基本不等式及运用 学案

基本不等式及运用
【考纲解读】
理解并掌握两个基本不等式；
能够运用两个基本不等式，熟练解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、基本不等式：
1、基本不等式1：
（1）算术平均数，几何平均数的定义：
①算术平均数的定义：设a，b是正数，则称为正数a，b的算术平均数；
②几何平均数的定义：设a，b是正数，则称为正数a，b的几何平均数。
（2）算术平均数与几何平均数的关系：
基本不等式1：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即：若a＞0，b＞0，则≥（当且仅当a=b时取“=”号）。
基本不等式1的变形式：①≥ab；②≥4ab；③≥；④
+≥2。
『思考问题』
（1）基本不等式1成立的条件是：①数a，b必须满足a＞0，b＞0；②正数a，b的和（或积）为定值；③正数a，b具有相等的条件；
（2）基本不等式1成立的条件也可以简单地说成是一正，二定，三相等；
（3）基本不等式1的三种解释：①实数解释，两个正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数；②数列解释，两个正数a，b的等差中项不小于它们正的等比中项；③几何解释，如图AB是⊙O的直径，过AB上一点C作DEAB交圆于点D，E， D
设AC=a，CB=b，则R=，由几何知识可知，DC=，从
而得到≥，当且仅当点C与圆心重合时等号成立，即 A B
圆的半径不小于半弦。
2、基本不等式不等式2： E
（1）基本不等式不等式2：设a，bR，则+≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）；
（2）基本不等式2的变形式：①≥ab；②2（+）≥；③
≥；④≥≥。
二、基本不等式的运用：
1、运用基本不等式求最值：
（1）两个重要结论：①如果x,y(0，+)，且x.y=p（定值），那么当且仅当x=y时，x+y有最小值2；②如果x,y(0，+)，且x+.y=s（定值），那么当且仅当x=y时，x.y有最大值。
（2）运用基本不等式求最值问题时需要注意的问题：基本不等式1的三个条件：①a＞0，b＞0；②正数a，b的和（或积）为定值；③正数a，b具有相等的条件（也称为“一正，二定，三相等” ）。
2、运用基本不等式解答不等式恒成立，能成立，恰成立等问题：
（1）解答不等式恒成立问题的基本方法是：①不等式f(x) ＞A在区间D上恒成立在区间D上＞A，从而将问题等价转化为求函数f（x）在区间D上的最小值问题；②不等式f(x) ＜ B在区间D上恒成立在区间D上＜B，从而将问题等价转化为求函数f（x）在区间D上的最大值问题；
（2）解答不等式能成立问题的基本方法是：①在区间D上存在实数x使不等式f(x) ＞A成立在区间D上＞A，从而将问题等价转化为求函数f（x）在区间D上的最大值问题；②在区间D上存在实数x使不等式f(x) ＜ B能成立 在区间D上＜B，从而将问题等价转化为求函数f（x）在区间D上的最小值问题；
（3）解答不等式恰成立问题的基本方法是：①不等式f(x) ＞A在区间D上恰成立f(x)＞A的解集为D，从而将问题等价转化为求解不等式f（x）＞A的解集；② f(x) ＜ B在区间D上恰成立f(x)＜B的解集为D，从而将问题等价转化为求解不等式f（x）＜B的解集。
3、运用基本不等式解答实际应用问题：
运用基本不等式解答实际问题的基本方法是：①认真读题，理解题意，联想与问题相关的数学模型；②建立数学模型；③运用相关数学模型的图像和性质解答问题并得出结果。
【探导考点】
考点1运用基本不等式求最值：热点①通过配凑法利用基本不等式；热点②通过常数代换法利用基本不等式；
考点2基本不等式的实际运用：热点①运用基本不等式求收益（或利润）的最大值；热点②运用基本不等式求费用（或成本）的最小值；
考点3基本不等式的综合运用：热点①基本不等式与其他知识的综合的最值问题；热点②运用基本不等式求参数的值（或取值范围）。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A +＞2ab B a+b≥ C +＞ D +≥2
2、设0＜a＜b，a+b=1，则下列四个数中最大的是（ ）
A B b C 2ab D +
『思考问题1』
（1）【典例1】是基本不等式的问题，解答这类问题需要理解基本不等式，注意基本不等式成立的的条件和适用范围；
（2）理解基本不等式时，应该注意两个基本不等式各自成立的条件，①不等式若a＞0，b＞0，则≥（当且仅当a=b时取“=”号）成立的条件归结起来为“一正，二定，三相等”； ②不等式设a，b∈R，则+≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）的条件是a，b∈R。
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列不等式中恒成立的是（ ）
A ≥ B x+≥2 C ≥3 D 2-3x-≥2
2、a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（ ）
A ≤ B +≤1 C ≥2 D +≥8
【典例2】解答下列问题：
1、已知a，b，c，d均为正数，求证（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd；
2、设a，b，c∈，求证：≥a+b+c；
3、设a，b，c∈，求证: ≥(a+b+c)。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与基本不等式相关的不等式证明问题，解答这类问题需要理解基本不等式，注意基本不等式成立的条件和不等式证明的基本方法；
（2）证明不等式的基本方法是：①选择结论式的一边（一般是式子较复杂的一边）；②运用基本不等式（或重要不等式）对选择的一边进行变换使之≥（或≤）另一边；③得出结论。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知x，y都是正数，求证：
①≥2； ②（x+y）()()≥8；
2、已知a，b，c都是正数，求证：（a+b）(b+c)(c+a)≥8abc；
3、求证：≤；
4、已知a，b都是正数，且a≠b，求证：＜；
5、已知a，b都是正数，求证：≤≤≤；
6、求证：在直径为d的圆内接矩形中，面积最大的是正方形，这个正方形的面积等于
【典例3】解答下列问题：
1、若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）
A B C 5 D 6
2、已知正数x，y，z满足+ + =1，则s= 的最小值为（ ）
A 3 B C 4 D 2（+1）
3、已知0＜x＜1，则x（4-3x）取得最大值时x的值为 ；
4、已知x＜，则f(x)=4x-2+的最大值为 ；
5、已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，求y=+的最小值；
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用基本不等式求最值的问题，解答这类问题需要理解并掌握基本不等式，注意基本不等式等号成立的条件；
（2）运用基本不等式求最值的基本方法是：①拼凑法，通过拼凑使问题中的两项满足基本不等式的条件（一正，二定，三相等）再运用基本不等式得出结果；②常数代换法，即由已知式得到常数（一般是常数1）的式子，把所求最值式子中的该常数都换成相应的式子再运用基本不等式得出结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、若+=1，则x+y的取值范围是（ ）
A ［0，2］ B ［-2，0］ C ［-2，+） D （-，-2］
2、设正实数x，y，z满足-3xy+ 4-z=0，则当取得最小值时，x+2y-z的最大值为（ ）
A 0 B C 2 D
3、已知不等式（x+y）（+）≥9，对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A 8 B 6 C 4 D 2
4、函数y=(x＞1)的最小值为 ；
5、已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求（1+）（1+）的最小值；
6、已知a＞0，b＞0，且+=4，求a+b的最小值；
7、设0＜x＜2，求函数y=的最大值；
8、已知x＞0，y＞0，x+y=1，求+ 的最小值；
9、设0＜x＜1，a，b为正常数，则+ 的最小值为 ；
10、已知0＜＜，求证tan+cot的最小值是2；
11、设0＜x＜2，求函数f(x)=的最大值，并求相应的x值；
12、已知x＞0，求证2-3x-的最大值是2-4；
13、已知x，y∈（0，+），=，若+（m＞0）的最小值为3，则m= ；
14、已知x＞0，y＞0，4x+9y=1，则+ 的最小值为 ；
15、已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则+的最小值为 ；
16、已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值。
【典例4】解答下列问题：
1、已知直线ax+by+c-1=0（b，c＞0）经过圆+-2y-5=0的圆心，则+的最小值是（ ）
A 9 B 8 C 4 D 2
2、已知a＞0，b＞0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为（ ）
A 9 B 12 C 18 D 24
3、设等差数列{ }的公差为d，其前n项和是，若=d=1，则的最小值是 ；
4、已知点P（a+1，b+1），Q（1，0）不重合，线段PQ与直线2x-3y+1=0有交点，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）①2a-3b≤0；②当a0时，既有最小值又有最大值；③若+b+≥M恒成立，则M的最大值为0；④a∈R，＜；⑤若b＜0，则|PQ|取最小值时，a=-；
5、已知函数f(x)= （a∈R），若对于任意的x∈，f(x) ≥3恒成立，则a的取值范围是 ；
6、设函数f(x)= -1，对任意x∈［，+），f()-4f(x) ≤f(x-1)+4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是 ；
7、设F（x）是定义在R上的减函数，且不等式组 F（2kx-）＜F(k-4)，对任意的x∈
F（-kx）＜F(k-3)，［0，1］，恒成立，求k的取值范围。
『思考问题4』
（1）【典例4】是基本不等式的综合运用问题，这类问题包括：①不等式与其他知识的综合；②求参数的值或取值范围；
（2）解答不等式与其他知识综合问题的基本方法是：①弄清问题是不等式与哪些知识的综合；②运用相应知识和基本不等式求解问题；③得出结果；
（3）求参数值或取值范围的基本方法是：①注意问题的特点；②运用基本不等式确定相应式子成立的条件；③求出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知各项均为正数的等比数列{ }满足=+2，若存在两项，使得=4，则+的最小值为（ ）
A B C D
2、已知a＞1，b＞1，且lga+lgb=6,则lga.lgb的最大值为（ ）
A 6 B 9 C 12 D 18
3、已知x＞0，y＞0，lg +lg =lg2，则+ 的最小值是（ ）
A 2 B 2 C 4 D 2
4、设0＜x＜1，则x(3-2x)取最大值时，x的值为（ ）
A B C D 1
5、已知函数f(x)=x++2的值域为（-，0］［4，+），则a的值是（ ）
A B C 1 D 2
6、已知函数f(x)=4x+( x＞0，a＞0)在x=3时取得最小值，则a= ；
【问题5】解答下列问题：
1、某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0）万元满足x=3-（k为常数）。如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍，（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）。 y （千米）
（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2016年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
2、如图建立平面直角坐标系XOY，X轴在地平面上，Y轴 y
垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已
知炮弹发射后的轨迹方程y=kx-(1+)，（k＞0）表示的
曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点
的横坐标。
（1）求炮的最大射程； 0 x（千米）
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由（2012全国高考江苏卷）
3、某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800 ，深为3m，如果池底每1
的造价为150元，池壁每1 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
4、首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会拟“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=-200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元。
（1）该单位每月处理量为多少时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
『思考问题5』
（1）【典例5】是基本不等式的实际应用问题，解答这类问题需要理解基本不等式，掌握实际应用问题处理的基本方法；
（2）实际应用问题是人们关心的社会热点问题（如物价，销售，成本，利润等），解答的基本思路是：①根据实际应用问题联想相应的数学模型并建立数学模型；②运用相应数学模型的图像和性质解答问题；③得出结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、过p（2,1）的直线l分别交X轴、Y轴于A、B两点，求AOB的面积S的最小值；
2、某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元，若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于100吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90℅)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由。
3、已知一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长款、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
4、已知直角三角形两条直角边的和等于10cm，求面积最大时斜边的长，并求其最大面积；
5、某单位建造一间地面面积为12的背靠墙的长方形小房，房屋正面的造价为1200元/，房屋侧面的造价为800元/，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计算房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能够使总造价最低，最低总造价是多少元？
6、某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的成本y（万元）与生产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨。
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？
7、某机械厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x台，需另投入成本C（x）（万元），当年产量不足80台时，C（x）=+10x（万元）；当年产量不小于80台时，C（x）=51x+-1450（万元）。通过市场分析，若每台售价为50万元，该厂当年生产的该产品能全部销售完。
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少台时，该厂在这一产品的生产中所利润最大，最大利润是多少？
【雷区警示】
【典例6】解答下列问题：
已知x<3，求f(x)=+x的最大值。
已知0已知x≥0，求函数f(x)=的最小值。
『思考问题6』
【典例6】是运用基本不等式解答问题时，容易触碰的雷区。该类问题的主要雷区包括：①忽视基本不等式条件中的“正”的含义，导致解答问题出现错误；②忽视基本不等式条件中的“定”的含义，导致解答问题出现错误；③忽视基本不等式条件中的“相等”的含义，导致解答问题出现错误；
运用基本不等式解答问题时，为避免忽视基本不等式条件中的“正”的含义的雷区，需要注意“正”是指基本不等式中涉及的a，b两项都为正值；
运用基本不等式解答问题时，为避免忽视基本不等式条件中的“定”的含义的雷区，需要注意“定”是指基本不等式中涉及的a+b（或ab）有一个为定值；
运用基本不等式解答问题时，为避免忽视基本不等式条件中的“相等”的含义的雷区，需要注意“相等”是指基本不等式中涉及的a，b两项，必须有使“a=b”成立的值存在。
〔练习6〕解答下列问题：
已知x<2，求f(x)=+x的最大值。
2、已知03、已知x≥0，求函数f(x)=的最小值。
【追踪考试】
【典例7】解答下列问题：
1、已知ABC中，点D在边BC上，ADB=，AD=2，CD=2BD，当取得最小值时，BD= （2022全国高考甲卷）
2、如图，已知三棱锥A—BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，且=m，=n，其中m，n（0，+），有下列命题：①对于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四边形；②当ACBD时，对任意的m，都存在n，使得截面MNPQ为正方形；③当m=1时，截面的周长与n无关；④当ACBD，且AC=BD=2时，截面MNPQ的面积的最大值为1，其中假命题的个数为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、（理）在ABC中，已知角A=，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2，则AB+2AC的最小值为 。
（文）在ABC中，已知角A=，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2，则AB+AC的最小值为 （成都市2019级高三一诊）
2、已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）（2020全国高考新高考I）（多项选择题）
A ≥ B > C a+b≥-2 D +≤2
『思考问题7』
【典例7】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末考试）试卷中关于基本不等式及运用的问题，归结起来主要包括：①运用基本不等式证明不等式；②运用基本不等式求最值；③运用基本不等式解答不等式恒成立，能成立，恰成立等问题；④运用基本不等式解答实际应用问题等几种问题；
解答基本不等式及运用问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属问题的类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习7〕解答下列问题：
1、函数y= （a＞0，a 1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，则+ 的最小值是 （2018-2019成都市高一下期期末考试）
2、若实数x＞0，y＞0，且x+4y=xy,则x+y的最小值为（ ）
A 7 B 8 C 9 D 10
设x＞0，y＞0，且2x+y=1，求+的最小值（2017—2018成都市高一下期期末考试）
基本不等式及运用
【考纲解读】
理解并掌握两个基本不等式；
能够运用两个基本不等式，熟练解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、基本不等式：
1、基本不等式1：
（1）算术平均数，几何平均数的定义：
①算术平均数的定义：设a，b是正数，则称为正数a，b的算术平均数；
②几何平均数的定义：设a，b是正数，则称为正数a，b的几何平均数。
（2）算术平均数与几何平均数的关系：
基本不等式1：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即：若a＞0，b＞0，则≥（当且仅当a=b时取“=”号）。
基本不等式1的变形式：①≥ab；②≥4ab；③≥；④
+≥2。
『思考问题』
（1）基本不等式1成立的条件是：①数a，b必须满足a＞0，b＞0；②正数a，b的和（或积）为定值；③正数a，b具有相等的条件；
（2）基本不等式1成立的条件也可以简单地说成是一正，二定，三相等；
（3）基本不等式1的三种解释：①实数解释，两个正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数；②数列解释，两个正数a，b的等差中项不小于它们正的等比中项；③几何解释，如图AB是⊙O的直径，过AB上一点C作DEAB交圆于点D，E， D
设AC=a，CB=b，则R=，由几何知识可知，DC=，从
而得到≥，当且仅当点C与圆心重合时等号成立，即 A B
圆的半径不小于半弦。
2、基本不等式不等式2： E
（1）基本不等式不等式2：设a，bR，则+≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）；
（2）基本不等式2的变形式：①≥ab；②2（+）≥；③
≥；④≥≥。
二、基本不等式的运用：
1、运用基本不等式求最值：
（1）两个重要结论：①如果x,y(0，+)，且x.y=p（定值），那么当且仅当x=y时，x+y有最小值2；②如果x,y(0，+)，且x+.y=s（定值），那么当且仅当x=y时，x.y有最大值。
（2）运用基本不等式求最值问题时需要注意的问题：基本不等式1的三个条件：①a＞0，b＞0；②正数a，b的和（或积）为定值；③正数a，b具有相等的条件（也称为“一正，二定，三相等” ）。
2、运用基本不等式解答不等式恒成立，能成立，恰成立等问题：
（1）解答不等式恒成立问题的基本方法是：①不等式f(x) ＞A在区间D上恒成立在区间D上＞A，从而将问题等价转化为求函数f（x）在区间D上的最小值问题；②不等式f(x) ＜ B在区间D上恒成立在区间D上＜B，从而将问题等价转化为求函数f（x）在区间D上的最大值问题；
（2）解答不等式能成立问题的基本方法是：①在区间D上存在实数x使不等式f(x) ＞A成立在区间D上＞A，从而将问题等价转化为求函数f（x）在区间D上的最大值问题；②在区间D上存在实数x使不等式f(x) ＜ B能成立 在区间D上＜B，从而将问题等价转化为求函数f（x）在区间D上的最小值问题；
（3）解答不等式恰成立问题的基本方法是：①不等式f(x) ＞A在区间D上恰成立f(x)＞A的解集为D，从而将问题等价转化为求解不等式f（x）＞A的解集；② f(x) ＜ B在区间D上恰成立f(x)＜B的解集为D，从而将问题等价转化为求解不等式f（x）＜B的解集。
3、运用基本不等式解答实际应用问题：
运用基本不等式解答实际问题的基本方法是：①认真读题，理解题意，联想与问题相关的数学模型；②建立数学模型；③运用相关数学模型的图像和性质解答问题并得出结果。
【探导考点】
考点1运用基本不等式求最值：热点①通过配凑法利用基本不等式；热点②通过常数代换法利用基本不等式；
考点2基本不等式的实际运用：热点①运用基本不等式求收益（或利润）的最大值；热点②运用基本不等式求费用（或成本）的最小值；
考点3基本不等式的综合运用：热点①基本不等式与其他知识的综合的最值问题；热点②运用基本不等式求参数的值（或取值范围）。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A +＞2ab B a+b≥ C +＞ D +≥2
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式成立的条件。
【解题思路】运用基本不等式成立的条件，结合问题条件就可作出正确的判断。
【详细解答】对A， a，b∈R， ≥0，+≥2ab恒成立，等号当且仅当a=b时成立，当a=b时，+＞2ab 不成立，A错误；对B， ab＞0，a，b同号，当a<0，b<0时，a+b≥不成立，B错误；对C， ab＞0，a，b同号，当a<0，b<0时，+＞不成立，C错误；对D， ab＞0，a，b同号， >0，>0，+≥2≥2成立，D正确， 选D。
2、设0＜a＜b，a+b=1，则下列四个数中最大的是（ ）
A B b C 2ab D +
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③实数大小比较的基本方法。
【解题思路】运用基本不等式和问题条件，结合实数大小比较的基本方法就可得出结果。
【详细解答】0＜a＜b，a+b=1，2ab≤2≤2≤，2ab≤+-b=+-b=2-3b+1=(2b-1)(b-1)<0, +『思考问题1』
（1）【典例1】是基本不等式的问题，解答这类问题需要理解基本不等式，注意基本不等式成立的的条件和适用范围；
（2）理解基本不等式时，应该注意两个基本不等式各自成立的条件，①不等式若a＞0，b＞0，则≥（当且仅当a=b时取“=”号）成立的条件归结起来为“一正，二定，三相等”； ②不等式设a，b∈R，则+≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）的条件是a，b∈R。
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列不等式中恒成立的是（ ）（答案：A）
A ≥ B x+≥2 C ≥3 D 2-3x-≥2
2、a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（ ）（答案：D）
A ≤ B +≤1 C ≥2 D +≥8
【典例2】解答下列问题：
1、已知a，b，c，d均为正数，求证（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd；
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③不等式证明的基本方法。
【解题思路】运用基本不等式和问题条件，得到ab+cd≥2，ac+bd≥2，从而证明（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd。
【详细解答】证明： a，b，c，d均为正数，ab>0，cd>0， ab+cd≥2，同理可证ac+bd≥2，（ab+cd）(ac+bd)≥2.2≥4abcd。
2、设a，b，c∈，求证：≥a+b+c；
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用,；③不等式证明的基本方法。
【解题思路】运用基本不等式和问题条件，得到==
≥，从而证明结论。
【详细解答】证明： a，b，c∈，==
≥≥a+b+c。
3、设a，b，c∈，求证: ≥(a+b+c)。
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③不等式证明的基本方法。
【解题思路】运用基本不等式和问题条件，得到≥≥，≥≥，≥≥，从而证明结论。
【详细解答】证明： a，b，c∈，≥≥，≥≥，≥≥，+
+≥++=(a+b+c)。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与基本不等式相关的不等式证明问题，解答这类问题需要理解基本不等式，注意基本不等式成立的条件和不等式证明的基本方法；
（2）证明不等式的基本方法是：①选择结论式的一边（一般是式子较复杂的一边）；②运用基本不等式（或重要不等式）对选择的一边进行变换使之≥（或≤）另一边；③得出结论。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知x，y都是正数，求证：
（1）≥2； （2）（x+y）()()≥8；
（提示：（1）直径运用均值不等式；（2）提示：x+y≥2，≥2xy，≥2xy）
2、已知a，b，c都是正数，求证：（a+b）(b+c)(c+a)≥8abc；（提示：直径运用均值不等式。）
3、求证：≤；（提示：≤2（+））
4、已知a，b都是正数，且a≠b，求证：＜；（提示：a≠b，a+b>2）
5、已知a，b都是正数，求证：≤≤≤；（提示：直径运用均值不等式。）
6、求证：在直径为d的圆内接矩形中，面积最大的是正方形，这个正方形的面积等于。（提示：面积最大的是正方形是以直径为对角线的正方形。）
【典例3】解答下列问题：
1、若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）
A B C 5 D 6
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用。
【解题思路】运用问题条件，得到+=5，从而得到3x+4y=（+）（3x+4y）=（13++），利用基本不等式就可得出结果。
【详细解答】正数x，y满足x+3y=5xy，+=5，3x+4y=（+）（3x+4y）=（13++）≥（13+2）≥25≥5，C正确，选C。
2、已知正数x，y，z满足+ + =1，则s= 的最小值为（ ）
A 3 B C 4 D 2（+1）
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用。
【解题思路】运用问题条件，得到=1-=（1+z）（1-z），从而得到1+z =， s= =，利用基本不等式就可得出结果。
【详细解答】正数x，y，z满足+ + =1，=1-=（1+z）（1-z），1+z =， s= =≥≥≥4，C正确，选C。
3、已知0＜x＜1，则x（4-3x）取得最大值时x的值为 ；
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用。
【解题思路】运用问题条件，得到x（4-3x）= ，利用基本不等式就可得出结果。
【详细解答】0＜x＜1， x（4-3x）= ≤≤，等号当且仅当3x=4-3x，即x=时成立，x（4-3x）取得最大值时x的值为。
4、已知x＜，则f(x)=4x-2+的最大值为 ；
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用。
【解题思路】运用问题条件，得到4x-5<0,从而得到f(x)=4x-2+=4x-5
++3，利用基本不等式就可得出结果。
【详细解答】 x＜，4x-5<0, f(x)=4x-2+=4x-5++3=3-[-（4x-5）-]≤3-2≤1, f(x)=4x-2+的最大值为1。
5、已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，求y=+的最小值；
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用。
【解题思路】运用问题条件，得到y=+=（+）（a+2b）=3++，利用基本不等式就可得出结果。
【详细解答】 a＞0，b＞0，且a+2b=1， y=+=（+）（a+2b）=3++≥3
+2≥3+2，y=+的最小值为3+2。
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用基本不等式求最值的问题，解答这类问题需要理解并掌握基本不等式，注意基本不等式等号成立的条件；
（2）运用基本不等式求最值的基本方法是：①拼凑法，通过拼凑使问题中的两项满足基本不等式的条件（一正，二定，三相等）再运用基本不等式得出结果；②常数代换法，即由已知式得到常数（一般是常数1）的式子，把所求最值式子中的该常数都换成相应的式子再运用基本不等式得出结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、若+=1，则x+y的取值范围是（ ）
A ［0，2］ B ［-2，0］ C ［-2，+） D （-，-2］（答案：D）
2、设正实数x，y，z满足-3xy+ 4-z=0，则当取得最小值时，x+2y-z的最大值为（ ）
A 0 B C 2 D （答案：C）
3、已知不等式（x+y）（+）≥9，对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）（答案：C）
A 8 B 6 C 4 D 2
4、函数y=(x＞1)的最小值为 ；（答案：的最小值为2+2）
5、已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求（1+）（1+）的最小值；（答案：（1+）（1+）的最小值为9）
6、已知a＞0，b＞0，且+=4，求a+b的最小值；（答案：a+b的最小值为1）
7、设0＜x＜2，求函数y=的最大值；（答案：y=的最大值为2）
8、已知x＞0，y＞0，x+y=1，求+ 的最小值；（答案：+ 的最小值为7+4）
9、设0＜x＜1，a，b为正常数，则+ 的最小值为 ；（答案：+ 的最小值为）
10、已知0＜＜，求证tan+的最小值是2；（提示：直接运用基本不等式）
11、设0＜x＜2，求函数f(x)=的最大值，并求相应的x值；（答案：当x=时，函数f(x)=取得最大值4）
12、已知x＞0，求证2-3x-的最大值是2-4；（提示：证明3x+≥4）
13、已知x，y（0，+），=，若+（m＞0）的最小值为3，则m= ；
（答案：m=4）
14、已知x＞0，y＞0，4x+9y=1，则+ 的最小值为 ；（答案：+ 的最小值为25）
15、已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则+的最小值为 ；（答案：+的最小值为4）
16、已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值。（答案：x+y的最小值为12）
【典例4】解答下列问题：
1、已知直线ax+by+c-1=0（b，c＞0）经过圆+-2y-5=0的圆心，则+的最小值是（ ）
A 9 B 8 C 4 D 2
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③圆的一般方程化标准方程的基本方法。
【解题思路】运用圆的一般方程化标准方程的基本方法把圆的方程化为标准方程，结合问题条件，得到b+c=1，从而得到+=（+）（b+c）=2++，利用基本不等式就可得出结果。
【详细解答】+-2y-5=0，+=6，直线ax+by+c-1=0（b，c＞0）经过圆+-2y-5=0的圆心， b+c=1，+=（+）（b+c）=2++≥2+2≥4，+的最小值是4，C正确，选C。
2、已知a＞0，b＞0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为（ ）
A 9 B 12 C 18 D 24
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③求不等式恒成立参数取值范围的基本方法。
【解题思路】运用问题条件，得到（+）（a+3b）≥m恒成立，利用基本不等式求出（+）（a+3b）的最小值，从而得出m的最大值。
【详细解答】 a＞0，b＞0，（a+3b）>0，+≥恒成立，（+）（a+3b）≥m恒成立，（+）（a+3b）=6++≥6+2≥6+6≥12，m≤12，
m的最大值为12，,B正确，选B。
3、设等差数列{ }的公差为d，其前n项和是，若=d=1，则的最小值是 ；
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③等差数列的定义与性质。
【解题思路】运用等差数列的定义与性质，结合问题条件，求出，关于n的式子，得到==++，利用基本不等式就可求出的最小值。
【详细解答】等差数列{ }，=d=1，=1+（n-1）1=n，=n+=+，
==++≥+2≥+4≥，的最小值是。
4、已知点P（a+1，b+1），Q（1，0）不重合，线段PQ与直线2x-3y+1=0有交点，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）①2a-3b≤0；②当a0时，既有最小值又有最大值；③若+b+≥M恒成立，则M的最大值为0；④a∈R，＜；⑤若b＜0，则|PQ|取最小值时，a=-；
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③直线相交的定义与性质。
【解题思路】运用直线相交的定义与性质，结合问题条件得到点P，Q在直线2x-3y+1=0的两侧或P，Q两点至少有一点在直线2x-3y+1=0上，判断各个结论的真假，从而得出结果。
【详细解答】 P（a+1，b+1），Q（1，0）不重合，线段PQ与直线2x-3y+1=0有交点， （2a-3b）(2-0+1) ≤0，2a-3b≤0， ①正确；当a0时，2a-3b≤0，2a≤3b ，若a>0，则≥， 只有最小值，若a<0，则≤， 只有最大值，②错误；+b+≥M恒成立，2a-3b≤0，+b+≥+a+≥≥0，M≤0, M的最大值为0，③正确； 2a-3b≤0，=，=，≤，≤，当2a=3b，及b=a时，=，④错误； b＜0，且b -1，|PQ|=+
=+≥+2b+1≥+≥，当b=-时， |PQ|有最小值，此时a=b=（-）=-，⑤正确，结论正确的是：①③⑤。
5、已知函数f(x)= （a∈R），若对于任意的x∈，f(x) ≥3恒成立，则a的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③不等式恒成立的定义与性质。
【解题思路】运用不等式恒成立的定义与性质，结合问题条件得到a≥-x-+3恒成立，利用基本不等式求出-x-+3的最大值，从而得出结果。
【详细解答】函数f(x)= ，对于任意的x∈，f(x) ≥3恒成立，对于任意的x∈，a≥-x-+3恒成立，设g（x）=-x-+3=3-（x+）≤3-2≤3-4，函数g（x）的最大值为3-4，a的取值范围是[3-4，+）。
6、设函数f(x)= -1，对任意x∈［，+），f()-4f(x) ≤f(x-1)+4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③不等式恒成立的定义与性质。
【解题思路】运用不等式恒成立的定义与性质，结合问题条件得到-4-1≤ 恒成立，利用函数最值的求法求出的最小值，从而得到关于m的不等式，利用基本不等式就可求出结果。
【详细解答】 f(x)= -1，对任意x∈［，+）， f()-4f(x) ≤f(x-1)+4f(m) 恒成立，对任意x∈［，+），-1-4（-1）≤-1+4(-1) 恒成立，
对任意x∈［，+），(-4-1) +2x+3≤0恒成立，对任意x∈［，+），
-4-1≤恒成立，设g（x）=， （x）= + >0在［，+）上恒成立，函数g（x）在［，+）上单调递增，函数g（x）的最小值为
g（）==-，-4-1≤-，m≤-或m≥，实数m的取值范围是（-，-]［，+）。
7、设F（x）是定义在R上的减函数，且不等式组 F（2kx-）＜F(k-4)，对任意的x∈
F（-kx）＜F(k-3)，［0，1］，恒成立，求k的取值范围。
【解析】
【知识点】①基本不等式定义与性质；②基本不等式及运用；③不等式恒成立的定义与性质。
【解题思路】运用不等式恒成立的定义与性质，结合问题条件得到-4-1≤ 恒成立，利用函数最值的求法求出的最小值，从而得到关于m的不等式，利用基本不等式就可求出结果。
【详细解答】 F（x）是定义在R上的减函数， F（2kx-）＜F(k-4)，对任意的x
F（-kx）＜F(k-3)，∈［0，1］，恒成立，2kx->k-4，对任意的x∈［0，1］，恒成立，k>，对任意的x∈(，
-kx>k-3， k>，1］，恒成立，
或 k<，对任意的x∈［0，），恒成立，设g（x）=，h（x）=，
k>，（x）===≤0在［0，1］上恒成立，
（x）= = ≥0在［0，1］上恒成立，函数g（x）在［0，1］上单调递减，函数h（x）在［0，1］上单调递增，函数g（x）在［0，1］的最大值为
g（0）=4，最小值为g（1）=-3，函数h（x）在［0，1］上的最大值为h（1）=2，k>4，
实数,k的取值范围是（4，+）。
『思考问题4』
（1）【典例4】是基本不等式的综合运用问题，这类问题包括：①不等式与其他知识的综合；②求参数的值或取值范围；
（2）解答不等式与其他知识综合问题的基本方法是：①弄清问题是不等式与哪些知识的综合；②运用相应知识和基本不等式求解问题；③得出结果；
（3）求参数值或取值范围的基本方法是：①注意问题的特点；②运用基本不等式确定相应式子成立的条件；③求出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知各项均为正数的等比数列{ }满足=+2，若存在两项，使得=4，则+的最小值为（ ）（答案：C）
A B C D
2、已知a＞1，b＞1，且lga+lgb=6,则lga.lgb的最大值为（ ）（答案：B）
A 6 B 9 C 12 D 18
3、已知x＞0，y＞0，lg +lg =lg2，则+ 的最小值是（ ）（答案：C）
A 2 B 2 C 4 D 2
4、设0＜x＜1，则x(3-2x)取最大值时，x的值为（ ）（答案：C）
A B C D 1
5、已知函数f(x)=x++2的值域为（-，0］［4，+），则a的值是（ ）（答案：C）
A B C 1 D 2
6、已知函数f(x)=4x+( x＞0，a＞0)在x=3时取得最小值，则a= ； （答案：a=36）
【问题5】解答下列问题：
1、某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0）万元满足x=3-（k为常数）。如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍，（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）。 y （千米）
（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2016年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③解答实际应用问题的基本方法。
【解题思路】（1）运用解答实际应用问题的基本方法，结合问题条件就可求出该产品年利润y万元关于年促销费用m万元的函数；（2）由（1）利用基本不等式求出函数最大值，从而得出结果。
【详细解答】（1）当m=0时，x=1万件，1=3-k，k=2， x=3- ，每件产品的销售价格为（元），y=x-8-16x-m=-[+(m+1)]+29（m≥0）；（2） m≥0时，+(m+1) ≥2≥8， y=-[+(m+1)]+29
≤-8+29≤21，当且仅当=m+1，即m=3万元时，=21万元。
2、如图建立平面直角坐标系XOY，X轴在地平面上，Y轴 y
垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已
知炮弹发射后的轨迹方程y=kx-(1+)，（k＞0）表示的
曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点
的横坐标。
（1）求炮的最大射程； 0 x（千米）
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由（2012全国高考江苏卷）
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③解答实际应用问题的基本方法。
【解题思路】（1）运用解答实际应用问题的基本方法，结合问题条件就可求出炮的最大射程；（2）由（1）和问题条件得到方程-20ak++64=0，利用方程有正根的条件得到关于a的不等式，求解不等式求出a的取值范围，从而得出结果。
【详细解答】（1）x>0，k>0，当y=0时，kx-(1+)=0，x==≤
≤10，当且仅当k=，即k=1时，炮的最大射程为10千米；（2）a>0，炮弹击中目标，存在k>0，使3.2=ka-(1+)成立，方程kx-(1+)=0，有正根，=-4（+64）≥0，a≤6，a>0，0< a≤6，当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标。
3、某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800 ，深为3m，如果池底每1
的造价为150元，池壁每1 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③解答实际应用问题的基本方法。
【解题思路】设蓄水池底面长方形的宽为xm，运用解答实际应用问题的基本方法，结合问题条件把蓄水池的总造价y（元）表示成关于x的函数，利用基本不等式求出当函数取最小值时，x的值，从而得出结果。
【详细解答】设蓄水池底面长方形的宽为xm，蓄水池容积为4800 ，深为3m，蓄水池底面面积为1600，蓄水池底面长方形的长为m，y=2(x+)3120+
1600150=720(x+)+24000 ≥7202+24000≥57600+24000≥81600, 当且仅当x=，及x=40m时，y取得最小值81600元，当蓄水池的底面设计成边长为40m的正方形时，能使总造价最低，最低总造价为81600元。
4、首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会拟“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=-200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元。
（1）该单位每月处理量为多少时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
【解析】
【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③解答实际应用问题的基本方法。
【解题思路】（1）运用解答实际应用问题的基本方法，结合问题条件把二氧化碳每吨的平均处理成本表示成关于x的式子，利用基本不等式就可求出二氧化碳平均每吨处理成本的最小值；（2）设该单位每月获利为G元，把G表示成关于x的函数，利用函数值域的求法求出G的取值范围，从而得出结果。
【详细解答】（1） y=-200x+80000，二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+
-200≥2-200≥400-200≥200，当且仅当x=，即x=400时，
的值最小，该单位该月处理400吨时，才能使二氧化碳每吨的平均处理成本最低，最低为200元；（2）设单位该月获利为G元，G=100x-y=100x-（-200x+80000）=
-+300x-80000=--35000，x∈[400，600]， G∈[-80000，-40000]，该单位该月不可能获利，需要国家至少补贴40000元，才能不亏损。
『思考问题5』
（1）【典例5】是基本不等式的实际应用问题，解答这类问题需要理解基本不等式，掌握实际应用问题处理的基本方法；
（2）实际应用问题是人们关心的社会热点问题（如物价，销售，成本，利润等），解答的基本思路是：①根据实际应用问题联想相应的数学模型并建立数学模型；②运用相应数学模型的图像和性质解答问题；③得出结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、过p（2，1）的直线l分别交x轴，y轴于A，B两点，求AOB的面积S的最小值；（答案：AOB的面积S的最小值为6）
2、某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元，若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于100吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90℅)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由。（答案：该厂应该考虑利用此优惠条件，原因是通过运算考虑优惠条件可以使费用减少。）
3、已知一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（当长为，宽为时菜园的面积最大，最大面积为）
4、已知直角三角形两条直角边的和等于10cm，求面积最大时斜边的长，并求其最大面积；（面积最大时斜边的长为5，其最大面积为c）
5、某单位建造一间地面面积为12的背靠墙的长方形小房，房屋正面的造价为1200元/，房屋侧面的造价为800元/，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计算房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能够使总造价最低，最低总造价是多少元？
6、某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的成本y（万元）与生产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨。
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（答案：（1）年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为32万元；（2）年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元。）
7、某机械厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x台，需另投入成本C（x）（万元），当年产量不足80台时，C（x）=+10x（万元）；当年产量不小于80台时，C（x）=51x+-1450（万元）。通过市场分析，若每台售价为50万元，该厂当年生产的该产品能全部销售完。
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少台时，该厂在这一产品的生产中所利润最大，最大利润是多少？（答案：（1）L（x）=-+40x-250，01200-（x+），x≥80,该厂在这一产品的生产中获得的利润最大，最大利润为1000万元。）
【雷区警示】
【典例6】解答下列问题：
已知x<3，求f(x)=+x的最大值。
【解析】
【知识点】①基本不等式定义与性质；②运用基本不等式解答相关问题的基本方法。
【解题思路】根据基本不等式的性质，运用基本不等式解答相关问题的基本方法，结合问题条件，就可求出f(x)=+x的最大值。
【详细解答】f(x)=+x=+x-3+3，x<3，x-3<0，->0，-（x-3)>0，
f(x)=+x=+x-3+3=-[--(x-3）]+3≤3-2≤3-4≤-1，f(x)
=+x的最大值为-1。
2、已知0【解析】
【知识点】①基本不等式定义与性质；②运用基本不等式解答相关问题的基本方法。
【解题思路】根据基本不等式的性质，运用基本不等式解答相关问题的基本方法，结合问题条件，就可求出函数y=x(3-2x)的最大值。
【详细解答】y=x(3-2x)=2x(-x)，00，y=x(3-2x)=2x(-x)≤2
[]≤，函数y=x(3-2x)的最大值为。
3、求函数f(x)=的最小值。
【解析】
【知识点】①函数单调性定义与性质；②数学换元法及运用；③运用函数单调性求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数单调性的性质，运用数学换元法和函数单调性求函数最值的基本方法，结合问题条件，就可求出求函数f(x)=的最小值。
【详细解答】函数f(x)===+，设t=，t[，+），f(t)=t+，函数f(t)在[，+）上单调递增，函数f(x)=f(t)的最小值为f()
=+=。
『思考问题6』
【典例6】是运用基本不等式解答问题时，容易触碰的雷区。该类问题的主要雷区包括：①忽视基本不等式条件中的“正”的含义，导致解答问题出现错误；②忽视基本不等式条件中的“定”的含义，导致解答问题出现错误；③忽视基本不等式条件中的“相等”的含义，导致解答问题出现错误；
运用基本不等式解答问题时，为避免忽视基本不等式条件中的“正”的含义的雷区，需要注意“正”是指基本不等式中涉及的a，b两项都为正值；
运用基本不等式解答问题时，为避免忽视基本不等式条件中的“定”的含义的雷区，需要注意“定”是指基本不等式中涉及的a+b（或ab）有一个为定值；
运用基本不等式解答问题时，为避免忽视基本不等式条件中的“相等”的含义的雷区，需要注意“相等”是指基本不等式中涉及的a，b两项，必须有使“a=b”成立的值存在。
〔练习6〕解答下列问题：
1、已知x<2，求f(x)=+x的最大值。（答案：f(x)=+x的最大值为2-2）
2、已知03、已知x≥0，求函数f(x)=的最小值。（答案：函数f(x)=的最小值为）
【追踪考试】
【典例7】解答下列问题：
已知ABC中，点D在边BC上，ADB=，AD=2，CD=2BD，当取得最小值时，BD= （2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①平面直角坐标系定义与性质；②建立平面直角坐标系的基本方法；③两点之间距离公式及运用；④基本不等式及运用。
【解答思路】如图，根据平面直角坐标系的性质和建立平面直角坐标系的基本方法，距离平面直角坐标系D—xy，设BD=x（x>0）,运用两点之间的距离公式得到关于x的函数，利用基本不等式求出当取得最小值时，x的值，就可求出当取得最小值时，BD的值。
【详细解答】如图，过点D作DEBC于点D，以D为原点， y
，分别为X轴，Y轴的正方向，建立平面直角坐标系 E A
D—xy，设BD=x（x>0）, ABC中，点D在边BC上，
ADB=，AD=2，CD=2BD，C（2x，0），B（-x，0）， B D x C
A（1，），|AB|= ，|AC|= ，
= = =4-=4- 4-2，当且仅当x+1=，即x=-1时，取得最小值为4-2， 当取得最小值时，BD=x=-1。
2、如图，已知三棱锥A—BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，且=m，=n，其中m，n（0，+），有下列命题：①对于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四边形；②当ACBD时，对任意的m，都存在n，使得截面MNPQ为正方形；③当m=1时，截面的周长与n无关；④当ACBD，且AC=BD=2时，截面MNPQ的面积的最大值为1，其中假命题的个数为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①三棱锥定义与性质；②三棱锥截面定义与性质； ③平行四边形定义与性质；④正方形定义与性质；⑤判断命题真假的基本方法；⑥基本不等式及运用。
【解题思路】根据三棱锥和三棱锥截面的性质，运用平行四边形，正方形的性质，基本不等式和判断命题真假的基本方法，对各命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，三棱锥A—BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，=n， MN//AC//PQ，MQ//BD//NP，四边形MNPQ是平行四边形， ①正确；对②， ACBD， 四边形MNPQ是矩形，=n，=，=，MN=AC，MQ=BD，=m， MN=AC= BD，=，对任意的m，都存在n=m，使得截面MNPQ为正方形，②正确；对③，当m=1时，=1，AC=BD，截面MNPQ是菱形，MN=AC=BD，MQ=BD，截面MNPQ的周长为2（MN+MQ）=2（+）BD=2BD与n无关，③正确；对④， ACBD，且AC=BD=2，截面MNPQ是矩形，MN=AC= ，MQ=BD= ，=MN.MQ
==1，当且仅当n=，即n=1时，截面MNPQ的面积的
最大值为1，④正确，四个命题中没有假命题，A正确，选A。
3、（理）在ABC中，已知角A=，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2，则AB+2AC的最小值为 。
（文）在ABC中，已知角A=，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2，则AB+AC的最小值为 （成都市2019级高三一诊）
【解析】
【考点】①角平分线定义与性质；②三角形面积公式及运用；③三角函数定义与性质；④求三角函数最值的基本方法；⑤基本不等式及运用。
【解题思路】（理）如图，根据角平分线的性质和三角形面积公式得到AB关于AC的表示式，从而得到AB+2AC关于AC的三角函数解析式，运用求三角函数最值的基本方法和基本不等式就可求出AB+2AC的最小值。（文）如图，根据角平分线的性质和三角形面积公式得到AB关于AC的表示式，从而得到AB+2AC关于AC的三角函数解析式，运用求三角函数最值的基本方法和基本不等式就可求出AB+2AC的最小值。
【详细解答】（理）如图，在ABC中， BAC=，AD是BAC 的平分线，交边BC于点D，=AB.ACsin=AB.AC= A
+=AB.ADsin+AC.ADsin=AB+ B D C
AC， AB(AC-2)= AC，2AC= AB(AC-2)，AB=，AB+2AC
= + 2AC=， 设t= AC-2，则AC-1=t+1，AC=t+2， AB+2AC
===2t+6+6+26+4，当且仅当2t=，即t=AC-2=，也就是AC=2+，AB=2+2时，AB+2AC取得最小值6+4。
（文）如图，在ABC中， BAC=，AD是 A
BAC 的平分线，交边BC于点D，=AB.AC
sin=AB.AC=+=ABADsin B D C
+AC.ADsin=（AB+AC）， AB+AC=. ，
AB+AC0，或AB+AC4（）， AB+AC >0，AB+,AC4（），
当且仅当AB=AC时， AB+AC取得最小值4（）。
4、已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）（2020全国高考新高考I）（多项选择题）
A ≥ B > C a+b≥-2 D +≤2
【解析】
【考点】①基本不等式定义与性质；②指数定义与性质； ③对数定义与性质；④运用基本不等式解答问题的基本方法。
【解题思路】根据基本不等式，指数和对数的性质，运用基本不等式解答问题的基本方法对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，a>0，b>0，且a+b=1，2（ ）≥≥1，≥，A正确，对B，a>0，b>0，且a+b=1，-b=a-1，=>>，B正确；对C，a>0，b>0，且a+b=1，当a=，b=时， a+b=+<-2，
C错误；对D，a>0，b>0，且a+b=1，=a+b+2≤2（a+b）≤2，
+≤≤2，D正确，A，B，D正确，选A，B，D。
『思考问题6』
【典例6】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末考试）试卷中关于基本不等式及运用的问题，归结起来主要包括：①运用基本不等式证明不等式；②运用基本不等式求最值；③运用基本不等式解答不等式恒成立，能成立，恰成立等问题；④运用基本不等式解答实际应用问题等几种问题；
解答基本不等式及运用问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属问题的类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、函数y= （a＞0，a 1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，则+ 的最小值是 （2018-2019成都市高一下期期末考试）（答案4）
2、若实数x＞0，y＞0，且x+4y=xy,则x+y的最小值为（ ）（答案B）
A 7 B 8 C 9 D 10
3、设x＞0，y＞0，且2x+y=1，求+的最小值（2017—2018成都市高一下期期末考试）（答案：4+2）
a b
O C
a b
O C