第二十一章 一元二次方程 单元 检测试题（含答案）

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第二十一章《一元二次方程》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A．x2+4x+5 B．﹣3x2+4x=5 C．x2+4y=5 D．x2+=5
2．方程 =9的根是（ ）
A．x=3 B．x=-3 C． =3， =-3 D． = =3
3．用配方法解方程x2-4x+1=0时，配方后所得的方程是( )
A．(x-2)2=1 B．(x-2)2=-1 C．(x-2)2=3 D．(x+2)2=3
4．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
5．若方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，则+的值为（　　）
A．5 B． C．﹣5 D．
6. 已知(m2＋n2)(m2＋n2＋2)－8＝0，则m2＋n2的值为(　　)
A. －4或2 B .－2或4 C. 4 D. 2
7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
8．已知a+，则的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．不能确定
9．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（　　）
A．13 B．11 C．11 或13 D．12或15
10．某公司2018年10月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是361万元。若该公司这两月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是（ ）
A．12% B．9% C．6% D．5%
二、填空题(每题3分，共24分)
11.已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值等于________.
12.已知a，b为一元二次方程x2+2x﹣9=0的两个根，那么a2+a﹣b的值为________．
13.当x=________时，代数式 与x-1的值相等.
14．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 　 　．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
16．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
17．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，设有x个球队参赛，则可列方程为_____________________________
18．如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形一边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2．若设道路宽为xm，则根据题意可列方程为 ．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0； （2）2（5x﹣1）2＝5（5x﹣1）；
（3）（x+3）2﹣（2x﹣3）2＝0； （4）3x2﹣4x﹣1＝0．
20．已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，求方程的另一个根．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣22，求k的值．
22．已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值．
23．拓展探究（14分）
问题情境：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用平方的非负性解决问题，例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．
（1）探究：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　；
（2）应用：比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小；
（3）拓展：求x2﹣4x+y2+2y+7的最小值．
24．如图，长方形ABCD中，AB＝9，AD＝4.E为CD边上一点，CE＝6. 点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，△PAE为直角三角形？
(2)是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（14分）
参考答案与试题解析
选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A C B B C D A
二．填空题（共8小题）
11.【答案】 2
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
△＝4﹣4a（2﹣c）＝0，
整理得：4ac﹣8a＝﹣4，
4a（c﹣2）＝﹣4，
∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
等式两边同时除以4a得： ，
则 ，
故答案为：2.
【分析】根据 关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根 得出其根的判别式应该等于0，且二次项的系数不为0，从而列出混合组，根据等式的性质变形即可得出结论。
12.【答案】 11
【考点】一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵解方程：x2+2x﹣9=0得：
∴ab=﹣9②，a+b=﹣2，
∴b=﹣2﹣a③，
把③代入②得：a2+2a﹣9=0
∴a1= ，a2= ，
∴b1= ，b2= ，
∴当a1= ，b1= 时，
∴a2+a﹣b=（ ）2+（ ）﹣（ ）=11．
当a2= ，b2= ，
∴a2+a﹣b=（﹣ ）2+（﹣ ）﹣（ ）=11
故答案为11．
【分析】解方程 x2+2x﹣9=0 ，根据一元二次方程根的定义求出a,b，再把a,b的值代入a2+a﹣b 即可求出 a2+a﹣b的值 .（也可以利用一元二次方程根的定义及根与系数的关系整体代入求值）
13.【答案】 1
14．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1 x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
16．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
17．解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，
∴满足条件的方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一），
故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．
18．（22－x）（17－x）=300.
三．解答题（共7小题）
19．解：（1）分解因式得：（x+3）（x﹣1）＝0，
可得x+3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1；
（2）方程整理得：2（5x﹣1）2﹣5（5x﹣1）＝0，
分解因式得：（5x﹣1）[2（5x﹣1）﹣5]＝0，
可得5x﹣1＝0或10x﹣7＝0，
解得：x1＝0.2，x2＝0.7；
（3）分解因式得：（x+3+2x﹣3）（x+3﹣2x+3）＝0，
可得3x＝0或﹣x+6＝0，
解得：x1＝0，x2＝6；
（4）这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵△＝16+12＝28＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
20．解：设方程另一个根为x1，
根据题意得2x1＝﹣6，解得x1＝﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
21．解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，
∴△＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数关系知：x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，
∵k≤，
∴2k﹣2＜0，
又|x1+x2|＝x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|＝k2﹣22，可化简为：k2+2k﹣24＝0．
解得k＝4（不合题意，舍去）或k＝﹣6，
∴k＝﹣6．
22．解：当a＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8，
而4+4≠0，不符合题意；
当b＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
而4+4＝8，不符合题意；
当a＝b时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝a+b，解得a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34．
23．
解：（1）x2﹣4x+5
= x2﹣4x+4+1
＝（x﹣2）2+1，
故答案为：﹣2；1；
（2）x2﹣1﹣（2x﹣3）
＝x2﹣2x+2
＝x2﹣2x+1+1
＝（x﹣1）2+1
∵（x﹣1）2≥0
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3；
（3）x2﹣4x+y2+2y+7
＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+2
＝（x﹣2）2+（y+1）2+2
∵（x﹣2）2≥0；（y+1）2≥0
∴（x﹣2）2+（y+1）2+2≥2，
∴x2﹣4x+y2+2y+7的最小值是2.
24．
解：（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，
∴CD=AB=9，∠D=90°，
∴DE=9-6=3，
∴AE===5；
若∠EPA=90°，t=6；
②若∠PEA=90°，（6-t）2+42+52=（9-t）2，
解得t=．
综上所述，当t=6或t=时，△PAE为直角三角形；
（2）假设存在，
∵EA平分∠PED，
∴∠PEA=∠DEA，
∵CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAP，
∴∠PEA=∠EAP，
∴PE=PA，
∴（6-t）2+42=（9-t）2，
解得t=．
∴满足条件的t存在，此时t=．