第十二章全等三角形 单元复习题（含解析）2023-2024学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 第十二章全等三角形 单元复习题（含解析）2023-2024学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 568.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-19 16:11:10 | ||
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文档简介
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形 单元复习题
一、选择题
1．如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．关于全等图形的描述，下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的图形 B．面积相等的图形
C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形
3．如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（ ）
A．BE B．AE C．DE D．DP
4．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，OP平分∠AOB，点E为OA上一点，OE＝4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知的三边长为，的三边长为，若与全等，则等于（ ）
A． B．4 C．3 D．3或
7．如图，△ABC≌△A'B'C，其中∠A=36°，∠C=24°，则∠B'=（ ）
A．60° B．100 C．120 D．135°
8．如图，已知，要说明，需从下列条件中选一个，错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
10．如图，在中，，平分，若，，则的面积是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．24
二、填空题
11．如图，射线是的角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积是 .
12．在平面直角坐标系中，点，，作，使与全等（点与点不重合），则点坐标为 ．
13．如图，四边形中，，，对角线，若，则的面积为 ．
14．如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为 ．
三、解答题
15．如图，已知，，，求的度数．
16．如图，AD⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A，B，AC＝BD，AC与BD相交于点E，求证：DE=CE.
17．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知米，米，求两个排污口之间的水平距离．
18．如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，．
（Ⅰ）若，求证：是的角平分线；
（Ⅱ）若是的角平分线，求证：．
四、综合题
19．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：
（1）BD=DE+CE；
（2）△ABD满足什么条件时,BD∥CE．
20．王强同学用10块高度都是 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（ ），点 在 上，点 和 分别与木墙的顶端重合.
（1）求证： ；
（2）求两堵木墙之间的距离.
21．如图，在四边形中，P为边上的一点，.、分别是、的角平分线.
（1）若，则的度数为 ，的度数为 ；
（2）求证：；
（3）设，，过点P作一条直线，分别与，所在直线交于点E、F，若，直接写出的长（用含a的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴∠D=∠B=80°
∵
∴∠E=180°-∠D-∠DAE=30°
故答案为：A
【分析】根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可求出答案。
2．【答案】C
【解析】【解答】A.形状相同的两个图形大小不一定相等，所以不是全等图形，故本选项不符合题意．
B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意．
C.能够完全重合的两个图形是全等图形，故本选项符合题意．
D.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据全等图形的定义逐项判断即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：支杆DF需要更换，则所换长度应与ED的长度相等，理由如下：
如图：连接DF，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AED与△AFD中，
∵AE=AF，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴DF=ED，
∴ 支杆DF需要更换，则所换长度应与ED的长度相等.
故答案为：C.
【分析】连接DF，根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，从而利用SAS判断△AED≌△AFD，根据全等三角形的对应边相等得出DF=ED，据此即可得出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解： 如图，由作图可知，BA=CF，OA=OB=EF=EC．
在△AOB和△CEF中，
，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
∴∠O=∠E.
故答案为：D.
【分析】根据画一个角等于已知角的基本作图，可利用三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形即可证明.
5．【答案】A
【解析】【解答】∵OP平分∠AOB，点P到OB的距离是2，
∴点P到OA的距离是2，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质可得点P到OA的距离是2，再利用三角形的面积公式计算即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
或
解得：（不符合题意，舍去）或x=3
故答案为：C
【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠A=36°，∠C=24°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=120°；
∵△ABC≌△A'B'C，
∴∠B′=∠B=120°.
故答案为：C
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠B的度数；再利用全等三角形的对应角相等，可求出∠B′的度数.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（ASA）；不符合题意；
B、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（AAS）；不符合题意；
C、在△ABD和△ACD中，DB=DC，AD=AD，∠1=∠2，用边边角不能判断这两个三角形全等；符合题意；
D、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）；不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定“①三边对应相等的两个三角形全等；②两边及夹角对应相等的两个三角形全等；③两角及夹边对应相等的两个三角形全等；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”并结合各选项和图形即可判断求解.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，即BD=CE，
∵∠1=∠2=110°，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），∠ADE=∠AED=70°，
∴∠BAD=∠CAE，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=40°，
∵∠BAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE=20°，
∴∠BAC=80°，
故答案为：B．
【分析】利用SAS判断出△ADB≌△AEC，由全等三角形对应角相等得∠BAD=∠CAE，由邻补角定义得∠ADE=∠AED=70°，由三角形由三角形内角和得∠DAE=40°，由角的和差得∠CAE与∠BAC的度数.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点D作于E，
，平分，
，
的面积.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质可得DE=CD=3，然后根据三角形的面积公式进行计算.
11．【答案】10
【解析】【解答】解：作DH⊥OB于点H，
是的角平分线，，，
，
的面积，
故答案为：10.
【分析】作DH⊥OB于点H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DH=DP=5，进而根据三角形的面积计算公式即可算出答案.
12．【答案】 或 或
【解析】【解答】解：根据题意，作出 如图所示，
则 ， ，
所以，点C的坐标为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【分析】利用全等三角形的性质可得，再求出点C的坐标即可。
13．【答案】98
14．【答案】6
【解析】【解答】解：当时，最小，
平分，，，
．
所以的最小值为6．
故答案为：6．
【分析】当时，最小，根据角平分线的性质可得，从而得解。
15．【答案】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】根据三角形内角和定理及全等三角形性质即可求出答案。
16．【答案】解：∵AD⊥AB，CB⊥AB，
∴∠DAB=∠CBA=90°，
在Rt△ADB和Rt△BCA中
∴Rt△ADB≌Rt△BCA
∴∠D=∠C，AD=BC
在△DAE和△CBE中，
∵
∴△DAE≌△CBE，
∴ED=EC.
【解析】【分析】根据“HL”证明Rt△ADB≌Rt△BCA，得到∠D=∠C，AD=BC，进而利用AAS证明△DAE≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等得出ED=EC.
17．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米．
18．【答案】解：（Ⅰ）证明：∵是的中点，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴≌（HL)．
∴．
∴ 点在的平分线上．
∴是的角平分线．
（Ⅱ）∵是的角平分线，，，
∴，．
∵是的中点，
∴．
∴≌（HL)．
∴．
【解析】【分析】（Ⅰ）先利用“HL”证明≌，可得DE=DF，再利用角平分线的判定证明即可；
（Ⅱ）根据“HL”证明≌，即可得到BE=CF。
19．【答案】（1）证明：∵△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，
即BD=DE+CE；
（2）证明：△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE，
理由是：∵△BAD≌△ACE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴∠BDE=180° 90°=90°=∠E，
∴BD∥CE．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；（2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=90°，推出∠BDE=90°，根据平行线的判定求出即可．
20．【答案】（1）证明：由题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
在 和 中
，
∴
（2）解：由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
答：两堵木墙之间的距离为
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可证 ，然后利用AAS即可证出 ；（2）根据题意即可求出AD和BE的长，然后根据全等三角形的性质即可求出DC和CE，从而求出DE的长.
21．【答案】（1）55°；90°
（2）证明：如图1，延长交的延长线于点，
由（1）得，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴
（3）解：或
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵、分别是、的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：55°，90°
（3）解：或，
分两种情况讨论，
①将沿向右平移到，且经过点P，交于点E，交的延长线与点F，则，
由（2）的证明过程，同理可证，
∴，
∴，
∵，，，
∴在中，，
解得，，
由（2）可知，，
∴；
②如图3，若点F在上，，过点P作与点N，与点M.
由角平分线性质定理可得，
在中，，
∴，
则，
在和
∵，，，
由勾股定理可得出，，
∴.
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，根据角平分线的概念可得∠ABP=∠ABC，∠BAP=∠BAD=35°，则∠ABP+∠BAP=(∠ABC+∠BAD)=90°，由内角和定理可得∠APB=90°，然后根据∠ABP=90°-∠BAP进行计算；
（2）延长BP交AD的延长线于点G，由（1）得∠APB=90°，利用ASA证明△ABP≌△AGP，得到BA=GA，BP=GP，由平行线的性质可得∠CBP=∠DGP，证明△BCP≌△GDP，得到BC=GD，据此解答；
（3）①将AB沿AD向右平移到EF，且经过点P，交AD于点E，交BC的延长线与点F，则BF=AE，由（2）可得AE=BF=EG，由勾股定理可得AB=5a，由（2）可知AG=AB=5a，据此求解；②若点F在BC上，EF=AB，过点P作PN⊥AD与点N，PM⊥AB与点M，由角平分线性质定理可得PM=PN，根据等面积法可得PM，由勾股定理可得AN、EN，然后根据AE=AN+EN进行解答.
一、选择题
1．如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．关于全等图形的描述，下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的图形 B．面积相等的图形
C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形
3．如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（ ）
A．BE B．AE C．DE D．DP
4．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，OP平分∠AOB，点E为OA上一点，OE＝4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知的三边长为，的三边长为，若与全等，则等于（ ）
A． B．4 C．3 D．3或
7．如图，△ABC≌△A'B'C，其中∠A=36°，∠C=24°，则∠B'=（ ）
A．60° B．100 C．120 D．135°
8．如图，已知，要说明，需从下列条件中选一个，错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
10．如图，在中，，平分，若，，则的面积是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．24
二、填空题
11．如图，射线是的角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积是 .
12．在平面直角坐标系中，点，，作，使与全等（点与点不重合），则点坐标为 ．
13．如图，四边形中，，，对角线，若，则的面积为 ．
14．如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为 ．
三、解答题
15．如图，已知，，，求的度数．
16．如图，AD⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A，B，AC＝BD，AC与BD相交于点E，求证：DE=CE.
17．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知米，米，求两个排污口之间的水平距离．
18．如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，．
（Ⅰ）若，求证：是的角平分线；
（Ⅱ）若是的角平分线，求证：．
四、综合题
19．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：
（1）BD=DE+CE；
（2）△ABD满足什么条件时,BD∥CE．
20．王强同学用10块高度都是 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（ ），点 在 上，点 和 分别与木墙的顶端重合.
（1）求证： ；
（2）求两堵木墙之间的距离.
21．如图，在四边形中，P为边上的一点，.、分别是、的角平分线.
（1）若，则的度数为 ，的度数为 ；
（2）求证：；
（3）设，，过点P作一条直线，分别与，所在直线交于点E、F，若，直接写出的长（用含a的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴∠D=∠B=80°
∵
∴∠E=180°-∠D-∠DAE=30°
故答案为：A
【分析】根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可求出答案。
2．【答案】C
【解析】【解答】A.形状相同的两个图形大小不一定相等，所以不是全等图形，故本选项不符合题意．
B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意．
C.能够完全重合的两个图形是全等图形，故本选项符合题意．
D.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据全等图形的定义逐项判断即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：支杆DF需要更换，则所换长度应与ED的长度相等，理由如下：
如图：连接DF，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AED与△AFD中，
∵AE=AF，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴DF=ED，
∴ 支杆DF需要更换，则所换长度应与ED的长度相等.
故答案为：C.
【分析】连接DF，根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，从而利用SAS判断△AED≌△AFD，根据全等三角形的对应边相等得出DF=ED，据此即可得出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解： 如图，由作图可知，BA=CF，OA=OB=EF=EC．
在△AOB和△CEF中，
，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
∴∠O=∠E.
故答案为：D.
【分析】根据画一个角等于已知角的基本作图，可利用三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形即可证明.
5．【答案】A
【解析】【解答】∵OP平分∠AOB，点P到OB的距离是2，
∴点P到OA的距离是2，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质可得点P到OA的距离是2，再利用三角形的面积公式计算即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
或
解得：（不符合题意，舍去）或x=3
故答案为：C
【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠A=36°，∠C=24°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=120°；
∵△ABC≌△A'B'C，
∴∠B′=∠B=120°.
故答案为：C
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠B的度数；再利用全等三角形的对应角相等，可求出∠B′的度数.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（ASA）；不符合题意；
B、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（AAS）；不符合题意；
C、在△ABD和△ACD中，DB=DC，AD=AD，∠1=∠2，用边边角不能判断这两个三角形全等；符合题意；
D、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）；不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定“①三边对应相等的两个三角形全等；②两边及夹角对应相等的两个三角形全等；③两角及夹边对应相等的两个三角形全等；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”并结合各选项和图形即可判断求解.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，即BD=CE，
∵∠1=∠2=110°，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），∠ADE=∠AED=70°，
∴∠BAD=∠CAE，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=40°，
∵∠BAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE=20°，
∴∠BAC=80°，
故答案为：B．
【分析】利用SAS判断出△ADB≌△AEC，由全等三角形对应角相等得∠BAD=∠CAE，由邻补角定义得∠ADE=∠AED=70°，由三角形由三角形内角和得∠DAE=40°，由角的和差得∠CAE与∠BAC的度数.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点D作于E，
，平分，
，
的面积.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质可得DE=CD=3，然后根据三角形的面积公式进行计算.
11．【答案】10
【解析】【解答】解：作DH⊥OB于点H，
是的角平分线，，，
，
的面积，
故答案为：10.
【分析】作DH⊥OB于点H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DH=DP=5，进而根据三角形的面积计算公式即可算出答案.
12．【答案】 或 或
【解析】【解答】解：根据题意，作出 如图所示，
则 ， ，
所以，点C的坐标为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【分析】利用全等三角形的性质可得，再求出点C的坐标即可。
13．【答案】98
14．【答案】6
【解析】【解答】解：当时，最小，
平分，，，
．
所以的最小值为6．
故答案为：6．
【分析】当时，最小，根据角平分线的性质可得，从而得解。
15．【答案】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】根据三角形内角和定理及全等三角形性质即可求出答案。
16．【答案】解：∵AD⊥AB，CB⊥AB，
∴∠DAB=∠CBA=90°，
在Rt△ADB和Rt△BCA中
∴Rt△ADB≌Rt△BCA
∴∠D=∠C，AD=BC
在△DAE和△CBE中，
∵
∴△DAE≌△CBE，
∴ED=EC.
【解析】【分析】根据“HL”证明Rt△ADB≌Rt△BCA，得到∠D=∠C，AD=BC，进而利用AAS证明△DAE≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等得出ED=EC.
17．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米．
18．【答案】解：（Ⅰ）证明：∵是的中点，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴≌（HL)．
∴．
∴ 点在的平分线上．
∴是的角平分线．
（Ⅱ）∵是的角平分线，，，
∴，．
∵是的中点，
∴．
∴≌（HL)．
∴．
【解析】【分析】（Ⅰ）先利用“HL”证明≌，可得DE=DF，再利用角平分线的判定证明即可；
（Ⅱ）根据“HL”证明≌，即可得到BE=CF。
19．【答案】（1）证明：∵△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，
即BD=DE+CE；
（2）证明：△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE，
理由是：∵△BAD≌△ACE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴∠BDE=180° 90°=90°=∠E，
∴BD∥CE．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；（2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=90°，推出∠BDE=90°，根据平行线的判定求出即可．
20．【答案】（1）证明：由题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
在 和 中
，
∴
（2）解：由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
答：两堵木墙之间的距离为
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可证 ，然后利用AAS即可证出 ；（2）根据题意即可求出AD和BE的长，然后根据全等三角形的性质即可求出DC和CE，从而求出DE的长.
21．【答案】（1）55°；90°
（2）证明：如图1，延长交的延长线于点，
由（1）得，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴
（3）解：或
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵、分别是、的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：55°，90°
（3）解：或，
分两种情况讨论，
①将沿向右平移到，且经过点P，交于点E，交的延长线与点F，则，
由（2）的证明过程，同理可证，
∴，
∴，
∵，，，
∴在中，，
解得，，
由（2）可知，，
∴；
②如图3，若点F在上，，过点P作与点N，与点M.
由角平分线性质定理可得，
在中，，
∴，
则，
在和
∵，，，
由勾股定理可得出，，
∴.
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，根据角平分线的概念可得∠ABP=∠ABC，∠BAP=∠BAD=35°，则∠ABP+∠BAP=(∠ABC+∠BAD)=90°，由内角和定理可得∠APB=90°，然后根据∠ABP=90°-∠BAP进行计算；
（2）延长BP交AD的延长线于点G，由（1）得∠APB=90°，利用ASA证明△ABP≌△AGP，得到BA=GA，BP=GP，由平行线的性质可得∠CBP=∠DGP，证明△BCP≌△GDP，得到BC=GD，据此解答；
（3）①将AB沿AD向右平移到EF，且经过点P，交AD于点E，交BC的延长线与点F，则BF=AE，由（2）可得AE=BF=EG，由勾股定理可得AB=5a，由（2）可知AG=AB=5a，据此求解；②若点F在BC上，EF=AB，过点P作PN⊥AD与点N，PM⊥AB与点M，由角平分线性质定理可得PM=PN，根据等面积法可得PM，由勾股定理可得AN、EN，然后根据AE=AN+EN进行解答.