高中数学人教A版（2019）选修二4.3等比数列同步练习（答案＋解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选修二4.3等比数列同步练习（答案＋解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 324.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-20 12:08:53 | ||
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文档简介
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4.3等比数列
一、单选题
1．（2019高二上·邵阳期中）公比为 的等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B．3或2 C． D．3或-3
2．（2022高二下·浙江期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地…….则此人后四天走的路程比前两天走的路程少（ ）里.
A．198 B．191 C．63 D．48
3．（2022·湖南模拟）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
4．（2021高三上·济宁期末）若数列为等比数列，且，，则=（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
5．在数列 中， ， ，记 的前 项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2019高一下·重庆期中）中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的路程等于（ ）
A． 里 B． 里 C． 里 D． 里
7．（2021高二下·湖南期末）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
8．（2020高二上·无锡期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（ ）
A．三分鹿之一 B．三分鹿之二
C．一鹿 D．一鹿、三分鹿之一
9．（2019高一上·利辛月考）已知等比数列 ，前 项和为 ，满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2019高二上·北京期中）下列说法错误的是（ ）
A．任给等差数列 和 ，数列 是等差数列
B．存在等差数列 和 ，数列 是等差数列
C．任给等比数列 和 ，数列 是等比数列
D．存在等比数列 和 ，数列 是等比数列
11．（2019·四川模拟）已知正项等比数列 的前n项和 ，满足 ，则 的最小值为
A． B．3 C．4 D．12
12．（2022高二上·许昌期末）已知数列满足，，，前项和（）
A． B． C． D．
13．（2021·山西模拟）十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间 均分为四段，去掉其中的区间段 记为第一次操作；再将剩下的三个区间 ，分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；···如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于 ，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据： ）（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
14．（2019高三上·赤峰月考）已知 是等比数列 的前 项和，若 ， ，则数列 的公比 为（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
15．（2020高三上·营口月考）我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第 天后剩余木棍的长度为 ，数列 的前 项和为 ，则使得不等式 成立的正整数 的最小值为（ ）.
A．6 B．5 C．4 D．3
16．（2019·奉贤模拟）若三个非零且互不相等的实数 成等差数列且满足 ，则称 成一个“ 等差数列”.已知集合 ，则由 中的三个元素组成的所有数列中，“ 等差数列”的个数为（ ）
A．25 B．50 C．51 D．100
17．（2020高一下·惠州期末）已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，等比数列 的公比 是正整数，前 项和为 ，若 ，且 是正整数，则 等于（ ）
A． B． C． D．
18．（2019·山西模拟）已知等比数列 的前 项和的乘积记为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
19．（2020高二下·杭州期末）已知等比数列 的前n项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．（2022高三上·潍坊月考）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点绕原点按逆时针方向旋转角得到点，再将点绕原点按逆时针方向旋转角得到，…，如此继续下去，得到前10个点，，，…，．若是公差为的等差数列，且点，，，…，在同一函数图象上，则角的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
21．（2022·葫芦岛模拟）已知数列是等差数列，且，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列通项公式为，求的前100项和.
22．（2022高二下·宿州期中）记等差数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
23．（2022·绵阳模拟）已知数列满足：，，（）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
24．（2021高一下·内江期末）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
25．（2019高二上·兰州期中）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．
（1）求数列{an}的通项；
（2）求数列{ }的前n项和Sn．
26．（2020高一下·成都期中）已知等差数列 的前n项和为 ，且满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 ．
27．已知前n项和为Sn的数列{an}中，a1=5.
（1）若{an}是等比数列，S3=35，求{an}的通项公式；
（2）若{an}是等差数列，S5=S6，求Sn的最大值.
28．（2020高一下·金华月考）已知等差数列 的公差 ，且 .
（1）求 及 ；
（2）若等比数列 满足 ， ，求数列 的前n项和 .
29．（2020高一下·七台河期末）已知 是公差为3的等差数列，数列 满足 ， ， .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 的前n项和 .
30．（2019高一下·广东期末）设数列 的前 项和为 ，若 且
（1）求
（2）若数列 满足 ，求数列 的前n项和 .
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】因为 是等比数列，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ， ， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 ，
故答案为：D.
【分析】由 是等比数列，可得 ，结合 ，可知 ，即 ， ，进而可求得 ，然后求出 即可.
2．【答案】A
【解析】【解答】设每天走的路程里数为，则是公比为的等比数列，
由得
解得：
所以
后四天走的路程：，前两天走的路程：，
又，且，∴，
∴
故此人后四天走的路程比前两天走的路程少198，
故答案为：A.
【分析】根据题意，设每天走的路程里数为，则是公比为的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得a1的值，进而得出an，可得后四天走的路程：，前两天走的路程，计算可得答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染，
则每轮新增感染人数为
，
经过n轮传染，总共感染人数为：
，
∵，∴当感染人数增加到1000人时，
，化简得
，
由
，故得
，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要
天，
故答案为：B
【分析】根据题意把数学问题转化为实际问题，然后结合等比数列的前n项和公式代入数值计算出n的取值，从而得出答案。
4．【答案】C
【解析】【解答】因为是等比数列，，所以数列仍然是等比数列，记，设其公比为，由得，，
所以。
故答案为：C．
【分析】利用数列是等比数列，，再结合等比数列的定义，所以数列仍然是等比数列，记，设其公比为，由结合等比数列的通项公式，进而求出公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而求出的值。
5．【答案】D
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
又 ，∴数列 是以1为首项， 为比的等比数列，
∴ ，∴ 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再结合等比数列的定义推出数列 是以1为首项， 为比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，再结合等比数列的前n项和公式，进而求出的关系式。
6．【答案】A
【解析】【解答】设马每天所走的路程是 ，是公比为 的等比数列，这些项的和为700，
故答案为：A.
【分析】根据题意得到马每天所走的路程是 ，是公比为 的等比数列，这些项的和为700，由等比数列的求和公式求得首项，再由等比数列的通项公式得到结果.
7．【答案】A
【解析】【解答】设大老鼠第 天打洞的距离为 ，则数列 是首项为1，公比为2的等比数列，其前 项和为 ；小老鼠第 天打洞的距离为 ，则数列 是首项为1，公比为 的等比数列，其前 项和为 ，则 ，则 ，从而相距 尺。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合等比数列的定义，设大老鼠第 天打洞的距离为 ，则数列 是首项为1，公比为2的等比数列，其前 项和为 ；小老鼠第 天打洞的距离为 ，则数列 是首项为1，公比为 的等比数列，其前 项和为 ，再利用等比数列前n项和公式，从而求出，再结合代入法求出第3天结束后，两只老鼠相距的尺数。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为 ，
则 ，解得 ．
故答案为：A．
【分析】本题考查阅读理解能力，抽象概括能力，解题关键是从题中得出5人所得依次成等差数列，其中 ， ，要求 ，由等差数列的前 项和公式易解得．
9．【答案】C
【解析】【解答】由题,当 时, ,则 ,舍去；
当 时,可得 ,解得 ,
则
故答案为：C
【分析】由 , 即可求得 ,进而利用等比数列前 项和公式计算即可,注意此时公比为
10．【答案】C
【解析】【解答】 ：若 和 都是等差数列，不妨设 ，
故可得 ，则
则 ，故数列 是等差数列，
则A正确；
：设数列 是数列 ；数列 是 ，
故可得数列 是 是等差数列，
故B正确.
：若 和 是等比数列，设 ，
故可得 ，
则 不是常数，故 不是等比数列，
故C错误；
：设数列 是数列 ；数列 是 ，
故可得数列 是 是等比数列，
故D正确.
综上所述，错误的是C .
故答案为：C.
【分析】根据等差数列和等比数列的定义，对选项进行逐一判断即可.
11．【答案】D
【解析】【解答】根据题意，设该等比数列的首项为a1，第二项为a2，公比为q，
若S4﹣2S2=3，则有S4﹣2S2=a1+a2+a3+a4-2(a1+a2）=(a3+a4)﹣(a1+a2)=(q2﹣1)(a1+a2)=3，
又由数列{an}为正项的等比数列，则q＞1，则有a1+a2= ，
则S6﹣S4=（a5+a6）=q4×（a1+a2）=q4× =3[（q2﹣1）+ +2]≥6+3×2 =12；
当且仅当q2=2，即q= 时等号成立，则S6﹣S4的最小值为12；
故答案为：D．
【分析】利用等比数列前n项和公式，结合等比数列前n项和公式的关系式的已知条件，通过变形的方法利用均值不等式求出等比数列前6项减去等比数列前4项的和的最小值。
12．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，则 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，
故答案为：C．
【分析】 根据已知条件及对数的运算，可得数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式，即可计算出Sn的表达式.
13．【答案】A
【解析】【解答】第一次操作去掉的区间长度为 ；
第二次操作去掉3个长度为 的区间，长度和为 ；
第三次操作去掉 个长度为 的区间，长度和为 ；
…，
第n次操作去掉 个长度为 的区间，长度和为 ．
于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为 ．
由题意知： ，化简得 ，
又n为整数， 的最小值为11．
故答案为：A
【分析】 利用题中的条件可知，每一次操作去掉的区间长度成等比数列，即可解出．
14．【答案】A
【解析】【解答】由 时， ，故 .∵ ，∴ .又 ，解得 ， .
故答案为：A
【分析】讨论 不成立，当 直接利用等比数列的通项公式和前n项和公式列式求出结果．
15．【答案】B
【解析】【解答】由题意可知：数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
若 ，则 ，即 ， ，
又 ， ， ，
使得不等式 成立的正整数 的最小值为 .
故答案为：B.
【分析】将问题转化为等比数列求和问题，利用等比数列求和公式求得 ，解不等式即可得到答案。
16．【答案】B
【解析】【解答】由三个非零且互不相等的实数 成等差数列且满足 ，知
消去 ，并整理得，
所以 （舍去）， ，
于是有 。
在集合 中，三个元素组成的所有数列必为整数列，
所以 必为2的被数，且 ，
故这样的数组共50组。
故答案为：B。
【分析】根据题意首先确定构成 “ 等差数列” 的三个数的关系，有，，结合已知中的集合得出符合条件的数组个数。
17．【答案】B
【解析】【解答】∵数列{an}是以d为公差的等差数列，且a1=d，
;
又数列{bn}是公比q的等比数列，且b1=d2，
∴ ;
∴ ∈N*．
又∵q是正整数，∴1+q+q2=7，解得q=2．
∴ ；
故答案为：B．
【分析】 由数列{an}是以d为公差的等差数列，且a1=d求得a12+a+a32= 14d2再由数列{bn}是公比q的等比数列，且b1=d2求得b1+b2+b3=d2(1+q+q2),结合 是正整数求得q的值，则 可求.
18．【答案】C
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，由 得 ，故 ，即 .
又 ，所以 ，故 ，所以 .
故选C.
【分析】设等比数列 的公比为 ，由 ，可求得 的值，代入所求即可。
19．【答案】C
【解析】【解答】由于数列 是等比数列，
所以 ，
由于 ，
所以 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故答案为：C
【分析】结合等比数列的前n项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，即可判断出正确选项.
20．【答案】A
【解析】【解答】由题可知，是公差为的等差数列，则，
设旋转到点时该点相对于点逆时针旋转的角为
，
因为点，，，…，都在以单位圆上，
且，，，…，在函数图象上，则10个点任意两点均不关于轴对称，
若，，，…，对应的旋转的角为：
，
无任意两点关于轴对称，所以A符合题意；
若，，，…，对应的旋转的角为：
，
因为，所以点与关于轴对称，所以B不符合题意；
若，，，…，对应的旋转的角为：
，
因为，所以与关于轴对称，所以C不符合题意；
若，，，…，对应的旋转的角为：
，
因为，所以与关于轴对称，所以D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据题意得到是公差为的等差数列，求得旋转到点时该点相对于点逆时针旋转的角为，结合点，，，…，都在以单位圆上，可判定A正确；求得当求得旋转角的值，得到点与关于轴对称，可判定B错误；当，求得对应的旋转的角，得到与关于轴对称，可判定C正确；当，求得对应的旋转的角，得到，可判定D错误.
21．【答案】（1）解：设数列的首项为，公差为，
则，，
，
因为，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项，
所以，解得：，
所以的通项公式为：，、
因为，又是公比为2的等比数列，
所以的通项公式为：；
（2）解：，
【解析】【分析】 (1) 设数列的首项为，公差为， 由等差数列的通项公式可得关于a1与d的方程组，求得a1与d的值，即可求得数列的通项公式，再求出b3，即可求解数列的通项公式；
(2) ， 可得数列 的偶数项为0，奇数项构成以1为首项，以-4为公比的等比数列，再由等比数列的前n项和公式求解出 的前100项和.
22．【答案】（1）解：由题可知，解得，，
∴；
（2）解：∵，∴，
∴是首项为3，公比为9的等比数列，
∴﹒
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，进而解方程组求出等差数列的首项和公差的值，再结合等差数列的通项公式，进而得出数列 的通项公式。
（2）利用已知条件结合数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，再利用递推公式结合等比数列的定义，进而判断出数列是首项为3，公比为9的等比数列， 再利用等差数列前n项和公式，进而得出数列的前n项和。
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，∴，
∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知，，
当时，
当n=1时，满足上式．
所以，．
【解析】【分析】(1)由题意变形可得 ，且 ， 根据等比数列的定义，即可证明出数列是等比数列；
(2)由(1)得 ， 利用累加法和等比数列通项公式，即可求出数列的通项公式．
24．【答案】（1）由题意可知
解得
所以数列 的通项公式为 .
（2）
数列 的前 项和 .
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列前n项和公式，从而解方程组求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
（2）利用 结合（1）中的数列 的通项公式， 从而求出数列 的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而求出数列 的前 项和。
25．【答案】（1）解：设公差为d，则a3=1＋2d，a9=1＋8d，所以，(1＋2d) =1(1＋8d)，
解得，d=1（d=0舍去），则
（2）解：令 ，则由等比数列的求和公式 ，得，
【解析】【分析】（1）先设公差为d，由 a1，a3，a9成等比数列列式， 解得d=1，即可求出数列{an}的通项；
（2）由（1）得到 ，利用等比数列的求和公式，即可求出数列{ }的前n项和Sn.
26．【答案】（1）解：因为 为等差数列，所以 ，
解得 ，
（2）解： ，
【解析】【分析】（1）利用等差数列前n项和公式，再联立方程组求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列通项公式，从而求出数列 的通项公式。
（2）由（1）中数列 的通项公式求出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，从而求出 数列 的前n项和。
27．【答案】（1）解：设等比数列 的公比为q，
因为 ，所以 ，即 ，解得 或 ，
所以 或
（2）解：设等差数列 的公差为d，
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 ·
因为 是开口向下，对称轴为 的抛物线，
又 ，所以当n=5或6时， 取得最大值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，进而求出等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式，进而求出等比数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合的关系式，得出等差数列第六项的值，再利用等差数列的通项公式，进而求出公差，再利用等差数列前n项和公式，进而求出等差数列 {an} 的前n项的和，再利用二次函数的图象的开口方向和对称性，从而判断出二次函数的单调性，进而求出二次函数的最大值，从而求出Sn的最大值。
28．【答案】（1）解：由 ，得 ，又 ，∴ ，∴ ；
（2）解：由题意 ， ，即 ，∴ ，于是 ，
故 .
【解析】【分析】（1）直接利用等差数列公式计算得到答案.（2）计算 ，再利用分组求和法计算得到答案.
29．【答案】解：（Ⅰ） 是公差为3的等差数列，
， ， ,
可得 ，解得 ，
则 .
（Ⅱ）由 ，
可得 ，即为 ，
可得数列 的首项为 ，公比为 的等比数列，
可得 的前n项和
【解析】【分析】（Ⅰ）由 ，令 ，求得 ，再由等差数列的通项公式求解即可.（Ⅱ）由 ，可得 ，利用等比数列的定义和求和公式，可得所求和.
30．【答案】（1）解：当 且 时， ；
也适合上式，所以， ，则数列 为等差数列，
因此， ；
（2）解： ，且 ，所以，数列 是等比数列，且公比为 ，
所以 ．
【解析】【分析】（1）由 时， ，再验证 适合 ，于是得出 ，再利用等差数列的求和公式可求出 ；（2）求出数列 的通项公式，判断出数列 为等比数列，再利用等比数列的求和公式求出数列 的前 项和 ．
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4.3等比数列
一、单选题
1．（2019高二上·邵阳期中）公比为 的等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B．3或2 C． D．3或-3
2．（2022高二下·浙江期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地…….则此人后四天走的路程比前两天走的路程少（ ）里.
A．198 B．191 C．63 D．48
3．（2022·湖南模拟）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
4．（2021高三上·济宁期末）若数列为等比数列，且，，则=（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
5．在数列 中， ， ，记 的前 项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2019高一下·重庆期中）中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的路程等于（ ）
A． 里 B． 里 C． 里 D． 里
7．（2021高二下·湖南期末）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
8．（2020高二上·无锡期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（ ）
A．三分鹿之一 B．三分鹿之二
C．一鹿 D．一鹿、三分鹿之一
9．（2019高一上·利辛月考）已知等比数列 ，前 项和为 ，满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2019高二上·北京期中）下列说法错误的是（ ）
A．任给等差数列 和 ，数列 是等差数列
B．存在等差数列 和 ，数列 是等差数列
C．任给等比数列 和 ，数列 是等比数列
D．存在等比数列 和 ，数列 是等比数列
11．（2019·四川模拟）已知正项等比数列 的前n项和 ，满足 ，则 的最小值为
A． B．3 C．4 D．12
12．（2022高二上·许昌期末）已知数列满足，，，前项和（）
A． B． C． D．
13．（2021·山西模拟）十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间 均分为四段，去掉其中的区间段 记为第一次操作；再将剩下的三个区间 ，分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；···如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于 ，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据： ）（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
14．（2019高三上·赤峰月考）已知 是等比数列 的前 项和，若 ， ，则数列 的公比 为（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
15．（2020高三上·营口月考）我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第 天后剩余木棍的长度为 ，数列 的前 项和为 ，则使得不等式 成立的正整数 的最小值为（ ）.
A．6 B．5 C．4 D．3
16．（2019·奉贤模拟）若三个非零且互不相等的实数 成等差数列且满足 ，则称 成一个“ 等差数列”.已知集合 ，则由 中的三个元素组成的所有数列中，“ 等差数列”的个数为（ ）
A．25 B．50 C．51 D．100
17．（2020高一下·惠州期末）已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，等比数列 的公比 是正整数，前 项和为 ，若 ，且 是正整数，则 等于（ ）
A． B． C． D．
18．（2019·山西模拟）已知等比数列 的前 项和的乘积记为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
19．（2020高二下·杭州期末）已知等比数列 的前n项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．（2022高三上·潍坊月考）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点绕原点按逆时针方向旋转角得到点，再将点绕原点按逆时针方向旋转角得到，…，如此继续下去，得到前10个点，，，…，．若是公差为的等差数列，且点，，，…，在同一函数图象上，则角的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
21．（2022·葫芦岛模拟）已知数列是等差数列，且，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列通项公式为，求的前100项和.
22．（2022高二下·宿州期中）记等差数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
23．（2022·绵阳模拟）已知数列满足：，，（）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
24．（2021高一下·内江期末）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
25．（2019高二上·兰州期中）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．
（1）求数列{an}的通项；
（2）求数列{ }的前n项和Sn．
26．（2020高一下·成都期中）已知等差数列 的前n项和为 ，且满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 ．
27．已知前n项和为Sn的数列{an}中，a1=5.
（1）若{an}是等比数列，S3=35，求{an}的通项公式；
（2）若{an}是等差数列，S5=S6，求Sn的最大值.
28．（2020高一下·金华月考）已知等差数列 的公差 ，且 .
（1）求 及 ；
（2）若等比数列 满足 ， ，求数列 的前n项和 .
29．（2020高一下·七台河期末）已知 是公差为3的等差数列，数列 满足 ， ， .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 的前n项和 .
30．（2019高一下·广东期末）设数列 的前 项和为 ，若 且
（1）求
（2）若数列 满足 ，求数列 的前n项和 .
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】因为 是等比数列，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ， ， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 ，
故答案为：D.
【分析】由 是等比数列，可得 ，结合 ，可知 ，即 ， ，进而可求得 ，然后求出 即可.
2．【答案】A
【解析】【解答】设每天走的路程里数为，则是公比为的等比数列，
由得
解得：
所以
后四天走的路程：，前两天走的路程：，
又，且，∴，
∴
故此人后四天走的路程比前两天走的路程少198，
故答案为：A.
【分析】根据题意，设每天走的路程里数为，则是公比为的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得a1的值，进而得出an，可得后四天走的路程：，前两天走的路程，计算可得答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染，
则每轮新增感染人数为
，
经过n轮传染，总共感染人数为：
，
∵，∴当感染人数增加到1000人时，
，化简得
，
由
，故得
，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要
天，
故答案为：B
【分析】根据题意把数学问题转化为实际问题，然后结合等比数列的前n项和公式代入数值计算出n的取值，从而得出答案。
4．【答案】C
【解析】【解答】因为是等比数列，，所以数列仍然是等比数列，记，设其公比为，由得，，
所以。
故答案为：C．
【分析】利用数列是等比数列，，再结合等比数列的定义，所以数列仍然是等比数列，记，设其公比为，由结合等比数列的通项公式，进而求出公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而求出的值。
5．【答案】D
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
又 ，∴数列 是以1为首项， 为比的等比数列，
∴ ，∴ 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再结合等比数列的定义推出数列 是以1为首项， 为比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，再结合等比数列的前n项和公式，进而求出的关系式。
6．【答案】A
【解析】【解答】设马每天所走的路程是 ，是公比为 的等比数列，这些项的和为700，
故答案为：A.
【分析】根据题意得到马每天所走的路程是 ，是公比为 的等比数列，这些项的和为700，由等比数列的求和公式求得首项，再由等比数列的通项公式得到结果.
7．【答案】A
【解析】【解答】设大老鼠第 天打洞的距离为 ，则数列 是首项为1，公比为2的等比数列，其前 项和为 ；小老鼠第 天打洞的距离为 ，则数列 是首项为1，公比为 的等比数列，其前 项和为 ，则 ，则 ，从而相距 尺。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合等比数列的定义，设大老鼠第 天打洞的距离为 ，则数列 是首项为1，公比为2的等比数列，其前 项和为 ；小老鼠第 天打洞的距离为 ，则数列 是首项为1，公比为 的等比数列，其前 项和为 ，再利用等比数列前n项和公式，从而求出，再结合代入法求出第3天结束后，两只老鼠相距的尺数。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为 ，
则 ，解得 ．
故答案为：A．
【分析】本题考查阅读理解能力，抽象概括能力，解题关键是从题中得出5人所得依次成等差数列，其中 ， ，要求 ，由等差数列的前 项和公式易解得．
9．【答案】C
【解析】【解答】由题,当 时, ,则 ,舍去；
当 时,可得 ,解得 ,
则
故答案为：C
【分析】由 , 即可求得 ,进而利用等比数列前 项和公式计算即可,注意此时公比为
10．【答案】C
【解析】【解答】 ：若 和 都是等差数列，不妨设 ，
故可得 ，则
则 ，故数列 是等差数列，
则A正确；
：设数列 是数列 ；数列 是 ，
故可得数列 是 是等差数列，
故B正确.
：若 和 是等比数列，设 ，
故可得 ，
则 不是常数，故 不是等比数列，
故C错误；
：设数列 是数列 ；数列 是 ，
故可得数列 是 是等比数列，
故D正确.
综上所述，错误的是C .
故答案为：C.
【分析】根据等差数列和等比数列的定义，对选项进行逐一判断即可.
11．【答案】D
【解析】【解答】根据题意，设该等比数列的首项为a1，第二项为a2，公比为q，
若S4﹣2S2=3，则有S4﹣2S2=a1+a2+a3+a4-2(a1+a2）=(a3+a4)﹣(a1+a2)=(q2﹣1)(a1+a2)=3，
又由数列{an}为正项的等比数列，则q＞1，则有a1+a2= ，
则S6﹣S4=（a5+a6）=q4×（a1+a2）=q4× =3[（q2﹣1）+ +2]≥6+3×2 =12；
当且仅当q2=2，即q= 时等号成立，则S6﹣S4的最小值为12；
故答案为：D．
【分析】利用等比数列前n项和公式，结合等比数列前n项和公式的关系式的已知条件，通过变形的方法利用均值不等式求出等比数列前6项减去等比数列前4项的和的最小值。
12．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，则 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，
故答案为：C．
【分析】 根据已知条件及对数的运算，可得数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式，即可计算出Sn的表达式.
13．【答案】A
【解析】【解答】第一次操作去掉的区间长度为 ；
第二次操作去掉3个长度为 的区间，长度和为 ；
第三次操作去掉 个长度为 的区间，长度和为 ；
…，
第n次操作去掉 个长度为 的区间，长度和为 ．
于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为 ．
由题意知： ，化简得 ，
又n为整数， 的最小值为11．
故答案为：A
【分析】 利用题中的条件可知，每一次操作去掉的区间长度成等比数列，即可解出．
14．【答案】A
【解析】【解答】由 时， ，故 .∵ ，∴ .又 ，解得 ， .
故答案为：A
【分析】讨论 不成立，当 直接利用等比数列的通项公式和前n项和公式列式求出结果．
15．【答案】B
【解析】【解答】由题意可知：数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
若 ，则 ，即 ， ，
又 ， ， ，
使得不等式 成立的正整数 的最小值为 .
故答案为：B.
【分析】将问题转化为等比数列求和问题，利用等比数列求和公式求得 ，解不等式即可得到答案。
16．【答案】B
【解析】【解答】由三个非零且互不相等的实数 成等差数列且满足 ，知
消去 ，并整理得，
所以 （舍去）， ，
于是有 。
在集合 中，三个元素组成的所有数列必为整数列，
所以 必为2的被数，且 ，
故这样的数组共50组。
故答案为：B。
【分析】根据题意首先确定构成 “ 等差数列” 的三个数的关系，有，，结合已知中的集合得出符合条件的数组个数。
17．【答案】B
【解析】【解答】∵数列{an}是以d为公差的等差数列，且a1=d，
;
又数列{bn}是公比q的等比数列，且b1=d2，
∴ ;
∴ ∈N*．
又∵q是正整数，∴1+q+q2=7，解得q=2．
∴ ；
故答案为：B．
【分析】 由数列{an}是以d为公差的等差数列，且a1=d求得a12+a+a32= 14d2再由数列{bn}是公比q的等比数列，且b1=d2求得b1+b2+b3=d2(1+q+q2),结合 是正整数求得q的值，则 可求.
18．【答案】C
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，由 得 ，故 ，即 .
又 ，所以 ，故 ，所以 .
故选C.
【分析】设等比数列 的公比为 ，由 ，可求得 的值，代入所求即可。
19．【答案】C
【解析】【解答】由于数列 是等比数列，
所以 ，
由于 ，
所以 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故答案为：C
【分析】结合等比数列的前n项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，即可判断出正确选项.
20．【答案】A
【解析】【解答】由题可知，是公差为的等差数列，则，
设旋转到点时该点相对于点逆时针旋转的角为
，
因为点，，，…，都在以单位圆上，
且，，，…，在函数图象上，则10个点任意两点均不关于轴对称，
若，，，…，对应的旋转的角为：
，
无任意两点关于轴对称，所以A符合题意；
若，，，…，对应的旋转的角为：
，
因为，所以点与关于轴对称，所以B不符合题意；
若，，，…，对应的旋转的角为：
，
因为，所以与关于轴对称，所以C不符合题意；
若，，，…，对应的旋转的角为：
，
因为，所以与关于轴对称，所以D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据题意得到是公差为的等差数列，求得旋转到点时该点相对于点逆时针旋转的角为，结合点，，，…，都在以单位圆上，可判定A正确；求得当求得旋转角的值，得到点与关于轴对称，可判定B错误；当，求得对应的旋转的角，得到与关于轴对称，可判定C正确；当，求得对应的旋转的角，得到，可判定D错误.
21．【答案】（1）解：设数列的首项为，公差为，
则，，
，
因为，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项，
所以，解得：，
所以的通项公式为：，、
因为，又是公比为2的等比数列，
所以的通项公式为：；
（2）解：，
【解析】【分析】 (1) 设数列的首项为，公差为， 由等差数列的通项公式可得关于a1与d的方程组，求得a1与d的值，即可求得数列的通项公式，再求出b3，即可求解数列的通项公式；
(2) ， 可得数列 的偶数项为0，奇数项构成以1为首项，以-4为公比的等比数列，再由等比数列的前n项和公式求解出 的前100项和.
22．【答案】（1）解：由题可知，解得，，
∴；
（2）解：∵，∴，
∴是首项为3，公比为9的等比数列，
∴﹒
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，进而解方程组求出等差数列的首项和公差的值，再结合等差数列的通项公式，进而得出数列 的通项公式。
（2）利用已知条件结合数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，再利用递推公式结合等比数列的定义，进而判断出数列是首项为3，公比为9的等比数列， 再利用等差数列前n项和公式，进而得出数列的前n项和。
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，∴，
∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知，，
当时，
当n=1时，满足上式．
所以，．
【解析】【分析】(1)由题意变形可得 ，且 ， 根据等比数列的定义，即可证明出数列是等比数列；
(2)由(1)得 ， 利用累加法和等比数列通项公式，即可求出数列的通项公式．
24．【答案】（1）由题意可知
解得
所以数列 的通项公式为 .
（2）
数列 的前 项和 .
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列前n项和公式，从而解方程组求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
（2）利用 结合（1）中的数列 的通项公式， 从而求出数列 的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而求出数列 的前 项和。
25．【答案】（1）解：设公差为d，则a3=1＋2d，a9=1＋8d，所以，(1＋2d) =1(1＋8d)，
解得，d=1（d=0舍去），则
（2）解：令 ，则由等比数列的求和公式 ，得，
【解析】【分析】（1）先设公差为d，由 a1，a3，a9成等比数列列式， 解得d=1，即可求出数列{an}的通项；
（2）由（1）得到 ，利用等比数列的求和公式，即可求出数列{ }的前n项和Sn.
26．【答案】（1）解：因为 为等差数列，所以 ，
解得 ，
（2）解： ，
【解析】【分析】（1）利用等差数列前n项和公式，再联立方程组求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列通项公式，从而求出数列 的通项公式。
（2）由（1）中数列 的通项公式求出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，从而求出 数列 的前n项和。
27．【答案】（1）解：设等比数列 的公比为q，
因为 ，所以 ，即 ，解得 或 ，
所以 或
（2）解：设等差数列 的公差为d，
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 ·
因为 是开口向下，对称轴为 的抛物线，
又 ，所以当n=5或6时， 取得最大值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，进而求出等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式，进而求出等比数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合的关系式，得出等差数列第六项的值，再利用等差数列的通项公式，进而求出公差，再利用等差数列前n项和公式，进而求出等差数列 {an} 的前n项的和，再利用二次函数的图象的开口方向和对称性，从而判断出二次函数的单调性，进而求出二次函数的最大值，从而求出Sn的最大值。
28．【答案】（1）解：由 ，得 ，又 ，∴ ，∴ ；
（2）解：由题意 ， ，即 ，∴ ，于是 ，
故 .
【解析】【分析】（1）直接利用等差数列公式计算得到答案.（2）计算 ，再利用分组求和法计算得到答案.
29．【答案】解：（Ⅰ） 是公差为3的等差数列，
， ， ,
可得 ，解得 ，
则 .
（Ⅱ）由 ，
可得 ，即为 ，
可得数列 的首项为 ，公比为 的等比数列，
可得 的前n项和
【解析】【分析】（Ⅰ）由 ，令 ，求得 ，再由等差数列的通项公式求解即可.（Ⅱ）由 ，可得 ，利用等比数列的定义和求和公式，可得所求和.
30．【答案】（1）解：当 且 时， ；
也适合上式，所以， ，则数列 为等差数列，
因此， ；
（2）解： ，且 ，所以，数列 是等比数列，且公比为 ，
所以 ．
【解析】【分析】（1）由 时， ，再验证 适合 ，于是得出 ，再利用等差数列的求和公式可求出 ；（2）求出数列 的通项公式，判断出数列 为等比数列，再利用等比数列的求和公式求出数列 的前 项和 ．
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