等式性质与不等式性质 学案

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名称 等式性质与不等式性质 学案
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文件大小 3.4MB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-10-19 13:45:07

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文档简介

等式性质与不等式性质
【知识精讲】
一、等式:
1、等式的定义:
(1)等式的定义:表示相等关系的式子,称为等式;通常用符号“=”表示;
(2)理解等式的定义时应该注意的问题:①等式中含有两个表示数量关系的代数式;②这两个表示数量关系的代数式所表示的数量之间具有相等关系;③两个代数式之间用符号“=”连接。
2、等式的性质:
(1)等式的交换性:若a=b ,则b=a;
(2)等式的传递性:若a=b ,b=c则 a=c;
(3)等式两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式),等式仍然成立;
(4)等式两边同时乘以(或除以,除数不为0或除式的值不为0)同一个数(或代数式),等式仍然成立。
二、不等式:
1、不等式的概念:
不等式的定义:用符号“ < 或 ≤ 或 >或 ≥ 或 ≠ ”连接两个数(或代数式)来表示它们之间不等关系的式子,叫做不等式。
2、两个实数(或式)比较大小的基本方法:
(1)实数大小的意义:实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大;
①如图设点A表示的实数为a,点B表示的实数为b,
显然a>b,由此可以推出a-b>0; B A
② 如图设点A表示的实数为a,点B表示的实数为b,
显然a<b,由此可以推出a-b<0; A B
③如图设点A表示的实数为a,点B表示的实数为b,
显然a=b,由此可以推出a-b=0。 A B
(2)实数大小比较的基本方法:①求差法:设a,bR,1》a-b>0 a>b;2》a-b<0 a<b;3》a-b=0 a=b;②求商法:设a,bR,1》>1 a>b;2》<1 a<b;3》=1 a=b。
3、不等式的基本性质:
(1)a>b b<a(交换性);
(2)a>b ,b>c a>c(传递性);
(3)a>b a±c>b±c(加法法则),若 a>b,c>d,则a+c>b+d;
(4)①a>b ,c>01》 ac>bc; 2》a>b >0且c>d>0 ac>bd;3》a>b >0>(nN且n>1);4》a>b >0>(nN且n>1);②a>b ,c<0 ac<bc(乘法法则)。
4、不等式的常用性质:
(1)倒数性质:①a>b ,ab>0,; ②a<0<b,;
③a>b>0,,0<c<d,; ④0<a<x<b或a<x<b<0.
(2)分数性质:设a>b >0,m>0,b-m>0。
①真分数的性质:<,>;②假分数的性质:>,<。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题:
1、运用等式性质进行的变形,不正确的是( )
A 如果a=b,那么a-c=b-c B 如果a=b,那么a+c=b+c
C 如果a=b,那么= D 如果a=b,那么ac=bc
2、下列说法正确的是( )
A 如果ac=bc,那么a=b B 如果=,那么a=b
C 如果a=b,那么= D 如果-=6y,那么x=-2y
3、已知xy=mn,则把它改写成比例式后,错误的是( )
A = B = C = D =
4、根据下图所示,对a,b,c三种物体的重量判断正确的是( )
c c c
A a<c B a<b C a>c D b<c
5、下列结论中不能由a+b=0得到的是( )
A =-ab B |a|=|b| C a=0,b=0 D =
6、已知等式3a=2b+5,则下列等式中不一定成立的是( )
A 3a-5=2b B 3a+1=2b+6 C 3ac=2bc+5 D a= b+
7、能不能由(a+3)x=b-1得到x= ,为什么?反之能不能由x= 得到(a+3)
x=b-1,为什么?
『思考问题1』
(1)【典例1】是与等式的性质相关的问题,解答这类问题需要理解等式的性质,注意性质中相应满足的条件;
(2)等式性质(2)中等式两边同时除以一个不为零的数,等式仍然成立理解时需要注意:①两边同时除以一个数;②除以这个数不能为零。
[练习1]解答下列问题:
1、下列结论错误的是( )
A 如果a=b,那么a-c=b-c B 如果a=b,那么=
C 如果x=2,那么=2x D 如果ax=bx,那么a=b
2、在公式=+中,以下变形正确的是( )
A R=- B R= C R= D R=
3、如图a和图b分别表示两架处于平衡状态的简易天平,对a,b,c三种物体的质量判断正确的是( )
c c
A a<c<b B a<b<c C c<b<a D b<a<c
4、若2y-7x=0(xy0),则x:y等于( )
A 7:2 B 4:7 C 2:7 D 7:4
5、下列说法:①若a+b=0,且ab0,则x=1是方程ax+b=0的解;②若a-b=0,且ab0,则x=-1是方程ax+b=0的解;③若ax+b=0,则x=- ;④若(a-3)+b=0是一元一次方程,则a=1。其中正确的结论是( )
A 只有①② B 只有②④ C 只有①③④ D 只有①②④
【典例2】解答下列问题:
1、某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,若维持正常生产,甲,乙两种材料的总量至少需要120吨,则x,y应满足的不等关系是( )
A x+y>120 B x+y<120 C x+y120 D x+y120
2、设P=,Q=-,R=-,则P,Q,R的大小关系是( )
A P>Q>R B P>R>Q C Q>P>R D Q>R>P
3、设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M,N的大小关系是( )
A M>N B MN C M<N D MN
4、已知a1,且M=-,N=-,则M,N的大小关系是( )
A M>N B M<N C M=N D 不能确定
5、若0<x<1,a>0且a≠1,则| (1-x)|与| (1+x)|的大小关系是( )
A | (1-x)|>| (1+x)| B| (1-x)|<| (1+x)|
C 不确定,由a的值确定 D不确定,由x的值确定
6、已知,(0,1),记M=,N=+-1,则M,N的大小关系是( )
A M<N B M>N C M=N D 不能确定
7、若a=,b=,c=,则( )
A a<b<c B c<b<a C c<a<b D b<a<c
『思考问题2』
(1)【典例2】是与不等式概念相关的问题,解答这类问题需要理解不等式的定义,掌握实数大小比较的基本方法;
(2)比较实数大小的基本方法有:①求差法 ;②求商法;③函数单调性法;
(3)求差法的基本步骤是:①求两数(或两式)的差并变形;② 将求出的差与0 作比较③得出两数(或式)的大小关系;
(4)求商法的基本步骤是:①求两数(或两式)的商并变形;② 将求出的商与1作比较;③得出两数(或式)的大小关系;
(5)函数单调性法的基本步骤是:①构造一个函数使比较的数(或式)是不同的函数值;②判断函数的单调性;③运用函数的单调性比较数(或式)的大小;④得出两数(或式)的大小关系。
〔练习2〕解答下列问题:
1、设a,b[0,+),A=+,N=,则A,B的大小关系是( )
A AB B AB C A<B D A>B
2、若a=,b=,则a,b的大小关系为 ;
3、比较与的大小; 4、比较-与-的大小;
5、比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小;
6、已知x≠0,比较与+1的大小;
7、比较(2a+1)(a-3)与(a-6)(2a+7)+45的大小;
8、比较(x+1)(+1)与(x+)(+x+1)的大小;
9、设x≥1,比较与-x+1的大小。
10、比较(x+5)(x+7)与的大小;
11、如果x>0,比较与的大小;
12、已知a≠0,比较与的大小。
【典例3】解答下列问题:
1、若a>b >0,c<d<0,则一定有( )
A > B < C > D <
2、已知a>b >0,则下列不等式中总成立的是( )
A a+>b+ B a+>b+ C > D b- >a-
3、实数a,b,c,d满足下列两个条件:①d>c;②a+d<b+c。则a,b的大小关系为( )
A a>b B a<b C a=b D 不能确定
4、已知实数a,b,c满足c<b <a,ac <0,那么下列选项中一定成立的是( )
A ab>ac B c(b-a) <0 C c<a D ac(a-c)>0
5、已知a,b,c,d为实数,则“a>b且c>d”是“ac+bd>bc+ad”的( )
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
6、判断下列命题的真假:
(1)若a>b ,则 ac>bc; (2)若a>b ,则 a>b;
(3)若a<b <0,则>ab>; (4)若a<b <0,则|a|>|b|;
(5)若c>a>b >0,则>; (6)若a>b , >,则a>0,b >0;
(7)若a>b , c>d,则a-c>b-d; (8)若a>b , c<d,则>;
(9)若a>b ,n∈N,则>; (10)若a>b>c ,<<,则a,b,c>0;
『思考问题3』
(1)【典例3】是与不等式的性质相关的问题,解决这类问题需要理解并掌握不等式的基本性质和常用性质,注意每一个性质的条件及条件加强和放宽后,条件和结论之间发生的变化,避免由于忽略某些限制条件而造成失误,特别注意关于符号的限制条件;
(2)解答与不等式性质相关问题的基本方法是:①根据问题确定与不等式的哪些性质相关;②运用选定的不等式性质解答问题;③得出结果。
〔练习3〕解答下列问题:
1、判断下列命题的真假:
(1)若a>b ,c>d,则 a-c>b-c; (2) 若a>b ,c<d,则 >;
(3)如果ac<bc ,那么 a<b; (4)如果a >b ,那么a>b;
(5) 若a>b >c,<<,则a,b,c>0; (6)若a>b ,nN,则>;
(7)若aR,nN,则1+a++--------+>0;(8)若ab,acbc,则c0.
2、已知a>b , c>d,求证a-d>b-c; 3、已知a>b , ab>0,求证<
4、已知a>b >0 c<d<0,求证ac<bd; 5、已知a>b,求证c-2a<c-2b.
6、已知a>b , c<d,求证a-c>b-d; 7、已知a>b >0,c<0,求证>;
8、已知a>b,e >f,c>0,求证f-ac<e-bc; 9、已知a>b >0,求证<;
10、已知a>b >0且c>d>0,求证>;
【典例4】解答下列问题:
1、已知a>b >0,给出下列命题:①>;②>;③>-;④+>2b。其中一定成立的不等式为( )
A ①②③ B ①②④ C ①③④ D ②③④
2、已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是 ,3x+2y的取值范围是 ;
3、给出下列命题:①a>|b|,>;②a>b, >;③|a|>b,>。其中正确的命题的序号是 ;
4、对于实数a,b,c有下列命题:①若a>b,则ac>bc;②若a >b ,则a>b;③若a<b <0,则>ab>; ④若c> a>b >0,则>;⑤若a>b,>,则a>0,b <0。其中真命题的个数是( )
A 2 B 3 C 4 D 5
『思考问题4』
(1)【典例4】是不等式性质的应用问题,解答这类问题需要理解并掌握不等式的基本性质和常用性质,注意每一个性质成立所具有的的条件;
(2)不等式性质的应用问题主要包括:①判断不等式是否成立;②求代数式的取值范围;
(3)判断不等式是否成立的基本方法是:①确定不等式与不等式的哪些性质相关;②运用选定的性质进行判断;③得出结果;
(4)求代数式取值范围的基本方法是:①确定问题与哪些不等式性质相关;②运用选定的性质和整体思想求出代数式整体的取值范围;③得出结果。
〔练习4〕解答下列问题:
1、若a>0>b>-a,c<d <0,则下列结论:①ad>bc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是( )
A 1 B 2 C 3 D 4
2、若a<b<0,则下列不等式一定成立的是( )
A > B >ab C > D >
3、已知14a-2b 2,且3a+b 4,则4a+2b的取值范围是 ;
4、已知30<x<42,16<y<24,求x+y,x-2y,及的取值范围。
5、设x,y为实数,满足3x8,49,则的最大值是 ;
6、已知f(x)=a-c,-4f(1) -1,-1f(2) 5,则f(3)的取值范围为 。
【雷区警示】
【典例5】解答下列问题:
若0设f(x)=p+qx,且2≤f(-1)≤4,4≤f(1)≤6,求f(-2)的取值范围。
『思考问题5』
【典例5】是运用等式(或不等式)性质解答问题时,容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括:①忽视同向不等式相减的正确方法,导致解答问题出现错误;②多次运用不等式的性质时,忽视不等号成立的条件;
运用等式(或不等式)性质解答问题时,为避免忽视同向不等式相减的正确方法的雷区,需要注意同向不等式相减的正确方法,相减实质上减去的一个不等式相当于不等式两边同乘以-1,这时不等号的方向要改变;
运用等式(或不等式)性质解答问题时,为避免多次运用不等式的性质时,忽视不等号成立的条件的雷区,需要注意每次使用不等式性质时,不等号成立的条件。
〔练习5〕解答下列问题:
1、若12、设f(x)=a+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围。
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题:
1、已知函数f(x)=,记a=f(),b=f(),c=f(),则()(2023全国高考甲卷文)
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
声源 与声源的距离/m声压级/dB
噪声污染问题越来越受到重视,用声压级来度量 燃油汽车 10 60-90
声音的强弱,定义声压级=20lg,其中常数 混合动力车 10 50-60
(>0)是听觉下限固值,P是实际声压,如表 电动汽车 10 40
为不同声源的声压级,已知在距离燃油汽车,混合动力汽车,电动汽车10m处测得实际声压分别为,,,则()(2023全国高考新高考I)
A ≥ B >10 C =100 D ≤100
3、设a=ln,b= ,c =3,则a,b,c的大小关系为( )(成都市2020级零诊)
A b4、日光射入海水后,一部分被海水吸收(变为热能),同时另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射,因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱,可用=
表示其总衰减规律,其中K是平均消光系数(也称衰减系数),D(单位:米)是海水深度,(单位:坎德拉)和(单位:坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强,已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%,则该海区消光系数K的值约为(参考数据:ln20.7,ln31.1,ln51.6)( )(成都市高2020级高三一诊)
A 0.12 B 0.11 C 0.07 D 0.01
5、已知a=,b=,c=,则( )(成都市高2020级高三二诊)
A c6、(理)已知a=,b=cos,c=4sin,则( )
A c>b>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
(文)已知=10,a=-11,b=-9,则( )(2022全国高考甲卷)
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
7、已知实数a,b满足2>2>1,则( )(成都市2019级高三一诊)
A 18、(理)设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=-1,则( )
A a(文)设a0,若x=a为函数f(x)=a(x-b)的极大值点,则( )(2021全国高考乙卷)
A ab C ab< D ab>
9、已知a=2,b=3,c=,则下列判断正确的是( )(2021全国高考新高考II)
A c10、已知函数f(x)= ,若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a,b,c的大小关系为( )(2021成都市高三零诊)
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
11、设a=,b=ln,c=,则a,b,c的大小关系是( )(2021成都市高三一诊)
A a>b>c B a>c>b C c>a>b D c>b>a
12、(理)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x),且对任意的,[1,+),当时,都有f()+f()0.03),c=f(),则a,b,c的大小关系为 (用符号“<”连接)
(文)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在 [0,+)上单调递减,若a=f(0.3),
b=f(0.1),c=f(),则a,b,c的大小关系为 (用符号“<”连接)(2021成都市高三二诊)
『思考问题6』
【典例6】是近几年高考(或高三诊断考试或高一期末调研考试)试卷中与不等式定义和性质相关的问题,归结起来主要包括:①比较实数(或式)的大小;②不等式定义及运用;③不等式性质及运用等几种类型;
解答与不等式定义和性质相关问题的基本方法是:①根据问题的结构特征,判断问题所属的类型;②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答;③得出解答问题的结果。
〔练习6〕解答下列问题:
1、设a=2sincos,b=cos-sin,c=cos,则( )(成都市2021-2022学年度高一下期期末名校联盟考试)
2、若关于x的不等式cosx+sin(x-)+m0在[0, ]上恒成立,则m的取值范围为( )(成都市2021-2022学年度高一下期期末名校联盟考试)
A (-,0] B (-,-] C (-,-] D (-,-1]
3、已知实数a,b满足aA < B ln(b-a)>0 C > D <
4、若aA lna5、若a,bR,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )(2018-2019成都市高一下期期末考试)
A +>2ab B +2 C +> D a+b2
6、能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为 (2018全国高考北京卷(文))
7、已知a,b为非零实数,且a<b,则下列不等式成立的是( )(成都市2017—2018高一下期数学质检(理))
A < B b<a C < D <
8、已知a>b,c>d,且cd 0,下列正确的是( )(成都市2017—2018高一下期数学质检(文))
A ac>bd B > C a+c>b+d D a-c>b-d
9、若a<b<0,则下列不等式不能成立的是( )(成都市2017—2018高一下期期末质量检测(文))
A |a|>|b| B >ab C > D >
等式性质与不等式性质
【知识精讲】
一、等式:
1、等式的定义:
(1)等式的定义:表示相等关系的式子,称为等式;通常用符号“=”表示;
(2)理解等式的定义时应该注意的问题:①等式中含有两个表示数量关系的代数式;②这两个表示数量关系的代数式所表示的数量之间具有相等关系;③两个代数式之间用符号“=”连接。
2、等式的性质:
(1)等式的交换性:若a=b ,则b=a;
(2)等式的传递性:若a=b ,b=c则 a=c;
(3)等式两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式),等式仍然成立;
(4)等式两边同时乘以(或除以,除数不为0或除式的值不为0)同一个数(或代数式),等式仍然成立。
二、不等式:
1、不等式的概念:
不等式的定义:用符号“ < 或 ≤ 或 >或 ≥ 或 ≠ ”连接两个数(或代数式)来表示它们之间不等关系的式子,叫做不等式。
2、两个实数(或式)比较大小的基本方法:
(1)实数大小的意义:实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大;
①如图设点A表示的实数为a,点B表示的实数为b,
显然a>b,由此可以推出a-b>0; B A
② 如图设点A表示的实数为a,点B表示的实数为b,
显然a<b,由此可以推出a-b<0; A B
③如图设点A表示的实数为a,点B表示的实数为b,
显然a=b,由此可以推出a-b=0。 A B
(2)实数大小比较的基本方法:①求差法:设a,bR,1》a-b>0 a>b;2》a-b<0 a<b;3》a-b=0 a=b;②求商法:设a,bR,1》>1 a>b;2》<1 a<b;3》=1 a=b。
3、不等式的基本性质:
(1)a>b b<a(交换性);
(2)a>b ,b>c a>c(传递性);
(3)a>b a±c>b±c(加法法则),若 a>b,c>d,则a+c>b+d;
(4)①a>b ,c>01》 ac>bc; 2》a>b >0且c>d>0 ac>bd;3》a>b >0>(nN且n>1);4》a>b >0>(nN且n>1);②a>b ,c<0 ac<bc(乘法法则)。
4、不等式的常用性质:
(1)倒数性质:①a>b ,ab>0,; ②a<0<b,;
③a>b>0,,0<c<d,; ④0<a<x<b或a<x<b<0.
(2)分数性质:设a>b >0,m>0,b-m>0。
①真分数的性质:<,>;②假分数的性质:>,<。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题:
1、运用等式性质进行的变形,不正确的是( )
A 如果a=b,那么a-c=b-c B 如果a=b,那么a+c=b+c
C 如果a=b,那么= D 如果a=b,那么ac=bc
【解析】
【考点】①等式定义与性质;②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质,运用等式进行等式变形的基本方法,结合问题条件,对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A, a=b,a-c=b-c,A正确;对B, a=b,a+c=b+c,B正确;对C, a=b,当c=0时,=不成立,C错误;对D, a=b,ac=bc,D正确,综上所述,C不正确,选C。
2、下列说法正确的是( )
A 如果ac=bc,那么a=b B 如果=,那么a=b
C 如果a=b,那么= D 如果-=6y,那么x=-2y
【解析】
【考点】①等式定义与性质;②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质,运用等式进行等式变形的基本方法,结合问题条件,对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A, ac=bc,当c=0时,不能推出a=b,A错误;对B,=, a=b, B正确;对C, a=b,当c=0时,= 不成立,C错误;对D,-=6y, x=-18y,D错误,综上所述,B正确,选B。
3、已知xy=mn,则把它改写成比例式后,错误的是( )
A = B = C = D =
【解析】
【考点】①等式定义与性质;②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质,运用等式进行等式变形的基本方法,结合问题条件,对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A,= , xy=mn,A正确;对B,= , xy=mn, B正确;对C, = ,nx=my,不能推出xy=mn,C错误;对D,=, xy=mn,D正确,综上所述,C错误,选C。
4、根据下图所示,对a,b,c三种物体的重量判断正确的是( )
c c c
A a<c B a<b C a>c D b<c
【解析】
【考点】①等式定义与性质;②不等式定义与性质。
【解题思路】根据等式和不等式的性质,运用问题图像,结合问题条件,得出a,b,c之间的大小关系就可得出选项。
【详细解答】由图知,a>b,b>c, a>c,C正确,选C。
5、下列结论中不能由a+b=0得到的是( )
A =-ab B |a|=|b| C a=0,b=0 D =
【解析】
【考点】①等式定义与性质;②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质,运用等式进行等式变形的基本方法,结合问题条件,对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A, a+b=0, a=-b, =-ab ,A正确;对B, a+b=0, a=-b, |a|=|b |, B正确;对C, a+b=0, a=-b,不能推出a=0,b=0,C错误;对D, a+b=0, a=-b, = , D正确,综上所述,C错误,选C。
6、已知等式3a=2b+5,则下列等式中不一定成立的是( )
A 3a-5=2b B 3a+1=2b+6 C 3ac=2bc+5 D a= b+
【解析】
【考点】①等式定义与性质;②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质,运用等式进行等式变形的基本方法,结合问题条件,对各选项的变形是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A, 3a=2b+5, 3a-5=2b, A正确;对B, 3a=2b+5, 3a+1=2b+5+1
=2b+6, B正确;对C,3 a=2b+5, 3ac=2bc+5c,不能推出3ac=2bc+5,C错误;对D, 3a=2b+5, a=b+ , D正确,综上所述,C不一定成立,选C。
7、能不能由(a+3)x=b-1得到x= ,为什么?反之能不能由x= 得到(a+3)
x=b-1,为什么?
【解析】
【考点】①等式定义与性质;②运用等式性质进行等式变的基本方法。
【解题思路】根据等式的性质,运用等式进行等式变形的基本方法,结合问题条件,对由(a+3)x=b-1得到x= ,由x= 得到(a+3)x=b-1,是否成立进行判断就可得出结论。
【详细解答】当a+3=0,即a=-3时,由(a+3)x=b-1不能得到x= ,不能由(a+3)x=b-1得到x= , x= , a+3≠0,即a ≠-3,(a+3)x=b-1,能由x= 得到(a+3)x=b-1。
『思考问题1』
(1)【典例1】是与等式的性质相关的问题,解答这类问题需要理解等式的性质,注意性质中相应满足的条件;
(2)等式性质(2)中等式两边同时除以一个不为零的数,等式仍然成立理解时需要注意:①两边同时除以一个数;②除以这个数不能为零。
[练习1]解答下列问题:
1、下列结论错误的是( )(答案:D)
A 如果a=b,那么a-c=b-c B 如果a=b,那么=
C 如果x=2,那么=2x D 如果ax=bx,那么a=b
2、在公式=+中,以下变形正确的是( )(答案:B)
A R=- B R= C R= D R=
3、如图a和图b分别表示两架处于平衡状态的简易天平,对a,b,c三种物体的质量判断正确的是( )(答案:B)
c c
A a<c<b B a<b<c C c<b<a D b<a<c
4、若2y-7x=0(xy0),则x:y等于( )(答案:C)
A 7:2 B 4:7 C 2:7 D 7:4
5、下列说法:①若a+b=0,且ab0,则x=1是方程ax+b=0的解;②若a-b=0,且ab0,则x=-1是方程ax+b=0的解;③若ax+b=0,则x=- ;④若(a-3)+b=0是一元一次方程,则a=1。其中正确的结论是( )(答案:D)
A 只有①② B 只有②④ C 只有①③④ D 只有①②④
【典例2】解答下列问题:
1、某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,若维持正常生产,甲,乙两种材料的总量至少需要120吨,则x,y应满足的不等关系是( )
A x+y>120 B x+y<120 C x+y120 D x+y120
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式表示不等关系的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式表示不等关系的基本方法,结合问题条件,表示出x,y应满足的不等关系就可得出选项。
【详细解答】某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,维持正常生产,甲,乙两种材料的总量至少需要120吨,x,y应满足的不等关系是x+y120,C正确,选C。
2、设P=,Q=-,R=-,则P,Q,R的大小关系是( )
A P>Q>R B P>R>Q C Q>P>R D Q>R>P
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用比较实数大小的基本方法,结合问题条件,得出P,Q,R的大小关系就可得出选项。
【详细解答】P-Q=-+=+->0,P>Q,P-R=-+=2
->0,P>R,Q-R=--+=+-(+)<0,R>Q,P,Q,R的大小关系是P>R>Q,B正确,选B。
3、设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M,N的大小关系是( )
A M>N B MN C M<N D MN
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用比较两个式子大小的基本方法,结合问题条件,得出M,N的大小关系就可得出选项。
【详细解答】M-N=2-4a+7-(-5a+6)= +a+1=+>0, M>N,A正确,选A。
4、已知a1,且M=-,N=-,则M,N的大小关系是( )
A M>N B M<N C M=N D 不能确定
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用比较两个式子大小的基本方法,结合问题条件,得出M,N的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a1, M-N=+-2<0,M<N,B正确,选B。
5、若0<x<1,a>0且a≠1,则| (1-x)|与| (1+x)|的大小关系是( )
A | (1-x)|>| (1+x)| B|(1-x)|<| (1+x)|
C 不确定,由a的值确定 D不确定,由x的值确定
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②对数定义域性质;③比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式和对数的性质,运用比较两个式子大小的基本方法,结合问题条件,得出| (1-x)|与| (1+x)|的大小关系就可得出选项。
【详细解答】当a>1时,0<x<1,0<1-x<1,1<1+x<2,| (1+x)|-| (1-x)|=(1+x)+(1-x)=(1-)<0,| (1+x)|<| (1-x)|,当0<a<1时,0<x<1,0<1-x<1,1<1+x<2,| (1+x)|-| (1-x)|=-(1+x)-(1-x)=-(1-)<0,| (1+x)|<| (1-x)|,综上所述,| (1+x)|<| (1-x)|,A正确,选A。
6、已知,(0,1),记M=,N=+-1,则M,N的大小关系是( )
A M<N B M>N C M=N D 不能确定
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用比较两个式子大小的基本方法,结合问题条件,得出M,N的大小关系就可得出选项。
【详细解答】设=sin,=cos,(0,),M-N= sinos-( sin+ cos)+1,
设t= sin+ cos=sin(+),t(1,), M-N=-t+=>0,即M>N,B正确,选B。
7、若a=,b=,c=,则( )
A a<b<c B c<b<a C c<a<b D b<a<c
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②比较两个式子大小的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用比较两个式子大小的基本方法,结合问题条件,得出a,b,c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】设函数f(x)= ,x [3,+),函数f(x)= 在[3,+)上单调递减, a=>b=>c=,B正确,选B。
『思考问题1』
(1)【典例1】是与不等式概念相关的问题,解答这类问题需要理解不等式的定义,掌握实数大小比较的基本方法;
(2)比较实数大小的基本方法有:①求差法 ;②求商法;③运用函数的单调性比较法;
(3)求差法的基本步骤是:①求两数(或两式)的茶并变形;② 将求出的差与数0作比较③得出两数(或两式)的大小关系;
(4)求商法的基本步骤是:①求两数(或两式)的商并变形;② 将求出的商与数1作比较;③得出两数(或两式)的大小关系;
(5)运用函数单调性比较法的基本方法是:①构造一个函数使比较的数是不同的函数值;②判断函数的单调性;③运用函数的单调性比较两数(或两式)的大小;④得出两数(或两式)的大小关系。
〔练习1〕解答下列问题:
1、设a,b[0,+),A=+,N=,则A,B的大小关系是( )(答案:B)
A AB B AB C A<B D A>B
2、若a=,b=,则a,b的大小关系为 ;(答案:b>a)
3、比较与的大小;(答案:>)
4、比较-与-的大小;(答案:-<-)
5、比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小;(答案:(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4))
6、已知x≠0,比较与+1的大小;(答案:当x≠0时, >+1)
7、比较(2a+1)(a-3)与(a-6)(2a+7)+45的大小;(答案:(2a+1)(a-3)<(a-6)(2a+7)+45)
8、比较(x+1)(+1)与(x+)(+x+1)的大小;(答案:(x+1)(+1)>(x+)(+x+1))
9、设x≥1,比较与-x+1的大小。(答案:当x≥1时, ≥-x+1)
10、比较(x+5)(x+7)与的大小;(答案:(x+5)(x+7)<)
11、如果x>0,比较与的大小;(答案:<)
12、已知a≠0,比较与的大小。
(答案:<)
【典例3】解答下列问题:
1、若a>b >0,c<d<0,则一定有( )
A > B < C > D <
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,对各选项的不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】对 A,a>b >0, c<0,<, c<d<0,b >0,>,不能得到>,A错误;对 B,a>b >0, c<0,<, c<d<0,b >0,>,不能得到<,B错误;对 C,a>b >0, d<0,<, c<d<0,b >0,>,不能得到>,C错误;对 D,a>b >0, d<0,<, c<d<0,b >0,>,能够推出<,D正确,选D。
2、已知a>b >0,则下列不等式中总成立的是( )
A a+>b+ B a+>b+ C > D b- >a-
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,对各选项的不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】对 A,a>b >0, <, a+>a+,a>b , a+>b +,能够推出a+>b+,A正确,选A。
3、实数a,b,c,d满足下列两个条件:①d>c;②a+d<b+c。则a,b的大小关系为( )
A a>b B a<b C a=b D 不能确定
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,对各选项的不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】 d>c, d+a>c+a, a+d<b+c, b+c>c+a,即 a<b, B正确,选B。
4、已知实数a,b,c满足c<b <a,ac <0,那么下列选项中一定成立的是( )
A ab>ac B c(b-a) <0 C c<a D ac(a-c)>0
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,对各选项的不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】 实数a,b,c满足c<b <a,ac <0,a>0, c<0 , 即ab>ac, A正确,选A。
5、已知a,b,c,d为实数,则“a>b且c>d”是“ac+bd>bc+ad”的( )
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法;③充分条件,必要条件和充分必要条件定义域性质;④判断充分条件,必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据不等式,充分条件,必要条件和充分必要条件的性质,运用判断不等式是否成立,充分条件,必要条件和充分必要条件的基本方法,结合问题条件,对“a>b且c>d”是“ac+bd>bc+ad”说明条件进行判断就可得出选项。
【详细解答】若c >d>0, a>b时,ac>bc,ad>bd, ac+ad>bc+bd,不能得到ac+bd>bc+ad,“a>b且c>d”不是“ac+bd>bc+ad”的充分条件;若ac+bd>bc+ad, ac-ad>bc-bd,a(c-d) >b(c-d),当c>d时,c-d>0,a>b,即“a>b且c>d”是“ac+bd>bc+ad”的必要条件,综上所述,“a>b且c>d”是“ac+bd>bc+ad”的必要不充分条件,B正确,选B。
6、判断下列命题的真假:
(1)若a>b ,则 ac>bc; (2)若a>b ,则 a>b;
(3)若a<b <0,则>ab>; (4)若a<b <0,则|a|>|b|;
(5)若c>a>b >0,则>; (6)若a>b , >,则a>0,b >0;
(7)若a>b , c>d,则a-c>b-d; (8)若a>b , c<d,则>;
(9)若a>b ,n∈N,则>;(10)若a>b>c ,<<,则a,b,c>0.
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,就可对各小题的不等式是否成立进行判断。
【详细解答】对 (1),a>b ,当c<0时 , ac<bc,命题若a>b ,则 ac>bc假;对(2), a>b ,>0, a>b,命题若a>b ,则 a>b真;对(3), a<b <0,|a|>|b|>0, |a||a|>|a||b|,|a||b|>|b||b|,>ab>,命题若a<b <0,则>ab>真;对(4), a<b <0,|a|>|b|,命题若a<b <0,则|a|>|b|真;对(5), c>a>b >0,c-b>c-a>0, a(c-b)>b(c-a), >,命题若c>a>b >0,则>真;对(6),若a>b >0,<,与>不符,命题若a>b , >,则a>0,b >0假;对(7),d<c,--c<-d,b-c<b-d, a>b , a-c>b-c ,不一定能够推出a-c>b-d,命题若a>b , c>d,则a-c>b-d假;对(8),当c=-2,d=1,a=3,b=2时,=-,=2,2>-, <,命题若a>b , c<d,则>假;对(9),当a>b>0 时,>>0,>成立;当a>0,b<0 时,>0,<0, >成立;当0>a>b时,0>>,>成立,综上所述,命题若a>b ,n∈N,则>真;对(10),当0>a>b>c 时,|c|>|b|>|a|>0, <<,命题若a>b>c ,<<,则a,b,c>0假。
『思考问题2』
(1)【典例2】是与不等式的性质相关的问题,解决这类问题需要理解并掌握不等式的基本性质和常用性质,注意每一个性质的条件及条件加强和放宽后,条件和结论之间发生的变化,避免由于忽略某些限制条件而造成失误,特别注意关于符号的限制条件;
(2)解答与不等式性质相关问题的基本方法是:①根据问题确定与不等式的哪些性质相关;②运用选定的不等式性质解答问题;③得出两数(或两式)的大小关系。
〔练习2〕解答下列问题:
1、判断下列命题的真假:
(1)若a>b ,c>d,则 a-c>b-d; (2) 若a>b ,c<d,则 >;
(3)如果ac<bc ,那么 a<b; (4)如果a >b ,那么a>b;
(5) 若a>b >c,<<,则a,b,c>0; (6)若a>b ,nN,则>;
(7)若aR,nN,则1+a++--------+>0;(8)若ab,acbc,则c0。
(答案:(1)假;(2)假;(3)假;(4)真;(5)真;(6)真;(7)假;(8)真。)
已知a>b , c>d,求证a-d>b-c; (提示:c>d,得到-d>-c,从而得到b-d>b-c, a>b ,就可证明a-d>b-d>b-c。)
3、已知a>b , ab>0,求证<;(提示: ab>0,>0,从而得到.a>b. ,就可证明<。)
4、已知a>b >0, c<d<0,求证ac<bd;(提示:a>b >0 ,c<d<0,得到ac<bc,bc<bd,就可证明ac<bc<bd。)
5、已知a>b,求证c-2a<c-2b;(提示:a>b ,得到-2a<-2b,就可证明c-2a<c-2b。)
6、已知a>b , c<d,求证a-c>b-d;(提示: c<d,得到-c>-d ,就可证明a-c>a-d>b-d。)
7、已知a>b >0,c<0,求证>;(提示:a>b >0,c<0,得到<0,从而得到a.<b.,就可证明>。)
8、已知a>b,e >f,c>0,求证f-ac<e-bc;(提示:a>b,c>0,得到ac>bc,从而得到-ac<-bc,就可证明f-ac<f-bc<e-bc。)
9、已知a>b >0,求证<;(提示:a>b>0,得到>>0,就可证明<。)
10、已知a>b >0且c>d>0,求证>。(提示:a>b>0,c>d>0,得到>>>0,就可证明>。)
【典例4】解答下列问题:
1、已知a>b >0,给出下列命题:①>;②>;③>-;④+>2b。其中一定成立的不等式为( )
A ①②③ B ①②④ C ①③④ D ②③④
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,对各不等式是否成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】对 ①,a>b >0,>, ①正确;对②,a>b ,a>a-1 >b-1,>>,②正确;对③,a>b >0,>0,->0,
=a-b,=a-2+b,(a-b)-(a-2+b)=2-2b=2(-)>0,>-,③正确;对④,当a=2,b=时,+=8+=<=12,2b=12,+<2b,④错误,当a>b >0时,给出下列命题:①>;②>;③>-;④+>2b中,正确的有①②③,A正确,选A。
2、对于实数a,b,c有下列命题:①若a>b,则ac>bc;②若a >b ,则a>b;③若a<b <0,则>ab>; ④若c> a>b >0,则>;⑤若a>b,>,则a>0,b <0。其中真命题的个数是( )
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,对各命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对 ①,当c<0时,若a>b,则ac<bc,①错误;对②,a >b ,
>0,a>b,②正确;对③,a<b <0,|a|>|b|>0,>ab>,③正确;对④,c> a>b >0, c-b>c-a>0,a(c-b)>b(c-a),>,④正确;对⑤,当 a>b >0时,a>b,<;当b<a <0,a>b,<;当 a>0 >b时,a>b,>,⑤正确,其中真命题有②③④⑤共4个,C正确,选C。
3、已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是 ,3x+2y的取值范围是 ;
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,求代数式取值范围的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,求代数式取值范围的基本方法,结合问题条件,就可求出x-y和3x+2y的取值范围。
【详细解答】-1<x<4,2<y<3,-3<-y<-2,-4<x-y<2,-3<3x<12,4<2y<6,1<3x+2y<18,即x-y的取值范围是(-4,2),3x+2y的取值范围是(1,18)。
4、给出下列命题:①a>|b|,>;②a>b, >;③|a|>b,>。其中正确的命题的序号是 ;
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用不等式性质,判断不等式是否成立的基本方法,结合问题条件,对各命题的真假进行判断就可得出其中正确的命题的序号。
【详细解答】对 ①,a>|b|,a>|b|≥0,>,①正确;对②,当a>b>0时,显然 >;当b <a<0时,显然 >;当0 =b<a时,显然 >,②正确;对③,a=1,b=-2时,|a|=1>b=-2,=1<=4,>不一定成立,③错误,其中正确的命题的序号是①②。
『思考问题3』
(1)【典例3】是不等式性质的应用问题,解答这类问题需要理解并掌握不等式的基本性质和常用性质,注意每一个性质成立所具有的的条件;
(2)不等式性质的应用问题主要包括:①判断不等式是否成立;②求代数式的取值范围;
(3)判断不等式是否成立的基本方法是:①确定不等式与不等式的哪些性质相关;②运用选定的性质进行判断;③得出不等式成立还是不成立;
(4)求代数式取值范围的基本方法是:①确定问题与哪些不等式性质相关;②运用选定的性质和整体思想求出代数式整体的取值范围;③得出给定代数式的取值范围。
〔练习3〕解答下列问题:
1、若a>0>b>-a,c<d <0,则下列结论:①ad>bc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是( )(答案:C)
A 1 B 2 C 3 D 4
2、若a<b<0,则下列不等式一定成立的是( )(答案:B)
A > B >ab C > D >
3、已知14a-2b 2,且3a+b 4,则4a+2b的取值范围是 ;(答案:4a+2b的取值范围是[8,])
4、已知30<x<42,16<y<24,求x+y,x-2y,及的取值范围。(答案:x+y的取值范围
是(46,66);x-2y的取值范围是(-16,10);的取值范围(,)。)
5、设x,y为实数,满足3x8,49,则的最大值是 ;(答案:27)
6、已知f(x)=a-c,-4f(1) -1,-1f(2) 5,则f(3)的取值范围为 。(答案:[-7,26])
【雷区警示】
【典例5】解答下列问题:
1、若0【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②同向不等式相减的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用同向不等式相减的基本方法,结合问题条件,就可求x-y的取值范围。
【详细解答】-12、设f(x)=p+qx,且2≤f(-1)≤4,4≤f(1)≤6,求f(-2)的取值范围。
【解析】
【考点】①不等式定义与性质;②同向不等式相加的基本方法。
【解题思路】根据不等式的性质,运用同向不等式相减的基本方法,结合问题条件,就可求x-y的取值范围。
【详细解答】f(x)=p+qx,f(-1)=p-q,f(1)=p+q,P=[f(-1)+f(1)],q=[f(1)-f(-1)],求f(-2)=4p-2q=2[f(-1)+f(1)]-[f(1)-f(-1)]=f(1)+3f(-1),2≤f(-1)≤4,4≤f(1)≤6,10≤f(-2)
=f(1)+3f(-1)≤18,f(-2)的取值范围是[10,18]。
『思考问题5』
【典例5】是运用等式(或不等式)性质解答问题时,容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括:①忽视同向不等式相减的正确方法,导致解答问题出现错误;②多次运用不等式的性质时,忽视不等号成立的条件;
运用等式(或不等式)性质解答问题时,为避免忽视同向不等式相减的正确方法的雷区,需要注意同向不等式相减的正确方法,相减实质上减去的一个不等式相当于不等式两边同乘以-1,这时不等号的方向要改变;
运用等式(或不等式)性质解答问题时,为避免多次运用不等式的性质时,忽视不等号成立的条件的雷区,需要注意每次使用不等式性质时,不等号成立的条件。
〔练习5〕解答下列问题:
1、若12、设f(x)=a+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围。(答案:f(-2)的取值范围是[5,10])
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题:
1、已知函数f(x)=,记a=f(),b=f(),c=f(),则()(2023全国高考甲卷文)
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
【解析】
【考点】①复合函数定义与性质;②判断复合函数单调性的基本方法;③运用函数单调性比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据复合函数的性质,运用判断复合函数单调性的基本方法,结合问题条件得到函数f(x)的单调性,利用函数单调性比较实数大小的基本方法,求出a,b,c的大小关系就可得出选项。 y
【详细解答】设g(x)=-,作出函数g(x)的 0 1 x
图像如图所示,由图知函数g(x)在(-,1)上
单调递增,在(1,+)上单调递减,函数f(g(x))在R上单调递增,函数f(x)在(-,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,<<1,>1,-1-1+=
-2<-2=2-2=0,-1-1+=-2>-2=2-2=0,b=f()>c
=f()>a=f(), A正确,选A。 声源 与声源的距离/m声压级/dB
2、噪声污染问题越来越受到重视,用声压级来度量 燃油汽车 10 60-90
声音的强弱,定义声压级=20lg,其中常数 混合动力汽车 10 50-60
(>0)是听觉下限固值,P是实际声压,如表 电动汽车 10 40
为不同声源的声压级,已知在距离燃油汽车,混合动力汽车,电动汽车10m处测得实际声压分别为,,,则()(2023全国高考新高考I)
A ≥ B >10 C =100 D ≤100
【解析】
【考点】①对数定义与性质;②指数定义与性质;③对数的运算法则与基本方法;④指数的运算法则与基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质,运用对数和指数的运算法则与基本方法,结合问题条件得到实际声压p的表示式,从而判断各选项的正确与错误就可得出选项。
【详细解答】压级=20lg,p=,=,=,=,对A,≥, ≥ ,A正确;对B,≤=≤10,
≤10,B错误;对C,==100, =100,C正确;对D,
=≤100, ≤100 ,D正确,综上所述,A,C,D正确,选ACD。
3、设a=ln,b= ,c =3,则a,b,c的大小关系为( )(成都市2020级零诊)
A b【解析】
【考点】①对数定义与性质;②指数定义与性质;③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质,运用比较实数大小的基本方法,结合问题条件得出a,b,c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a=ln=-ln3<-1,4、日光射入海水后,一部分被海水吸收(变为热能),同时另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射,因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱,可用=
表示其总衰减规律,其中K是平均消光系数(也称衰减系数),D(单位:米)是海水深度,(单位:坎德拉)和(单位:坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强,已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%,则该海区消光系数K的值约为(参考数据:ln20.7,ln31.1,ln51.6)( )(成都市高2020级高三一诊)
A 0.12 B 0.11 C 0.07 D 0.01
【解析】
【考点】①指数定义与性质;②对数定义与性质;③对数运算法则和基本方法。
【解答思路】根据指数和对数的性质,结合问题条件得到=30%,运用对数运算法则和基本方法,求出K的近似值就可得出选项。
【详细解答】海区10米深处的光强是海面光强的30%,=30%,-10K=ln0.3
=ln3-1n2-ln51.1-0.7-1.6-1.2,K0.12,A正确,选A。
5、已知a=,b=,c=,则( )(成都市高2020级高三二诊)
A c解析】
【考点】①对数定义与性质;②对数运算法则与基本方法;③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质和对数运算法则,运用对数运算和比较实数大小的基本方法,结合问题条件得到a,b,c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】b-c=2024-1-1+2023=-2+>-2
+>0,b>c,可以排除C;a-b=-2024+1=
-2024=>0,a>b,可以排除B,D,A正确,选A。
6、已知=10,a=-11,b=-9,则( )(2022全国高考甲卷)
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
【解析】
【考点】①函数求导公式,法则和基本方法;②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法;③比较实数大小的基本方法。
【解答思路】构造函数f(x)= (x+1)=, x(0,+),根据函数求导公式,法则和基本方法求出函数f(x)的导函数,运用函数导函数判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)在区间(1,+)上单调递减,从而得到f(8)> f(9)> f(10),利用比较实数大小的基本方法得出a,b与0的大小关系,就可得出选项。
【详细解答】设函数 f(x) = (x+1)=, x(0,+),(x)=<0在(0,+)上恒成立,函数f(x)在(0,+)上单调递减, f(8)> f(9)> f(10),=10,n= , b= -9= -9< -9=9-9=0, b< 0,a= -11 =-11>-11= 11-11=0,a>0,综上所述, a>0>b , A正确,选A。
7、已知实数a,b满足2>2>1,则( )(成都市2019级高三一诊)
A 1【解析】
【考点】①对数定义与性质;②实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质,运用实数比较大小的基本方法,得出1,a,b,2的大小关
系就可得出选项。
【详细解答】实数a,b满足2>2>1, 2>b>a>1,B正确,选B。
8、设a0,若x=a为函数f(x)=a(x-b)的极大值点,则( )(2021全国高考乙卷)
A ab C ab< D ab>
【解析】
【考点】①对数定义与性质;②比较实数大小的基本方法;③函数求导公式,法则和基本方法;④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法;⑤函数极值定义与性质;⑥运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式,法则和基本方法求出函数f(x)的导函数,运用函数导函数判断函数在某点存在极值的基本方法,结合问题条件得到关于a,b的式子,从而求出a,b直角的关系就可得出选项。
【详细解答】令f(x)=a(x-b)=0解得:x=a或x=b, x=a,x=b是函数f(x)的两个零点,(x)=2a(x-a)(x-b)+ a= a(x-a)(3x-a-2b),a0,x=a为函数f(x)=a(x-b)的极大值点,①当0作出函数f(x)的 大致图像如图(1)所示,由图
知0图(2)所示,由图知b, (图1) (图2)
D正确, 选D。
9、已知a=2,b=3,c=,则下列判断正确的是( )(2021全国高考新高考II)
A c【解析】
【考点】①对数定义与性质;②求对数值的基本方法;③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质和求对数值的基本方法,分别求出a,b的近似值,运用实数比较大小的基本方法,得到a,b,c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 1<2<,0< a=2<,3>, b=3> =, c=, a10、已知函数f(x)= ,若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a,b,c的大小关系为( )(2021成都市高三零诊)
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
【解析】
【考点】①函数求值的基本方法;②对数的定义与性质;③实数大小比较的基本方法。
【解答思路】根据函数求值的基本方法和对数的性质,结合问题条件分别求出a,b,c的值,运用实数大小比较的基本方法得出a,b,c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a= f(ln2)= <0,b= f(-ln3)= >0,ac= f(e)= =e>0,,c>a,可以排除B,A正确,选A。
11、设a=,b=ln,c=,则a,b,c的大小关系是( )(2021成都市高三一诊)
A a>b>c B a>c>b C c>a>b D c>b>a
【解析】
【考点】①对数的定义与性质;②指数的定义与性质;③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质,运用实数比较大小的基本方法,得出a,b,c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a==2021>,0<b=ln=ln2<,a>b,可以排除D;c=>1,c>b,可以排除A;2021<2020, a= =2021<2020<2<1,可以排除B,C正确,选C。
12、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在 [0,+)上单调递减,若a=f(0.3),
b=f(0.1),c=f(),则a,b,c的大小关系为 (用符号“<”连接)(2021成都市高三二诊)
【解析】
【考点】①函数图像及运用;②函数单调性定义与性质;③对数定义与性质;④指数定义与性质;⑤偶函数定义与性质;⑥比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和函数单调性的性质,结合问题条件得到函数f(x)的图像关于Y轴对称,在[0,+)上单调递减,运用对数和指数的性质,确定0.3,0.1,的大小,就可求出a,b,c的大小关系。
【详细解答】函数f(x) 是定义在R上的偶函数,且在 [0,+)上单调递减, 函数f(x)的图像关于Y轴对称,且在(-,0)上单调递增,<0.3 ==<1,-3<0.1==<-2,<<2, b=f(0.1)
< c=f()『思考问题4』
【典例4】是近几年高考(或高三诊断考试或高一期末调研考试)试卷中与不等式定义和性质相关的问题,归结起来主要包括:①比较实数(或式)的大小;②不等式定义及运用;③不等式性质及运用等几种类型;
解答与不等式定义和性质相关问题的基本方法是:①根据问题的结构特征,判断问题所属的类型;②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答;③得出解答问题的结果。
〔练习4〕解答下列问题:
1、设a=2sincos,b=cos-sin,c=cos,则( )(成都市2021-2022学年度高一下期期末名校联盟考试)(答案D)
2、若关于x的不等式cosx+sin(x-)+m0在[0, ]上恒成立,则m的取值范围为( )(成都市2021-2022学年度高一下期期末名校联盟考试)(答案D)
A (-,0] B (-,-] C (-,-] D (-,-1]
3、已知实数a,b满足aA < B ln(b-a)>0 C > D <
4、若aA lna5、若a,bR,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )(2018-2019成都市高一下期期末考试)(答案B)
A +>2ab B +2 C +> D a+b2
6、能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为 (2018全国高考北京卷)(答案a=1,b=-1)
7、已知a,b为非零实数,且a<b,则下列不等式成立的是( )(成都市2017—2018高一下期数学质检)(答案C)
A < B b<a C < D <
8、已知a>b,c>d,且cd 0,下列正确的是( )(成都市2017—2018高一下期数学质检)(答案C)
A ac>bd B > C a+c>b+d D a-c>b-d
9、若a<b<0,则下列不等式不能成立的是( )(成都市2017—2018高一下期期末质量检测)(答案D)
A |a|>|b| B >ab C > D >
a
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
a
a
a