：圆心在上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除、；
验证：中圆心到两直线的距离是；
圆心到直线的距离是．故错误．
故选：．
【点评】一般情况下：求圆的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．
9．已知圆的方程为，则圆心坐标为　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由圆的一般方程的形式分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆的方程为，其中，，
则有，，则其圆心为，；
故选：．
【点评】本题考查圆的一般方程，注意圆的一般方程的形式，属于基础题．
二．填空题（共15小题）
10．在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　　．
【分析】求出圆心到直线的距离的最大值，即可求出所求圆的标准方程．
【解答】解：圆心到直线的距离，
时，圆的半径最大为，
所求圆的标准方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．
11．已知圆的圆心在轴正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为　　．
【分析】由题意设出圆的方程，把点的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解．
【解答】解：由题意设圆的方程为，
由点在圆上，且圆心到直线的距离为，
得，解得，．
圆的方程为：．
故答案为：．
【点评】本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
12．圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为　　．
【分析】由圆心在直线上，设出圆心坐标，再根据圆与轴相切，得到圆心到轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径，由弦长的一半，圆的半径及表示出的利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．
【解答】解：设圆心为，半径为，
圆截轴所得弦的长为，
，
，
圆与轴的正半轴相切，
不符合题意，舍去，
故，，
．
故答案为：．
【点评】此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．
13．若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为　　．
【分析】利用点关于直线的对称点为，求出圆心，再根据半径求得圆的方程．
【解答】解：圆心与点关于直线对称，可得圆心为，再根据半径等于1，
可得所求的圆的方程为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点关于直线的对称点为，属于基础题．
14．圆心在原点上与直线相切的圆的方程为 　　．
【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．
【解答】解：圆心到直线的距离：，所求圆的方程为．
故答案为：
【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．
15．已知圆经过，两点，圆心在轴上．则的方程为　　．
【分析】根据题意可知线段为圆的一条弦，根据垂径定理得到的垂直平分线过圆心，所以由和的坐标表示出直线的方程，然后根据两直线垂直时斜率乘积为由直线的斜率求出垂直平分线的斜率，又根据中点坐标公式求出线段的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率写出的垂直平分线的方程，又因为圆心在轴上，所以把求出的垂直平分线与轴的交点坐标即为圆心的坐标，然后根据两点间的距离公式求出线段的长度即为圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．
【解答】解：由，，
得到直线的方程为：，即，
则直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为2，
又设线段的中点为，则的坐标为，即，
所以线段的垂直平分线的方程为：即，
令，解得，所以线段的垂直平分线与轴的交点即圆心的坐标为，
而圆的半径，
综上，圆的方程为：．
故答案为：
【点评】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的关系，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，掌握垂径定理的灵活运用，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道中档题．
16．已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的标准方程为　　．
【分析】根据题意，设圆心的坐标为，由圆经过点、，可得，解可得的值，即可得圆心的坐标，又由，即可得圆的半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆的圆心在直线上，设圆心的坐标为，
圆经过点，，则有，
解可得，则，即圆心的坐标为，
圆的半径为，则，
故圆的标准方程为；
故答案为：．
【点评】本题考查圆的标准方程，关键是求出圆心的坐标，属于基础题．
17．圆心在直线上的圆与轴交于两点、，则圆的方程为　　．
【分析】先由条件求得圆心的坐标为，半径，从而得到圆的方程．
【解答】解析：直线的中垂线方程为，代入直线，得，
故圆心的坐标为，再由两点间的距离公式求得半径，
圆的方程为，
故答案为．
【点评】本题主要考查于娜的标准方程，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．
18．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为　　．
【分析】由点和点的坐标，利用中点坐标公式求出线段的中点的坐标，因为线段为所求圆的直径，所以求出的中点的坐标即为圆心坐标，然后由圆心的坐标和点的坐标，利用两点间的距离公式求出的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．
【解答】解：由中点坐标公式得线段的中点坐标为，即圆心的坐标为；
，
故所求圆的方程为：．
故答案为：．
【点评】本题的考点是圆的标准方程，考查学生灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，求圆心坐标和半径是求圆的标准方程的关键．
19．圆心为且经过点的圆的方程为　　
【分析】直接求出半径，即可求出圆的方程．
【解答】解：由题意可得圆的半径，
所以圆的方程为：，
故答案为：．
【点评】考查求圆的方程，属于基础题．
20．已知圆的圆心坐标为，且轴被截得的弦长为，则圆的方程为　　．
【分析】根据垂径定理构造满足的方程，将求出即可．
【解答】解：由题意设．
所以圆心到轴的距离为1，结合弦长为．
所以：．
故圆的方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法以及学生利用方程思想解决问题的能力．属于基础题．
21．已知圆经过点、，并且直线平分圆．则圆的方程为 　　．
【分析】设圆心，根据，可得求得，可得圆心坐标和半径，从而得到圆的方程．
【解答】解：圆经过点、，并且直线平分圆，设圆心，
根据，可得，求得，
可得圆心，半径，
则圆的方程为：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．
22．已知圆的方程，点到圆上的点的最大距离为 　　．
【分析】求得点到圆心的距离为的值，则点到圆上的最大距离为，计算可得结果．
【解答】解：由圆的方程可得圆心坐标为、半径为，
点到圆心的距离为，故点到圆上的最大距离为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，点和圆的位置关系，属于基础题．
23．以点为圆心且与直线相切的圆的方程为　　．
【分析】求出圆的半径，写出圆的方程即可．
【解答】解：圆心为，且圆心到直线的距离为：
，
所以圆的半径为，
圆的方程为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了点到直线的距离以及圆的方程的应用问题，是基础题目．
24．已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为　　．
【分析】由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直求得，进一步求得半径，则圆的方程可求．
【解答】解：如图，
由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得．
圆心为，则半径．
圆的标准方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查数形结合思想，是基础题．
三．解答题（共6小题）
25．已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．
（1）求直线的方程；
（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程；
（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．
【解答】解：（1）由题意知，解得，
直线和的交点为；
设直线的斜率为，与直线垂直，；
直线的方程为，
化为一般形式为；
（2）设圆的半径为，则圆心为到直线的距离为
，
由垂径定理得，
解得，
圆的标准方程为．
【点评】本题考查了直线与圆的标准方程应用问题，是基础题．
26．已知圆，
（Ⅰ）若直线过定点，且与圆相切，求的方程；
（Ⅱ）若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．
【分析】由直线过定点，故可以设出直线的点斜式方程，然后根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出值即可，但要注意先讨论斜率不存在的情况，以免漏解．
圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，则设圆心，进而根据两圆外切，则圆心距等于半径和，构造出关于的方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意．
②若直线斜率存在，设直线为，即．
由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，
即
解之得．
所求直线方程是，．
（Ⅱ）依题意设，又已知圆的圆心，，
由两圆外切，可知
可知，
解得，或，
或，
所求圆的方程为或．
【点评】本题考查的知识点是圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，其中（1）的关键是根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，构造出关于的方程，（2）的关键是根据两圆外切，则圆心距等于半径和，构造出关于的方程．
27．已知的三个顶点，，，其外接圆．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程．
（3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．
【分析】（1）求出圆心坐标与半径，即可求出圆的方程；
（2）根据直线过点，且被截得的弦长为2，设出直线方程，利用勾股定理，即可求直线的方程；
（3）设的坐标，可得的坐标，代入圆的方程，可得以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，由此求得的半径的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，，，，的垂直平分线是，
，中点是，
的垂直平分线是，
由，得到圆心是，，
圆的方程是；
（2）弦长为2，圆心到的距离．
设，则，，的方程；
当直线的斜率不存在时，，也满足题意．
综上，直线的方程是或；
（3）直线的方程为，设，，．
因为点是点，的中点，所以，，
又，都在半径为的圆上，所以，
即，
因为该关于，的方程组有解，
即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，
所以，
又，
所以对任意，成立．
而在，上的值域为，，
又线段与圆无公共点，所以对任意，成立，即．
故圆的半径的取值范围为，．
【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
28．在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上、半径为2的圆位于轴右侧，且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）在圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设圆心是，，由直线于圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可求，进而可求圆的方程
（2）把点代入圆的方程可得，，的方程，结合原点到直线的距离可求的范围，根据弦长公式求出，代入三角形的面积公式，结合二次函数的性质可求最大值
【解答】解：（1）设圆心是，，它到直线的距离是，
解得或（舍去）（3分）
所求圆的方程是（4分）
（2）点在圆上
，且（6分）
又原点到直线的距离（8分）
解得（10分）
而
（11分）
（12分）
当，即时取得最大值，
此时点的坐标是与，面积的最大值是．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，直线与圆的相交关系的应用及基本运算的能力
29．已知圆经过点、两点，且圆心在直线上．求圆的方程．
【分析】根据圆的性质，算出的垂直平分线，与直线联立得出，求出圆的的半径，从而可得圆的方程．
【解答】解：圆经过点、两点，
点在线段的垂直平分线，
又圆心在直线上
联立，得．
圆的半径，
圆的方程是．
【点评】本题考查了圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
30．已知直线过点且与直线垂直．
（1）若直线与轴，轴分别交于、两点，求；
（2）求圆心在直线上且过两点，的圆的标准方程．
【分析】（1）利用两条直线垂直的性质，求出直线的斜率，可得直线的方程．再根据直线在坐标轴上的截距，求得、的坐标，可得．
（2）设出圆心的坐标，根据求出圆心的坐标，可得圆心和半径，从而得到圆的标准方程．
【解答】解：（1）由于直线过点且与直线垂直，
故直线的斜率为2，故直线的方程为，即．
它与轴的交点为，，它与轴的交点为，
．
（2）圆心在直线上，可设圆心为，
所求的圆过两点，，，
，求得，
故圆心为，半径为，
的圆的标准方程为．
【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，直线在坐标轴上的截距，求圆的标准方程，属于中档题．
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