08全国高考精品-导数、概率统计、极限与探索性问题专题

08全国高考精品专题--极限与探索性问题
【命题趋向】综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点：
1．数学归纳法
①客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)．
②解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目
③数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧，这一点要高度注意．
2. 数列的极限
①客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，直接运用四则运算法则求极限．
②解答题大多结合数列的计算求极限等，涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.
③数列与几何：由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形，通常相关几何量构成等比数列，这是一类新题型．
3．函数的极限
①此部分为新增内容，本章内容在高考中以填空题和解答题为主．应着重在概念的理解，通过考查函数在自变量的某一变化过程中，函数值的变化趋势，说出函数的极限．
②利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算．
③利用两个重要极限求函数的极限．
④函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.
4.在一套高考试题中，极限一般分别有1个客观题或1个解答题，分值在5分—12分之间．
5.在高考试题中，极限题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而极限题是高考中的得分点．
6.注意掌握以下思想方法
1 极限思想：在变化中求不变，在运动中求静止的思想；
1 数形结合思想，如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等.
此类题大多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较高．
【考点透视】
1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
2．了解数列极限和函数极限的概念．
3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
【例题解析】
考点1 数列的极限
1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限.
注意：a不一定是｛an｝中的项.
2.几个常用的极限：①C=C（C为常数）;②=0;③qn=0（|q|＜1）.
3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝，
当an=a, bn=b时， （an±bn）=a±b;
例1. ( 2006年湖南卷）数列{}满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则 ( )
A. B. C. D.2
[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式 的应用.
[解答过程]由和得
故选A.
例2．（2006年安徽卷）设常数，展开式中的系数为，则_____.
[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力.
[解答过程] ，由，所以，所以为1.
例3. （2007年福建卷理）把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于( ) （ ）
A． B． C． D．2
[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式 的应用.
[解答过程]
故选D
例4. (2007年天津卷理)设等差数列的公差是2，前项的和为，则　　　　　　．
思路启迪：由等差数列的公差是2，先求出前项的和为和通项．
[解答过程]
故填3
小结:
1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：
（1）各数列的极限必须存在；
（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算.
2.熟练掌握如下几个常用极限：
（1） C=C（C为常数）;
（2） （）p=0（p＞0）;
（3） =（k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0）;
（4） qn=0（|q|＜1）.
例5. (2007年重庆卷理)设正数a, b满足则（ ）
（A）0 （B） （C） （D）1
解:
故选B
小结:重视在日常学习过程中运用化归思想.
考点2 函数的极限
1.函数极限的概念：
（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x→∞时，f（x）→a.
（2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x→x0时，f（x）→a.
（3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0＝无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作f （x）=a.如果从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f （x）无限趋近于常数a,就说a是函数
f （x）在点x0处的右极限，记作f（x）=a.
2.极限的四则运算法则：
如果f （x）=a, g（x）=b,那么
[f（x）±g（x）]=a±b; [f（x）·g（x）]=a·b; =（b≠0）.
例6．(2007年江西卷理) =( )
A．等于0 B．等于l C．等于3 D．不存在
[考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力.
[解答过程] 故选B
例7．(2007年四川卷理) ( )
（A）0 （B）1 （C） （D）
[考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力.
[解答过程]
故选D
例8.若f （x）=在点x=0处连续，则f （0）=__________________.
思路启迪：利用逆向思维球解.
解答过程：∵f（x）在点x=0处连续，∴f （0）=f （x）,
f （x）= = =.
答案:
例9.设函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,且f （x）=0,f （x）=－3,求这一函数最大值..
思路启迪：由函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,利用f （－x）=f （x）构造方程,求出b的值.
解答过程：∵f （x）=ax2+bx+c是一偶函数,
∴f （－x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2－bx+c.
∴b=0.∴f （x）=ax2+c.
又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=－3,
∴a=－1,c=1.∴f （x）=－x2+1.∴f （x）max=f（0）=1.
∴f （x）的最大值为1.
例10.设f（x）是x的三次多项式，已知===1.
求的值（a为非零常数）.
解答过程：由于=1,可知f（2a）=0. ①
同理f（4a）=0. ②
由①②，可知f（x）必含有（x－2a）与（x－4a）的因式，由于f（x）是x的三次多项式，故可设f（x）=A（x－2a）（x－4a）（x－C）.
这里A、C均为待定的常数.
由=1,即
=A（x－4a）（x－C）=1,
得A（2a－4a）（2a－C）=1,
即4a2A－2aCA=－1. ③
同理，由于=1,
得A（4a－2a）（4a－C）=1,
即8a2A－2aCA=1. ④
由③④得C=3a,A=,
因而f（x）=（x－2a）（x－4a）（x－3a）.
∴=（x－2a）（x－4a）
=·a·（－a）=－.
例11 a为常数，若（－ax）=0,则a的值是____________..
思路启迪：先对括号内的的式子变形.
解答过程：∵（－ax）= ==0,
∴1－a2=0.∴a=±1.但a=－1时，分母→0,
∴a=1.
考点3.函数的连续性及极限的应用
1.函数的连续性.
一般地，函数f（x）在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：
（1）函数f（x）在点x=x0处有定义；（2）f（x）存在；（3）f（x）=f（x0）.如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，而且f（x）=f（x0）,就说函数f（x）在点x0处连续.
2.如果f（x）是闭区间［a,b］上的连续函数，那么f（x）在闭区间［a,b］上有最大值和最小值.
3.若f（x）、g（x）都在点x0处连续,则f（x）±g（x）,f（x）·g（x）,（g（x）≠0）也在点x0处连续.若u（x）在点x0处连续,且f（u）在u0=u（x0）处连续,则复合函数f［u（x）］在点x0处也连续.
例12..f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件.
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分又不必要
思路启迪：说明问题即可.
解答过程：f（x）在x=x0处有定义不一定连续.
答案：A
例13.f（x）=的不连续点为( )
A.x=0 B.x=（k=0,±1,±2,…）
C.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…） D.x=0和x=（k=0,±1,±2,…）
思路启迪：由条件出发列方程解之.
解答过程：由cos=0,得=kπ+（k∈Z）,∴x=.
又x=0也不是连续点,故选D
答案：D
例14. 设f（x）=当a为________时,函数f（x）是连续的.
解答过程：f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时, f（x）=f（0）,
即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时, f（x）在（－∞,+∞）内是连续的.
小结：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.
例15.已知函数f（x）=函数f（x）在哪点连续( )
A.处处连续 B.x=1 C.x=0 D.x=
思路启迪：考虑结果的启发性.
解答过程：f（x）= f（x）=f（）.
答案：D
例16..抛物线y=b（）2、x轴及直线AB:x=a围成了如图（1）的阴影部分,AB与x轴交于点A,把线段OA分成n等份,作以为底的内接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S等于这些内接矩形面积之和当n→∞时的极限值,求S的值.
思路启迪：先列出式子.
解答过程：S=［b·（）2+b·（）2+b·（）2+…+b·（）2］2·
=·ab
=·ab=ab.
例17.如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切,…,圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去,记圆On的面积为an（n∈N*）.
（1）证明{an}是等比数列；
（2）求（a1+a2+…+an）的值.
解答过程：（1）证明:记rn为圆On的半径，
则r1=tan30°=l.
=sin30°=,∴rn=rn－1（n≥2）.
于是a1=πr12=,=（）2=,
∴{an}成等比数列.
（2）解：因为an=（）n－1·a1（n∈N*）,
所以（a1+a2+…+an）==.
例18. 一弹性小球自h0=5 m高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的,不计每次碰撞时间,则小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间分别是多少
解答过程：设小球第一次落地时速度为v0,则有v0==10（m/s）,那么第二,第三,…,第n+1次落地速度分别为v1=v0,v2=（）2v0,…,vn=（）nv0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L1=2×=10×（.
小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L2,
则L2=2×=10×（）4.
由数学归纳法可知,小球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程为
Ln=10×（）2n.
故从第一次到第n+1次所经过的路程为
Sn+1=h0+L1+L2+…+Ln,则整个过程总路程为
S=Sn+1=5+10×=5+10=20.3（m）,小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t0==1（s）.
小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t1=2×=2×,同理可得
tn=2×（）n,tn+1=t0+t1+t2+…+tn,则t=tn+1=1+2×=8（s）.
考点4.新考题
例19．（2007年辽宁卷理）（本小题满分12分）
已知数列、与函数、，满足条件：
．
（I）若，且存在，求的取值范围，并求（用表示）．
（II）若函数在上是增函数，，证明对任意的，．
[考查目的]本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查运用数学归纳法解决问题的能力.
[解答过程]（Ⅰ）解法一：由题设知，可得
由是等比数列，其首项为，于是
又
解法二：由题设知，可得
由，公比为的等比数列.
由
所以
解法三：由题设知，即
， ①
于是有
②
②－①得，得
由
所以的等比数列，于是
又
说明：数列{an}通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以上评分标准.
（Ⅱ）证明：因为
下面用数学归纳法证明
（1）当，得
即，结论成立.
（2）假设n = k时结论成立，即为增函数，得
，
进而得
这就是说当n = k +1时，结论也成立.
根据（1）和（2）可知，对任意的
例20.(2006年广东卷）已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.
(Ⅰ)求数列的首项和公比；
(Ⅱ)对给定的,设是首项为，公差为的等差数列.求数列的前10项之和；
(Ⅲ)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得存在且不等于零.
(注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)
[考查目的]本题考查运用等比数列的前n项和公式，从已知的条件入手列方程组求出等比数列的公比和首项.
[解答过程] (Ⅰ)依题意可知,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,,即数列的前10项之和为155.
(Ⅲ) ===，
，=
当m=2时，=－，当m>2时，=0，所以m=2.
专题训练与高考预测
一.选择题
1.下列极限正确的个数是
①=0（α＞0）;②qn=0;③=－1 ; ④C=C（C为常数）
A.2 B.3会 C.4 D.都不正确
2.下列四个命题中正确的是
A.若an2＝A2，则an＝A B.若an＞0，an＝A，则A＞0
C.若an＝A，则an2＝A2 D.若（an－b）＝0，则an＝bn
3.f（x）=f（x）=a是f（x）在x0处存在极限的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.f（x）=下列结论正确的是( )
A.=f（x） B.=2，不存在
C.f （x）=0, 不存在 D.f （x）≠f （x）
5.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是( )
A.① B.②③ C.①④ D.③④
6.若f（x）在定义域［a,b］上有定义,则在该区间上( )
A.一定连续 B.一定不连续 C.可能连续也可能不连续 D.以上均不正确
7.已知，如果bc≠0，那么=( )
A、 15 B、 C、 D、
8.若r为实常数，则集合
A、恰有一个元素B、恰有两个元素 C、恰有三个元素 D、无数多个元素
9. （C）
A．－1 B．1 C．－ D．
10. 已知，下面结论正确的是（ ）
A.在处连续 B. C. D.
二.填空题
11.四个函数:①f（x）=;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上）
12.下四个命题:
①f（x）=在［0,1］上连续;
②若f（x）是（a,b）内的连续函数,则f（x）在（a,b）内有最大值和最小值;
③=4;
④若f（x）=则f（x）=0.
其中正确命题的序号是____________.（请把你认为正确命题的序号都填上）
13.则a=______，b=______.
14.函数f(x)在（0，+∞）内满足f’(x)>0，f(0)>0，则=_________.
15. =__________.
16. =____________.
三.解答题
17.求下列函数极限:
① ② ③
18. .数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当（b1+b2+…+bn）≤3,求c的取值范围.
参考答案
一. B 1.提示:①③④正确.
2. C 提示:排除法，取an＝（－１）n，排除A；
取an＝，排除Ｂ；取an＝bn＝n，排除D．
3. C 4. D 5. A
6. C 提示：有定义不一定连续.
7. D 8. C
9.C 提示：
10.D 提示:
故选D.
二. 11.②③④; 12.③; 13. a=b=4 ; 14. ;
15. 提示：原式===0.
16. 提示：:原式==.
三.17. 解:①
②
③
(3)当时，求有理(无理)分式的极限只需比较分子分母最高项的系数.即当和为非负整数时,有
18. 解：首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立.
∴===c.又a1·a2=a2=c.
∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立.
∴==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,
∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,
∴ （b1+b2+b3+…+bn）= （b1+b3+b5+…）+ （b2+b4+…）
=+≤3.
1,3,5
1,3,508全国高考精品专题--概率统计
【命题趋向】概率统计命题特点：
1.在近五年高考中,新课程试卷每年都有一道概率统计解答题,并且这五年的命题趋势是一道概率统计解答题逐步增加到一道客观题和一道解答题;从分值上看,从12分提高到17分;由其是实施新课标考试的省份, 增加到两道客观题和一道解答题．值得一提的是此累试题体现了考试中心提出的“突出应用能力考查”以及“突出新增加内容的教学价值和应用功能”的指导思想,在命题时,提高了分值,提高了难度,并设置了灵活的题目情境,如测试成绩、串联并联系统、计算机上网、产品合格率、温度调节等,所以在概率统计复习中要注意全面复习,加强基础,注重应用.
2.就考查内容而言,用概率定义(除法)或基本事件求事件(加法、减法、乘法)概率，常以小题形式出现；随机变量取值－取每一个值的概率－列分布列－求期望方差常以大题形式出现．概率与统计还将在选择与填空中出现，可能与实际背景及几何题材有关．
【考点透视】
1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.
3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．
4．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
5． 掌握离散型随机变量的分布列.
6．掌握离散型随机变量的期望与方差.
7．掌握抽样方法与总体分布的估计.
8．掌握正态分布与线性回归.
【例题解析】
考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识:
(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝＝;
等可能事件概率的计算步骤：
1 计算一次试验的基本事件总数;
1 设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数;
1 依公式求值;
1 答，即给问题一个明确的答复.
(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);
特例：对立事件的概率：P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.
(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);
特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝.其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项.
(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：
1 求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质
即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
第二步，判断事件的运算
即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.
第三步，运用公式求解
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.
例1．(2007年上海卷文)在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．
[考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.
[解答过程]0.3提示:
例2．(2007年全国II卷文)一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．
[考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式，同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.
用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.
[解答过程]提示:
例3 (2007年全国I卷文)从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________．
[考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.
[解答过程]在497.5g~501.5内的数共有5个，而总数是20个，所以有
点评：首先应理解概率的定义，在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误.
例4. （2006年湖北卷）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）
[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.
[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为
.
故填0.94.
例5．（2006年江苏卷）右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是
（A）　　（B） （C）　　（D）
[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.
[解答提示]由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有种，所求的概率是，所以选D.
点评：本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，并进一步求得概率问题，其中隐含着平均分组问题.
例6． (2007年全国II卷文)
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率．
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．
[解答过程]（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则互斥，且，故
于是．
解得（舍去）．
（2）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．
若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有件，故．
例7．（2006年上海卷）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率
是 （结果用分数表示）．
[考查目的] 本题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.
[解答提示]从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有种，左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有种.所以, 将符合条件的长篇小说任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是
种.所以,填.
例8．（ 2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.
[考查目的]本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.
[标准解答]（I）记“取到的4个球全是红球”为事件.
（II）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件，“取到的4个球只有1个红球”为事件，“取到的4个球全是白球”为事件.
由题意，得
所以, ，
化简，得解得，或（舍去），
故 .
例9. (2007年全国I卷文)
某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．
[解答过程]（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．
， ．
（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．
则．
，．
．
例10．（2006年北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）
[考查目的] 本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.
[标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，
则P(A)=a，P(B)＝b，P(C)=c.
(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率
p1=P(A·B·)+P(·B·C)+P(A··C)+P(A·B·C)
=a×b×(1-c)+(1-a)×b×c+a×(1-b)×c+a×b×c
=ab+bc+ca-2abc.
应聘者用方案二考试通过的概率
p2=P(A·B)+ P(B·C)+ P(A·C)= ×(a×b+b×c+c×a)= (ab+bc+ca)
(Ⅱ) p1- p2= ab+bc+ca-2abc- (ab+bc+ca)= ( ab+bc+ca-3abc)
≥=.
∴p1≥p2
例11．(2007年陕西卷文)
某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率. （注：本小题结果可用分数表示）
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．
[解答过程]（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，，
该选手进入第四轮才被淘汰的概率．
（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率
．
考点2离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.
②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地，设离散型随机变量可能取的值为，，……，，……，取每一个值（1，2，……）的概率P（）=，则称下表.
… …
P P1 P2 … …
为随机变量的概率分布，简称的分布列.
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
（1），1，2，…;（2）…=1.
②常见的离散型随机变量的分布列：
（1）二项分布
次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n，并且，其中，，随机变量的分布列如下：
0 1 … …
P …
称这样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记： .
（2） 几何分布
在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.
随机变量的概率分布为：
1 2 3 … k …
P p qp … …
例12．（2007年四川卷理）
厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望,并求出该商家拒收这批产品的概率.
[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.
[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A
用对立事件A来算，有
（Ⅱ）可能的取值为．
，，
．
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率
．
所以商家拒收这批产品的概率为．
例13．（2007年陕西卷理）
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.
（注：本小题结果可用分数表示）
[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.
[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，
该选手被淘汰的概率
．
（Ⅱ）的可能值为，，
，
．
的分布列为
1 2 3
．
解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，．
该选手被淘汰的概率．
（Ⅱ）同解法一．
考点3 离散型随机变量的期望与方差
随机变量的数学期望和方差
(1)离散型随机变量的数学期望：…；期望反映随机变量取值的平均水平.
⑵离散型随机变量的方差：……；
方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
⑶基本性质：；.
(4)若～B(n，p)，则 ; D =npq（这里q=1-p） ;
如果随机变量服从几何分布，，则，D =其中q=1-p.
例14．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：
ε 0 1 2 η 0 1 2
P P
则比较两名工人的技术水平的高低为 .
思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.
解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：
，
；
工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：
，
由Eε=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dε>Dη，可见乙的技术比较稳定.
小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
例15.（2007年全国I理）
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为
1 2 3 4 5
0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；
（Ⅱ）求的分布列及期望．
[考查目的] 本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.
[解答过程]（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
， ．
（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．
，
，
．
的分布列为
（元）．
小结：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.
例16.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是
A.70，25 B.70，50 C.70，1.04 D.65，25
解答过程：易得没有改变，=70，
而s2=［（x12+x22+…+502+1002+…+x482）－482］=75，
s′2=［（x12+x22+…+802+702+…+x482）－482］
=［（75×48+482－12500+11300）－482］
=75－=75－25=50.
答案：B
考点4 抽样方法与总体分布的估计
抽样方法
1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.
2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.
3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.
总体分布的估计
由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.
总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.
当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.
当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.
总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.
典型例题
例17.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .
解答过程：A种型号的总体是，则样本容量n=.
例18．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同，若，则在第7组中抽取的号码是 ．
解答过程：第K组的号码为 ，，…，，当m=6时，第k组抽取的号的个位数字为m+k的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63．
例19．考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 160 168 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
⑴作出频率分布表；⑵画出频率分布直方图.
思路启迪：确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.
解答过程：⑴最低身高为151，最高身高180，其差为180-151=29。确定组距为3，组数为10，列表如下：
⑵频率分布直方图如下：
小结： 合理、科学地确定组距和组数，才能准确地制表及绘图，这是用样本的频率分布估计总体分布的基本功．
估计总体分布的基本功。
考点5 正态分布与线性回归
1.正态分布的概念及主要性质
（1）正态分布的概念
如果连续型随机变量 的概率密度函数为 ，x 其中、为常数，并且＞0，则称服从正态分布，记为（，）.
（2）期望E =μ，方差.
（3）正态分布的性质
正态曲线具有下列性质:
①曲线在x轴上方，并且关于直线x＝μ对称.
②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.
③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.
（4）标准正态分布
当=0，=1时服从标准的正态分布，记作（0，1）
（5）两个重要的公式
①,② .
（6）与二者联系.
1 若，则 ;
②若，则.
2.线性回归
简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.
变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.
具体说来，对n个样本数据（），（），…，（），其回归直线方程，或经验公式为：.其中，其中分别为||、||的平均数.
例20.如果随机变量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，则P（－1＜ξ≤1＝等于( )
A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2）
C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）
解答过程：对正态分布，μ=Eξ=3，σ2=Dξ=1，故P（－1＜ξ≤1）=Φ（1－3）－Φ（－1－3）=Φ（－2）－Φ（－4）=Φ（4）－Φ（2）.
答案：B
例21. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一个随机变量，且ξ～N（d，0.52）.
（1）若d=90°，则ξ<89的概率为 ；
（2）若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99，则d至少是 （其中若η～N（0，1），则Φ（2）=P（η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P（η<－2.327）=0.01）.
思路启迪：（1）要求P（ξ<89）=F（89），
∵ξ～N（d，0.5）不是标准正态分布，而给出的是Φ（2），Φ（－2.327），故需转化为标准正态分布的数值.
（2）转化为标准正态分布下的数值求概率p，再利用p≥0.99，解d.
解答过程：（1）P（ξ<89）=F（89）=Φ（）=Φ（－2）=1－Φ（2）=1－0.9772=0.0228.
（2）由已知d满足0.99≤P（ξ≥80），
即1－P（ξ<80）≥1－0.01，∴P（ξ<80）≤0.01.
∴Φ（）≤0.01=Φ（－2.327）.
∴≤－2.327.
∴d≤81.1635.
故d至少为81.1635.
小结：（1）若ξ～N（0，1），则η=～N（0，1）.（2）标准正态分布的密度函数f（x）是偶函数，x<0时，f（x）为增函数，x>0时，f（x）为减函数.
例22．设，且总体密度曲线的函数表达式为：，x∈R.
（1）则μ，σ是 ；（2）则及的值是 .
思路启迪： 根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出μ和σ.利用一般正态总体与标准正态总体N（0，1）概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决.
解答过程：⑴由于，根据一般正态分布的函数表达形式，可知μ=1，，故X～N（1，2）.
.
又
.
小结：通过本例可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联.
例23． 公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ε～N（173，7）（单位：cm），则车门应设计的高度是 （精确到1cm）？
思路启迪：由题意可知，求的是车门的最低高度，可设其为xcm，使其总体在不低于x的概率小于1%.
解答过程：设该地区公共汽车车门的最低高度应设为xcm，由题意，需使P(ε≥x)<1%.
∵ε～N（173，7），∴。查表得，解得x>179.16，即公共汽车门的高度至少应设计为180cm，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.
专题训练与高考预测
一.选择题
1.下面关于离散型随机变量的期望与方差的结论错误的是 （　）
A.期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取值集中与离散的程度.
B.期望与方差都是一个数值，它们不随试验的结果而变化
C.方差是一个非负数
D.期望是区间[0，1]上的一个数.
2.要了解一批产品的质量，从中抽取200个产品进行检测，则这200个产品的质量是 （ ）
A. 总体 B.总体的一个样本 C.个体 D. 样本容量
0 1
P
3.已知的分布列为：
设则的值为 （ ）
A. 5 B. C. D.
4.设，，，则n,p的值分别为 （　）
A.18 ， B. 36 ， C. ，36 D. 18，
5.已知随机变量 服从二项分布，，则等于 （　）
A. B. C. D.　　　
6.设随机变量的分布列为,其中k=1,2,3,4,5,则等于 ( )　　
A. B. C. D.　　
7.设15000件产品中有1000件废品,从中抽取150件进行检查,则查得废品数的数学期望为( )　
　A.15 B.10 C.5 D.都不对
8.某市政府在人大会上,要从农业、工业、教育系统的代表中抽查对政府工作报告的意见.为了更具有代表性,抽取应采用 (　　　)
A.抽签法 B.随机数表法 C.系统抽样法 D.分层抽样
9.一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000,有四台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是 ( )　
A.0.1536 B.0.1808 C.0.5632 D.0.9728　
10.某校高三年级195名学生已编号为1，2，3，…195，为了解高三学生的饮食情况，要按1：5的比例抽取一个样本，若采用系统抽样方法进行抽取，其中抽取3名学生的编号可能是（ ）
A.3，24，33 B.31，47，147 C.133，153，193 D.102，132，159
11.同时抛掷4枚均匀硬币80次,设4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上的次数为,则的数学期望是 ( ) A.20 B.25 C.30 D.40
12.已知,且,则P()等于 ( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
13.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是
A.分层抽样法，系统抽样法 B.分层抽样法，简单随机抽样法
C.系统抽样法，分层抽样法 D.简单随机抽样法，分层抽样法
14.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )
A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h
二.填空题
15.某工厂规定:工人只要生产出一件甲级产品发奖金50元,生产出一件乙级产品发奖金30元,若生产出一件次品则扣奖金20元,某工人生产甲级品的概率为0.6,乙级品的概率为0.3,次品的概率为0.1,则此人生产一件产品的平均奖金为 元.
16. 同时抛掷两枚相同 的均匀硬币,随机变量 表示结果中有正面向上, 表示结果中没有正面向上,则 .
17. 甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t / hm2）
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
其中产量比较稳定的小麦品种是 .
18.一工厂生产了某种产品16800件,它们来自甲、乙、丙３条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙３条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件.
19.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6，则在第7组中抽取的号码是___________.
20.用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是___________.
三.解答题
21. 某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为多少
22. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.求:(1)记甲击中目标的次数为， 的概率分布及数学期望；
(2)乙至多击中目标2次的概率；
（3）甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
参考答案
一、1.D 2. B 3.A 4.D 5. D 6. A 7. B 8. C 9. D 10. C 11. C 12 A 13. 提示:此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.
依据题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法.故选B.
答案：B
14. 提示：=0.9.
答案：B
二. 15. 37 ; 16. ; 17.甲 ; 18.5600;
19. 提示:此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样.按题目中要求的规则抽取即可.
∵m=6，k=7，m+k=13，∴在第7小组中抽取的号码是63.
答案：63
20.提示：不妨设在第1组中随机抽到的号码为x，则在第16组中应抽出的号码为120+x.
设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是8×15+x=126，∴x=6.
答案：6
三.21.解 ：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取.
∵120∶16∶24=15∶2∶3，又共抽出20人，
∴各层抽取人数分别为20×=15人，20×=2人，20×=3人.
答案：15人、2人、3人.
22. 解：（1） ； ；；.
的概率分布如下表
0 1 2 3
P
（2）乙至多击中目标2次的概率为.
（3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中2次且乙恰击中目标0次为事件B，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件为B，则，、为互斥事件..
所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.
信号源
1,3,5
1,3,508全国高考精品专题--导数部分
【命题趋向】导数命题趋势：
综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：
（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.
（2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.
分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题.
【考点透视】
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.
例1．（2007年北京卷）是的导函数，则的值是 ．
[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
[解答过程]
故填3.
例2. ( 2006年湖南卷）设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由
综上可得MP时,
考点2 曲线的切线
（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
（2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.（2007年湖南文）已知函数在区间，内各有一个极值点．
（I）求的最大值；
（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
思路启迪：用求导来求得切线斜率.
解答过程：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处空过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则，
所以，又由，得，故．
例4.（2006年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.
故选A.
例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( )
A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1：设切线的方程为
又
故选A.
解法2:由解法1知切点坐标为由
故选A.
例6.已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.
思路启迪：先对求导数.
解答过程：函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为，即 　 ①
曲线在点Q的切线方程是即
　 ②
若直线是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得
，消去得方程，
若△=，即时，解得，此时点P、Q重合.
∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为 .
考点3 导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:
1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;
5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7．（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）
A．1个
B．2个
C．3个
D． 4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.
故选A.
例8 .（2007年全国一）设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
思路启迪：利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值．
解答过程：（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以　，
解得　或，
因此的取值范围为．
例9.函数的值域是_____________.
思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。
解答过程：由得，，即函数的定义域为.
，
又，
当时，，
函数在上是增函数，而，的值域是.
例10．（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且．
（1）当时，判断函数是否有极值；
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程]（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.
（Ⅱ），令，得.
由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.
①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：
x 0
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
因此，函数在处取得极小值，且.
要使，必有，可得.
由于，故.
②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
因此，函数处取得极小值，且
若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.
综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.
（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组
或
由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.
综上，解得或.
所以的取值范围是.
例11．(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数的定义域为，且
（1）当时，函数在上单调递减，
（2）当时，由解得
、随的变化情况如下表
— 0 +
极小值
从上表可知
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.
例12．（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在上，在上，在上,
故在上递增，在上递减，
因此在处取得极大值，所以
（Ⅱ）
由
得
解得
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设
又
所以
由即得
所以
例13．（2006年湖北卷）设是函数的一个极值点.
（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
当a<－4时，x2>3＝x1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
当a>－4时，x2<3＝x1，则
在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，
由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须
（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0故a的取值范围是（0，）.
例14 （2007年全国二）
已知函数
在处取得极大值，在处取得极小值，且．
（1）证明；
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
[解答过程]求函数的导数．
（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．
所以
当时，为增函数，，由，得．
（Ⅱ）在题设下，等价于　即．
化简得．
此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．
所围成的的内部，其三个顶点分别为：．
EMBED Equation.DSMT4 在这三点的值依次为．
所以的取值范围为．
小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性
规划有机结合．
考点4 导数的实际应用
建立函数模型,利用
典型例题
例15. （2007年重庆文）
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
例16．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米.
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗没（升）.
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得
令得
当时，是减函数；当时，是增函数.
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
专题训练与高考预测
一、选择题
1. y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于( )
A.0 B.1 C.－1 D.2
2.经过原点且与曲线y=相切的方程是( )
A.x+y=0或+y=0 B.x－y=0或+y=0
C.x+y=0或－y=0 D.x－y=0或－y=0
3.设f(x)可导，且f′(0)=0,又=－1,则f(0)( )
A.可能不是f(x)的极值 B.一定是f(x)的极值
C.一定是f(x)的极小值 D.等于0
4.设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.
5、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处( )
A、 有极大值 B、无极值 C、有极小值 D、无法确定极值情况
6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，则a=( )
A、 B、 C、 D、
7.过抛物线y=x2上的点M（）的切线的倾斜角是( )
A、300 B、450 C、600 D、900
8.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A、（0，1） B、（-∞，1） C、（0，+∞） D、（0，）
9.函数y=x3-3x+3在[]上的最小值是( )
A、 B、1 C、 D、5
10、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则( )
A、c≠0 B、当a>0时，f(0)为极大值
C、b=0 D、当a<0时，f(0)为极小值
11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A、（2，3） B、（3，+∞） C、（2，+∞） D、（-∞，3）
12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中( )
A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素
二、填空题
13.若f′(x0)=2, =_________.
14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.
15.函数f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间_________.
16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.
三、解答题
17.已知曲线C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.
18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+)，在[0，1]内的最大值.
19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.
20.求函数的导数
(1)y=(x2－2x+3)e2x;
(2)y=.
21.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s?的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.
22.求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1?,(x≠0,n∈N*).
23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.
25.已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.
26.设关于x的方程2x2－ax－2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)=.
(1)求f(α)·f(β)的值；
(2)证明f(x)是［α，β］上的增函数；
(3)当a为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？
参考答案
一、1.解析：y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1.
答案：B
2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=,另一方面，y′=()′=,故
y′(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,对应有y0(1)=3,y0(2)=,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,),从而得y′(A)= =－1及y′(B)= ,由于切线过原点，故得切线：lA:y=－x或lB:y=－.
答案：A
3.解析：由=－1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时＜0,于是当x∈(a,0)时f′(0)＞0,当x∈(0,b)时，f′(0)＜0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减.
答案：B
4.解析：∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1?=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1－)n=4·()n+1?.
答案：D
5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C
二、13.解析：根据导数的定义：f′(x0)=(这时)
答案：－1
14.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),
f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！
答案：n!
15.解析：函数的定义域是x＞或x＜－2,f′(x)=.(3x2+5x－2)′=,
①若a＞1,则当x＞时，logae＞0,6x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0,∴f′(x)＞0,∴函数f(x)在(,+∞)上是增函数，x＜－2时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(－∞,－2)上是减函数.
②若0＜a＜1,则当x＞时，f′(x)＜0,∴f(x)在(,+∞)上是减函数，当x＜－2时，
f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函数.
答案：(－∞,－2)
16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+,解得
x2=h(2R－h),于是内接三角形的面积为
S=x·h=
从而
.
令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下：
h (0, R) R (,2R)
S′ + 0 －
S 增函数 最大值 减函数
由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大.
答案：R
三、17. 解：由l过原点，知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,
∴=x02－3x0+2,y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2
又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2,2x02－3x0=0,∴x0=0或x0=.
由x≠0,知x0=,
∴y0=()3－3()2+2·=－.∴k==－.
∴l方程y=－x 切点(，－).
18. ,
令f’(x)=0得，x=0，x=1，x= ,
在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0， .
∴ .
19.设双曲线上任一点P（x0，y0）,
,
∴ 切线方程 ,
令y=0，则x=2x0
令x=0，则 .
∴ .
20.解：(1)注意到y＞0,两端取对数，得
lny=ln(x2－2x+3)+lne2x=ln(x2－2x+3)+2x,
(2)两端取对数，得
ln|y|=(ln|x|－ln|1－x|),
两边解x求导，得
21.解：设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－,当下端移开1.4 m时，t0=,
又s′=－ (25－9t2)·(－9·2t)=9t,
所以s′(t0)=9×=0.875(m/s).
22.解：(1)当x=1时，Sn=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),当x≠1时，1+2x+3x2+…+nxn-1?=,两边同乘以x,得
x+2x2+3x2+…+nxn=两边对x求导，得
Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1?
=.
23.解：f′(x)=3ax2+1.
若a＞0,f′(x)＞0对x∈(－∞,+∞)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾.
若a=0,f′(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间，矛盾.
若a＜0,∵f′(x)=3a(x+)·(x－),此时f(x)恰有三个单调区间.
∴a＜0且单调减区间为(－∞,－)和(,+∞)，
单调增区间为(－, ).
24.解：f′(x)=+2bx+1,
(1) 由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,
解方程组可得a=－,b=－,∴f(x)=－lnx－x2+x,
(2)f′(x)=－x-1－x+1,当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,当x∈(2,+∞)时，f′(x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值－ln2.
25.证法一：∵b＞a＞e,∴要证ab＞ba,只要证blna＞alnb,设f(b)=blna－alnb(b＞e),则
f′(b)=lna－.∵b＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函数，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.
证法二：要证ab＞ba,只要证blna＞alnb(e＜a＜b,即证,设f(x)=(x＞e)，则f′(x)=＜0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b,
∴f(a)＞f(b),即,∴ab＞ba.
26.解：(1)f(α)=,f(β)= ,f(α)=f(β)=4,
(2)设φ(x)=2x2－ax－2,则当α＜x＜β时，φ(x)＜0,
.
∴函数f(x)在(α，β)上是增函数.
(3)函数f(x)在［α，β］上最大值f(β)＞0,最小值f(α)＜0,
∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=－f(α)=2时，f(β)－f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，此时a=0,f(β)=2.
b
a
2
1
2
4
O
1,3,5