2.4.2《圆的一般方程》同步练习（含解析）

圆的一般方程
一．选择题（共15小题）
1．已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
2．已知方程表示圆，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．或
3．过三点，，的圆的方程是　　
A． B．
C． D．
4．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为　　
A． B．6 C． D．
5．已知圆的方程为，那么下列直线中经过圆心的直线方程为　　
A． B． C． D．
6．方程表示的图形是　　
A．一个点 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在
7．若方程表示圆，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
8．已知圆过，，三点，则圆的方程是　　
A． B．
C． D．
9．过三点，，的圆交轴于、两点，则　　
A．2 B． C．4 D．
10．圆的圆心坐标和半径长分别是　　
A．，2 B．，2 C．，4 D．，4
11．若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则为　　
A．2 B．4 C．3 D．5
12．若是一个圆的方程，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
13．已知方程表示一个圆，实数的取值范围
A． B．
C． D．
14．以为圆心，为半径的圆的方程为　　
A． B．
C． D．
15．圆的圆心和半径分别是　　
A．；1 B．； C．；1 D．；
二．多选题（共1小题）
16．圆　　
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
三．填空题（共16小题）
17．已知，方程表示圆，则圆心坐标是 　　，半径是 　　．
18．在平面直角坐标系中，若，点是圆上的动点，则的最小值为　　．
19．已知实数，满足方程，则的最大值和最小值分别为　　、　　．
20．已知圆的方程为．则实数的取值范围　　．
21．如果是圆的方程，则实数的取值范围是　　．
22．如果圆的方程为，则当圆面积最大时，圆心为　 　．
23．圆的圆心坐标　　，半径　　．
24．已知，方程表示圆，则圆心坐标是　　．
25．当方程所表示的圆的面积取最大值时，直线的倾斜角　　．
26．若直线与两坐标轴的交点为，，则以线段为直径的圆的一般方程为　　．
27．已知圆的方程是，则该圆的半径是　　．
28．与平行的直线平分圆的周长，则直线的点法向式方程为　　．
29．若，0，1，，则方程表示的圆的个数为　　．
30．圆的圆心坐标为．　　（判断对错）
31．圆的圆心坐标是．　　（判断对错）
32．方程是圆的方程．　　（判断对错）
四．解答题（共5小题）
33．在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，，．
（1）求外接圆的方程；
（2）若直线经过点，且与圆相交所得的弦长为，求直线的方程．
34．已知点在圆上．
（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；
（Ⅱ）过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长．
35．已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．
（1）求顶点和的坐标；
（2）求外接圆的一般方程．
36．求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程．
37．求圆心在直线上，且过点和点的圆的方程．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【分析】结合二元二次方程表示圆的条件即可建立关于的不等式，可求．
【解答】解：由表示的曲线是圆可得，
故．
故选：．
【点评】本题主要考查了二元二次方程表示圆的条件的应用，属于基础试题．
2．已知方程表示圆，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．或
【分析】由的关于的一元二次不等式求解．
【解答】解：方程表示圆，
，
即，，
解得或．
故选：．
【点评】本题考查圆的一般方程，是基础题．
3．过三点，，的圆的方程是　　
A． B．
C． D．
【分析】设圆的一般方程，将点代入可得圆的方程．
【解答】解：设圆的一般方程为，将，，三点代入方程得到方程组解得，，，故圆的方程为，
故选：．
【点评】考查求圆的一般方程，属于基础题．
4．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为　　
A． B．6 C． D．
【分析】根据题意，将圆的方程变形为普通方程，分析其圆心半径，可得当圆的面积最小时，必有，此时，即可得此时面积最小时圆的方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆，变形可得，
其圆心为，半径为，则，
当圆的面积最小时，必有，此时，
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
故选：．
【点评】本题考查圆的一般方程与标准方程，注意将圆的一般方程变形为标准方程，属于基础题．
5．已知圆的方程为，那么下列直线中经过圆心的直线方程为　　
A． B． C． D．
【分析】求出圆的圆心坐标，验证选项即可．
【解答】解：因为圆的方程为，
所以圆心坐标，
代入选项可知正确．
故选：．
【点评】本题考查圆的一般方程，点的坐标适合直线方程；也可认为直线系问题，是基础题．
6．方程表示的图形是　　
A．一个点 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在
【分析】把方程，可化为，即，由此可得方程所标示的图形．
【解答】解：方程，可化为，即，
方程 表示点，
故选：．
【点评】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于中档题．
7．若方程表示圆，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【分析】把圆的方程化为标准方程，即可求出实数的取值范围．
【解答】解：方程化为标准方程为，
令，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用问题，是基础题．
8．已知圆过，，三点，则圆的方程是　　
A． B． C． D．
【分析】设圆的一般方程，将点的坐标代入，建立方程组，求解，，的值，即可得到圆的方程．
【解答】解：设圆的方程为，由题意得，
，解得，，．
圆的方程是．
故选：．
【点评】本题考查圆的方程的求法，训练了利用待定系数法求圆的方程，是基础题．
9．过三点，，的圆交轴于、两点，则　　
A．2 B． C．4 D．
【分析】设出圆的一般方程，由已知可得关于、、的方程组，求得、、的值，得到圆的方程，取得到关于的一元二次方程，再由弦长公式及根与系数的关系求解．
【解答】解：设过三点，，的圆的方程为：
．
则，解得，，．
圆的方程为，
取，得，
．
故选：．
【点评】本题考查圆的一般方程的求法，考查方程组的解法，训练了弦长公式的求法，是基础题．
10．圆的圆心坐标和半径长分别是　　
A．，2 B．，2 C．，4 D．，4
【分析】根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆，即，
其圆心为，半径，
故选：．
【点评】本题考查圆的一般方程与标准方程，注意将一般方程转化为标准方程，属于基础题．
11．若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则为　　
A．2 B．4 C．3 D．5
【分析】根据题意，由圆心的坐标和半径求出圆的标准方程，变形为普通方程，即可得答案．
【解答】解：根据题意，以为圆心，4为半径的圆的方程为，
变形可得：，
则，
故选：．
【点评】本题考查圆的一般方程与标准方程的形式，注意两种方程的互化，属于基础题．
12．若是一个圆的方程，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得，解得的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若是一个圆的方程，
必有，即，
解可得：，即的取值范围为，，
故选：．
【点评】本题考查圆的一般方程，注意圆的一般方程的形式，属于基础题．
13．已知方程表示一个圆，实数的取值范围　　
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，将方程变形为，分析可得时方程表示圆，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，方程，变形得：，
当且仅当，即时方程表示圆，
解可得：，即的取值范围为，，
故选：．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，注意圆的一般方程与标准方程的形式，属于基础题．
14．以为圆心，为半径的圆的方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】由圆心的坐标和半径写出圆的标准方程，再化为一般方程即可．
【解答】解：由圆心坐标为，半径，
则圆的标准方程为：，
化为一般方程为：．
故选：．
【点评】本题考查学生会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程，是一道比较简单的题．要求学生掌握当圆心坐标为，半径为时，圆的标准方程为．
15．圆的圆心和半径分别是　　
A．；1 B．； C．；1 D．；
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标和半径．
【解答】解：圆，即，故它的圆心为、半径是，
故选：．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．
二．多选题（共1小题）
16．圆　　
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得结论．
【解答】解：圆，即圆，它的圆心为，半径等于，
故圆关于点对称，且关于经过的直线对称，
故选：．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．
三．填空题（共16小题）
17．已知，方程表示圆，则圆心坐标是 　　，半径是 　　．
【分析】由已知可得，解得或，把代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把代入原方程，由说明方程不表示圆，则答案可求．
【解答】解：方程表示圆，
，解得或．
当时，方程化为，
配方得，所得圆的圆心坐标为，半径为5；
当时，方程化为，
此时，方程不表示圆，
故答案为：，5．
【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．
18．在平面直角坐标系中，若，点是圆上的动点，则的最小值为　　．
【分析】结合题意画出图形，利用图形找出点在轴上且靠近点时，的值最小，求出即可．
【解答】解：由，圆上可化为，
设点，则
这表示圆上的点到点的距离与到点的距离的和，
所以点在线段上时，取得最小值，如图所示；
所以的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了数形结合解题思想，是中档题．
19．已知实数，满足方程，则的最大值和最小值分别为　　、　　．
【分析】根据题意，分析可得的几何意义为圆，的几何意义圆上的一点与原点距离的平方，结合点与圆的位置关系分析圆上的点到原点距离最大值、最小值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，实数，满足方程，则点是圆上的点，
设，其几何意义为圆上的一点与原点距离的平方，
而圆，即，其圆心为，半径，
又圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点距离最大值为，最小值为，
所以的最大值是，的最小值是；
故答案为：，．
【点评】本题考查圆的一般方程，注意分析和的几何意义，属于基础题．
20．已知圆的方程为．则实数的取值范围　　．
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，根据半径的平方大于零，求得的范围．
【解答】解：圆的方程为，
即 圆，
故有，解得，
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．
21．如果是圆的方程，则实数的取值范围是　　．
【分析】直接由列式求解的值．
【解答】解：因为是圆的方程，
所以有，解得．
所以若是圆的方程，则实数的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的一般式方程，考查了二元二次方程表示圆的条件，是基础题．
22．如果圆的方程为，则当圆面积最大时，圆心为　　．
【分析】把圆的方程化为标准式方程后，找出圆心坐标与半径，要求圆的面积最大即要圆的半径的平方最大，所以根据平方的最小值为0即时得到半径的平方最大，所以把代入圆心坐标中即可得到此时的圆心坐标．
【解答】解：将方程配方，得．
，，此时．
圆心为．
故答案为：．
【点评】本题以二次函数的最值问题为平台考查学生掌握圆的标准方程并会根据圆的标准方程找出圆心和半径，是一道基础题．
23．圆的圆心坐标　　，半径　　．
【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，即可得其圆心和半径．
【解答】解：根据题意，圆即，
其圆心为，半径，
故答案为：，3．
【点评】本题考查圆的一般方程，注意将圆的一般方程变形为标准方程，属于基础题．
24．已知，方程表示圆，则圆心坐标是　　．
【分析】先利用方程得到，求出和，然后分别求解即可．
【解答】解：方程表示圆，
所以，解得或，
当时，方程，配方可得，所得圆的圆心坐标为；
当时，方程，即，此时，方程不表示圆．
综上所述，圆心坐标是．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的方程的理解和应用，主要考查了圆的一般方程的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．
25．当方程所表示的圆的面积取最大值时，直线的倾斜角　　．
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出半径的平方取得最大值时的值，可得所给直线的斜率，从而求得它的倾斜角．
【解答】解：当方程所表示的圆，即的面积取最大值时，
有最大，，
直线，即，它的斜率为，故它的倾斜角，
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，直线的斜率和倾斜角，属于中档题．
26．若直线与两坐标轴的交点为，，则以线段为直径的圆的一般方程为　　．
【分析】先求出、两点坐标，为直径的圆的圆心是的中点，半径是的一半，由此可得到圆的方程．
【解答】解：由得，由得，
，，
以为直径的圆的圆心是，半径，
以为直径的圆的方程是，即．
故答案为：．
【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要注意求圆心坐标和圆半径的长，是基础题．
27．已知圆的方程是，则该圆的半径是　5　．
【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆的方程是，即，
其半径，
故答案为：5．
【点评】本题考查圆的一般方程，注意圆的一般方程的形式，属于基础题．
28．与平行的直线平分圆的周长，则直线的点法向式方程为　　．
【分析】由圆的方程可得圆心的坐标，由题意可得直线过圆心，设直线上其他点的坐标，求出向量，由向量平行可得直线的点法向式方程．
【解答】解：由圆的方程可得圆的圆心坐标为：，
由题意可得直线过圆的圆心，
设直线上除圆心以外的点的坐标为，所以，
由题意可得，
所以直线的点法向式方程为：，
故答案为：．
【点评】本题考查过圆心的直线方程的方法，及直线的点法向式方程的求法，属于中档题．
29．若，0，1，，则方程表示的圆的个数为　1　．
【分析】根据题意，分析方程表示圆的条件，可得的取值范围，结合的取值集合，分析可得符合条件的的个数，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若方程表示圆，
则有，变形可得，
解可得：，
而，0，1，，符合条件的有0，
即方程表示的圆的个数为1，
故答案为：1
【点评】本题考查圆的一般方程，涉及二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．
30．圆的圆心坐标为．　错误　（判断对错）
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径．
【解答】解：圆，即，
故它的圆心坐标为，不是，
故答案为：错误．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．
31．圆的圆心坐标是．　正确　（判断对错）
【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，求出其圆心坐标，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆，即，
其圆心为，结论正确；
故答案为：正确．
【点评】本题考查圆的一般方程，注意将圆的一般方程变形为标准方程，属于基础题．
32．方程是圆的方程．　错误　（判断对错）
【分析】根据题意，将方程变形可得，结合圆的标准方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，方程，变形可得，
不能表示圆，结论错误；
故答案为：错误．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，注意圆的一般方程的形式，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
33．在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，，．
（1）求外接圆的方程；
（2）若直线经过点，且与圆相交所得的弦长为，求直线的方程．
【分析】（1）利用待定系数法求外接圆的方程．
（2）分类讨论，利用韦达定理，结合弦长公式，求直线的方程．
【解答】解：（1）设圆的方程为，，解得，，，
外接圆的方程为，即．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
联立，得，或，
弦长为，满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由于圆心到该直线的距离为，
故有，求得，直线的方程为，即．
综上可得，直线的方程，或．
【点评】本题主要考查用待定系数法求圆的方程，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．
34．已知点在圆上．
（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；
（Ⅱ）过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长．
【分析】（Ⅰ）把点代入圆的方程，求得的值，可得圆心坐标及半径长．
（Ⅱ）先求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式，求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）点在圆上，，解得．
圆的方程为，
圆心坐标为，半径．
（Ⅱ）．依题意，直线的方程为，即．
则圆心到直线的距离为，
．
【点评】本题主要考查圆的一般方程，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
35．已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．
（1）求顶点和的坐标；
（2）求外接圆的一般方程．
【分析】（1）由题意直线，联立求出的坐标，及求出直线的方程，与直线联立求出的坐标；
（2）设圆的一般方程将，，三点坐标代入求出圆的一般方程．
【解答】解：（1）由可得顶点，
又因为得，，
所以设的方程为，
将代入得，
由可得顶点为，
所以和的坐标分别为和，
（2）设的外接圆方程为，
将、和三点的坐标分
别代入得则有，
所以的外接圆的一般方程为．
【点评】考查求直线与直线的交点和圆的方程，属于基础题．
36．求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程．
【分析】根据题意，设圆心为，算出点到直线的距离，根据垂径定理建立方程，由于所求的圆与轴相切，所以，又因为所求圆心在直线上，则，即可得到所求圆的方程．
【解答】解：设所求的圆的方程是，
则圆心到直线的距离为（2分）
所以，即①（4分）
由于所求的圆与轴相切，所以②（5分）
又因为所求圆心在直线上，则③（6分）
联立①②③，解得，，或，，．（8分）
故所求的圆的方程是或．（10分）
【点评】本题给出圆满足的条件，求圆的方程．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
37．求圆心在直线上，且过点和点的圆的方程．
【分析】根据条件可设圆心，半径为，则圆的方程为，把点和点的坐标代入方程，求出及的值，即得所求的圆的方程．
【解答】解：圆心在直线上，
可设圆心，半径为，
则圆的方程为
，
把点和点的坐标代入方程，得
①，
②，
由①②可得
，
故所求的圆的方程为
．
【点评】本题考查圆的标准方程的形式，直线和圆的位置关系，直线和圆相交的性质．
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