等式性质与不等式性质 学案

等式性质与不等式性质
【知识精讲】
一、等式：
1、等式的定义：
（1）等式的定义：表示相等关系的式子，称为等式；通常用符号“=”表示；
（2）理解等式的定义时应该注意的问题：①等式中含有两个表示数量关系的代数式；②这两个表示数量关系的代数式所表示的数量之间具有相等关系；③两个代数式之间用符号“=”连接。
2、等式的性质：
（1）等式的交换性：若a=b ，则b=a；
（2）等式的传递性：若a=b ，b=c则 a=c；
（3）等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），等式仍然成立；
（4）等式两边同时乘以（或除以，除数不为0或除式的值不为0）同一个数（或代数式），等式仍然成立。
二、不等式：
1、不等式的概念：
不等式的定义：用符号“ < 或 ≤ 或 >或 ≥ 或 ≠ ”连接两个数(或代数式)来表示它们之间不等关系的式子，叫做不等式。
2、两个实数（或式）比较大小的基本方法：
（1）实数大小的意义：实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大；
①如图设点A表示的实数为a，点B表示的实数为b，
显然a＞b，由此可以推出a-b>0； B A
② 如图设点A表示的实数为a，点B表示的实数为b，
显然a＜b，由此可以推出a-b<0； A B
③如图设点A表示的实数为a，点B表示的实数为b，
显然a=b，由此可以推出a-b=0。 A B
(2)实数大小比较的基本方法：①求差法：设a，bR，1》a-b＞0 a＞b；2》a-b＜0 a＜b；3》a-b=0 a=b；②求商法：设a，bR，1》＞1 a＞b；2》＜1 a＜b；3》=1 a=b。
3、不等式的基本性质：
（1）a＞b b＜a(交换性)；
（2）a＞b ，b＞c a＞c（传递性）；
（3）a＞b a±c＞b±c（加法法则），若 a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；
（4）①a＞b ，c＞01》 ac＞bc； 2》a＞b ＞0且c＞d＞0 ac＞bd；3》a＞b ＞0＞（nN且n＞1）；4》a＞b ＞0＞（nN且n＞1）；②a＞b ，c＜0 ac＜bc（乘法法则）。
4、不等式的常用性质：
（1）倒数性质：①a＞b ，ab＞0，； ②a＜0＜b，；
③a＞b＞0，,0＜c＜d，； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0.
(2)分数性质：设a＞b ＞0，m＞0，b-m＞0。
①真分数的性质：＜，＞；②假分数的性质：＞，＜。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）
A 如果a=b，那么a-c=b-c B 如果a=b，那么a+c=b+c
C 如果a=b，那么= D 如果a=b，那么ac=bc
2、下列说法正确的是（ ）
A 如果ac=bc，那么a=b B 如果=，那么a=b
C 如果a=b，那么= D 如果-=6y，那么x=-2y
3、已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（ ）
A = B = C = D =
4、根据下图所示，对a，b，c三种物体的重量判断正确的是（ ）
c c c
A a＜c B a＜b C a＞c D b＜c
5、下列结论中不能由a+b=0得到的是（ ）
A =-ab B |a|=|b| C a=0，b=0 D =
6、已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A 3a-5=2b B 3a+1=2b+6 C 3ac=2bc+5 D a= b+
7、能不能由（a+3）x=b-1得到x= ，为什么？反之能不能由x= 得到（a+3）
x=b-1，为什么？
『思考问题1』
（1）【典例1】是与等式的性质相关的问题，解答这类问题需要理解等式的性质，注意性质中相应满足的条件；
（2）等式性质（2）中等式两边同时除以一个不为零的数，等式仍然成立理解时需要注意：①两边同时除以一个数；②除以这个数不能为零。
［练习1］解答下列问题：
1、下列结论错误的是（ ）
A 如果a=b，那么a-c=b-c B 如果a=b，那么=
C 如果x=2，那么=2x D 如果ax=bx，那么a=b
2、在公式=+中，以下变形正确的是（ ）
A R=- B R= C R= D R=
3、如图a和图b分别表示两架处于平衡状态的简易天平，对a，b，c三种物体的质量判断正确的是（ ）
c c
A a＜c＜b B a＜b＜c C c＜b＜a D b＜a＜c
4、若2y-7x=0（xy0），则x：y等于（ ）
A 7：2 B 4：7 C 2：7 D 7：4
5、下列说法：①若a+b=0，且ab0，则x=1是方程ax+b=0的解；②若a-b=0，且ab0，则x=-1是方程ax+b=0的解；③若ax+b=0，则x=- ；④若（a-3）+b=0是一元一次方程，则a=1。其中正确的结论是（ ）
A 只有①② B 只有②④ C 只有①③④ D 只有①②④
【典例2】解答下列问题：
1、某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，若维持正常生产，甲，乙两种材料的总量至少需要120吨，则x，y应满足的不等关系是（ ）
A x+y＞120 B x+y＜120 C x+y120 D x+y120
2、设P=，Q=-，R=-，则P，Q，R的大小关系是（ ）
A P＞Q＞R B P＞R＞Q C Q＞P＞R D Q＞R＞P
3、设M=2a(a-2)+7，N=（a-2）（a-3）,则M，N的大小关系是（ ）
A M＞N B MN C M＜N D MN
4、已知a1，且M=-，N=-，则M，N的大小关系是（ ）
A M＞N B M＜N C M=N D 不能确定
5、若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则| （1-x）|与| （1+x）|的大小关系是（ ）
A | （1-x）|＞| （1+x）| B| （1-x）|＜| （1+x）|
C 不确定，由a的值确定 D不确定，由x的值确定
6、已知，（0，1），记M=，N=+-1，则M，N的大小关系是（ ）
A M＜N B M＞N C M=N D 不能确定
7、若a=，b=，c=，则（ ）
A a＜b＜c B c＜b＜a C c＜a＜b D b＜a＜c
『思考问题2』
（1）【典例2】是与不等式概念相关的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义，掌握实数大小比较的基本方法；
（2）比较实数大小的基本方法有：①求差法 ；②求商法；③函数单调性法；
（3）求差法的基本步骤是：①求两数（或两式）的差并变形；② 将求出的差与0 作比较③得出两数（或式）的大小关系；
（4）求商法的基本步骤是：①求两数（或两式）的商并变形；② 将求出的商与1作比较；③得出两数（或式）的大小关系；
（5）函数单调性法的基本步骤是：①构造一个函数使比较的数（或式）是不同的函数值；②判断函数的单调性；③运用函数的单调性比较数（或式）的大小；④得出两数（或式）的大小关系。
〔练习2〕解答下列问题：
1、设a，b［0，+），A=+，N=，则A，B的大小关系是（ ）
A AB B AB C A＜B D A＞B
2、若a=，b=，则a，b的大小关系为 ；
3、比较与的大小； 4、比较-与-的大小；
5、比较（a+3）(a-5)与(a+2)(a-4)的大小；
6、已知x≠0,比较与+1的大小；
7、比较（2a+1）(a-3)与（a-6）(2a+7)+45的大小；
8、比较（x+1）(+1)与(x+)(+x+1)的大小；
9、设x≥1,比较与-x+1的大小。
10、比较(x+5)(x+7)与的大小；
11、如果x＞0，比较与的大小；
12、已知a≠0,比较与的大小。
【典例3】解答下列问题：
1、若a＞b ＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A ＞ B ＜ C ＞ D ＜
2、已知a＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是（ ）
A a+＞b+ B a+＞b+ C ＞ D b- ＞a-
3、实数a，b，c，d满足下列两个条件：①d＞c；②a+d＜b+c。则a，b的大小关系为（ ）
A a＞b B a＜b C a=b D 不能确定
4、已知实数a，b，c满足c＜b ＜a，ac ＜0，那么下列选项中一定成立的是（ ）
A ab＞ac B c(b-a) ＜0 C c＜a D ac(a-c)＞0
5、已知a，b，c，d为实数，则“a＞b且c＞d”是“ac+bd＞bc+ad”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
6、判断下列命题的真假：
（1）若a＞b ，则 ac＞bc； （2）若a＞b ，则 a＞b；
（3）若a＜b ＜0，则＞ab＞； （4）若a＜b ＜0，则|a|＞|b|；
（5）若c＞a＞b ＞0，则＞； （6）若a＞b ， ＞，则a＞0，b ＞0；
（7）若a＞b ， c＞d，则a-c＞b-d； （8）若a＞b ， c＜d，则＞；
（9）若a＞b ，n∈N,则＞； （10）若a＞b＞c ，＜＜，则a，b，c＞0；
『思考问题3』
（1）【典例3】是与不等式的性质相关的问题，解决这类问题需要理解并掌握不等式的基本性质和常用性质，注意每一个性质的条件及条件加强和放宽后，条件和结论之间发生的变化，避免由于忽略某些限制条件而造成失误，特别注意关于符号的限制条件；
（2）解答与不等式性质相关问题的基本方法是：①根据问题确定与不等式的哪些性质相关；②运用选定的不等式性质解答问题；③得出结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、判断下列命题的真假：
（1）若a＞b ，c＞d,则 a-c＞b-c； (2) 若a＞b ，c＜d,则 ＞；
（3）如果ac＜bc ，那么 a＜b； （4）如果a ＞b ，那么a＞b；
(5) 若a＞b ＞c，＜＜，则a，b，c＞0； （6）若a＞b ，nN，则＞；
（7）若aR，nN，则1+a++--------+＞0；（8）若ab，acbc，则c0.
2、已知a＞b ， c＞d，求证a-d＞b-c； 3、已知a＞b ， ab＞0，求证＜
4、已知a＞b ＞0 c＜d＜0，求证ac＜bd； 5、已知a＞b，求证c-2a＜c-2b.
6、已知a＞b ， c＜d，求证a-c＞b-d； 7、已知a＞b ＞0，c＜0，求证＞；
8、已知a＞b，e ＞f，c＞0，求证f-ac＜e-bc； 9、已知a＞b ＞0，求证＜；
10、已知a＞b ＞0且c＞d＞0，求证＞；
【典例4】解答下列问题：
1、已知a＞b ＞0，给出下列命题：①＞；②＞；③＞-；④+＞2b。其中一定成立的不等式为（ ）
A ①②③ B ①②④ C ①③④ D ②③④
2、已知-1＜x＜4，2＜y＜3，则x-y的取值范围是 ，3x+2y的取值范围是 ；
3、给出下列命题：①a＞|b|，＞；②a＞b， ＞；③|a|＞b，＞。其中正确的命题的序号是 ；
4、对于实数a，b，c有下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a ＞b ，则a＞b；③若a＜b ＜0，则＞ab＞； ④若c＞ a＞b ＞0,则＞；⑤若a＞b，＞，则a＞0，b ＜0。其中真命题的个数是（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
『思考问题4』
（1）【典例4】是不等式性质的应用问题，解答这类问题需要理解并掌握不等式的基本性质和常用性质，注意每一个性质成立所具有的的条件；
（2）不等式性质的应用问题主要包括：①判断不等式是否成立；②求代数式的取值范围；
（3）判断不等式是否成立的基本方法是：①确定不等式与不等式的哪些性质相关；②运用选定的性质进行判断；③得出结果；
（4）求代数式取值范围的基本方法是：①确定问题与哪些不等式性质相关；②运用选定的性质和整体思想求出代数式整体的取值范围；③得出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、若a＞0＞b＞-a，c＜d ＜0,则下列结论：①ad＞bc；②+＜0；③a-c＞b-d；④a（d-c）＞b(d-c)中成立的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、若a＜b＜0,则下列不等式一定成立的是（ ）
A ＞ B ＞ab C ＞ D ＞
3、已知14a-2b 2，且3a+b 4，则4a+2b的取值范围是 ；
4、已知30＜x＜42，16＜y＜24,求x+y，x-2y，及的取值范围。
5、设x，y为实数，满足3x8，49，则的最大值是 ；
6、已知f(x)=a-c，-4f(1) -1，-1f(2) 5，则f(3)的取值范围为 。
【雷区警示】
【典例5】解答下列问题：
若0设f(x)=p+qx，且2≤f(-1)≤4，4≤f(1)≤6，求f(-2)的取值范围。
『思考问题5』
【典例5】是运用等式（或不等式）性质解答问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视同向不等式相减的正确方法，导致解答问题出现错误；②多次运用不等式的性质时，忽视不等号成立的条件；
运用等式（或不等式）性质解答问题时，为避免忽视同向不等式相减的正确方法的雷区，需要注意同向不等式相减的正确方法，相减实质上减去的一个不等式相当于不等式两边同乘以-1，这时不等号的方向要改变；
运用等式（或不等式）性质解答问题时，为避免多次运用不等式的性质时，忽视不等号成立的条件的雷区，需要注意每次使用不等式性质时，不等号成立的条件。
〔练习5〕解答下列问题：
1、若12、设f(x)=a+bx，且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围。
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=，记a=f()，b=f()，c=f()，则（）（2023全国高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
声源 与声源的距离/m声压级/dB
噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量 燃油汽车 10 60-90
声音的强弱，定义声压级=20lg，其中常数 混合动力车 10 50-60
（>0）是听觉下限固值，P是实际声压，如表 电动汽车 10 40
为不同声源的声压级，已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则（）（2023全国高考新高考I）
A ≥ B >10 C =100 D ≤100
3、设a=ln，b= ，c =3，则a，b，c的大小关系为（ ）（成都市2020级零诊）
A b4、日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射，因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用=
表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数（也称衰减系数），D（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强，已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为（参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6）（ ）（成都市高2020级高三一诊）
A 0.12 B 0.11 C 0.07 D 0.01
5、已知a=，b=，c=，则（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A c6、（理）已知a=，b=cos，c=4sin，则（ ）
A c>b>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知=10，a=-11，b=-9，则（ ）（2022全国高考甲卷）
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
7、已知实数a，b满足2>2>1，则（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 18、（理）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，则（ ）
A a（文）设a0，若x=a为函数f(x)=a（x-b）的极大值点，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A ab C ab< D ab>
9、已知a=2，b=3，c=，则下列判断正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A c10、已知函数f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）（2021成都市高三零诊）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
11、设a=，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）（2021成都市高三一诊）
A a＞b＞c B a＞c＞b C c＞a＞b D c＞b＞a
12、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()0.03)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）
（文）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(0.3),
b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（2021成都市高三二诊）
『思考问题6』
【典例6】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试）试卷中与不等式定义和性质相关的问题，归结起来主要包括：①比较实数（或式）的大小；②不等式定义及运用；③不等式性质及运用等几种类型；
解答与不等式定义和性质相关问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题所属的类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、设a=2sincos，b=cos-sin，c=cos，则（ ）（成都市2021-2022学年度高一下期期末名校联盟考试）
2、若关于x的不等式cosx+sin(x-)+m0在[0, ]上恒成立，则m的取值范围为（ ）（成都市2021-2022学年度高一下期期末名校联盟考试）
A （-，0] B （-，-] C （-，-] D （-，-1]
3、已知实数a，b满足aA < B ln（b-a）>0 C > D <
4、若aA lna5、若a，bR，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考试）
A +＞2ab B +2 C +> D a+b2
6、能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为 （2018全国高考北京卷（文））
7、已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式成立的是（ ）（成都市2017—2018高一下期数学质检（理））
A ＜ B b＜a C ＜ D ＜
8、已知a＞b，c＞d，且cd 0，下列正确的是（ ）（成都市2017—2018高一下期数学质检（文））
A ac＞bd B ＞ C a+c＞b+d D a-c＞b-d
9、若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是（ ）（成都市2017—2018高一下期期末质量检测（文））
A |a|＞|b| B ＞ab C ＞ D ＞
等式性质与不等式性质
【知识精讲】
一、等式：
1、等式的定义：
（1）等式的定义：表示相等关系的式子，称为等式；通常用符号“=”表示；
（2）理解等式的定义时应该注意的问题：①等式中含有两个表示数量关系的代数式；②这两个表示数量关系的代数式所表示的数量之间具有相等关系；③两个代数式之间用符号“=”连接。
2、等式的性质：
（1）等式的交换性：若a=b ，则b=a；
（2）等式的传递性：若a=b ，b=c则 a=c；
（3）等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），等式仍然成立；
（4）等式两边同时乘以（或除以，除数不为0或除式的值不为0）同一个数（或代数式），等式仍然成立。
二、不等式：
1、不等式的概念：
不等式的定义：用符号“ < 或 ≤ 或 >或 ≥ 或 ≠ ”连接两个数(或代数式)来表示它们之间不等关系的式子，叫做不等式。
2、两个实数（或式）比较大小的基本方法：
（1）实数大小的意义：实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大；
①如图设点A表示的实数为a，点B表示的实数为b，
显然a＞b，由此可以推出a-b>0； B A
② 如图设点A表示的实数为a，点B表示的实数为b，
显然a＜b，由此可以推出a-b<0； A B
③如图设点A表示的实数为a，点B表示的实数为b，
显然a=b，由此可以推出a-b=0。 A B
(2)实数大小比较的基本方法：①求差法：设a，bR，1》a-b＞0 a＞b；2》a-b＜0 a＜b；3》a-b=0 a=b；②求商法：设a，bR，1》＞1 a＞b；2》＜1 a＜b；3》=1 a=b。
3、不等式的基本性质：
（1）a＞b b＜a(交换性)；
（2）a＞b ，b＞c a＞c（传递性）；
（3）a＞b a±c＞b±c（加法法则），若 a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；
（4）①a＞b ，c＞01》 ac＞bc； 2》a＞b ＞0且c＞d＞0 ac＞bd；3》a＞b ＞0＞（nN且n＞1）；4》a＞b ＞0＞（nN且n＞1）；②a＞b ，c＜0 ac＜bc（乘法法则）。
4、不等式的常用性质：
（1）倒数性质：①a＞b ，ab＞0，； ②a＜0＜b，；
③a＞b＞0，,0＜c＜d，； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0.
(2)分数性质：设a＞b ＞0，m＞0，b-m＞0。
①真分数的性质：＜，＞；②假分数的性质：＞，＜。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）
A 如果a=b，那么a-c=b-c B 如果a=b，那么a+c=b+c
C 如果a=b，那么= D 如果a=b，那么ac=bc
【解析】
【考点】①等式定义与性质；②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质，运用等式进行等式变形的基本方法，结合问题条件，对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， a=b，a-c=b-c，A正确；对B， a=b，a+c=b+c，B正确；对C， a=b，当c=0时，=不成立，C错误；对D， a=b，ac=bc，D正确，综上所述，C不正确，选C。
2、下列说法正确的是（ ）
A 如果ac=bc，那么a=b B 如果=，那么a=b
C 如果a=b，那么= D 如果-=6y，那么x=-2y
【解析】
【考点】①等式定义与性质；②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质，运用等式进行等式变形的基本方法，结合问题条件，对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， ac=bc，当c=0时，不能推出a=b，A错误；对B，=， a=b， B正确；对C， a=b，当c=0时，= 不成立，C错误；对D，-=6y， x=-18y，D错误，综上所述，B正确，选B。
3、已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（ ）
A = B = C = D =
【解析】
【考点】①等式定义与性质；②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质，运用等式进行等式变形的基本方法，结合问题条件，对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，= ， xy=mn，A正确；对B，= ， xy=mn， B正确；对C， = ，nx=my，不能推出xy=mn，C错误；对D，=， xy=mn，D正确，综上所述，C错误，选C。
4、根据下图所示，对a，b，c三种物体的重量判断正确的是（ ）
c c c
A a＜c B a＜b C a＞c D b＜c
【解析】
【考点】①等式定义与性质；②不等式定义与性质。
【解题思路】根据等式和不等式的性质，运用问题图像，结合问题条件，得出a，b，c之间的大小关系就可得出选项。
【详细解答】由图知，a＞b，b＞c， a＞c，C正确，选C。
5、下列结论中不能由a+b=0得到的是（ ）
A =-ab B |a|=|b| C a=0，b=0 D =
【解析】
【考点】①等式定义与性质；②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质，运用等式进行等式变形的基本方法，结合问题条件，对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， a+b=0， a=-b， =-ab ，A正确；对B， a+b=0， a=-b， |a|=|b |， B正确；对C， a+b=0， a=-b，不能推出a=0，b=0，C错误；对D， a+b=0， a=-b， = ， D正确，综上所述，C错误，选C。
6、已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A 3a-5=2b B 3a+1=2b+6 C 3ac=2bc+5 D a= b+
【解析】
【考点】①等式定义与性质；②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质，运用等式进行等式变形的基本方法，结合问题条件，对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， 3a=2b+5， 3a-5=2b， A正确；对B， 3a=2b+5， 3a+1=2b+5+1
=2b+6， B正确；对C，3 a=2b+5， 3ac=2bc+5c，不能推出3ac=2bc+5，C错误；对D， 3a=2b+5， a=b+ ， D正确，综上所述，C不一定成立，选C。
7、能不能由（a+3）x=b-1得到x= ，为什么？反之能不能由x= 得到（a+3）
x=b-1，为什么？
【解析】
【考点】①等式定义与性质；②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质，运用等式进行等式变形的基本方法，结合问题条件，对由（a+3）x=b-1得到x= ，由x= 得到（a+3）x=b-1，是否成立进行判断就可得出结论。
【详细解答】当a+3=0，即a=-3时，由（a+3）x=b-1不能得到x= ，不能由（a+3）x=b-1得到x= ， x= ， a+3≠0，即a ≠-3，（a+3）x=b-1，能由x= 得到（a+3）x=b-1。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与等式的性质相关的问题，解答这类问题需要理解等式的性质，注意性质中相应满足的条件；
（2）等式性质（2）中等式两边同时除以一个不为零的数，等式仍然成立理解时需要注意：①两边同时除以一个数；②除以这个数不能为零。
［练习1］解答下列问题：
1、下列结论错误的是（ ）（答案：D）
A 如果a=b，那么a-c=b-c B 如果a=b，那么=
C 如果x=2，那么=2x D 如果ax=bx，那么a=b
2、在公式=+中，以下变形正确的是（ ）（答案：B）
A R=- B R= C R= D R=
3、如图a和图b分别表示两架处于平衡状态的简易天平，对a，b，c三种物体的质量判断正确的是（ ）（答案：B）
c c
A a＜c＜b B a＜b＜c C c＜b＜a D b＜a＜c
4、若2y-7x=0（xy0），则x：y等于（ ）（答案：C）
A 7：2 B 4：7 C 2：7 D 7：4
5、下列说法：①若a+b=0，且ab0，则x=1是方程ax+b=0的解；②若a-b=0，且ab0，则x=-1是方程ax+b=0的解；③若ax+b=0，则x=- ；④若（a-3）+b=0是一元一次方程，则a=1。其中正确的结论是（ ）（答案：D）
A 只有①② B 只有②④ C 只有①③④ D 只有①②④
【典例2】解答下列问题：
1、某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，若维持正常生产，甲，乙两种材料的总量至少需要120吨，则x，y应满足的不等关系是（ ）
A x+y＞120 B x+y＜120 C x+y120 D x+y120
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②运用不等式表示不等关系的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用不等式表示不等关系的基本方法，结合问题条件，表示出x，y应满足的不等关系就可得出选项。
【详细解答】某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，维持正常生产，甲，乙两种材料的总量至少需要120吨，x，y应满足的不等关系是x+y120，C正确，选C。
2、设P=，Q=-，R=-，则P，Q，R的大小关系是（ ）
A P＞Q＞R B P＞R＞Q C Q＞P＞R D Q＞R＞P
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件，得出P，Q，R的大小关系就可得出选项。
【详细解答】P-Q=-+=+-＞0，P＞Q，P-R=-+=2
-＞0，P＞R，Q-R=--+=+-（+）＜0，R＞Q，P，Q，R的大小关系是P＞R＞Q，B正确，选B。
3、设M=2a(a-2)+7，N=（a-2）（a-3）,则M，N的大小关系是（ ）
A M＞N B MN C M＜N D MN
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用比较两个式子大小的基本方法，结合问题条件，得出M，N的大小关系就可得出选项。
【详细解答】M-N=2-4a+7-(-5a+6)= +a+1=+＞0, M＞N，A正确，选A。
4、已知a1，且M=-，N=-，则M，N的大小关系是（ ）
A M＞N B M＜N C M=N D 不能确定
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用比较两个式子大小的基本方法，结合问题条件，得出M，N的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a1， M-N=+-2＜0，M＜N，B正确，选B。
5、若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则| （1-x）|与| （1+x）|的大小关系是（ ）
A | （1-x）|＞| （1+x）| B|（1-x）|＜| （1+x）|
C 不确定，由a的值确定 D不确定，由x的值确定
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②对数定义域性质；③比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式和对数的性质，运用比较两个式子大小的基本方法，结合问题条件，得出| （1-x）|与| （1+x）|的大小关系就可得出选项。
【详细解答】当a＞1时，0＜x＜1，0＜1-x＜1，1＜1+x＜2，| （1+x）|-| （1-x）|=（1+x）+（1-x）=（1-）＜0，| （1+x）|＜| （1-x）|，当0＜a＜1时，0＜x＜1，0＜1-x＜1，1＜1+x＜2，| （1+x）|-| （1-x）|=-（1+x）-（1-x）=-（1-）＜0，| （1+x）|＜| （1-x）|，综上所述，| （1+x）|＜| （1-x）|，A正确，选A。
6、已知，（0，1），记M=，N=+-1，则M，N的大小关系是（ ）
A M＜N B M＞N C M=N D 不能确定
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用比较两个式子大小的基本方法，结合问题条件，得出M，N的大小关系就可得出选项。
【详细解答】设=sin，=cos，(0，)，M-N= sinos-( sin+ cos)+1,
设t= sin+ cos=sin(+),t(1，)， M-N=-t+=＞0，即M＞N，B正确，选B。
7、若a=，b=，c=，则（ ）
A a＜b＜c B c＜b＜a C c＜a＜b D b＜a＜c
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用比较两个式子大小的基本方法，结合问题条件，得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】设函数f(x)= ，x ［3，+)，函数f(x)= 在［3，+)上单调递减， a=＞b=＞c=，B正确，选B。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与不等式概念相关的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义，掌握实数大小比较的基本方法；
（2）比较实数大小的基本方法有：①求差法 ；②求商法；③运用函数的单调性比较法；
（3）求差法的基本步骤是：①求两数（或两式）的茶并变形；② 将求出的差与数0作比较③得出两数（或两式）的大小关系；
（4）求商法的基本步骤是：①求两数（或两式）的商并变形；② 将求出的商与数1作比较；③得出两数（或两式）的大小关系；
（5）运用函数单调性比较法的基本方法是：①构造一个函数使比较的数是不同的函数值；②判断函数的单调性；③运用函数的单调性比较两数（或两式）的大小；④得出两数（或两式）的大小关系。
〔练习1〕解答下列问题：
1、设a，b［0，+），A=+，N=，则A，B的大小关系是（ ）（答案：B）
A AB B AB C A＜B D A＞B
2、若a=，b=，则a，b的大小关系为 ；（答案：b＞a）
3、比较与的大小；（答案：＞）
4、比较-与-的大小；（答案：-＜-）
5、比较（a+3）(a-5)与(a+2)(a-4)的大小；（答案：（a+3）(a-5)＜（a+2）(a-4)）
6、已知x≠0,比较与+1的大小；（答案：当x≠0时, ＞+1）
7、比较（2a+1）(a-3)与（a-6）(2a+7)+45的大小；（答案：（2a+1）(a-3)＜（a-6）(2a+7)+45）
8、比较（x+1）(+1)与(x+)(+x+1)的大小；（答案：（x+1）(+1)＞(x+)(+x+1)）
9、设x≥1,比较与-x+1的大小。（答案：当x≥1时, ≥-x+1）
10、比较(x+5)(x+7)与的大小；（答案：(x+5)(x+7)＜）
11、如果x＞0，比较与的大小；（答案：＜）
12、已知a≠0,比较与的大小。
（答案：＜）
【典例3】解答下列问题：
1、若a＞b ＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A ＞ B ＜ C ＞ D ＜
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法，结合问题条件，对各选项的不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】对 A，a＞b ＞0， c＜0，＜， c＜d＜0，b ＞0，＞，不能得到＞，A错误；对 B，a＞b ＞0， c＜0，＜， c＜d＜0，b ＞0，＞，不能得到＜，B错误；对 C，a＞b ＞0， d＜0，＜， c＜d＜0，b ＞0，＞，不能得到＞，C错误；对 D，a＞b ＞0， d＜0，＜， c＜d＜0，b ＞0，＞，能够推出＜，D正确，选D。
2、已知a＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是（ ）
A a+＞b+ B a+＞b+ C ＞ D b- ＞a-
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法，结合问题条件，对各选项的不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】对 A，a＞b ＞0， ＜， a+＞a+，a＞b , a+＞b +,能够推出a+＞b+，A正确，选A。
3、实数a，b，c，d满足下列两个条件：①d＞c；②a+d＜b+c。则a，b的大小关系为（ ）
A a＞b B a＜b C a=b D 不能确定
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法，结合问题条件，对各选项的不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】 d＞c, d+a＞c+a， a+d＜b+c, b+c＞c+a，即 a＜b, B正确，选B。
4、已知实数a，b，c满足c＜b ＜a，ac ＜0，那么下列选项中一定成立的是（ ）
A ab＞ac B c(b-a) ＜0 C c＜a D ac(a-c)＞0
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法，结合问题条件，对各选项的不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】 实数a，b，c满足c＜b ＜a，ac ＜0，a＞0, c＜0 , 即ab＞ac， A正确，选A。
5、已知a，b，c，d为实数，则“a＞b且c＞d”是“ac+bd＞bc+ad”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法；③充分条件，必要条件和充分必要条件定义域性质；④判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据不等式，充分条件，必要条件和充分必要条件的性质，运用判断不等式是否成立，充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法，结合问题条件，对“a＞b且c＞d”是“ac+bd＞bc+ad”说明条件进行判断就可得出选项。
【详细解答】若c ＞d＞0， a＞b时，ac＞bc，ad＞bd， ac+ad＞bc+bd，不能得到ac+bd＞bc+ad，“a＞b且c＞d”不是“ac+bd＞bc+ad”的充分条件；若ac+bd＞bc+ad， ac-ad＞bc-bd，a(c-d) ＞b(c-d),当c＞d时，c-d＞0，a＞b，即“a＞b且c＞d”是“ac+bd＞bc+ad”的必要条件，综上所述，“a＞b且c＞d”是“ac+bd＞bc+ad”的必要不充分条件，B正确，选B。
6、判断下列命题的真假：
（1）若a＞b ，则 ac＞bc； （2）若a＞b ，则 a＞b；
（3）若a＜b ＜0，则＞ab＞； （4）若a＜b ＜0，则|a|＞|b|；
（5）若c＞a＞b ＞0，则＞； （6）若a＞b ， ＞，则a＞0，b ＞0；
（7）若a＞b ， c＞d，则a-c＞b-d； （8）若a＞b ， c＜d，则＞；
（9）若a＞b ，n∈N,则＞；（10）若a＞b＞c ，＜＜，则a，b，c＞0.
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用判断不等式是否成立的基本方法，结合问题条件，就可对各小题的不等式是否成立进行判断。
【详细解答】对 （1），a＞b ，当c＜0时 , ac＜bc，命题若a＞b ，则 ac＞bc假；对（2）， a＞b ，＞0， a＞b，命题若a＞b ，则 a＞b真；对（3）， a＜b ＜0，|a|＞|b|＞0, |a||a|＞|a||b|,|a||b|＞|b||b|,＞ab＞，命题若a＜b ＜0，则＞ab＞真；对（4）， a＜b ＜0，|a|＞|b|，命题若a＜b ＜0，则|a|＞|b|真；对（5）， c＞a＞b ＞0，c-b＞c-a＞0, a（c-b）＞b(c-a)， ＞，命题若c＞a＞b ＞0，则＞真；对（6），若a＞b ＞0，＜，与＞不符，命题若a＞b ， ＞，则a＞0，b ＞0假；对（7），d＜c，--c＜-d，b-c＜b-d， a＞b ， a-c＞b-c ，不一定能够推出a-c＞b-d，命题若a＞b ， c＞d，则a-c＞b-d假；对（8），当c=-2，d=1，a=3，b=2时，=-，=2，2＞-， ＜，命题若a＞b ， c＜d，则＞假；对（9），当a＞b＞0 时，＞＞0，＞成立；当a＞0，b＜0 时，＞0，＜0， ＞成立；当0＞a＞b时，0＞＞，＞成立，综上所述，命题若a＞b ，n∈N,则＞真；对（10），当0＞a＞b＞c 时，|c|＞|b|＞|a|＞0, ＜＜，命题若a＞b＞c ，＜＜，则a，b，c＞0假。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与不等式的性质相关的问题，解决这类问题需要理解并掌握不等式的基本性质和常用性质，注意每一个性质的条件及条件加强和放宽后，条件和结论之间发生的变化，避免由于忽略某些限制条件而造成失误，特别注意关于符号的限制条件；
（2）解答与不等式性质相关问题的基本方法是：①根据问题确定与不等式的哪些性质相关；②运用选定的不等式性质解答问题；③得出两数（或两式）的大小关系。
〔练习2〕解答下列问题：
1、判断下列命题的真假：
（1）若a＞b ，c＞d,则 a-c＞b-d； (2) 若a＞b ，c＜d,则 ＞；
（3）如果ac＜bc ，那么 a＜b； （4）如果a ＞b ，那么a＞b；
(5) 若a＞b ＞c，＜＜，则a，b，c＞0； （6）若a＞b ，nN，则＞；
（7）若aR，nN，则1+a++--------+＞0；（8）若ab，acbc，则c0。
（答案：（1）假；（2）假；（3）假；（4）真；（5）真；（6）真；（7）假；（8）真。）
已知a＞b ， c＞d，求证a-d＞b-c； （提示：c＞d，得到-d＞-c,从而得到b-d＞b-c, a＞b ，就可证明a-d＞b-d＞b-c。）
3、已知a＞b ， ab＞0，求证＜；（提示： ab＞0，＞0，从而得到.a＞b. ，就可证明＜。）
4、已知a＞b ＞0， c＜d＜0，求证ac＜bd；（提示：a＞b ＞0 ，c＜d＜0，得到ac＜bc，bc＜bd,就可证明ac＜bc＜bd。）
5、已知a＞b，求证c-2a＜c-2b；（提示：a＞b ，得到-2a＜-2b，就可证明c-2a＜c-2b。）
6、已知a＞b ， c＜d，求证a-c＞b-d；（提示： c＜d，得到-c＞-d ，就可证明a-c＞a-d＞b-d。）
7、已知a＞b ＞0，c＜0，求证＞；（提示：a＞b ＞0，c＜0，得到＜0，从而得到a.＜b.，就可证明＞。）
8、已知a＞b，e ＞f，c＞0，求证f-ac＜e-bc；（提示：a＞b，c＞0，得到ac＞bc，从而得到-ac＜-bc，就可证明f-ac＜f-bc＜e-bc。）
9、已知a＞b ＞0，求证＜；（提示：a＞b＞0，得到＞＞0，就可证明＜。）
10、已知a＞b ＞0且c＞d＞0，求证＞。（提示：a＞b＞0，c＞d＞0，得到＞＞＞0，就可证明＞。）
【典例4】解答下列问题：
1、已知a＞b ＞0，给出下列命题：①＞；②＞；③＞-；④+＞2b。其中一定成立的不等式为（ ）
A ①②③ B ①②④ C ①③④ D ②③④
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法，结合问题条件，对各不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】对 ①，a＞b ＞0，＞， ①正确；对②，a＞b ，a＞a-1 ＞b-1，＞＞，②正确；对③，a＞b ＞0，＞0，-＞0，
=a-b，=a-2+b,（a-b）-（a-2+b）=2-2b=2（-）＞0，＞-，③正确；对④，当a=2，b=时，+=8+=<=12，2b=12，+＜2b，④错误，当a＞b ＞0时，给出下列命题：①＞；②＞；③＞-；④+＞2b中，正确的有①②③，A正确，选A。
2、对于实数a，b，c有下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a ＞b ，则a＞b；③若a＜b ＜0，则＞ab＞； ④若c＞ a＞b ＞0,则＞；⑤若a＞b，＞，则a＞0，b ＜0。其中真命题的个数是（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法，结合问题条件，对各命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对 ①，当c＜0时，若a＞b，则ac＜bc，①错误；对②，a ＞b ，
＞0，a＞b，②正确；对③，a＜b ＜0，|a|＞|b|＞0，＞ab＞，③正确；对④，c＞ a＞b ＞0, c-b＞c-a＞0,a（c-b）＞b(c-a)，＞，④正确；对⑤，当 a＞b ＞0时,a＞b，＜；当b＜a ＜0，a＞b，＜；当 a＞0 ＞b时,a＞b，＞，⑤正确，其中真命题有②③④⑤共4个，C正确，选C。
3、已知-1＜x＜4，2＜y＜3，则x-y的取值范围是 ，3x+2y的取值范围是 ；
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②运用不等式性质，求代数式取值范围的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用不等式性质，求代数式取值范围的基本方法，结合问题条件，就可求出x-y和3x+2y的取值范围。
【详细解答】-1＜x＜4，2＜y＜3，-3＜-y＜-2，-4＜x-y＜2，-3＜3x＜12，4＜2y＜6，1＜3x+2y＜18，即x-y的取值范围是（-4，2），3x+2y的取值范围是（1，18）。
4、给出下列命题：①a＞|b|，＞；②a＞b， ＞；③|a|＞b，＞。其中正确的命题的序号是 ；
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用不等式性质，判断不等式是否成立的基本方法，结合问题条件，对各命题的真假进行判断就可得出其中正确的命题的序号。
【详细解答】对 ①，a＞|b|，a＞|b|≥0，＞，①正确；对②，当a＞b＞0时，显然 ＞；当b ＜a＜0时，显然 ＞；当0 =b＜a时，显然 ＞，②正确；对③，a=1，b=-2时，|a|=1＞b=-2，=1＜=4，＞不一定成立，③错误，其中正确的命题的序号是①②。
『思考问题3』
（1）【典例3】是不等式性质的应用问题，解答这类问题需要理解并掌握不等式的基本性质和常用性质，注意每一个性质成立所具有的的条件；
（2）不等式性质的应用问题主要包括：①判断不等式是否成立；②求代数式的取值范围；
（3）判断不等式是否成立的基本方法是：①确定不等式与不等式的哪些性质相关；②运用选定的性质进行判断；③得出不等式成立还是不成立；
（4）求代数式取值范围的基本方法是：①确定问题与哪些不等式性质相关；②运用选定的性质和整体思想求出代数式整体的取值范围；③得出给定代数式的取值范围。
〔练习3〕解答下列问题：
1、若a＞0＞b＞-a，c＜d ＜0,则下列结论：①ad＞bc；②+＜0；③a-c＞b-d；④a（d-c）＞b(d-c)中成立的个数是（ ）（答案：C）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、若a＜b＜0,则下列不等式一定成立的是（ ）（答案：B）
A ＞ B ＞ab C ＞ D ＞
3、已知14a-2b 2，且3a+b 4，则4a+2b的取值范围是 ；（答案：4a+2b的取值范围是[8，]）
4、已知30＜x＜42，16＜y＜24,求x+y，x-2y，及的取值范围。（答案：x+y的取值范围
是（46，66）；x-2y的取值范围是（-16，10）；的取值范围（，）。）
5、设x，y为实数，满足3x8，49，则的最大值是 ；（答案：27）
6、已知f(x)=a-c，-4f(1) -1，-1f(2) 5，则f(3)的取值范围为 。（答案：[-7，26]）
【雷区警示】
【典例5】解答下列问题：
1、若0【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②同向不等式相减的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用同向不等式相减的基本方法，结合问题条件，就可求x-y的取值范围。
【详细解答】-12、设f(x)=p+qx，且2≤f(-1)≤4，4≤f(1)≤6，求f(-2)的取值范围。
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②同向不等式相加的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质，运用同向不等式相减的基本方法，结合问题条件，就可求x-y的取值范围。
【详细解答】f(x)=p+qx，f(-1)=p-q，f(1)=p+q，P=[f(-1)+f(1)]，q=[f(1)-f(-1)]，求f(-2)=4p-2q=2[f(-1)+f(1)]-[f(1)-f(-1)]=f(1)+3f(-1)，2≤f(-1)≤4，4≤f(1)≤6，10≤f(-2)
=f(1)+3f(-1)≤18，f(-2)的取值范围是[10，18]。
『思考问题5』
【典例5】是运用等式（或不等式）性质解答问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视同向不等式相减的正确方法，导致解答问题出现错误；②多次运用不等式的性质时，忽视不等号成立的条件；
运用等式（或不等式）性质解答问题时，为避免忽视同向不等式相减的正确方法的雷区，需要注意同向不等式相减的正确方法，相减实质上减去的一个不等式相当于不等式两边同乘以-1，这时不等号的方向要改变；
运用等式（或不等式）性质解答问题时，为避免多次运用不等式的性质时，忽视不等号成立的条件的雷区，需要注意每次使用不等式性质时，不等号成立的条件。
〔练习5〕解答下列问题：
1、若12、设f(x)=a+bx，且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围。（答案：f(-2)的取值范围是[5，10]）
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=，记a=f()，b=f()，c=f()，则（）（2023全国高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
【解析】
【考点】①复合函数定义与性质；②判断复合函数单调性的基本方法；③运用函数单调性比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的单调性，利用函数单调性比较实数大小的基本方法，求出a，b，c的大小关系就可得出选项。 y
【详细解答】设g(x)=-，作出函数g(x)的 0 1 x
图像如图所示，由图知函数g(x)在（-，1）上
单调递增，在（1，+）上单调递减，函数f(g(x))在R上单调递增，函数f(x)在（-，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，<<1，>1，-1-1+=
-2<-2=2-2=0，-1-1+=-2>-2=2-2=0，b=f()>c
=f()>a=f()， A正确，选A。 声源 与声源的距离/m声压级/dB
2、噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量 燃油汽车 10 60-90
声音的强弱，定义声压级=20lg，其中常数 混合动力汽车 10 50-60
（>0）是听觉下限固值，P是实际声压，如表 电动汽车 10 40
为不同声源的声压级，已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则（）（2023全国高考新高考I）
A ≥ B >10 C =100 D ≤100
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③对数的运算法则与基本方法；④指数的运算法则与基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用对数和指数的运算法则与基本方法，结合问题条件得到实际声压p的表示式，从而判断各选项的正确与错误就可得出选项。
【详细解答】压级=20lg，p=，=，=，=，对A，≥， ≥ ，A正确；对B，≤=≤10，
≤10，B错误；对C，==100， =100，C正确；对D，
=≤100， ≤100 ，D正确，综上所述，A，C，D正确，选ACD。
3、设a=ln，b= ，c =3，则a，b，c的大小关系为（ ）（成都市2020级零诊）
A b【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a=ln=-ln3<-1，4、日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射，因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用=
表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数（也称衰减系数），D（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强，已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为（参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6）（ ）（成都市高2020级高三一诊）
A 0.12 B 0.11 C 0.07 D 0.01
【解析】
【考点】①指数定义与性质；②对数定义与性质；③对数运算法则和基本方法。
【解答思路】根据指数和对数的性质，结合问题条件得到=30%，运用对数运算法则和基本方法，求出K的近似值就可得出选项。
【详细解答】海区10米深处的光强是海面光强的30%，=30%，-10K=ln0.3
=ln3-1n2-ln51.1-0.7-1.6-1.2，K0.12，A正确，选A。
5、已知a=，b=，c=，则（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A c解析】
【考点】①对数定义与性质；②对数运算法则与基本方法；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质和对数运算法则，运用对数运算和比较实数大小的基本方法，结合问题条件得到a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】b-c=2024-1-1+2023=-2+>-2
+>0，b>c，可以排除C；a-b=-2024+1=
-2024=>0，a>b，可以排除B，D，A正确，选A。
6、已知=10，a=-11，b=-9，则（ ）（2022全国高考甲卷）
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③比较实数大小的基本方法。
【解答思路】构造函数f(x)= （x+1）=， x（0，+），根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)在区间（1，+）上单调递减，从而得到f(8)> f(9)> f(10)，利用比较实数大小的基本方法得出a，b与0的大小关系，就可得出选项。
【详细解答】设函数 f(x) = （x+1）=， x（0，+），（x）=<0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递减， f(8)> f(9)> f(10)，=10，n= ， b= -9= -9< -9=9-9=0, b< 0，a= -11 =-11>-11= 11-11=0,a>0，综上所述， a>0>b ， A正确，选A。
7、已知实数a，b满足2>2>1，则（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 1【解析】
【考点】①对数定义与性质；②实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质，运用实数比较大小的基本方法，得出1，a，b，2的大小关
系就可得出选项。
【详细解答】实数a，b满足2>2>1， 2>b>a＞1，B正确，选B。
8、设a0，若x=a为函数f(x)=a（x-b）的极大值点，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A ab C ab< D ab>
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②比较实数大小的基本方法；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；⑤函数极值定义与性质；⑥运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的式子，从而求出a，b直角的关系就可得出选项。
【详细解答】令f(x)=a(x-b)=0解得：x=a或x=b， x=a，x=b是函数f(x)的两个零点，（x）=2a(x-a)(x-b)+ a= a(x-a)(3x-a-2b)，a0，x=a为函数f(x)=a(x-b)的极大值点，①当0作出函数f(x)的 大致图像如图（1）所示，由图
知0图（2）所示，由图知b， (图1) (图2)
D正确， 选D。
9、已知a=2，b=3，c=，则下列判断正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A c【解析】
【考点】①对数定义与性质；②求对数值的基本方法；③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质和求对数值的基本方法，分别求出a，b的近似值，运用实数比较大小的基本方法，得到a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 1<2<，0< a=2<，3>， b=3> =， c=， a10、已知函数f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）（2021成都市高三零诊）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
【解析】
【考点】①函数求值的基本方法；②对数的定义与性质；③实数大小比较的基本方法。
【解答思路】根据函数求值的基本方法和对数的性质，结合问题条件分别求出a，b，c的值，运用实数大小比较的基本方法得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a= f(ln2)= <0，b= f(-ln3)= >0，ac= f(e)= =e>0，，c>a，可以排除B，A正确，选A。
11、设a=，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）（2021成都市高三一诊）
A a＞b＞c B a＞c＞b C c＞a＞b D c＞b＞a
【解析】
【考点】①对数的定义与性质；②指数的定义与性质；③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用实数比较大小的基本方法，得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a==2021＞，0＜b=ln=ln2＜，a＞b，可以排除D；c=＞1，c＞b，可以排除A；2021＜2020， a= =2021＜2020＜2＜1，可以排除B，C正确，选C。
12、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(0.3),
b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（2021成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①函数图像及运用；②函数单调性定义与性质；③对数定义与性质；④指数定义与性质；⑤偶函数定义与性质；⑥比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到函数f(x)的图像关于Y轴对称，在[0，+）上单调递减，运用对数和指数的性质，确定0.3，0.1，的大小，就可求出a，b，c的大小关系。
【详细解答】函数f(x) 是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减， 函数f(x)的图像关于Y轴对称，且在（-，0）上单调递增，<0.3 ==<1，-3<0.1==<-2，<<2， b=f(0.1)
< c=f()『思考问题4』
【典例4】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试）试卷中与不等式定义和性质相关的问题，归结起来主要包括：①比较实数（或式）的大小；②不等式定义及运用；③不等式性质及运用等几种类型；
解答与不等式定义和性质相关问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题所属的类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、设a=2sincos，b=cos-sin，c=cos，则（ ）（成都市2021-2022学年度高一下期期末名校联盟考试）（答案D）
2、若关于x的不等式cosx+sin(x-)+m0在[0, ]上恒成立，则m的取值范围为（ ）（成都市2021-2022学年度高一下期期末名校联盟考试）（答案D）
A （-，0] B （-，-] C （-，-] D （-，-1]
3、已知实数a，b满足aA < B ln（b-a）>0 C > D <
4、若aA lna5、若a，bR，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考试）（答案B）
A +＞2ab B +2 C +> D a+b2
6、能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为 （2018全国高考北京卷）（答案a=1，b=-1）
7、已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式成立的是（ ）（成都市2017—2018高一下期数学质检）（答案C）
A ＜ B b＜a C ＜ D ＜
8、已知a＞b，c＞d，且cd 0，下列正确的是（ ）（成都市2017—2018高一下期数学质检）（答案C）
A ac＞bd B ＞ C a+c＞b+d D a-c＞b-d
9、若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是（ ）（成都市2017—2018高一下期期末质量检测）（答案D）
A |a|＞|b| B ＞ab C ＞ D ＞
a
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
a
a
a