一元二次不等式，一元二次函数和一元二次方程 学案

一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式
【考纲解读】
1、理解一元二次函数的定义，掌握一元二次函数的图像和性质，能够运用一元二次函数的图像和性质解答相关的数学问题；
2、理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系定理解答相关的数学问题；
3、理解一元二次不等式的定义，掌握一元二次不等式的解法，注意一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式之间的相互关系，并能运用三者之间的关系解答相关的综合数学问题。
【知识精讲】
一、一元二次函数的概念：
1、一元二次函数的定义：
（1）一元二次函数的定义：形如y=a+bx+c（a，b，c为常数，且a0）的函数，称为一元二次函数（其中a称为二次项系数，b称为一次项系数c称为常数项）；
（2）理解一元二次函数时应该注意的问题：①一元二次函数的解析式是一个整式；②解析式中只含一个自变量，且自变量的最高次数是2；③解析式中二次项的系数a不能为零（一次项系数和常数项都可以为零）。
2、一元二次函数的表达式：
（1）一般式：y=a+bx+c（a，b，c为常数，且a0）；
（2）顶点式：y=a（x-h）+k（一元二次函数图像的顶点P（h，k））；
（3）交点式：y=a（x- ）（x- ）（这里，分别是一元二次函数图像与x轴交点的横坐标，这种表示仅限于一元二次函数的图像与x轴有交点的情况）。
二、一元二次函数的图像：
1、一元二次函数图像的特征：
一元二次函数的图像是以x=-为对称轴，点（-，）为顶点的一条抛物线。
2、一元二次函数图像的作法：
（1）描点作图法：①选择一些自变量的值，根据一元二次函数的解析式求出相应的函数值，并把这些对应的值用表格表示出来（列表）；②在平面直角坐标系中描出表格中对应值相应的点（描点）；③用光滑的线把这些点连接起来（连线）；
（2）快速作图法：①用公式x=-求出一元二次函数图像的对称轴；②根据a的取值确定一元二次函数图像的开口方向；③解一元二次方程a+bx+c=0得出一元二次函数图像与X轴交点的横坐标；④运用公式x=-，y= 求出一元二次函数图像的顶点坐标（-，）；⑤结合①，②，③，④作出一元二次函数的图像。
三、一元二次函数的性质：
一元二次函数y=a+bx+c（a，b，c为常数，且a0）的性质如下表所示：
二次项系数 a＞0 a＜0
a的取值
判别式= ＞0 =0 ＜0 ＞0 =0 ＜0
-4ac的取值
方程a+bx 有两个不同 有两个相等 没有实数根 有两个不同 有两个相等没有实数根
+c=0的解 的实数根 的实数根 的实数根 的实数根
一元二次函数图 开口向上 开口向下
像的开口方向
一元二次函数图 x=- x=-
像的对称轴
一元二次函数图 （-，） （-，）
像的顶点坐标
一元二次函数图 有两个不 只有一个 没有交点 有两个不 只有一个 没有交点
像与X轴的交点 同的交点 交点 同的交点 交点
一元二次函数值 当x＜-时，函数值y随自变量 当x＜-时，函数值y随自变量
与自变量的关系 x的增大而减小；当x＞-时， x的增大而增大；当x＞-时，
函数值y随自变量x的增大而增大。 函数值y随自变量x的增大而减小。
一元二次函数的 当x=-时，函数有最小值 当x=-时，函数有最大值
最值 y=，无最大值。 y=，无最小值。
四、一元二次方程的概念：
1、一元二次方程的定义：
只含一个未知数，且未知数的最高次数是二的整式方程，称为一元二次方程。
2、理解一元二次方程定义时应该注意的问题：
理解一元二次方程定义时应该注意一元二次方程的三个特点：①方程只含一个未知数；②方程中未知数的最高次数是二；③方程是整式方程。
3、一元二次方程的一般式：
（1）形如a+bx+c=0（a0）的方程，称为一元二次方程的一般式；注意一般式中的条件“a0”不能忽略，它是保证方程是一元二次方程的充分必要条件。
（2）在一元二次方程的一般式a+bx+c=0（a0）中：①“a” 是二次项，系数a（a0）称为二次项系数；②“bx”是一次项，系数b称为一次项系数；③“c”是常数项。
五、一元二次方程的解法：
1、直接开平方法：
（1）定义：利用平方根的定义直接开平方求解一元二次方程的方法，称为直接开平方法；
（2）解法：对方程=b(b0)，根据平方根的定义得到=x=a或x=-a；
（3）直接开平方法的适用范围：只适用于形如=b(b0)的一元二次方程，注意当b＜0时，方程没有实数解。
2、配方法：
（1）定义：通过配方把一元二次方程化成形如=b(b0)的方程，再运用直接开平方的方法求解一元二次方程的方法，称为配方法；
（2）解法：①将一元二次方程化为一般式a+bx+c=0（a0）；②把二次项的系数提到括号外面，使括号中的二次项系数为1，括号中除二次项，一次项外，再加上一次项系数一半的平方，同时括号外减去二次项系数与一次项系数一半平方的积；③括号中的三项配成完全平方，并把常数项移到等式的右边；④等式两边同时除以二次项系数，把一元二次方程化成=b(b0)的形式；⑤运用直接开平方法求出方程的解；
（3）平方法的适用范围：所有一元二次方程。
3、公式法：
（1）定义：运用一元二次方程的求根公式x=求解一元二次方程的方法，称为公式法；
（2）解法：①将一元二次方程化为一般式a+bx+c=0（a0）；②把相应的系数代入求根公式求出方程的解；
（3）公式法的适用范围：所有一元二次方程。
4、因式分解法：
（1）定义：利用因式分解的方法把一元二次方程一般式a+bx+c=0（a0）左边的二次三项式化成两个一次因式的积，再根据两个因式的积为零的必要条件求出一元二次方程的解的方法，称为因式分解法；
（2）解法：①将一元二次方程化为一般式a+bx+c=0（a0）；②把方程左边的二次三项式分解成两个一次因式的积；③运用两个一次因式的积为零的必要条件得到两个一元一次方程；④分别求解两个一元一次方程得出一元二次方程的解；
（3）因式分解法的适用范围：化为一般式a+bx+c=0（a0）后，左边的二次三项式能够分解成两个一次因式的积的一元二次方程。
六、一元二次方程根的判别式：
1、一元二次方程根的判别式的定义：
一元二次方程a+bx+c=0（a0）中，称为一元二次方程a+bx+c=0（a0）根的判别式；通常用“”表示，即=。
2、一元二次方程根的判别式的作用：
根据一元二次方程a+bx+c=0（a0）根的判别式=，可以判断一元二次方程a+bx+c=0（a0）根的情况：
（1）当判别式=＞0时，一元二次方程a+bx+c=0（a0）有两个不相等的实数根；
（2）当判别式==0时，一元二次方程a+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根；
（3）当判别式=＜0时，一元二次方程a+bx+c=0（a0）没有实数根。
七、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
1、一元二次方程根与系数的关系：
设，是一元二次方程a+bx+c=0（a0）的两根，则：①+=-；②.=；特别地若，是一元二次方程+px+q=0的两根，则：①+=-p；②.=q；
2、一元二次方程根与系数的关系的运用：
如果已知两数的和与积求这两个数，则可以根据一元二次方程+px+q=0根与系数的关系把问题转化为求解一元二次方程的问题。
八、一元二次不等式的概念：
1、一元二次不等式的定义：
（1）一元二次不等式的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二的不等式，称为一元二次不等式；
（2）一元二次不等式的一般形式：①a+bx+c＞0(或≥0)，②a+bx+c＜0(或≤0)，其中系数a0.
（3）理解一元二次方程定义时应该注意的问题：①不等式只含一个未知数；②不等式中未知数的最高次数是二；③不等式是整式不等式。
2、一元二次不等式的解法：
(1)求解一元二次不等式的基本方法是：①因式分解法；②图像法；
（2）一元二次不等式因式分解法的基本方法是：①将一元二次不等式中的二次三项式分解成两个一次因式的积；②根据有理数的乘法法则把一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组；③ 求解两个一元一次不等式组；④ 得出一元二次不等式的解；
（3）图像法求解一元二次不等式涉及到一元二次函数和一元二次方程的相关知识，它们之间的相互关系详见下表：
一元二次方程 判别式 = -4ac＞0 =-4ac=0 =-4ac＜0
a+bx+c=0（a＞0）实数解 ≠ = 没有实数解
一元二次函数的图像
y= a+bx+c(a＞0) 0 0
一元二次不等式的解集
a+bx+c＞0(a＞0)
a+bx+c＜0(a＞0)
（4）上表中的二次项系数是（a＞0)，但在求解一元二次不等式的问题时也有二次项系数（a＜0)的情况，对这样的问题我们的处理方法是把不等式两边同时乘以负一（注意不等号要改变方向）；
（5）图像法求解一元二次不等式的基本方法是：①求出判别式的值，若≥0，则求出一元二次方程a+bx+c=0的解；②确定一元二次函数y= a+bx+c的对称轴和开口方向；
③作出一元二次函数y= a+bx+c的大致图像；④从上表中找到对应的位置；⑤得出一元二次不等式的解。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、y=m是一元二次函数，则m的值为（ ）
A 0,-3 B 0, 3 C 0 D -3
2、已知一元二次函数的图像与Y轴的交点坐标为（0，a），与X轴的交点坐标为（b，0）和（-b，0），若a＞0，则函数的解析式为（ ）
A y= +a B y= - +a C y= - -a D y= -a
3、如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为
（精确到0.1米）
4、函数y=2-x+3的图像经过的象限是（ ）
A 第一，二，三，四象限 B 第一，二象限 C 第三，四象限 D 第一，二，四象限
5、函数y=-+4x+1图像的顶点坐标是（ ）
A （2,3） B （-2,3） C （2,1） D （2,5）
6、已知点（，），（，）均在抛物线y=-1上，下列说法中正确的是（ ）
A 若=，则= B 若=-，则=-
C 若0＜＜，则＞ D 若＜＜0，则＞
7、已知抛物线y=a+bx+c的图像如图所示，则a，b，c的符号为（ ）
A a＞0，b＞0，c＞0 B a＞0，b＞0，c=0 C a＞0，b＜0，c=0 D a＞0，b＜0，c＜0
8、把抛物线y=+bx+c的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式是y=-3x+5，试求b，c的值；
9、已知函数y=2，y=2和y=2。
（1）分别说出各个函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）分析分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=2得到抛物线y=2和
y=2？
〖思考问题1〗
（1）【典例1】是与一元二次函数相关的问题，解答这类问题需要理解一元二次函数的定义，掌握一元二次函数的图像和性质；
（2）一元二次函数的三种表示形式之间可以相互转化，注意掌握转化过程中的基本方法；（3）待定系数法的基本方法是：①设出函数的一般式y=a+bx+c（a，b，c为常数，且a0）；
②根据问题中的条件列出关于a，b，c的方程（或方程组）；③解方程（或方程组）得出a，
b，c的值；④把③求出的a，b，c的值代入假设式，得出一元二次函数的解析式；
（4）一元二次函数y=a+bx+c（a0）的图像是一条抛物线，图像的形状由抛物线的开
口方向（二次项系数a的取值），对称轴（x=- ），顶点坐标（-，）和与坐
标轴的交点（a+bx+c=0的实数根，c的取值）确定。
（5）一元二次函数的图像和性质都与二次项的系数的取值密切相关，解答与一元二次函数图像和性质相关的问题时，应该根据二次项系数的取值确定抛物线的开口方向，进而作出一元二次函数的草图，结合图像解答问题（数形结合思想与方法的正确运用）。
［练习1］解答下列问题：
1、若函数y=（m-2）+5x+1是关于x的一元二次函数，则m的值为（ ）
A 2 B -2 C D -
2、某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y=-+x+，则该运动员的成绩是（ ）
A 6m B 10m C 8m D 12m
3、已知一元二次函数的图像与x轴相交于点A（2,0）和B（-1,0），与y轴相交于点C（0，-1），求该函数的解析式与顶点坐标；
4、已知一元二次函数y=a+bx，当a＞0，b＜0时，它的图像经过（ ）
A 第一，二，三象限 B 第一，二，四象限 C 第一，三，四象限 D 第一，二，三，四象限
5、把抛物线y=+bx+c的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图像的函数的解析式是y=-3x+5，则有（ ）
A b=3，c=7 B b=-9，c=-15 C b=3，c=3 D b=-9，c=21
6、若（-，），（-，），（，）为二次函数y=+4x-5的图像上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A ＜＜ B ＜＜ C ＜＜ D ＜＜
7、当b＜0时，一次函数y=ax+b与二次函数y=a+bx+c在同一坐标系内的图像可能是（ ）
把抛物线y=-2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的
抛物线有没有最大值 若有，求出该最大值；若没有，说明理由；
试写出抛物线y=3经过下列平移后得到的抛物线的解析式，并写出对称轴和顶点坐标。
（1）向右平移2个单位；
（2）向左平移个单位；
（3）先向左平移1个单位，再向右平移4个单位。
9、某商场以每台2500元进口一批彩电，若每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元，即可获得最大利润？最大利润是多少元？
【典例2】解答下列问题：
1、若关于x的方程a(-1)=2-2是一元二次方程，则a的值是（ ）
A 2 B -2 C 0 D 不等于2
2、下列方程中，一元二次方程是（ ）
A + B a+bx C (x-1)(x+2)=1 D 3-2xy-5
3、设a是一元二次方程+5x=0的较大根，b是-3x+2=0较小根，那么a+b的值是（ ）
A -4 B -3 C 1 D 2
4、一元二次方程-2x-3=0的两个根分别为（ ）
A =1，=3 B =1，=-3 C =-1，=3 D =-1，=-3
5、若t是一元二次方程a+bx+c=0（a0）的根，则判别式=和完全平方式M=的关系是（ ）
A =M B ＞M C ＜M D 大小关系不能确定
6、关于x的方程k+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A k- B k-且k0 C k- D k＞-且k0
7、若方程3-5x-7=0的两根为，，下列表示根与系数关系的式子中，正确的是（ ）
A +=5，.=-7 B +=-，.=
C +=，.= D +=，.=-
8、已知，是方程=2x+1的两个根，则+的值为（ ）
A - B 2 C D -2
9、已知关于x的一元二次方程+（4m+1）x+2m-1=0。
（1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程两根为，，且满足+=-，求m的值。
10、已知关于x的一元二次方程+kx-2=0的一个解与方程=3的解相同。
（1）求k的值；
（2）求方程+kx-2=0的另一个解。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与一元二次方程相关的问题，解答这类问题需要理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，理解并掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系定理（韦达定理）；
（2）对于给定的一个一元二次方程，解答时应该采用哪种方法，需要根据方程的特点进行选择，解答方法选择的基本原则是运用这种方法可以使解答问题的方法最简捷。
（3）根据一元二次方程判别式的取值可以判断一元二次方程根的情况，运用判别式判定一元二次方程根的情况时应该注意判别式的取值可能出现的三种情况；
（4）一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）把一元二次方程的根与系数联系起来了，运用这个定理解答相关问题时需要注意各自的关系，尤其是两根之和不能漏掉前面的负号。
［练习2］解答下列问题：
1、下列方程中是一元二次方程的是（ ）
①=4；②2+y=5；③x+-1=0；④5=0；⑤3+=5；⑥+x=4；⑦3-4+1=0；⑧x(x+5)=-2x。
A ①②③④ B ①③④⑥ C ①③④⑤ D ①③④⑧
2、当k= 时，方程（-4）+（k-3）x+5=0不是关于x的一元二次方程；
3、方程+x=0的解是（ ）
A x=1 B x=0 C =0，=-1 D x=1
4、方程=0的实数根的个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 0个 D 以上答案都不对
5、关于x的一元二次方程-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A k＞-1 B k＞1 C k0 D k＞-1且k0
6、如果-2（m+1）x++5是一个完全平方式，则m= ；
7、如果一元二次方程+（m+1）x+m=0的两个根是互为相反数，那么（ ）
A m= 0 B m=-1 C m=1 D 以上结论都不对
8、若方程+mx+n=0中有一个根为零，另一个根非零，则m，n的值为（ ）
A m= 0，n=0 B m=0，n 0 C m 0，n=0 D mn 0
9、已知关于x的一元二次方程+（4m+1）x+2m-1=0。
（1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程两根为，，且满足+=-，求m的值。
10、已知关于x的一元二次方程+（4m+1）x+2m-1=0。
（1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程两根为，，且满足+=-，求m的值
11、已知关于x的一元二次方程+kx-2=0的一个解与方程=3的解相同。
（1）求k的值；
（2）求方程+kx-2=0的另一个解。
【典例3】解答下列问题：
1、求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来：
（1）(5-x)(x+4)＜0； （2）(x+7)(2-x)＞0； （3）(3x+2)(2x-1)＜0；
（4）2-3x-2＞0； （5）-2+x+3＜0； （6）+2x-15＞0；
（7）-2x-3＜0； （8）4-4x＞15； （9）14≥4+x；
（10）x(x+2)＞x(3-x)+1；（11）8-2x≥； （12）2-4x+1＞0。
2、求下列一元二次不等式的解集：
（1）2-3x+1＜0； （2）-3+4x+4＜0； （3）(2x+1)(4x-3)＞0；
（4）（x-1）(x+3)＜0； （5）0＜4-11x-3＜3； （6）-4＜--x-＜-2.
（7）（-+）≥（-9）-3x； （8）|-3x+4|＞x+2。
『思考问题3』
（1）【典例3】是求解一元二次不等式的问题，解答这类问题需要理解一元二次不等式的定义，掌握一元二次不等式的解法；
（2）求解一元二次不等式的基本方法有：①因式分解法；②图像法；
（3）因式分解法的基本方法是：①把不等式左边的二次三项式分解成两个一次因式的积；②根据实数乘法法则得到两个一元一次不等式组；③分别求解两个一元一次不等式组；④ 得出一元二次不等式的解集；
（4）图像法的基本方法是：①求判别式= -4ac的值，确定一元二次方程解的情况，进一步确定一元二次函数与x轴的交点；②确定一元二次函数的对称轴，开口方向和顶点坐标；③作出一元二次函数的大致图像；④利用一元二次方程，一元二次函数和一元二次不等式之间的关系，结合图形确定一元二次不等式的解集；⑤得出一元二次不等式的解集。
〔练习3〕解答下列问题：
1、求下列一元二次不等式的解集：
（1）（x+2）(x-3)＞0； （2）x(x-2)＜0； （3）（x-a）(x-b)＞0(a＜b)；
（4）3-7x+2＜0； （5）-6-x+2≤0； （6）4+4x+1＜0；
（7）-3x+5＞0； （8）-4x+1＞0； （9）-4x+1＜0；
2、已知函数f(x)= -x+1，x＜0,则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是( )
x-1，x≥0,
【典例4】解答下列问题：
1、不等式a+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜},则a，c的值为（ ）
A a=6，c=1 B a=-6，c=-1 C a=1，c=1 D a=-1，c=-6
2、已知关于x的不等式 +ax+b＜0的解集为（1,2），试求关于x的不等式b+ax+1＞0的解集；
3、解关于x的不等式-（a+1）x+a＜0；
4、如果｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝其中b＞0，求实数a，b的取值范围；
『思考问题4』
（1）【典例4】是求解含有参数的一元二次不等式问题，解答这类问题需要对参数进行分类讨论；
（2）参数分类的基本方法是：①从运算的角度考虑分类（确定符号，去绝对值符号）；②从不等式的类型考虑分类（二次项系数为零或不为零）；③从比较一元二次方程两根的大小考虑分类（一元二次方程的两根与参数相关）；④从单调性应用的需要考虑分类；
（3）求解含参数一元二次不等式的基本方法是：①若二次项系数为常数，考虑分解因式对参数进行分类讨论（比较两根的大小）；当二次三项式不易分解时，可依据判别式符号对参数进行分类讨论（确定一元二次方程解的情况）；②若二次项系数含有参数，则需要考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是一元二次式；当二次项系数不为零时，仍需对参数可能情况分别求解；③对方程的根进行讨论，确定两根的大小得出解集。
〔练习4〕解答下列问题：
1、不等式组（x-2）（x-5）≤0，与不等式（x-2）（x-5）≤0同解，则实数a的取值范围是（ ） x（x-a）≥0
A （-，2］ B （-，2） C （-，5］ D （5，+）
2、设二次不等式a+bx+1＞0的解集为｛x|-1＜x＜｝，则ab的值为（ ）
A -6 B -5 C 6 D 5
3、求不等式12-ax＞（a∈R）的解集；
4、解关于x的不等式a-2≥2x-ax(a∈R)；
5、已知A=｛x|＞x+｝，B=｛x|使函数y=lg(k+4x+k+3)有意义｝，A∩B=B，求实数k的取值范围； -x-2＞0；
6、是否存在实数a，使得不等式组 2+（5+2a）x+5a＜0，的整数解的集合是单元素｛-2｝；
7、若不等式2x-1＞m(-1)对于满足：-2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围。
8、设a∈R，函数f(x)=a-2x-2a，若不等式f(x)＞0的解集为A，集合B=｛x|1＜x＜3｝,
且A∩B=，求实数a的取值范围；
9、设0＜a＜1，集合A=｛xR|x＞0｝，B=｛xR|2-3（1+a）x+6a＞0｝，D=A∩B，求集合D（用区间表示）
10、已知f(x)=-3+a（6-a）x+6。
（1）解关于a的不等式f(1)＞0；
（2）若不等式f(x)＞b的解集为（-1,3），求实数a、b的值。
【典例5】解答下列问题：
1、若不等式（a-2）+2（a-2）x-4＜0对一切x R恒成立，则实数a的取值集合为（ ）
A {a|a≤2} B {a|-2＜a＜2} C {a|-2＜a≤2} D {a|a≤-2}
2、若一元二次不等式2k+kx-＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A （-3，0］ B ［-3，0） C ［-3，0］ D （-3， 0）
3、若不等式2x-1＞m(-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围为 ；
4、不等式+ax+4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ；
5、设函数f(x)=m-mx-1，若对于x［1，3］，f(x) ＜-m+5恒成立，求m的取值范围；
6、对任意m［-1，1］，函数f(x)= +(m-4)x+4-2m的值恒大于零，求x的取值范围。
『思考问题5』
（1）【典例5】是关于一元二次不等式恒成立的问题，解答这类问题需要弄清楚谁是主元，谁是参数（一般地知道谁的范围，谁就是主元；求谁的范围，谁就是参数）；
（2）对于一元二次不等式恒成立问题，若是恒大于零，表明相应的一元二次函数的图像在给定的区间上全部在X轴的上方；若是恒小于零，表明相应的一元二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴的下方；解答这类问题的基本思路是转化为求一元二次函数的最值问题（或把参数分离，再求函数的最值）。
〔练习5〕解答下列问题：
1、不等式（m-2）+2（m-2）x-4＜0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是 ；
2、已知函数f(x)= ，若任意的x∈［1，+），f(x) ＞0恒成立，则实数a的取值范围是 ；
3、函数f(x)= 的定义域是R，则实数a的取值分是 ；
4、已知函数f(x)= +mx-1，若对于任意的x∈［m，m+1］,都有f(x) ＜0成立，则实数m的取值范围是 ；
5、已知不等式m-2x-m+1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
6、已知关于x的不等式-ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 （2012全国高考福建卷）
7、已知函数f(x)= +ax+b(a，b∈R)的值域为〔0，+∞），若关于x的不等式f(x)＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为 （2012全国高考江苏卷）
8、对任意x∈［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，求a的取值范围；
9、对任意a∈［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范围。
10、已知不等式m-2x-m+1＜0.
（1）是否存在实数m对所有的实数x不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在请说明理由；
（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围（2012山东淄博二模）
【典例6】按要求解答下列问题：
1、要在长800m，宽600m的一块长方形地面上进行绿化，
要求四周种花卉（花卉带的宽度相等），中间种草坪（如
右图）阴影部分种草坪，要求草坪的面积不少于总面积的
一半，求花卉带宽度的范围。
2、甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品，（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1-）元。
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润。
『思考问题6』
（1）【典例6】是一元二次不等式的应用问题，解答这类问题需要熟悉应用问题的常见类型和各个类型应用问题涉及的基本数量及相互之间的关系；
（2）解答一元二次不等式应用问题的基本方法是：①阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；②列出不等式，建立相应的数学模型；③求解不等式，得出数学结论（注意数学模型中自变量的实际意义）；④回归实际问题，得出结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为（ ）
A 12元 B 16元 C 12元到16元之间 D 10元到14元之间
A｛x|-1＜x＜-1｝ B｛x|x≤1｝ C｛x|x≤-1｝ D｛x|--1≤x≤-1｝
2、工厂对某种原料的全年需要是Q，为保证生产，又节约开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后可立即购进，已知每次订购费用是a元，又年保管费用率是p，设每次购进的数量为x（单位：吨）及全年保管费S（单位：元）之间的关系是S=px，问全年订购多少次，才能是订购费用与保管费用之和最少？并求出这个最少和的费用（为简便计算，不必讨论订购次数是否为整数）
【典例7】解答下列问题：
1、求函数f(x)=2+3x+1在区间〔2，3〕上的最大值与最小值；
2、设函数f(x)=4-4ax+-2a+2在区间〔0，2〕上有最小值3，求a的值；
3、已知函数f(x)=a+2ax+1在区间［-1，2］上有最大值4，求实数a的值；
4、已知函数f(x)=+3x-5，x〔t，t+1〕。
（1）求f(x)的最小值h(t)；
（2）求f(x)的最大值g(t)。
5、已知函数f(x)=+2ax+2，x［-5，5］.
（1）当a=-1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f(x)在［-5，5］上是单调函数。
『思考问题7』
（1）【典例7】是求二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的最值问题，解答这类问题首先应该明确影响二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的最值的因素，其次是确定二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的单调性；
（2）二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的最值问题主要包括：①对称轴不确定，区间确定；②对称轴确定，区间不确定；③对称轴和区间都不确定三种类型；
（3）在区间内同时讨论最大值和最小值问题时应分：①对称轴在闭区间的左边或过左端点；②对称轴在闭区间之间并靠近左端点；③对称轴在闭区间之间并靠近右端点； ④ 对称轴在闭区间的右边或过右端点四种情况来讨论。
〔练习7〕解答下列问题：
设一元二次函数f(x)= a-2x+2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，则实数a的取值范围为 ；
已知二次函数f(x)= +(a+1)x+3在区间（2，3）上是增函数，求f(3)的取值范围；
3、已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围。
4、求函数f(x)=3+2x+2在区间〔2，5〕上的最大值与最小值；
5、已知函数f(x)=a-2x(0 x 1)，求函数f(x)的最小值；
6、已知函数f(x)=4-4ax+-2a+2在区间〔1，3〕上有最大值2，求a的值；
7、若函数f(x)=1-2a-2acosx-2sinx的最小值为g(x)。
（1）求g(x)的表达式；
（2）求能使g(x)= 的a值，并求出当a取此值时，f(x)的最大值。
【雷区警示】
【典例8】解答下列问题：
若（m+1）-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A m>1 B m<-1 C m<- D m>1 或 m<-
求不等式-（a+）x+>0的解集。
『思考问题8』
【典例8】是解答一元二次不等式问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视一元二次不等式中二次项系数的取值，导致解答问题出现错误；②求解含义参数一元二次不等式时，忽视参数分类讨论的原则和基本方法，导致解答问题出现错误；
解答一元二次不等式问题时，为避免忽视一元二次不等式中二次项系数的取值的雷区，需要注意二次项系数的取值对一元二次函数图像的影响，从而正确求出不等式中参数的值（或取值范围）；
解答一元二次不等式问题时，为避免求解含义参数一元二次不等式时，忽视参数分类讨论的原则和基本方法的雷区，需要对相应一元二次方程求出的两根的大小分类讨论，从而正确求出含义参数一元二次不等式的解集。
〔练习8〕解答下列问题：
求不等式a-（a+1)x+1<0的解集；
2、求不等式2+ax+2>0的解集。
【追踪考试】
【典例9】解答下列问题：
1、设函数f(x)=ln(1+|x|-)，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是（ ）（2020全国高考新课标II）
A （，1） B （-，）（1，+） C （-，） D （-，-）（，+）
2、已知关于x的方程-ax+3=0有一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是（ ）（成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）
A （4，+ ） B （- ，4） C （- ，2） D （2，+ ）
3、已知函数f(x)= 的定义域为R，其中a为实数。
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，是否存在实数m满足对任意[-1，1]，都存在R，使得++m(
)-1 f()成立？若存在，求实数m的 取值范围；若不存在，请说明理由（成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
『思考问题9』
【典例9】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中关于一元二次函数与幂函数的试题，归结起来主要包括：①求一元二次函数（或幂函数）的解析式；②一元二次函数（或幂函数）的图像与运用；③一元二次函数（或幂函数）的性质与运用；④一元二次函数（或幂函数）的最值问题；⑤一元二次函数（或幂函数）的综合问题等几种类型。
解答问题的基本方法是：①判断问题属于哪一种类型；②根据该种类型问题的解题思路和解答方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习9〕解答下列问题：
1、在关于x的不等式-ax-a＞0（其中e=2.71828----为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个正整数，则实数a的取值范围为（ ）（2018成都市高三三诊）
A (，］ B ［，） C (，］ D ［，）
2、若关于x的不等式+2ax+10在［0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）（2018成都市高三一诊）
A （0，+∞） B ［-1，+∞） C ［-1，1］ D ［0，+∞）
3、已知幂函数f(x)= （a为常数）的图像经过点（3，），则a的值是 （成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）
4、已知函数f(x)= 。
（1）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
（2）用函数单调性的定义证明函数f(x)在（0，+）上是减函数（成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）
一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式
【考纲解读】
1、理解一元二次函数的定义，掌握一元二次函数的图像和性质，能够运用一元二次函数的图像和性质解答相关的数学问题；
2、理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系定理解答相关的数学问题；
3、理解一元二次不等式的定义，掌握一元二次不等式的解法，注意一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式之间的相互关系，并能运用三者之间的关系解答相关的综合数学问题。
【知识精讲】
一、一元二次函数的概念：
1、一元二次函数的定义：
（1）一元二次函数的定义：形如y=a+bx+c（a，b，c为常数，且a0）的函数，称为一元二次函数（其中a称为二次项系数，b称为一次项系数c称为常数项）；
（2）理解一元二次函数时应该注意的问题：①一元二次函数的解析式是一个整式；②解析式中只含一个自变量，且自变量的最高次数是2；③解析式中二次项的系数a不能为零（一次项系数和常数项都可以为零）。
2、一元二次函数的表达式：
（1）一般式：y=a+bx+c（a，b，c为常数，且a0）；
（2）顶点式：y=a（x-h）+k（一元二次函数图像的顶点P（h，k））；
（3）交点式：y=a（x- ）（x- ）（这里，分别是一元二次函数图像与x轴交点的横坐标，这种表示仅限于一元二次函数的图像与x轴有交点的情况）。
二、一元二次函数的图像：
1、一元二次函数图像的特征：
一元二次函数的图像是以x=-为对称轴，点（-，）为顶点的一条抛物线。
2、一元二次函数图像的作法：
（1）描点作图法：①选择一些自变量的值，根据一元二次函数的解析式求出相应的函数值，并把这些对应的值用表格表示出来（列表）；②在平面直角坐标系中描出表格中对应值相应的点（描点）；③用光滑的线把这些点连接起来（连线）；
（2）快速作图法：①用公式x=-求出一元二次函数图像的对称轴；②根据a的取值确定一元二次函数图像的开口方向；③解一元二次方程a+bx+c=0得出一元二次函数图像与X轴交点的横坐标；④运用公式x=-，y= 求出一元二次函数图像的顶点坐标（-，）；⑤结合①，②，③，④作出一元二次函数的图像。
三、一元二次函数的性质：
一元二次函数y=a+bx+c（a，b，c为常数，且a0）的性质如下表所示：
二次项系数 a＞0 a＜0
a的取值
判别式= ＞0 =0 ＜0 ＞0 =0 ＜0
-4ac的取值
方程a+bx 有两个不同 有两个相等 没有实数根 有两个不同 有两个相等没有实数根
+c=0的解 的实数根 的实数根 的实数根 的实数根
一元二次函数图 开口向上 开口向下
像的开口方向
一元二次函数图 x=- x=-
像的对称轴
一元二次函数图 （-，） （-，）
像的顶点坐标
一元二次函数图 有两个不 只有一个 没有交点 有两个不 只有一个 没有交点
像与X轴的交点 同的交点 交点 同的交点 交点
一元二次函数值 当x＜-时，函数值y随自变量 当x＜-时，函数值y随自变量
与自变量的关系 x的增大而减小；当x＞-时， x的增大而增大；当x＞-时，
函数值y随自变量x的增大而增大。 函数值y随自变量x的增大而减小。
一元二次函数的 当x=-时，函数有最小值 当x=-时，函数有最大值
最值 y=，无最大值。 y=，无最小值。
四、一元二次方程的概念：
1、一元二次方程的定义：
只含一个未知数，且未知数的最高次数是二的整式方程，称为一元二次方程。
2、理解一元二次方程定义时应该注意的问题：
理解一元二次方程定义时应该注意一元二次方程的三个特点：①方程只含一个未知数；②方程中未知数的最高次数是二；③方程是整式方程。
3、一元二次方程的一般式：
（1）形如a+bx+c=0（a0）的方程，称为一元二次方程的一般式；注意一般式中的条件“a0”不能忽略，它是保证方程是一元二次方程的充分必要条件。
（2）在一元二次方程的一般式a+bx+c=0（a0）中：①“a” 是二次项，系数a（a0）称为二次项系数；②“bx”是一次项，系数b称为一次项系数；③“c”是常数项。
五、一元二次方程的解法：
1、直接开平方法：
（1）定义：利用平方根的定义直接开平方求解一元二次方程的方法，称为直接开平方法；
（2）解法：对方程=b(b0)，根据平方根的定义得到=x=a或x=-a；
（3）直接开平方法的适用范围：只适用于形如=b(b0)的一元二次方程，注意当b＜0时，方程没有实数解。
2、配方法：
（1）定义：通过配方把一元二次方程化成形如=b(b0)的方程，再运用直接开平方的方法求解一元二次方程的方法，称为配方法；
（2）解法：①将一元二次方程化为一般式a+bx+c=0（a0）；②把二次项的系数提到括号外面，使括号中的二次项系数为1，括号中除二次项，一次项外，再加上一次项系数一半的平方，同时括号外减去二次项系数与一次项系数一半平方的积；③括号中的三项配成完全平方，并把常数项移到等式的右边；④等式两边同时除以二次项系数，把一元二次方程化成=b(b0)的形式；⑤运用直接开平方法求出方程的解；
（3）平方法的适用范围：所有一元二次方程。
3、公式法：
（1）定义：运用一元二次方程的求根公式x=求解一元二次方程的方法，称为公式法；
（2）解法：①将一元二次方程化为一般式a+bx+c=0（a0）；②把相应的系数代入求根公式求出方程的解；
（3）公式法的适用范围：所有一元二次方程。
4、因式分解法：
（1）定义：利用因式分解的方法把一元二次方程一般式a+bx+c=0（a0）左边的二次三项式化成两个一次因式的积，再根据两个因式的积为零的必要条件求出一元二次方程的解的方法，称为因式分解法；
（2）解法：①将一元二次方程化为一般式a+bx+c=0（a0）；②把方程左边的二次三项式分解成两个一次因式的积；③运用两个一次因式的积为零的必要条件得到两个一元一次方程；④分别求解两个一元一次方程得出一元二次方程的解；
（3）因式分解法的适用范围：化为一般式a+bx+c=0（a0）后，左边的二次三项式能够分解成两个一次因式的积的一元二次方程。
六、一元二次方程根的判别式：
1、一元二次方程根的判别式的定义：
一元二次方程a+bx+c=0（a0）中，称为一元二次方程a+bx+c=0（a0）根的判别式；通常用“”表示，即=。
2、一元二次方程根的判别式的作用：
根据一元二次方程a+bx+c=0（a0）根的判别式=，可以判断一元二次方程a+bx+c=0（a0）根的情况：
（1）当判别式=＞0时，一元二次方程a+bx+c=0（a0）有两个不相等的实数根；
（2）当判别式==0时，一元二次方程a+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根；
（3）当判别式=＜0时，一元二次方程a+bx+c=0（a0）没有实数根。
七、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
1、一元二次方程根与系数的关系：
设，是一元二次方程a+bx+c=0（a0）的两根，则：①+=-；②.=；特别地若，是一元二次方程+px+q=0的两根，则：①+=-p；②.=q；
2、一元二次方程根与系数的关系的运用：
如果已知两数的和与积求这两个数，则可以根据一元二次方程+px+q=0根与系数的关系把问题转化为求解一元二次方程的问题。
八、一元二次不等式的概念：
1、一元二次不等式的定义：
（1）一元二次不等式的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二的不等式，称为一元二次不等式；
（2）一元二次不等式的一般形式：①a+bx+c＞0(或≥0)，②a+bx+c＜0(或≤0)，其中系数a0.
（3）理解一元二次方程定义时应该注意的问题：①不等式只含一个未知数；②不等式中未知数的最高次数是二；③不等式是整式不等式。
2、一元二次不等式的解法：
(1)求解一元二次不等式的基本方法是：①因式分解法；②图像法；
（2）一元二次不等式因式分解法的基本方法是：①将一元二次不等式中的二次三项式分解成两个一次因式的积；②根据有理数的乘法法则把一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组；③ 求解两个一元一次不等式组；④ 得出一元二次不等式的解；
（3）图像法求解一元二次不等式涉及到一元二次函数和一元二次方程的相关知识，它们之间的相互关系详见下表：
一元二次方程 判别式 = -4ac＞0 =-4ac=0 =-4ac＜0
a+bx+c=0（a＞0）实数解 ≠ = 没有实数解
一元二次函数的图像
y= a+bx+c(a＞0) 0 0
一元二次不等式的解集
a+bx+c＞0(a＞0)
a+bx+c＜0(a＞0)
（4）上表中的二次项系数是（a＞0)，但在求解一元二次不等式的问题时也有二次项系数（a＜0)的情况，对这样的问题我们的处理方法是把不等式两边同时乘以负一（注意不等号要改变方向）；
（5）图像法求解一元二次不等式的基本方法是：①求出判别式的值，若≥0，则求出一元二次方程a+bx+c=0的解；②确定一元二次函数y= a+bx+c的对称轴和开口方向；
③作出一元二次函数y= a+bx+c的大致图像；④从上表中找到对应的位置；⑤得出一元二次不等式的解。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、y=m是一元二次函数，则m的值为（ ）
A 0,-3 B 0, 3 C 0 D -3
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②求解一元二次方程的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，结合问题条件得到关于m的一元二次方程，运用求解一元二次方程的基本方法求出m的值，从而确定出y=m是一元二次函数的m的值就可得出选项。
【详细解答】y=m是一元二次函数，m≠0①，+3m+2=2②，联立①②解得：m=-3, D正确，选D。
2、已知一元二次函数的图像与Y轴的交点坐标为（0，a），与X轴的交点坐标为（b，0）和（-b，0），若a＞0，则函数的解析式为（ ）
A y= +a B y= - +a C y= - -a D y= -a
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②求一元二次函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用求一元二次函数解析式的基本方法，结合问题条件求出一元二次函数的解析式就可得出选项。
【详细解答】由题意设一元二次函数的解析式为y=t+m，一元二次函数的图像与y轴的交点坐标为（0，a），与x轴的交点坐标为（b，0）和（-b，0），m=a，-=，m=a，
t=-，函数的解析式为 y= - +a ， B正确，选B。
3、如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为
（精确到0.1米）
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②求一元二次函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用求一元二次函数解析式的基本方法，结合问题条件求出一元二次函数的解析式，从而就可求出校门的高度。
【详细解答】如图，取校门地面水平线段的中点为原点，地面水平线段所在直线为x轴，过原点垂直于底面水平线的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，设一元二次函数的解析式为y=-+c，点（-3，4），（3，4）在一元二次函数的图像上，4=-9+c，c=13，一元二次函数的解析式为y=-+13，当x=0时，y=-0+13=13，大门的地面高度为8米，校门的高度为13+8=21（米）。
4、函数y=2-x+3的图像经过的象限是（ ）
A 第一，二，三，四象限 B 第一，二象限 C 第三，四象限 D 第一，二，四象限
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②作一元二次函数图像的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用作一元二次函数图像的基本方法，结合问题条件作出一元二次函数的图像，从而确定出函数y=2-x+3的图像经过的象限就可得出选项。
【详细解答】函数y=2-x+3的对称轴为x=-=， y
顶点坐标为（，），2>0，作出函数y=2-x+3的
图像如图所示，由图知，函数y=2-x+3的图像经过第一， 0 1 x
第二象限， B正确，选B。
5、函数y=-+4x+1图像的顶点坐标是（ ）
A （2,3） B （-2,3） C （2,1） D （2,5）
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②求一元二次函数图像顶点坐标的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用求一元二次函数顶点坐标的基本方法，结合问题条件求出一元二次函数y=-+4x+1图像的顶点坐标，就可得出选项。
【详细解答】一元二次函数为y=-+4x+1，一元二次函数y=-+4x+1图像的顶点坐标为（2，5），D正确，选D。
6、已知点（，），（，）均在抛物线y=-1上，下列说法中正确的是（ ）
A 若=，则= B 若=-，则=-
C 若0＜＜，则＞ D 若＜＜0，则＞
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②一元二次函数的图像及运用。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用一元二次函数的图像，结合问题条件对各选项的正确与错误进行判断，就可得出选项。
【详细解答】点（，），（，）均在抛物线y=-1上，抛物线的对称轴为y轴，开口向上，对A， 若=，则=-，A错误；对B， 若=-，则=，B错误；对C，若0＜＜，则< ，C错误，对D，若＜＜0，则＞，D正确，
综上所述，D正确，选D。
7、已知抛物线y=a+bx+c的图像如图所示，则a，b，c的符号为（ ）
A a＞0，b＞0，c＞0 B a＞0，b＞0，c=0 C a＞0，b＜0，c>0 D a＞0，b＜0，c＜0
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②一元二次函数的图像及运用。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用一元二次函数的图像，结合问题条件确定出a，b，c的符号，就可得出选项。
【详细解答】由图知抛物线的开口向上，对称轴x=->0，在y轴上的截距大于0，a>0，b<0，c>0，C正确，选C。
把抛物线y=+bx+c的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式是y=-3x+5，试求b，c的值；
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②函数图像平移变换大于与性质。
【解题思路】根据一元二次函数和函数图像平移变换的性质，结合问题条件得到关于b，c的方程组，求解方程组就可求出b，c的值。
【详细解答】抛物线y=+bx+c的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式是y=-3x+5，+b（x-3）+c-2=+(b-6)x+7+c=-3x+5，b-6=-3，
7+c=5，b=3，c=-2。
9、已知函数y=2，y=2和y=2。
（1）分别说出各个函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）分析分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=2得到抛物线y=2和
y=2？
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②函数图像平移变换大于与性质；③一元二次函数的图像及运用。
【解题思路】（1）根据一元二次函数的性质，运用一元二次函数的图像，结合问题条件就可分别求出函数y=2，y=2和y=2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）根据一元二次函数和函数图像平移变换的性质，结合问题条件就可分别确定出由抛物线y=2得到抛物线y=2和y=2的平移变换方法。
【详细解答】（1）函数y=2，函数y=2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），函数y=2，函数y=2的开口向上，对称轴为x=4，顶点坐标为（4，0），函数y=2，函数y=2的开口向上，对称轴为x=-1，顶点坐
标为（-1，0），（2）得到抛物线y=2和y=2的图像只需将抛物线y=2的
图像分别向右平移4个单位长度，向左平移一个单位长度，可以由抛物线y=2的图像分别向右平移4个单位长度，向左平移一个单位长度，就可得到抛物线y=2和
y=2的图像。
〖思考问题1〗
（1）【典例1】是与一元二次函数相关的问题，解答这类问题需要理解一元二次函数的定义，掌握一元二次函数的图像和性质；
（2）一元二次函数的三种表示形式之间可以相互转化，注意掌握转化过程中的基本方法；
（3）待定系数法的基本方法是：①设出函数的一般式y=a+bx+c（a，b，c为常数，且a0）；②根据问题中的条件列出关于a，b，c的方程（或方程组）；③解方程（或方程组）得出a，b，c的值；④把③求出的a，b，c的值代入假设式，得出一元二次函数的解析式；
（4）一元二次函数y=a+bx+c（a0）的图像是一条抛物线，图像的形状由抛物线的开
口方向（二次项系数a的取值），对称轴（x=- ），顶点坐标（-，）和与坐
标轴的交点（a+bx+c=0的实数根，c的取值）确定。
（5）一元二次函数的图像和性质都与二次项的系数的取值密切相关，解答与一元二次函数图像和性质相关的问题时，应该根据二次项系数的取值确定抛物线的开口方向，进而作出一元二次函数的草图，结合图像解答问题（数形结合思想与方法的正确运用）。
［练习1］解答下列问题：
1、若函数y=（m-2）+5x+1是关于x的一元二次函数，则m的值为（ ）（答案：B）
A 2 B -2 C D -
2、某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y=-+x+，则该运动员的成绩是（ ）（答案：B）
A 6m B 10m C 8m D 12m
3、已知一元二次函数的图像与x轴相交于点A（2,0）和B（-1,0），与y轴相交于点C（0，-1），求该函数的解析式与顶点坐标；（答案：函数的解析式为y=-x-1，顶点坐标为（，-）。）
4、已知一元二次函数y=a+bx，当a＞0，b＜0时，它的图像经过（ ）（答案：B）
A 第一，二，三象限 B 第一，二，四象限 C 第一，三，四象限 D 第一，二，三，四象限
5、把抛物线y=+bx+c的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图像的函数
的解析式是y=-3x+5，则有（ ）（答案：A）
A b=3，c=7 B b=-9，c=-15 C b=3，c=3 D b=-9，c=21
6、若（-，），（-，），（，）为二次函数y=+4x-5的图像上的三点，则，，的大小关系是（ ）（答案：B）
A ＜＜ B ＜＜ C ＜＜ D ＜＜
7、当b＜0时，一次函数y=ax+b与二次函数y=a+bx+c在同一坐标系内的图像可能是（ ）（答案：B）
8、把抛物线y=-2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值 若有，求出该最大值；若没有，说明理由；（答案：抛物线有最大值，最大值为3。）
9、试写出抛物线y=3经过下列平移后得到的抛物线的解析式，并写出对称轴和顶点坐标。
（1）向右平移2个单位；（答案：抛物线的解析式为y=3+12x+12，对称轴为x=-2，顶点坐标为（-2，0）。）
（2）向左平移个单位；（答案：抛物线的解析式为y=3+4x+，对称轴为x=-，顶点坐标为（-，0）。）
（3）先向左平移1个单位，再向右平移4个单位。（答案：抛物线的解析式为y=3-18x+27，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，0）。）
10、某商场以每台2500元进口一批彩电，若每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元，即可获得最大利润？最大利润是多少元？（答案：每台定价为3000元时，可获得最大利润，大利润是65000元。）
【典例2】解答下列问题：
1、若关于x的方程a(-1)=2-2是一元二次方程，则a的值是（ ）
A 2 B -2 C 0 D 不等于2
【解析】
【知识点】①一元二次方程定义与性质；②等式定义与性质。
【解题思路】根据一元二次方程和等式的性质，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】关于x的方程a(-1)=2-2，（2-a）+a-2是一元二次方程，2-a0.即a2. D正确，选D。
2、下列方程中，一元二次方程是（ ）
A + B a+bx C (x-1)(x+2)=1 D 3-2xy-5
【解析】
【知识点】①一元二次方程定义与性质；②等式定义与性质。
【解题思路】根据一元二次方程和等式的性质，结合问题条件对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A, +不是等式， +不是方程，A错误；对B, a+bx 不是等式， a+bx 不是方程，B错误；对C, (x-1)(x+2)=1 ，+x-3=0， (x-1)(x+2)=1是一元二次方程，C正确；对D, 3-2xy-5 不是等式， 3-2xy-5 不是方程，D错误，综上所述，C正确，选C。
3、设a是一元二次方程+5x=0的较大根，b是-3x+2=0较小根，那么a+b的值是（ ）
A -4 B -3 C 1 D 2
【解析】
【知识点】①一元二次方程定义与性质；②一元二次方程根定义与性质；③求解一元二次方程的基本方法。
【解题思路】根据一元二次方程和一元二次方程根的性质，运用求解一元二次方程的基本方法，结合问题条件分别求出a，b的值，从二求出a+b的值就可得出选项。
【详细解答】 a是一元二次方程+5x=0的较大根，a=0， b是-3x+2=0较小根，b=1，a+b=0+1=1, C正确，选C。
4、一元二次方程-2x-3=0的两个根分别为（ ）
A =1，=3 B =1，=-3 C =-1，=3 D =-1，=-3
【解析】
【知识点】①一元二次方程定义与性质；②一元二次方程根定义与性质；③求解一元二次方程的基本方法。
【解题思路】根据一元二次方程和一元二次方程根的性质，运用求解一元二次方程的基本方法，结合问题条件求出一元二次方程-2x-3=0的两个根就可得出选项。
【详细解答】-2x-3=（x+1）(x-3)=0，一元二次方程-2x-3=0的两个根分别为=-1，=3，C正确，选C。
5、若t是一元二次方程a+bx+c=0（a0）的根，则判别式=和完全平方式
M=的关系是（ ）
A =M B ＞M C ＜M D 大小关系不能确定
【解析】
【知识点】①一元二次方程定义与性质；②一元二次方程根定义与性质；③一元二次方程根的判别式及运用。
【解题思路】根据一元二次方程和一元二次方程根的性质，运用一元二次方程根的判别式，结合问题条件求出与M的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 t是一元二次方程a+bx+c=0（a0）的根， M==
=,A正确，选A。
6、关于x的方程k+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A k- B k-且k0 C k- D k＞-且k0
【解析】
【知识点】①一元二次方程定义与性质；②一元二次方程根定义与性质；③一元二次方程根的判别式及运用。
【解题思路】根据一元二次方程和一元二次方程根的性质，运用一元二次方程根的判别式，结合问题条件得到关于k的不等式，求解不等式求出k的取值范围就可得出选项。
【详细解答】关于x的方程k+3x-1=0有实数根，=9+4k0， k-，C正确，选C。
7、若方程3-5x-7=0的两根为，，下列表示根与系数关系的式子中，正确的是（ ）
A +=5，.=-7 B +=-，.=
C +=，.= D +=，.=-
【解析】
【知识点】①一元二次方程定义与性质；②一元二次方程根定义与性质；③一元二次方程根与系数的关系定理（韦达定理）及运用。
【解题思路】根据一元二次方程和一元二次方程根的性质，运用一元二次方程根与系数的关系定理（韦达定理），结合问题条件分别求出+，.的值就可得出选项。
【详细解答】一元二次方程3-5x-7=0的两根为，，+=，.=-，D正确，选D。
8、已知，是方程=2x+1的两个根，则+的值为（ ）
A - B 2 C D -2
【解析】
【知识点】①一元二次方程定义与性质；②一元二次方程根定义与性质；③一元二次方程根与系数的关系定理（韦达定理）及运用。
【解题思路】根据一元二次方程和一元二次方程根的性质，运用一元二次方程根与系数的关系定理（韦达定理），结合问题条件分别求出+，.的值，从而求出+的值就可得出选项。
【详细解答】，是方程=2x+1的两个根，+=2，.=-1，+=-2，D正确，选D。
9、已知关于x的一元二次方程+（4m+1）x+2m-1=0。
（1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程两根为，，且满足+=-，求m的值。
【解析】
【知识点】①一元二次方程定义与性质；②一元二次方程根定义与性质；③一元二次方程根的判别式及运用；④一元二次方程根与系数的关系定理（韦达定理）及运用。
【解题思路】（1）根据一元二次方程和一元二次方程根的性质，运用一元二次方程根的判别式，结合问题条件得到关于m的等式，从而证明判别式>0在R上恒成立，就可证明结论；（2）根据一元二次方程和一元二次方程根的性质，运用一元二次方程根与系数的关系定理（韦达定理），结合问题条件分别求出+，.关于m的表示式，从而得到关于m的方程，求解方程就可求出m的值。
【详细解答】（1）=-4（2m-1）=16+5>0在R上恒成立，不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2），是方程+（4m+1）x+2m-1=0的两根，+=-（4m+1），.=2m-1，+=-，=，m=-。
10、已知关于x的一元二次方程+kx-2=0的一个解与方程-2x+4=3的解相同。
（1）求k的值；
（2）求方程+kx-2=0的另一个解。
【解析】
【知识点】①一元二次方程定义与性质；②一元二次方程根定义与性质；③求解一元二次方程的基本方法。
【解题思路】（1）根据一元二次方程和一元二次方程根的性质，运用求解一元二次方程的基本方法，求出方程-2x+4=3的解，结合问题条件得到关于k的方程，求解方程就可求出k的值；（2）根据（1）得到一元二次方程+x-2=0，运用求解一元二次方程的基本方法，就可求出方程+kx-2=0的另一个解。
【详细解答】（1）方程-2x+4=3，-2x+1==0，方程-2x+4=3的解为x=1，关于x的一元二次方程+kx-2=0的一个解与方程-2x+4=3的解相同，1+k-2=0，
k=1；（2）由（1）知，方程+kx-2=0，+x-2=（x+2）(x-1）=0，方程+kx-2=0的另一个解为x=-2。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与一元二次方程相关的问题，解答这类问题需要理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，理解并掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系定理（韦达定理）；
（2）对于给定的一个一元二次方程，解答时应该采用哪种方法，需要根据方程的特点进行选择，解答方法选择的基本原则是运用这种方法可以使解答问题的方法最简捷。
（3）根据一元二次方程判别式的取值可以判断一元二次方程根的情况，运用判别式判定一元二次方程根的情况时应该注意判别式的取值可能出现的三种情况；
（4）一元二次方程根与系数的关系定理（韦达定理）把一元二次方程的根与系数联系起来了，运用这个定理解答相关问题时需要注意各自的关系，尤其是两根之和不能漏掉前面的负号。
［练习2］解答下列问题：
1、下列方程中是一元二次方程的是（ ）（答案：C）
①=4；②2+y=5；③x+-1=0；④5=0；⑤3+=5；⑥+x=4；⑦3-4+1=0；⑧x(x+5)=-2x。
A ①②③④ B ①③④⑥ C ①③④⑤ D ①③④⑧
2、当k= 时，方程（-4）+（k-3）x+5=0不是关于x的一元二次方程；（答案：k=2）
3、方程+x=0的解是（ ）（答案：C）
A x=1 B x=0 C =0，=-1 D x=1
4、方程=0的实数根的个数是（ ）（答案：A）
A 1个 B 2个 C 0个 D 以上答案都不对
5、关于x的一元二次方程-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A k＞-1 B k＞1 C k0 D k＞-1且k0 （答案：B）
6、如果-2（m+1）x++5是一个完全平方式，则m= ；（答案：m=2）
7、如果一元二次方程+（m+1）x+m=0的两个根是互为相反数，那么（ ）（答案：B）
A m= 0 B m=-1 C m=1 D 以上结论都不对
8、若方程+mx+n=0中有一个根为零，另一个根非零，则m，n的值为（ ）（答案：C）
A m= 0，n=0 B m=0，n 0 C m 0，n=0 D mn 0
9、已知关于x的一元二次方程+（2m+1）x+m-1=0。
（1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程两根为，，且满足+=-，求m的值。
（答案：（1）提示：证明判别式>0在R上恒成立；（2）m=-1。）
10、已知关于x的一元二次方程+kx-2=0的一个解与方程=3的解相同。
（1）求k的值；
（2）求方程+kx-2=0的另一个解。（答案：（1）k=-1；（2）方程+kx-2=0的另一个解为
x=-1。）
【典例3】解答下列问题：
1、求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来：
（1）(5-x)(x+4)＜0； （2）(x+7)(2-x)＞0； （3）(3x+2)(2x-1)＜0；
（4）2-3x-2＞0； （5）-2+x+3＜0； （6）+2x-15＞0；
（7）-2x-3＜0； （8）4-4x＞15； （9）14≥4+x；
（10）x(x+2)＞x(3-x)+1；（11）8-2x≥； （12）2-4x+1＞0。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②二次三项式十字想乘法分解因式的基本方法；③因式分解法求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元而不等式的性质，运用二次三项式十字想乘法分解因式和因式分解法求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件就可求出各一元二次不等式的解集。
【详细解答】（1）(5-x)(x+4)＜0，5-x＞0，且 x+4＜0,或5-x＜0，且 x+4＞0，x＜-4，或x＞5，不等式(5-x)(x+4)＜0的解集为（-，-4）（5，+）；（2）(x+7)(2-x)＞0， x+7＞0，且2-x＞0，或 x+7＜0，且 2-x＜0，-7＜x＜2，或， 不等式(x+7)(2-x)＞0的解集为(-7，2)；（3）(3x+2)(2x-1)＜0，3x+2＞0，且2x-1＜0，或 3x+2＜0，且 2x-1＞0，-＜x ＜，或，不等式(3x+2)(2x-1)＜0的解集为（-，）；（4）2-3x-2=(2x+1)(x-2)，2-3x-2＞0， 2x+1＞0，且 x-2＞0，或 2x+1＜0，且 x-2＜0，x＞2或 x＜-，不等式2-3x-2＞0 的解集为（-，-）（2，+）；（5）-2+x+3=(-2x+3)(x+1)，-2+x+3＜0，-2x+3＞0，且 x+1＜0，或 -2x+3＜0，且 x+1＞0，x＜-1，或 x＞，不等式-2+x+3＜0的解集为（-，-1）（，+）；（6）+2x-15=(x-3)(x+5)，+2x-15＞0，x-3＞0，且 x+5＞0， 或 x-3＜0，且 x+5＜0， x＞3或x＜-5，不等式+2x-15＞0的解集为（-， -5）（3，+）；（7）-2x-3=(x-3)(x+1)，-2x-3＜0，x-3＞0，且 x+1＜0，或 x-3＜0，且 x+1＞0， 或-1＜x＜3，不等式-2x-3＜0的解集为（-1，5）（8）4-4x＞15，4-4x-15＞0，4-4x-15=(2x+3)（2x-5）＞0，4-4x＞15， 2x+3＞0，且2x-5＞0，或2x+3＜0，且 2x-5＜0，x＜-或x＞,不等式4-4x ＞15的解集为（--）（，+）；（9）14≥4+x，4+x-14≤0，4+x-14=(4x-7)(x+2)，14≥4+x，4x-7≥0，且x+2≤0，或 4x-7≤0，且 x+2≥0， 或-2≤x≤，不等式14≥4+x的解集为 ［-2，］；（10） x(x+2)＞x(3-x)+1， 2-x-1＞0，2-x-1=(2x+1)(x-1)， x(x+2)＞x(3-x)+1， 2x+1＞0，且x-1＞0， 或2x+1＜0，且 x-1＜0，x＜-， 或x＞1,不等式x(x+2)＞x(3-x)+1的解集为（-，-）（1，+）；（11）8-2x≥，+2x-8≤0，+2x-8=(x+4)(x-2)，8-2x≥， x+4≥0，且x-2≤0，或x+4≤0，且 x-2≥0，-4≤x≤2或，不等式8-2x≥的解集为［-4，2］；（12）2-4x+1=(x-1-)(x-1+)，2-4x+1＞0， x-1-＞0，且x-1+＞0，或x-1-＜0，且 x-1+＜0，x＜1-或x＞1+,不等式2-4x+1＞0的解集为（-，1-）（1+，+）。
2、求下列一元二次不等式的解集：
（1）2-3x+1＜0； （2）-3+4x+4＜0； （3）(2x+1)(4x-3)＞0；
（4）（x-1）(x+3)＜0； （5）0＜4-11x-3＜3； （6）-4＜--x-＜-2.
（7）（-+）≥（-9）-3x； （8）|-3x+4|＞x+2。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④图像法求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元而不等式，一元二次方程和一元二次函数的性质，运用图像法求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件就可求出各一元二次不等式的解集。
【详细解答】（1）=9-8=1＞0，一元二次方程2-3x+1=0有不同的两个实数根=,
=1，2＞0，一元二次函数y=2-3x+1图像 y
的对称轴为x=，当x=时，y=-,作出函数y 0 1 x
=2-3x+1的图像如图所示，由图知不等式2-3x+1＜0的解集为（，1）；
（2）=16+48=64＞0，一元二次方程-3+4x+4=0有不同的两个实数根=-,
=2，-3＜0，一元二次函数y=-3+4x+4图像的 y
对称轴为x=，当x=时，y=5+,作出函数y =-3 - 0 2 x
+4x+4的图像如图所示，由图知不等式-3+4x+4＜0的解集为（-，-）（2，+）；
（3）=4+96=100＞0，一元二次方程(2x+1)(4x-3)=0有不同的两个实数根=-,
=，8＞0，一元二次函数y=(2x+1)(4x-3)图像的 y
对称轴为x=，当x=时，y=-3-,作出函数y=(2x+1) - 0 x
(4x-3)的图像如图所示，由图知不等式(2x+1)(4x-3)＞0的解集为（-，-）（，+）；
（4）=2++4=6+＞0，一元二次方程（x-1）(x+3)=0有不同的两个实数根=-6,=，＞0，一元二次函数y=2-3x+1图像 y
的对称轴为x=-2-，当x=-2-时，y=-2+,作出函数y -6 -2- 0 x
=（x-1）(x+3)的图像如图所示，由图知不等式（x-1）(x+3)＜0的解集为（-6，）；
（5）=121+48=169＞0，一元二次方程4-11x-3=0有不同的两个实数根=-,=3，4＞0，一元二次函数y=4-11x-3图像的 y
对称轴为x=2-，当x=2-时，y=-11-,作出函数y=4 - 0 2- 3 x
-11x-3的图像如图所示，由图知不等式4-11x-3＞0的解集为（-，-）（3，+）；
=121+96=217＞0，一元二次方程4-11x-6=0有不同的两个实数根=-,=3+
，4＞0，一元二次函数y=4-11x-6图像的对称 y
轴为x=2-，当x=2-时，y=-14-,作出函数y=4 - 0 2- 3+ x
-11x-3的图像如图所示，由图知不等式4-11x-6＜0的解集为（-，3+），不等式组0＜4-11x-3＜3的解集为（-，-）（3，3+）。
（6）=1+5=6＞0，一元二次方程+x-=0有不同的两个实数根=-1-,=-1
+，＞0，一元二次函数y=+x-图像的 y
对称轴为x=-1，当x=-1时，y=-3,作出函数y=+x -1- -1 0 -1+ x
-的图像如图所示，由图知不等式+x-＜0的解集为（-1-，-1+）；
=1+1=2＞0，一元二次方程+x-=0有不同的两个实数根=-1-,=-1+，
＞0，一元二次函数y=+x-图像的对称 y
轴为x=-1，当x=-1时，y=-1,作出函数y=+x -1- -1 0 -1+ x
-的图像如图所示，由图知不等式+x-＞0的解集为（-，-1-）（-1+，+），不等式组-4＜--x-＜-2的解集为（-1-，-1-）（-1+，-1+）。
（7）（-+）≥（-9）-3x，2-3x-7≤0，=9+56=65＞0，一元二次方程2-3x-7=0有不同的两个实数根=-,=+， y
2＞0，一元二次函数y=2-3x-7图像的对称轴为x=, - 0 + x
当x=时，y=-8-，作出函数y=2-3x-7的图像如图所示，由图知不等式（-+）≥（-9）-3x的解集为［-，+］；
（8）|-3x+4|＞x+2，-2x+6＜0，或-4x+2＞0，对-2x+6＜0，=4-24=-20＜0，一元二次方程-2x+6=0没有实数根，1＞0，一元二次函数y=-2x+6图像的对称轴为x=1, 当x=1时，y=5，作出函数y=-2x+6的图像 y
如图所示，由图知不等式-2x+6＜0的解集为 ； 0 1 x
对-4x+2＞0，=16-8=8＞0，一元二次方程-4x+2=0有不同的两个实数根=2-,=2+，1＞0，一元二次函数y=-4x+2 y
图像的对称轴为x=2, 当x=2时，y=-2，作出函数y=-4x+2 0 2- 2 2+x
的图像如图所示，由图知不等式-2x+6＜0的解集为（-，2-）（2+，+）, 不等式|-3x+4|＞x+2的解集为（-，2-）（2+，+）。
『思考问题3』
（1）【典例3】是求解一元二次不等式的问题，解答这类问题需要理解一元二次不等式的定义，掌握一元二次不等式的解法；
（2）求解一元二次不等式的基本方法有：①因式分解法；②图像法；
（3）因式分解法的基本方法是：①把不等式左边的二次三项式分解成两个一次因式的积；②根据实数乘法法则得到两个一元一次不等式组；③分别求解两个一元一次不等式组；④ 得出一元二次不等式的解集；
（4）图像法的基本方法是：①求判别式= -4ac的值，确定一元二次方程解的情况，进一步确定一元二次函数与x轴的交点；②确定一元二次函数的对称轴，开口方向和顶点坐标；③作出一元二次函数的大致图像；④利用一元二次方程，一元二次函数和一元二次不等式之间的关系，结合图形确定一元二次不等式的解集；⑤得出一元二次不等式的解集。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= -x+1，x＜0,则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是( ) （答案：C）
x-1，x≥0,
A｛x|-1＜x＜-1｝ B｛x|x≤1｝ C｛x|x≤-1｝ D｛x|--1≤x≤-1｝
2、求下列一元二次不等式的解集：
（1）（x+2）(x-3)＞0； （2）x(x-2)＜0； （3）（x-a）(x-b)＞0(a＜b)；
（4）3-7x+2＜0； （5）-6-x+2≤0； （6）4+4x+1＜0；
（7）-3x+5＞0； （8）-4x+1＞0； （9）-4x+1＜0；
（答案：（1）（-，-2）（3，+）；（2）（0，2）；（3）（-，a）（b，+）；（4）（，
2）；（5）（-，-］［，+）；（6）；（7）R；（8）（-，2-）（2+，+）；（9）（2-，2+）。）
【典例4】解答下列问题：
1、不等式a+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜},则a，c的值为（ ）
A a=6，c=1 B a=-6，c=-1 C a=1，c=1 D a=-1，c=-6
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②图像法求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和图像法求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于a，c的方程组，求解方程组求出a，c的值就可得出选项。
【详细解答】不等式a+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜},a＜0①, a+c+=0②，
a+c+=0③，联立①②③解得：a=-6，c=-1，B正确，选B。
2、已知关于x的不等式 +ax+b＜0的解集为（1,2），试求关于x的不等式b+ax+1＞0的解集；
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的不等式组，求解不等式组求出实数a，b的值，把求出a，b的值代入不等式b+ax+1＞0得到一元二次不等式，运用求解一元二次不等式的基本方法就可求出不等式b+ax+1＞0的解集。
【详细解答】关于x的不等式 +ax+b＜0的解集为（1,2），1+a+b=0①，4+2a+b=0②，联立①②解得：a=-3，b=2， b+ax+1＞0， 2-3x+1＞0，（2x-1）（x-1）＞0， 2x-1＞0，或 2x-1＜0， x＞1或x＜，不等式b+ax+1＞0的解集为：{x|
x-1＞0， x-1＜0，x＜或x＞1}。
3、解关于x的不等式-（a+1）x+a＜0；
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法，参数分类讨论的原则与基本方法就可求出一元二次不等式-（a+1）x+a＜0的解集。
【详细解答】-（a+1）x+a＜0，（x-a）（x-1）＜0， x-a＞0，且x-1＜0， 或 x-a＜0，且 x-1＞0，①当 a＞1时，或1＜x＜a；②当a=1时，；③当a＜1时，或a＜x＜1，综上所述，当a＞1时，不等式-（a+1）x+a＜0的解集为：{x| 1＜x＜a}，当a=1时，不等式-（a+1）x+a＜0的解集为，当a＜1时，不等式-（a+1）x+a＜0的解集为：{x| a＜x＜1}。
4、如果｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝其中b＞0，求实数a，b的取值范围；
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法；③子集的定义与性质；④参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法，参数分类讨论的原则与基本方法求出一元二次不等式2a+(2-ab)x-b＞0的解集，运用子集的性质得到关于a，b的不等式组，求解不等式组就可得出实数a，b的取值范围。
【详细解答】①当a=0时，2a+(2-ab)x-b＞0，2x-b)＞0，x＞，一元二次不等式2a+(2-ab)x-b＞0的解集为：（，+），显然｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝不成立；②当a＜0时，2a+(2-ab)x-b＞0，（ax+1）(2x-b) ＞0，一元二次不等式2a+(2-ab)x-b＞0的解集为：（-，）或（，-），显然｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝不成立；③当a＞0时，2a+(2-ab)x-b＞0，（ax+1）(2x-b) ＞0，一元二次不等式2a+(2-ab)x-b＞0的解集为：（-，-）（，+），｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝，-2-，且3，a，0＜b6， 综上所述，如果｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝，则实数a，b的取值范围是：a，0＜b6。
『思考问题4』
（1）【典例4】是求解含有参数的一元二次不等式问题，解答这类问题需要对参数进行分类讨论；
（2）参数分类的基本方法是：①从运算的角度考虑分类（确定符号，去绝对值符号）；②从不等式的类型考虑分类（二次项系数为零或不为零）；③从比较一元二次方程两根的大小考虑分类（一元二次方程的两根与参数相关）；④从单调性应用的需要考虑分类；
（3）求解含参数一元二次不等式的基本方法是：①若二次项系数为常数，考虑分解因式对参数进行分类讨论（比较两根的大小）；当二次三项式不易分解时，可依据判别式符号对参数进行分类讨论（确定一元二次方程解的情况）；②若二次项系数含有参数，则需要考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是一元二次式；当二次项系数不为零时，仍需对参数可能情况分别求解；③对方程的根进行讨论，确定两根的大小得出解集。
〔练习4〕解答下列问题：
1、不等式组（x-2）（x-5）≤0，与不等式（x-2）（x-5）≤0同解，则实数a的取值范围是 x（x-a）≥0，（ ）（答案：A）
A （-，2］ B （-，2） C （-，5］ D （5，+）
2、设二次不等式a+bx+1＞0的解集为｛x|-1＜x＜｝，则ab的值为（ ）（答案：C）
A -6 B -5 C 6 D 5
3、求不等式12-ax＞（a∈R）的解集；（答案：当a＜0时，不等式12-ax＞的解集为（-，）（-，+）；当a=0时，不等式12-ax＞的解集为（-，0）（0，+）；当a＞0时，不等式12-ax＞的解集为（-，-）（，+）。）
4、解关于x的不等式a-2≥2x-ax(aR)；（答案：当-2＜a＜0时，不等式a-2≥2x- ax的解集为（-，）（-1，+）；当a=0时，不等式a-2≥2x- ax的解集为（-，-1］；当a＜-2或a＞0时，不等式a-2≥2x- ax的解集为（-，-1）（，+）。）
5、已知A=｛x|＞x+｝，B=｛x|使函数y=lg(k+4x+k+3)有意义｝，A∩B=B，求实数k的取值范围； （答案：实数k的取值范围是[-4，-]；）
-x-2＞0；
6、是否存在实数a，使得不等式组 2+（5+2a）x+5a＜0，的整数解的集合是单元素｛-2｝；
（答案：存在实数a（-，2）使得不等式组的整数解的集合是单元素{-2}）
7、设aR，函数f(x)=a-2x-2a，若不等式f(x)＞0的解集为A，集合B=｛x|1＜x＜3｝,
且A∩B=，求实数a的取值范围；（答案：若A∩B=，则实数a的取值范围是[0，]）
8、设0＜a＜1，集合A=｛xR|x＞0｝，B=｛xR|2-3（1+a）x+6a＞0｝，D=A∩B，求集合D（用区间表示）（答案：D=（0,）（，+））
9、已知f(x)=-3+a（6-a）x+6。
（1）解关于a的不等式f(1)＞0；
（2）若不等式f(x)＞b的解集为（-1,3），求实数a、b的值。（答案：（1）（3-2，3+2）；（2）a=3,b=-3。）
【典例5】解答下列问题：
1、若不等式（a-2）+2（a-2）x-4＜0对一切x R恒成立，则实数a的取值集合为（ ）
A {a|a≤2} B {a|-2＜a＜2} C {a|-2＜a≤2} D {a|a≤-2}
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于参数a的不等式组，求解不等式求出实数a的取值集合就可得出选项。
【详细解答】不等式（a-2）+2（a-2）x-4＜0对一切x R恒成立， a-2＜0①，且
=4+16（a-2）=4（a-2）（a+2）＜0②，联立①②解得：-2＜a＜2，若不等式（a-2）+2（a-2）x-4＜0对一切x R恒成立，则实数a的取值集合为：{a|-2＜a＜2}，B
正确，选B。
2、若一元二次不等式2k+kx-＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A （-3，0］ B ［-3，0） C ［-3，0］ D （-3， 0）
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于参数k的不等式组，求解不等式组求出实数k的取值范围就可得出选项。
【详细解答】一元二次不等式2k+kx-＜0对一切实数x都成立， 2k＜0①，且
=+3k=k（k+3）＜0②，联立①②解得：-3＜k＜0，若一元二次不等式2k+kx-＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（-3， 0），D正确，选D。
3、若不等式2x-1＞m(-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围为 ；
【解析】
【知识点】①一元一次函数的定义与性质；②一元二次不等式的定义与性质，③求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元一次函数的性质，结合问题条件得到关于x的一元二次不等式组，运用一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法求解不等式组就可求出x的 取值范围。
【详细解答】不等式2x-1＞m(-1)， (-1)m-（2x-1）＜0，设f(m)= (-1)m-（2x-1）， f(m)对满足-2≤m≤2的所有m都成立， f(-2)=-2-2x+3＜0①，且f(2)=2-2x-1＜0②，联立①②解得：＜x＜，若不等式2x-1＞m(-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围为（，）。
4、不等式+ax+4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】不等式+ax+4＜0的解集不是空集，=-16＞0，a＜-4或a＞4，若不等式+ax+4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是（-，-4）（4，+）。
5、设函数f(x)=m-mx-1，若对于x［1，3］，f(x) ＜-m+5恒成立，求m的取值范围；
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】 f(x)=m-mx-1，f(x) ＜-m+5，（-x+1）m＜6， x［1，3］，
1≤-x+1≤7，（-x+1）m＜6， m＜，当x［1，3］时，≤≤6， m＜，即若对于x［1，3］，f(x) ＜-m+5恒成立，则m的取值范围（-，）。
6、对任意m［-1，1］，函数f(x)= +(m-4)x+4-2m的值恒大于零，求x的取值范围。
【解析】
【知识点】①一元一次函数的定义与性质；②一元二次不等式的定义与性质；③求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元一次函数的性质，结合问题条件得到关于x的一元二次不等式组，运用一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法求解不等式组就可求出x的 取值范围。
【详细解答】对任意m［-1，1］，函数f(x)= +(m-4)x+4-2m的值恒大于零，
对任意m［-1，1］，(x-2)m+-4x+4＞0恒成立，设f(m)= (x-2)m+-4x+4， f(m) ＞0对对任意m［-1，1］恒成立， f(-1)=-5x+6＞0①，且f(1)=-3x+2＞0②，联立①②解得：x＜1或x＞3，若对任意m［-1，1］，函数f(x)= +(m-4)x+4-2m的值恒大于零，则x的取值范围是（-，1）（3，+）。
『思考问题5』
（1）【典例5】是关于一元二次不等式恒成立的问题，解答这类问题需要弄清楚谁是主元，谁是参数（一般地知道谁的范围，谁就是主元；求谁的范围，谁就是参数）；
（2）对于一元二次不等式恒成立问题，若是恒大于零，表明相应的一元二次函数的图像在给定的区间上全部在X轴的上方；若是恒小于零，表明相应的一元二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴的下方；解答这类问题的基本思路是转化为求一元二次函数的最值问题（或把参数分离，再求函数的最值）。
〔练习5〕解答下列问题：
1、不等式（m-2）+2（m-2）x-4＜0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是 ；（答案：实数m的取值范围是（-2，2]）
2、已知函数f(x)= ，若任意的x∈［1，+），f(x) ＞0恒成立，则实数a的取值范围是 ；（答案：实数a的取值范围是（1，+））
3、函数f(x)= 的定义域是R，则实数a的取值分是 ；（答案：实数a的取值范围是[0，））
4、已知函数f(x)= +mx-1，若对于任意的x∈［m，m+1］,都有f(x) ＜0成立，则实数m的取值范围是 ；（答案：实数a的取值范围是（-，0））
5、已知不等式m-2x-m+1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；（答案：不存在实数m，使不等式m-2x-m+1＜0在R上恒成立。）
6、已知关于x的不等式-ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 （答案：实数a的取值范围是（0，8））
7、已知函数f(x)= +ax+b(a，b∈R)的值域为〔0，+∞），若关于x的不等式f(x)＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为 （答案：实数c的值为9）
8、对任意x∈［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，求a的取值范围；（答案：实数a的取值范围是（0，8））
9、对任意a∈［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范围。（答案：x的取值范围是（-，1）（3，+））
10、已知不等式m-2x-m+1＜0.
（1）是否存在实数m对所有的实数x不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在请说明理由；（答案：不存在实数m，使不等式m-2x-m+1＜0对所有的实数x恒成立）
（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围（答案：x的取值范围是（，））
【典例6】按要求解答下列问题：
1、要在长800m，宽600m的一块长方形地面上进行绿化，
要求四周种花卉（花卉带的宽度相等），中间种草坪（如
右图）阴影部分种草坪，要求草坪的面积不少于总面积的
一半，求花卉带宽度的范围。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法；③求解一元二次不等式应用问题的基本方法。
【解题思路】根据求解一元二次不等式应用问题的基本方法，结合问题条件得到一元二次不等式，运用一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法求解不等式就可求出问题的结果。
【详细解答】设花卉带的宽为xm，则草坪的长为（800-2x）m，宽为（600-2x）m，草坪的面积为：（800-2x）（600-2x）800600，-700x+600000，0＜x≤100，
600-2x ＞0， 600-2x ＞0，若草坪的面积不少于总面积的一半，则花卉带宽度的范围为,：（1，100]。
2、甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品，（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1-）元。
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法；③求解一元二次不等式应用问题的基本方法。
【解题思路】（1）根据求解一元二次不等式应用问题的基本方法，结合问题条件得到不等式，运用求解一元二次不等式的基本方法求解不等式就可求出x的取值范围；（2）根据求解一元二次不等式应用问题的基本方法，结合问题条件得到不等式，运用求解一元二次不等式的基本方法求解不等式就可求出甲厂应该选取生产速度，并求出最大利润。
【详细解答】（1）200（5x+1-）3000，5-14x-30，