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高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
本章复习与测试
等式性质与不等式性质 学案
文档属性
名称
等式性质与不等式性质 学案
格式
doc
文件大小
3.4MB
资源类型
试卷
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2023-10-19 13:45:07
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文档简介
等式性质与不等式性质
【知识精讲】
一、等式:
1、等式的定义:
(1)等式的定义:表示相等关系的式子,称为等式;通常用符号“=”表示;
(2)理解等式的定义时应该注意的问题:①等式中含有两个表示数量关系的代数式;②这两个表示数量关系的代数式所表示的数量之间具有相等关系;③两个代数式之间用符号“=”连接。
2、等式的性质:
(1)等式的交换性:若a=b ,则b=a;
(2)等式的传递性:若a=b ,b=c则 a=c;
(3)等式两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式),等式仍然成立;
(4)等式两边同时乘以(或除以,除数不为0或除式的值不为0)同一个数(或代数式),等式仍然成立。
二、不等式:
1、不等式的概念:
不等式的定义:用符号“ < 或 ≤ 或 >或 ≥ 或 ≠ ”连接两个数(或代数式)来表示它们之间不等关系的式子,叫做不等式。
2、两个实数(或式)比较大小的基本方法:
(1)实数大小的意义:实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大;
①如图设点A表示的实数为a,点B表示的实数为b,
显然a>b,由此可以推出a-b>0; B A
② 如图设点A表示的实数为a,点B表示的实数为b,
显然a<b,由此可以推出a-b<0; A B
③如图设点A表示的实数为a,点B表示的实数为b,
显然a=b,由此可以推出a-b=0。 A B
(2)实数大小比较的基本方法:①求差法:设a,bR,1》a-b>0 a>b;2》a-b<0 a<b;3》a-b=0 a=b;②求商法:设a,bR,1》>1 a>b;2》<1 a<b;3》=1 a=b。
3、不等式的基本性质:
(1)a>b b<a(交换性);
(2)a>b ,b>c a>c(传递性);
(3)a>b a±c>b±c(加法法则),若 a>b,c>d,则a+c>b+d;
(4)①a>b ,c>01》 ac>bc; 2》a>b >0且c>d>0 ac>bd;3》a>b >0>(nN且n>1);4》a>b >0>(nN且n>1);②a>b ,c<0 ac<bc(乘法法则)。
4、不等式的常用性质:
(1)倒数性质:①a>b ,ab>0,; ②a<0<b,;
③a>b>0,,0<c<d,; ④0<a<x<b或a<x<b<0.
(2)分数性质:设a>b >0,m>0,b-m>0。
①真分数的性质:<,>;②假分数的性质:>,<。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题:
1、运用等式性质进行的变形,不正确的是( )
A 如果a=b,那么a-c=b-c B 如果a=b,那么a+c=b+c
C 如果a=b,那么= D 如果a=b,那么ac=bc
2、下列说法正确的是( )
A 如果ac=bc,那么a=b B 如果=,那么a=b
C 如果a=b,那么= D 如果-=6y,那么x=-2y
3、已知xy=mn,则把它改写成比例式后,错误的是( )
A = B = C = D =
4、根据下图所示,对a,b,c三种物体的重量判断正确的是( )
c c c
A a<c B a<b C a>c D b<c
5、下列结论中不能由a+b=0得到的是( )
A =-ab B |a|=|b| C a=0,b=0 D =
6、已知等式3a=2b+5,则下列等式中不一定成立的是( )
A 3a-5=2b B 3a+1=2b+6 C 3ac=2bc+5 D a= b+
7、能不能由(a+3)x=b-1得到x= ,为什么?反之能不能由x= 得到(a+3)
x=b-1,为什么?
『思考问题1』
(1)【典例1】是与等式的性质相关的问题,解答这类问题需要理解等式的性质,注意性质中相应满足的条件;
(2)等式性质(2)中等式两边同时除以一个不为零的数,等式仍然成立理解时需要注意:①两边同时除以一个数;②除以这个数不能为零。
[练习1]解答下列问题:
1、下列结论错误的是( )
A 如果a=b,那么a-c=b-c B 如果a=b,那么=
C 如果x=2,那么=2x D 如果ax=bx,那么a=b
2、在公式=+中,以下变形正确的是( )
A R=- B R= C R= D R=
3、如图a和图b分别表示两架处于平衡状态的简易天平,对a,b,c三种物体的质量判断正确的是( )
c c
A a<c<b B a<b<c C c<b<a D b<a<c
4、若2y-7x=0(xy0),则x:y等于( )
A 7:2 B 4:7 C 2:7 D 7:4
5、下列说法:①若a+b=0,且ab0,则x=1是方程ax+b=0的解;②若a-b=0,且ab0,则x=-1是方程ax+b=0的解;③若ax+b=0,则x=- ;④若(a-3)+b=0是一元一次方程,则a=1。其中正确的结论是( )
A 只有①② B 只有②④ C 只有①③④ D 只有①②④
【典例2】解答下列问题:
1、某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,若维持正常生产,甲,乙两种材料的总量至少需要120吨,则x,y应满足的不等关系是( )
A x+y>120 B x+y<120 C x+y120 D x+y120
2、设P=,Q=-,R=-,则P,Q,R的大小关系是( )
A P>Q>R B P>R>Q C Q>P>R D Q>R>P
3、设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M,N的大小关系是( )
A M>N B MN C M<N D MN
4、已知a1,且M=-,N=-,则M,N的大小关系是( )
A M>N B M<N C M=N D 不能确定
5、若0<x<1,a>0且a≠1,则| (1-x)|与| (1+x)|的大小关系是( )
A | (1-x)|>| (1+x)| B| (1-x)|<| (1+x)|
C 不确定,由a的值确定 D不确定,由x的值确定
6、已知,(0,1),记M=,N=+-1,则M,N的大小关系是( )
A M<N B M>N C M=N D 不能确定
7、若a=,b=,c=,则( )
A a<b<c B c<b<a C c<a<b D b<a<c
『思考问题2』
(1)【典例2】是与不等式概念相关的问题,解答这类问题需要理解不等式的定义,掌握实数大小比较的基本方法;
(2)比较实数大小的基本方法有:①求差法 ;②求商法;③函数单调性法;
(3)求差法的基本步骤是:①求两数(或两式)的差并变形;② 将求出的差与0 作比较③得出两数(或式)的大小关系;
(4)求商法的基本步骤是:①求两数(或两式)的商并变形;② 将求出的商与1作比较;③得出两数(或式)的大小关系;
(5)函数单调性法的基本步骤是:①构造一个函数使比较的数(或式)是不同的函数值;②判断函数的单调性;③运用函数的单调性比较数(或式)的大小;④得出两数(或式)的大小关系。
〔练习2〕解答下列问题:
1、设a,b[0,+),A=+,N=,则A,B的大小关系是( )
A AB B AB C A<B D A>B
2、若a=,b=,则a,b的大小关系为 ;
3、比较与的大小; 4、比较-与-的大小;
5、比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小;
6、已知x≠0,比较与+1的大小;
7、比较(2a+1)(a-3)与(a-6)(2a+7)+45的大小;
8、比较(x+1)(+1)与(x+)(+x+1)的大小;
9、设x≥1,比较与-x+1的大小。
10、比较(x+5)(x+7)与的大小;
11、如果x>0,比较与的大小;
12、已知a≠0,比较与的大小。
【典例3】解答下列问题:
1、若a>b >0,c<d<0,则一定有( )
A > B < C > D <
2、已知a>b >0,则下列不等式中总成立的是( )
A a+>b+ B a+>b+ C > D b- >a-
3、实数a,b,c,d满足下列两个条件:①d>c;②a+d<b+c。则a,b的大小关系为( )
A a>b B a<b C a=b D 不能确定
4、已知实数a,b,c满足c<b <a,ac <0,那么下列选项中一定成立的是( )
A ab>ac B c(b-a) <0 C c<a D ac(a-c)>0
5、已知a,b,c,d为实数,则“a>b且c>d”是“ac+bd>bc+ad”的( )
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
6、判断下列命题的真假:
(1)若a>b ,则 ac>bc; (2)若a>b ,则 a>b;
(3)若a<b <0,则>ab>; (4)若a<b <0,则|a|>|b|;
(5)若c>a>b >0,则>; (6)若a>b , >,则a>0,b >0;
(7)若a>b , c>d,则a-c>b-d; (8)若a>b , c<d,则>;
(9)若a>b ,n∈N,则>; (10)若a>b>c ,<<,则a,b,c>0;
『思考问题3』
(1)【典例3】是与不等式的性质相关的问题,解决这类问题需要理解并掌握不等式的基本性质和常用性质,注意每一个性质的条件及条件加强和放宽后,条件和结论之间发生的变化,避免由于忽略某些限制条件而造成失误,特别注意关于符号的限制条件;
(2)解答与不等式性质相关问题的基本方法是:①根据问题确定与不等式的哪些性质相关;②运用选定的不等式性质解答问题;③得出结果。
〔练习3〕解答下列问题:
1、判断下列命题的真假:
(1)若a>b ,c>d,则 a-c>b-c; (2) 若a>b ,c<d,则 >;
(3)如果ac<bc ,那么 a<b; (4)如果a >b ,那么a>b;
(5) 若a>b >c,<<,则a,b,c>0; (6)若a>b ,nN,则>;
(7)若aR,nN,则1+a++--------+>0;(8)若ab,acbc,则c0.
2、已知a>b , c>d,求证a-d>b-c; 3、已知a>b , ab>0,求证<
4、已知a>b >0 c<d<0,求证ac<bd; 5、已知a>b,求证c-2a<c-2b.
6、已知a>b , c<d,求证a-c>b-d; 7、已知a>b >0,c<0,求证>;
8、已知a>b,e >f,c>0,求证f-ac<e-bc; 9、已知a>b >0,求证<;
10、已知a>b >0且c>d>0,求证>;
【典例4】解答下列问题:
1、已知a>b >0,给出下列命题:①>;②>;③>-;④+>2b。其中一定成立的不等式为( )
A ①②③ B ①②④ C ①③④ D ②③④
2、已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是 ,3x+2y的取值范围是 ;
3、给出下列命题:①a>|b|,>;②a>b, >;③|a|>b,>。其中正确的命题的序号是 ;
4、对于实数a,b,c有下列命题:①若a>b,则ac>bc;②若a >b ,则a>b;③若a<b <0,则>ab>; ④若c> a>b >0,则>;⑤若a>b,>,则a>0,b <0。其中真命题的个数是( )
A 2 B 3 C 4 D 5
『思考问题4』
(1)【典例4】是不等式性质的应用问题,解答这类问题需要理解并掌握不等式的基本性质和常用性质,注意每一个性质成立所具有的的条件;
(2)不等式性质的应用问题主要包括:①判断不等式是否成立;②求代数式的取值范围;
(3)判断不等式是否成立的基本方法是:①确定不等式与不等式的哪些性质相关;②运用选定的性质进行判断;③得出结果;
(4)求代数式取值范围的基本方法是:①确定问题与哪些不等式性质相关;②运用选定的性质和整体思想求出代数式整体的取值范围;③得出结果。
〔练习4〕解答下列问题:
1、若a>0>b>-a,c<d <0,则下列结论:①ad>bc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是( )
A 1 B 2 C 3 D 4
2、若a<b<0,则下列不等式一定成立的是( )
A > B >ab C > D >
3、已知14a-2b 2,且3a+b 4,则4a+2b的取值范围是 ;
4、已知30<x<42,16<y<24,求x+y,x-2y,及的取值范围。
5、设x,y为实数,满足3x8,49,则的最大值是 ;
6、已知f(x)=a-c,-4f(1) -1,-1f(2) 5,则f(3)的取值范围为 。
【雷区警示】
【典例5】解答下列问题:
若0
设f(x)=p+qx,且2≤f(-1)≤4,4≤f(1)≤6,求f(-2)的取值范围。
『思考问题5』
【典例5】是运用等式(或不等式)性质解答问题时,容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括:①忽视同向不等式相减的正确方法,导致解答问题出现错误;②多次运用不等式的性质时,忽视不等号成立的条件;
运用等式(或不等式)性质解答问题时,为避免忽视同向不等式相减的正确方法的雷区,需要注意同向不等式相减的正确方法,相减实质上减去的一个不等式相当于不等式两边同乘以-1,这时不等号的方向要改变;
运用等式(或不等式)性质解答问题时,为避免多次运用不等式的性质时,忽视不等号成立的条件的雷区,需要注意每次使用不等式性质时,不等号成立的条件。
〔练习5〕解答下列问题:
1、若1
2、设f(x)=a+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围。
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题:
1、已知函数f(x)=,记a=f(),b=f(),c=f(),则()(2023全国高考甲卷文)
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
声源 与声源的距离/m声压级/dB
噪声污染问题越来越受到重视,用声压级来度量 燃油汽车 10 60-90
声音的强弱,定义声压级=20lg,其中常数 混合动力车 10 50-60
(>0)是听觉下限固值,P是实际声压,如表 电动汽车 10 40
为不同声源的声压级,已知在距离燃油汽车,混合动力汽车,电动汽车10m处测得实际声压分别为,,,则()(2023全国高考新高考I)
A ≥ B >10 C =100 D ≤100
3、设a=ln,b= ,c =3,则a,b,c的大小关系为( )(成都市2020级零诊)
A b
4、日光射入海水后,一部分被海水吸收(变为热能),同时另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射,因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱,可用=
表示其总衰减规律,其中K是平均消光系数(也称衰减系数),D(单位:米)是海水深度,(单位:坎德拉)和(单位:坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强,已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%,则该海区消光系数K的值约为(参考数据:ln20.7,ln31.1,ln51.6)( )(成都市高2020级高三一诊)
A 0.12 B 0.11 C 0.07 D 0.01
5、已知a=,b=,c=,则( )(成都市高2020级高三二诊)
A c
6、(理)已知a=,b=cos,c=4sin,则( )
A c>b>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
(文)已知=10,a=-11,b=-9,则( )(2022全国高考甲卷)
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
7、已知实数a,b满足2>2>1,则( )(成都市2019级高三一诊)
A 1
8、(理)设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=-1,则( )
A a
(文)设a0,若x=a为函数f(x)=a(x-b)的极大值点,则( )(2021全国高考乙卷)
A a
b C ab< D ab>
9、已知a=2,b=3,c=,则下列判断正确的是( )(2021全国高考新高考II)
A c
10、已知函数f(x)= ,若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a,b,c的大小关系为( )(2021成都市高三零诊)
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
11、设a=,b=ln,c=,则a,b,c的大小关系是( )(2021成都市高三一诊)
A a>b>c B a>c>b C c>a>b D c>b>a
12、(理)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x),且对任意的,[1,+),当时,都有f()+f()
0.03),c=f(),则a,b,c的大小关系为 (用符号“<”连接)
(文)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在 [0,+)上单调递减,若a=f(0.3),
b=f(0.1),c=f(),则a,b,c的大小关系为 (用符号“<”连接)(2021成都市高三二诊)
『思考问题6』
【典例6】是近几年高考(或高三诊断考试或高一期末调研考试)试卷中与不等式定义和性质相关的问题,归结起来主要包括:①比较实数(或式)的大小;②不等式定义及运用;③不等式性质及运用等几种类型;
解答与不等式定义和性质相关问题的基本方法是:①根据问题的结构特征,判断问题所属的类型;②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答;③得出解答问题的结果。
〔练习6〕解答下列问题:
1、设a=2sincos,b=cos-sin,c=cos,则( )(成都市2021-2022学年度高一下期期末名校联盟考试)
2、若关于x的不等式cosx+sin(x-)+m0在[0, ]上恒成立,则m的取值范围为( )(成都市2021-2022学年度高一下期期末名校联盟考试)
A (-,0] B (-,-] C (-,-] D (-,-1]
3、已知实数a,b满足a
A < B ln(b-a)>0 C > D <
4、若a
A lna
5、若a,bR,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )(2018-2019成都市高一下期期末考试)
A +>2ab B +2 C +> D a+b2
6、能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为 (2018全国高考北京卷(文))
7、已知a,b为非零实数,且a<b,则下列不等式成立的是( )(成都市2017—2018高一下期数学质检(理))
A < B b<a C < D <
8、已知a>b,c>d,且cd 0,下列正确的是( )(成都市2017—2018高一下期数学质检(文))
A ac>bd B > C a+c>b+d D a-c>b-d
9、若a<b<0,则下列不等式不能成立的是( )(成都市2017—2018高一下期期末质量检测(文))
A |a|>|b| B >ab C > D >
等式性质与不等式性质
【知识精讲】
一、等式:
1、等式的定义:
(1)等式的定义:表示相等关系的式子,称为等式;通常用符号“=”表示;
(2)理解等式的定义时应该注意的问题:①等式中含有两个表示数量关系的代数式;②这两个表示数量关系的代数式所表示的数量之间具有相等关系;③两个代数式之间用符号“=”连接。
2、等式的性质:
(1)等式的交换性:若a=b ,则b=a;
(2)等式的传递性:若a=b ,b=c则 a=c;
(3)等式两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式),等式仍然成立;
(4)等式两边同时乘以(或除以,除数不为0或除式的值不为0)同一个数(或代数式),等式仍然成立。
二、不等式:
1、不等式的概念:
不等式的定义:用符号“ < 或 ≤ 或 >或 ≥ 或 ≠ ”连接两个数(或代数式)来表示它们之间不等关系的式子,叫做不等式。
2、两个实数(或式)比较大小的基本方法:
(1)实数大小的意义:实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大;
①如图设点A表示的实数为a,点B表示的实数为b,
显然a>b,由此可以推出a-b>0; B A
② 如图设点A表示的实数为a,点B表示的实数为b,
显然a<b,由此可以推出a-b<0; A B
③如图设点A表示的实数为a,点B表示的实数为b,
显然a=b,由此可以推出a-b=0。 A B
(2)实数大小比较的基本方法:①求差法:设a,bR,1》a-b>0 a>b;2》a-b<0 a<b;3》a-b=0 a=b;②求商法:设a,bR,1》>1 a>b;2》<1 a<b;3》=1 a=b。
3、不等式的基本性质:
(1)a>b b<a(交换性);
(2)a>b ,b>c a>c(传递性);
(3)a>b a±c>b±c(加法法则),若 a>b,c>d,则a+c>b+d;
(4)①a>b ,c>01》 ac>bc; 2》a>b >0且c>d>0 ac>bd;3》a>b >0>(nN且n>1);4》a>b >0>(nN且n>1);②a>b ,c<0 ac<bc(乘法法则)。
4、不等式的常用性质:
(1)倒数性质:①a>b ,ab>0,; ②a<0<b,;
③a>b>0,,0<c<d,; ④0<a<x<b或a<x<b<0.
(2)分数性质:设a>b >0,m>0,b-m>0。
①真分数的性质:<,>;②假分数的性质:>,<。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题:
1、运用等式性质进行的变形,不正确的是( )
A 如果a=b,那么a-c=b-c B 如果a=b,那么a+c=b+c
C 如果a=b,那么= D 如果a=b,那么ac=bc
【解析】
【考点】①等式定义与性质;②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质,运用等式进行等式变形的基本方法,结合问题条件,对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A, a=b,a-c=b-c,A正确;对B, a=b,a+c=b+c,B正确;对C, a=b,当c=0时,=不成立,C错误;对D, a=b,ac=bc,D正确,综上所述,C不正确,选C。
2、下列说法正确的是( )
A 如果ac=bc,那么a=b B 如果=,那么a=b
C 如果a=b,那么= D 如果-=6y,那么x=-2y
【解析】
【考点】①等式定义与性质;②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质,运用等式进行等式变形的基本方法,结合问题条件,对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A, ac=bc,当c=0时,不能推出a=b,A错误;对B,=, a=b, B正确;对C, a=b,当c=0时,= 不成立,C错误;对D,-=6y, x=-18y,D错误,综上所述,B正确,选B。
3、已知xy=mn,则把它改写成比例式后,错误的是( )
A = B = C = D =
【解析】
【考点】①等式定义与性质;②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质,运用等式进行等式变形的基本方法,结合问题条件,对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A,= , xy=mn,A正确;对B,= , xy=mn, B正确;对C, = ,nx=my,不能推出xy=mn,C错误;对D,=, xy=mn,D正确,综上所述,C错误,选C。
4、根据下图所示,对a,b,c三种物体的重量判断正确的是( )
c c c
A a<c B a<b C a>c D b<c
【解析】
【考点】①等式定义与性质;②不等式定义与性质。
【解题思路】根据等式和不等式的性质,运用问题图像,结合问题条件,得出a,b,c之间的大小关系就可得出选项。
【详细解答】由图知,a>b,b>c, a>c,C正确,选C。
5、下列结论中不能由a+b=0得到的是( )
A =-ab B |a|=|b| C a=0,b=0 D =
【解析】
【考点】①等式定义与性质;②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质,运用等式进行等式变形的基本方法,结合问题条件,对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A, a+b=0, a=-b, =-ab ,A正确;对B, a+b=0, a=-b, |a|=|b |, B正确;对C, a+b=0, a=-b,不能推出a=0,b=0,C错误;对D, a+b=0, a=-b, = , D正确,综上所述,C错误,选C。
6、已知等式3a=2b+5,则下列等式中不一定成立的是( )
A 3a-5=2b B 3a+1=2b+6 C 3ac=2bc+5 D a= b+
【解析】
【考点】①等式定义与性质;②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质,运用等式进行等式变形的基本方法,结合问题条件,对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A, 3a=2b+5, 3a-5=2b, A正确;对B, 3a=2b+5, 3a+1=2b+5+1
=2b+6, B正确;对C,3 a=2b+5, 3ac=2bc+5c,不能推出3ac=2bc+5,C错误;对D, 3a=2b+5, a=b+ , D正确,综上所述,C不一定成立,选C。
7、能不能由(a+3)x=b-1得到x= ,为什么?反之能不能由x= 得到(a+3)
x=b-1,为什么?
【解析】
【考点】①等式定义与性质;②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质,运用等式进行等式变形的基本方法,结合问题条件,对由(a+3)x=b-1得到x= ,由x= 得到(a+3)x=b-1,是否成立进行判断就可得出结论。
【详细解答】当a+3=0,即a=-3时,由(a+3)x=b-1不能得到x= ,不能由(a+3)x=b-1得到x= , x= , a+3≠0,即a ≠-3,(a+3)x=b-1,能由x= 得到(a+3)x=b-1。
『思考问题1』
(1)【典例1】是与等式的性质相关的问题,解答这类问题需要理解等式的性质,注意性质中相应满足的条件;
(2)等式性质(2)中等式两边同时除以一个不为零的数,等式仍然成立理解时需要注意:①两边同时除以一个数;②除以这个数不能为零。
[练习1]解答下列问题:
1、下列结论错误的是( )(答案:D)
A 如果a=b,那么a-c=b-c B 如果a=b,那么=
C 如果x=2,那么=2x D 如果ax=bx,那么a=b
2、在公式=+中,以下变形正确的是( )(答案:B)
A R=- B R= C R= D R=
3、如图a和图b分别表示两架处于平衡状态的简易天平,对a,b,c三种物体的质量判断正确的是( )(答案:B)
c c
A a<c<b B a<b<c C c<b<a D b<a<c
4、若2y-7x=0(xy0),则x:y等于( )(答案:C)
A 7:2 B 4:7 C 2:7 D 7:4
5、下列说法:①若a+b=0,且ab0,则x=1是方程ax+b=0的解;②若a-b=0,且ab0,则x=-1是方程ax+b=0的解;③若ax+b=0,则x=- ;④若(a-3)+b=0是一元一次方程,则a=1。其中正确的结论是( )(答案:D)
A 只有①② B 只有②④ C 只有①③④ D 只有①②④
【典例2】解答下列问题:
1、某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,若维持正常生产,甲,乙两种材料的总量至少需要120吨,则x,y应满足的不等关系是( )
A x+y>120 B x+y<120 C x+y120 D x+y120
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式表示不等关系的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式表示不等关系的基本方法,结合问题条件,表示出x,y应满足的不等关系就可得出选项。
【详细解答】某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,维持正常生产,甲,乙两种材料的总量至少需要120吨,x,y应满足的不等关系是x+y120,C正确,选C。
2、设P=,Q=-,R=-,则P,Q,R的大小关系是( )
A P>Q>R B P>R>Q C Q>P>R D Q>R>P
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用比较实数大小的基本方法,结合问题条件,得出P,Q,R的大小关系就可得出选项。
【详细解答】P-Q=-+=+->0,P>Q,P-R=-+=2
->0,P>R,Q-R=--+=+-(+)<0,R>Q,P,Q,R的大小关系是P>R>Q,B正确,选B。
3、设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M,N的大小关系是( )
A M>N B MN C M<N D MN
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用比较两个式子大小的基本方法,结合问题条件,得出M,N的大小关系就可得出选项。
【详细解答】M-N=2-4a+7-(-5a+6)= +a+1=+>0, M>N,A正确,选A。
4、已知a1,且M=-,N=-,则M,N的大小关系是( )
A M>N B M<N C M=N D 不能确定
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用比较两个式子大小的基本方法,结合问题条件,得出M,N的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a1, M-N=+-2<0,M<N,B正确,选B。
5、若0<x<1,a>0且a≠1,则| (1-x)|与| (1+x)|的大小关系是( )
A | (1-x)|>| (1+x)| B|(1-x)|<| (1+x)|
C 不确定,由a的值确定 D不确定,由x的值确定
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②对数定义域性质;③比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式和对数的性质,运用比较两个式子大小的基本方法,结合问题条件,得出| (1-x)|与| (1+x)|的大小关系就可得出选项。
【详细解答】当a>1时,0<x<1,0<1-x<1,1<1+x<2,| (1+x)|-| (1-x)|=(1+x)+(1-x)=(1-)<0,| (1+x)|<| (1-x)|,当0<a<1时,0<x<1,0<1-x<1,1<1+x<2,| (1+x)|-| (1-x)|=-(1+x)-(1-x)=-(1-)<0,| (1+x)|<| (1-x)|,综上所述,| (1+x)|<| (1-x)|,A正确,选A。
6、已知,(0,1),记M=,N=+-1,则M,N的大小关系是( )
A M<N B M>N C M=N D 不能确定
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用比较两个式子大小的基本方法,结合问题条件,得出M,N的大小关系就可得出选项。
【详细解答】设=sin,=cos,(0,),M-N= sinos-( sin+ cos)+1,
设t= sin+ cos=sin(+),t(1,), M-N=-t+=>0,即M>N,B正确,选B。
7、若a=,b=,c=,则( )
A a<b<c B c<b<a C c<a<b D b<a<c
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用比较两个式子大小的基本方法,结合问题条件,得出a,b,c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】设函数f(x)= ,x [3,+),函数f(x)= 在[3,+)上单调递减, a=>b=>c=,B正确,选B。
『思考问题1』
(1)【典例1】是与不等式概念相关的问题,解答这类问题需要理解不等式的定义,掌握实数大小比较的基本方法;
(2)比较实数大小的基本方法有:①求差法 ;②求商法;③运用函数的单调性比较法;
(3)求差法的基本步骤是:①求两数(或两式)的茶并变形;② 将求出的差与数0作比较③得出两数(或两式)的大小关系;
(4)求商法的基本步骤是:①求两数(或两式)的商并变形;② 将求出的商与数1作比较;③得出两数(或两式)的大小关系;
(5)运用函数单调性比较法的基本方法是:①构造一个函数使比较的数是不同的函数值;②判断函数的单调性;③运用函数的单调性比较两数(或两式)的大小;④得出两数(或两式)的大小关系。
〔练习1〕解答下列问题:
1、设a,b[0,+),A=+,N=,则A,B的大小关系是( )(答案:B)
A AB B AB C A<B D A>B
2、若a=,b=,则a,b的大小关系为 ;(答案:b>a)
3、比较与的大小;(答案:>)
4、比较-与-的大小;(答案:-<-)
5、比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小;(答案:(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4))
6、已知x≠0,比较与+1的大小;(答案:当x≠0时, >+1)
7、比较(2a+1)(a-3)与(a-6)(2a+7)+45的大小;(答案:(2a+1)(a-3)<(a-6)(2a+7)+45)
8、比较(x+1)(+1)与(x+)(+x+1)的大小;(答案:(x+1)(+1)>(x+)(+x+1))
9、设x≥1,比较与-x+1的大小。(答案:当x≥1时, ≥-x+1)
10、比较(x+5)(x+7)与的大小;(答案:(x+5)(x+7)<)
11、如果x>0,比较与的大小;(答案:<)
12、已知a≠0,比较与的大小。
(答案:<)
【典例3】解答下列问题:
1、若a>b >0,c<d<0,则一定有( )
A > B < C > D <
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,对各选项的不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】对 A,a>b >0, c<0,<, c<d<0,b >0,>,不能得到>,A错误;对 B,a>b >0, c<0,<, c<d<0,b >0,>,不能得到<,B错误;对 C,a>b >0, d<0,<, c<d<0,b >0,>,不能得到>,C错误;对 D,a>b >0, d<0,<, c<d<0,b >0,>,能够推出<,D正确,选D。
2、已知a>b >0,则下列不等式中总成立的是( )
A a+>b+ B a+>b+ C > D b- >a-
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,对各选项的不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】对 A,a>b >0, <, a+>a+,a>b , a+>b +,能够推出a+>b+,A正确,选A。
3、实数a,b,c,d满足下列两个条件:①d>c;②a+d<b+c。则a,b的大小关系为( )
A a>b B a<b C a=b D 不能确定
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,对各选项的不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】 d>c, d+a>c+a, a+d<b+c, b+c>c+a,即 a<b, B正确,选B。
4、已知实数a,b,c满足c<b <a,ac <0,那么下列选项中一定成立的是( )
A ab>ac B c(b-a) <0 C c<a D ac(a-c)>0
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,对各选项的不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】 实数a,b,c满足c<b <a,ac <0,a>0, c<0 , 即ab>ac, A正确,选A。
5、已知a,b,c,d为实数,则“a>b且c>d”是“ac+bd>bc+ad”的( )
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法;③充分条件,必要条件和充分必要条件定义域性质;④判断充分条件,必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据不等式,充分条件,必要条件和充分必要条件的性质,运用判断不等式是否成立,充分条件,必要条件和充分必要条件的基本方法,结合问题条件,对“a>b且c>d”是“ac+bd>bc+ad”说明条件进行判断就可得出选项。
【详细解答】若c >d>0, a>b时,ac>bc,ad>bd, ac+ad>bc+bd,不能得到ac+bd>bc+ad,“a>b且c>d”不是“ac+bd>bc+ad”的充分条件;若ac+bd>bc+ad, ac-ad>bc-bd,a(c-d) >b(c-d),当c>d时,c-d>0,a>b,即“a>b且c>d”是“ac+bd>bc+ad”的必要条件,综上所述,“a>b且c>d”是“ac+bd>bc+ad”的必要不充分条件,B正确,选B。
6、判断下列命题的真假:
(1)若a>b ,则 ac>bc; (2)若a>b ,则 a>b;
(3)若a<b <0,则>ab>; (4)若a<b <0,则|a|>|b|;
(5)若c>a>b >0,则>; (6)若a>b , >,则a>0,b >0;
(7)若a>b , c>d,则a-c>b-d; (8)若a>b , c<d,则>;
(9)若a>b ,n∈N,则>;(10)若a>b>c ,<<,则a,b,c>0.
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,就可对各小题的不等式是否成立进行判断。
【详细解答】对 (1),a>b ,当c<0时 , ac<bc,命题若a>b ,则 ac>bc假;对(2), a>b ,>0, a>b,命题若a>b ,则 a>b真;对(3), a<b <0,|a|>|b|>0, |a||a|>|a||b|,|a||b|>|b||b|,>ab>,命题若a<b <0,则>ab>真;对(4), a<b <0,|a|>|b|,命题若a<b <0,则|a|>|b|真;对(5), c>a>b >0,c-b>c-a>0, a(c-b)>b(c-a), >,命题若c>a>b >0,则>真;对(6),若a>b >0,<,与>不符,命题若a>b , >,则a>0,b >0假;对(7),d<c,--c<-d,b-c<b-d, a>b , a-c>b-c ,不一定能够推出a-c>b-d,命题若a>b , c>d,则a-c>b-d假;对(8),当c=-2,d=1,a=3,b=2时,=-,=2,2>-, <,命题若a>b , c<d,则>假;对(9),当a>b>0 时,>>0,>成立;当a>0,b<0 时,>0,<0, >成立;当0>a>b时,0>>,>成立,综上所述,命题若a>b ,n∈N,则>真;对(10),当0>a>b>c 时,|c|>|b|>|a|>0, <<,命题若a>b>c ,<<,则a,b,c>0假。
『思考问题2』
(1)【典例2】是与不等式的性质相关的问题,解决这类问题需要理解并掌握不等式的基本性质和常用性质,注意每一个性质的条件及条件加强和放宽后,条件和结论之间发生的变化,避免由于忽略某些限制条件而造成失误,特别注意关于符号的限制条件;
(2)解答与不等式性质相关问题的基本方法是:①根据问题确定与不等式的哪些性质相关;②运用选定的不等式性质解答问题;③得出两数(或两式)的大小关系。
〔练习2〕解答下列问题:
1、判断下列命题的真假:
(1)若a>b ,c>d,则 a-c>b-d; (2) 若a>b ,c<d,则 >;
(3)如果ac<bc ,那么 a<b; (4)如果a >b ,那么a>b;
(5) 若a>b >c,<<,则a,b,c>0; (6)若a>b ,nN,则>;
(7)若aR,nN,则1+a++--------+>0;(8)若ab,acbc,则c0。
(答案:(1)假;(2)假;(3)假;(4)真;(5)真;(6)真;(7)假;(8)真。)
已知a>b , c>d,求证a-d>b-c; (提示:c>d,得到-d>-c,从而得到b-d>b-c, a>b ,就可证明a-d>b-d>b-c。)
3、已知a>b , ab>0,求证<;(提示: ab>0,>0,从而得到.a>b. ,就可证明<。)
4、已知a>b >0, c<d<0,求证ac<bd;(提示:a>b >0 ,c<d<0,得到ac<bc,bc<bd,就可证明ac<bc<bd。)
5、已知a>b,求证c-2a<c-2b;(提示:a>b ,得到-2a<-2b,就可证明c-2a<c-2b。)
6、已知a>b , c<d,求证a-c>b-d;(提示: c<d,得到-c>-d ,就可证明a-c>a-d>b-d。)
7、已知a>b >0,c<0,求证>;(提示:a>b >0,c<0,得到<0,从而得到a.<b.,就可证明>。)
8、已知a>b,e >f,c>0,求证f-ac<e-bc;(提示:a>b,c>0,得到ac>bc,从而得到-ac<-bc,就可证明f-ac<f-bc<e-bc。)
9、已知a>b >0,求证<;(提示:a>b>0,得到>>0,就可证明<。)
10、已知a>b >0且c>d>0,求证>。(提示:a>b>0,c>d>0,得到>>>0,就可证明>。)
【典例4】解答下列问题:
1、已知a>b >0,给出下列命题:①>;②>;③>-;④+>2b。其中一定成立的不等式为( )
A ①②③ B ①②④ C ①③④ D ②③④
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,对各不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】对 ①,a>b >0,>, ①正确;对②,a>b ,a>a-1 >b-1,>>,②正确;对③,a>b >0,>0,->0,
=a-b,=a-2+b,(a-b)-(a-2+b)=2-2b=2(-)>0,>-,③正确;对④,当a=2,b=时,+=8+=<=12,2b=12,+<2b,④错误,当a>b >0时,给出下列命题:①>;②>;③>-;④+>2b中,正确的有①②③,A正确,选A。
2、对于实数a,b,c有下列命题:①若a>b,则ac>bc;②若a >b ,则a>b;③若a<b <0,则>ab>; ④若c> a>b >0,则>;⑤若a>b,>,则a>0,b <0。其中真命题的个数是( )
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,对各命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对 ①,当c<0时,若a>b,则ac<bc,①错误;对②,a >b ,
>0,a>b,②正确;对③,a<b <0,|a|>|b|>0,>ab>,③正确;对④,c> a>b >0, c-b>c-a>0,a(c-b)>b(c-a),>,④正确;对⑤,当 a>b >0时,a>b,<;当b<a <0,a>b,<;当 a>0 >b时,a>b,>,⑤正确,其中真命题有②③④⑤共4个,C正确,选C。
3、已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是 ,3x+2y的取值范围是 ;
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,求代数式取值范围的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,求代数式取值范围的基本方法,结合问题条件,就可求出x-y和3x+2y的取值范围。
【详细解答】-1<x<4,2<y<3,-3<-y<-2,-4<x-y<2,-3<3x<12,4<2y<6,1<3x+2y<18,即x-y的取值范围是(-4,2),3x+2y的取值范围是(1,18)。
4、给出下列命题:①a>|b|,>;②a>b, >;③|a|>b,>。其中正确的命题的序号是 ;
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,对各命题的真假进行判断就可得出其中正确的命题的序号。
【详细解答】对 ①,a>|b|,a>|b|≥0,>,①正确;对②,当a>b>0时,显然 >;当b <a<0时,显然 >;当0 =b<a时,显然 >,②正确;对③,a=1,b=-2时,|a|=1>b=-2,=1<=4,>不一定成立,③错误,其中正确的命题的序号是①②。
『思考问题3』
(1)【典例3】是不等式性质的应用问题,解答这类问题需要理解并掌握不等式的基本性质和常用性质,注意每一个性质成立所具有的的条件;
(2)不等式性质的应用问题主要包括:①判断不等式是否成立;②求代数式的取值范围;
(3)判断不等式是否成立的基本方法是:①确定不等式与不等式的哪些性质相关;②运用选定的性质进行判断;③得出不等式成立还是不成立;
(4)求代数式取值范围的基本方法是:①确定问题与哪些不等式性质相关;②运用选定的性质和整体思想求出代数式整体的取值范围;③得出给定代数式的取值范围。
〔练习3〕解答下列问题:
1、若a>0>b>-a,c<d <0,则下列结论:①ad>bc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是( )(答案:C)
A 1 B 2 C 3 D 4
2、若a<b<0,则下列不等式一定成立的是( )(答案:B)
A > B >ab C > D >
3、已知14a-2b 2,且3a+b 4,则4a+2b的取值范围是 ;(答案:4a+2b的取值范围是[8,])
4、已知30<x<42,16<y<24,求x+y,x-2y,及的取值范围。(答案:x+y的取值范围
是(46,66);x-2y的取值范围是(-16,10);的取值范围(,)。)
5、设x,y为实数,满足3x8,49,则的最大值是 ;(答案:27)
6、已知f(x)=a-c,-4f(1) -1,-1f(2) 5,则f(3)的取值范围为 。(答案:[-7,26])
【雷区警示】
【典例5】解答下列问题:
1、若0
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②同向不等式相减的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用同向不等式相减的基本方法,结合问题条件,就可求x-y的取值范围。
【详细解答】-1
2、设f(x)=p+qx,且2≤f(-1)≤4,4≤f(1)≤6,求f(-2)的取值范围。
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②同向不等式相加的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用同向不等式相减的基本方法,结合问题条件,就可求x-y的取值范围。
【详细解答】f(x)=p+qx,f(-1)=p-q,f(1)=p+q,P=[f(-1)+f(1)],q=[f(1)-f(-1)],求f(-2)=4p-2q=2[f(-1)+f(1)]-[f(1)-f(-1)]=f(1)+3f(-1),2≤f(-1)≤4,4≤f(1)≤6,10≤f(-2)
=f(1)+3f(-1)≤18,f(-2)的取值范围是[10,18]。
『思考问题5』
【典例5】是运用等式(或不等式)性质解答问题时,容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括:①忽视同向不等式相减的正确方法,导致解答问题出现错误;②多次运用不等式的性质时,忽视不等号成立的条件;
运用等式(或不等式)性质解答问题时,为避免忽视同向不等式相减的正确方法的雷区,需要注意同向不等式相减的正确方法,相减实质上减去的一个不等式相当于不等式两边同乘以-1,这时不等号的方向要改变;
运用等式(或不等式)性质解答问题时,为避免多次运用不等式的性质时,忽视不等号成立的条件的雷区,需要注意每次使用不等式性质时,不等号成立的条件。
〔练习5〕解答下列问题:
1、若1
2、设f(x)=a+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围。(答案:f(-2)的取值范围是[5,10])
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题:
1、已知函数f(x)=,记a=f(),b=f(),c=f(),则()(2023全国高考甲卷文)
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
【解析】
【考点】①复合函数定义与性质;②判断复合函数单调性的基本方法;③运用函数单调性比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据复合函数的性质,运用判断复合函数单调性的基本方法,结合问题条件得到函数f(x)的单调性,利用函数单调性比较实数大小的基本方法,求出a,b,c的大小关系就可得出选项。 y
【详细解答】设g(x)=-,作出函数g(x)的 0 1 x
图像如图所示,由图知函数g(x)在(-,1)上
单调递增,在(1,+)上单调递减,函数f(g(x))在R上单调递增,函数f(x)在(-,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,<<1,>1,-1-1+=
-2<-2=2-2=0,-1-1+=-2>-2=2-2=0,b=f()>c
=f()>a=f(), A正确,选A。 声源 与声源的距离/m声压级/dB
2、噪声污染问题越来越受到重视,用声压级来度量 燃油汽车 10 60-90
声音的强弱,定义声压级=20lg,其中常数 混合动力汽车 10 50-60
(>0)是听觉下限固值,P是实际声压,如表 电动汽车 10 40
为不同声源的声压级,已知在距离燃油汽车,混合动力汽车,电动汽车10m处测得实际声压分别为,,,则()(2023全国高考新高考I)
A ≥ B >10 C =100 D ≤100
【解析】
【考点】①对数定义与性质;②指数定义与性质;③对数的运算法则与基本方法;④指数的运算法则与基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质,运用对数和指数的运算法则与基本方法,结合问题条件得到实际声压p的表示式,从而判断各选项的正确与错误就可得出选项。
【详细解答】压级=20lg,p=,=,=,=,对A,≥, ≥ ,A正确;对B,≤=≤10,
≤10,B错误;对C,==100, =100,C正确;对D,
=≤100, ≤100 ,D正确,综上所述,A,C,D正确,选ACD。
3、设a=ln,b= ,c =3,则a,b,c的大小关系为( )(成都市2020级零诊)
A b
【解析】
【考点】①对数定义与性质;②指数定义与性质;③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质,运用比较实数大小的基本方法,结合问题条件得出a,b,c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a=ln=-ln3<-1,
4、日光射入海水后,一部分被海水吸收(变为热能),同时另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射,因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱,可用=
表示其总衰减规律,其中K是平均消光系数(也称衰减系数),D(单位:米)是海水深度,(单位:坎德拉)和(单位:坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强,已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%,则该海区消光系数K的值约为(参考数据:ln20.7,ln31.1,ln51.6)( )(成都市高2020级高三一诊)
A 0.12 B 0.11 C 0.07 D 0.01
【解析】
【考点】①指数定义与性质;②对数定义与性质;③对数运算法则和基本方法。
【解答思路】根据指数和对数的性质,结合问题条件得到=30%,运用对数运算法则和基本方法,求出K的近似值就可得出选项。
【详细解答】海区10米深处的光强是海面光强的30%,=30%,-10K=ln0.3
=ln3-1n2-ln51.1-0.7-1.6-1.2,K0.12,A正确,选A。
5、已知a=,b=,c=,则( )(成都市高2020级高三二诊)
A c
解析】
【考点】①对数定义与性质;②对数运算法则与基本方法;③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质和对数运算法则,运用对数运算和比较实数大小的基本方法,结合问题条件得到a,b,c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】b-c=2024-1-1+2023=-2+>-2
+>0,b>c,可以排除C;a-b=-2024+1=
-2024=>0,a>b,可以排除B,D,A正确,选A。
6、已知=10,a=-11,b=-9,则( )(2022全国高考甲卷)
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
【解析】
【考点】①函数求导公式,法则和基本方法;②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法;③比较实数大小的基本方法。
【解答思路】构造函数f(x)= (x+1)=, x(0,+),根据函数求导公式,法则和基本方法求出函数f(x)的导函数,运用函数导函数判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)在区间(1,+)上单调递减,从而得到f(8)> f(9)> f(10),利用比较实数大小的基本方法得出a,b与0的大小关系,就可得出选项。
【详细解答】设函数 f(x) = (x+1)=, x(0,+),(x)=<0在(0,+)上恒成立,函数f(x)在(0,+)上单调递减, f(8)> f(9)> f(10),=10,n= , b= -9= -9< -9=9-9=0, b< 0,a= -11 =-11>-11= 11-11=0,a>0,综上所述, a>0>b , A正确,选A。
7、已知实数a,b满足2>2>1,则( )(成都市2019级高三一诊)
A 1
【解析】
【考点】①对数定义与性质;②实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质,运用实数比较大小的基本方法,得出1,a,b,2的大小关
系就可得出选项。
【详细解答】实数a,b满足2>2>1, 2>b>a>1,B正确,选B。
8、设a0,若x=a为函数f(x)=a(x-b)的极大值点,则( )(2021全国高考乙卷)
A a
b C ab< D ab>
【解析】
【考点】①对数定义与性质;②比较实数大小的基本方法;③函数求导公式,法则和基本方法;④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法;⑤函数极值定义与性质;⑥运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式,法则和基本方法求出函数f(x)的导函数,运用函数导函数判断函数在某点存在极值的基本方法,结合问题条件得到关于a,b的式子,从而求出a,b直角的关系就可得出选项。
【详细解答】令f(x)=a(x-b)=0解得:x=a或x=b, x=a,x=b是函数f(x)的两个零点,(x)=2a(x-a)(x-b)+ a= a(x-a)(3x-a-2b),a0,x=a为函数f(x)=a(x-b)的极大值点,①当0
作出函数f(x)的 大致图像如图(1)所示,由图
知0
图(2)所示,由图知b
, (图1) (图2)
D正确, 选D。
9、已知a=2,b=3,c=,则下列判断正确的是( )(2021全国高考新高考II)
A c
【解析】
【考点】①对数定义与性质;②求对数值的基本方法;③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质和求对数值的基本方法,分别求出a,b的近似值,运用实数比较大小的基本方法,得到a,b,c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 1<2<,0< a=2<,3>, b=3> =, c=, a
10、已知函数f(x)= ,若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a,b,c的大小关系为( )(2021成都市高三零诊)
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
【解析】
【考点】①函数求值的基本方法;②对数的定义与性质;③实数大小比较的基本方法。
【解答思路】根据函数求值的基本方法和对数的性质,结合问题条件分别求出a,b,c的值,运用实数大小比较的基本方法得出a,b,c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a= f(ln2)= <0,b= f(-ln3)= >0,a
c= f(e)= =e>0,,c>a,可以排除B,A正确,选A。
11、设a=,b=ln,c=,则a,b,c的大小关系是( )(2021成都市高三一诊)
A a>b>c B a>c>b C c>a>b D c>b>a
【解析】
【考点】①对数的定义与性质;②指数的定义与性质;③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质,运用实数比较大小的基本方法,得出a,b,c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a==2021>,0<b=ln=ln2<,a>b,可以排除D;c=>1,c>b,可以排除A;2021<2020, a= =2021<2020<2<1,可以排除B,C正确,选C。
12、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在 [0,+)上单调递减,若a=f(0.3),
b=f(0.1),c=f(),则a,b,c的大小关系为 (用符号“<”连接)(2021成都市高三二诊)
【解析】
【考点】①函数图像及运用;②函数单调性定义与性质;③对数定义与性质;④指数定义与性质;⑤偶函数定义与性质;⑥比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和函数单调性的性质,结合问题条件得到函数f(x)的图像关于Y轴对称,在[0,+)上单调递减,运用对数和指数的性质,确定0.3,0.1,的大小,就可求出a,b,c的大小关系。
【详细解答】函数f(x) 是定义在R上的偶函数,且在 [0,+)上单调递减, 函数f(x)的图像关于Y轴对称,且在(-,0)上单调递增,<0.3 ==<1,-3<0.1==<-2,<<2, b=f(0.1)
< c=f()
『思考问题4』
【典例4】是近几年高考(或高三诊断考试或高一期末调研考试)试卷中与不等式定义和性质相关的问题,归结起来主要包括:①比较实数(或式)的大小;②不等式定义及运用;③不等式性质及运用等几种类型;
解答与不等式定义和性质相关问题的基本方法是:①根据问题的结构特征,判断问题所属的类型;②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答;③得出解答问题的结果。
〔练习4〕解答下列问题:
1、设a=2sincos,b=cos-sin,c=cos,则( )(成都市2021-2022学年度高一下期期末名校联盟考试)(答案D)
2、若关于x的不等式cosx+sin(x-)+m0在[0, ]上恒成立,则m的取值范围为( )(成都市2021-2022学年度高一下期期末名校联盟考试)(答案D)
A (-,0] B (-,-] C (-,-] D (-,-1]
3、已知实数a,b满足a
A < B ln(b-a)>0 C > D <
4、若a
A lna
5、若a,bR,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )(2018-2019成都市高一下期期末考试)(答案B)
A +>2ab B +2 C +> D a+b2
6、能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为 (2018全国高考北京卷)(答案a=1,b=-1)
7、已知a,b为非零实数,且a<b,则下列不等式成立的是( )(成都市2017—2018高一下期数学质检)(答案C)
A < B b<a C < D <
8、已知a>b,c>d,且cd 0,下列正确的是( )(成都市2017—2018高一下期数学质检)(答案C)
A ac>bd B > C a+c>b+d D a-c>b-d
9、若a<b<0,则下列不等式不能成立的是( )(成都市2017—2018高一下期期末质量检测)(答案D)
A |a|>|b| B >ab C > D >
a
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
a
a
a
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
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