高中数学人教A版（2019）选修二4.4数学归纳法同步练习（答案＋解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选修二4.4数学归纳法同步练习（答案＋解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 87.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-20 12:12:29 | ||
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文档简介
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4.4数学归纳法
一、单选题
1．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证 n＝k＋1时的情况，只需展开( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)
2．用数学归纳法证明 时，从 到 ，左边需增添的代数式是（ ）
A． B．
C． D．
3．用数学归纳法证明 在验证n＝1时，左边所得的项为( )
A．1 B．1＋a＋a2
C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
4．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)为（ ）
A．f(n)+n+1 B．f(n)+n C．f(n)+n-1 D．f(n)+n-2
5．（2019高二上·辽宁月考）下面四个判断中，正确的是（ ）
A．式子 ，当 时为1
B．式子 ，当 时为
C．式子 ，当 时为
D．设 ，则
6．（2017高二下·洛阳期末）用数学归纳法证明“ ”时，由n=k不等式成立，证明n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）
A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1
7．（2018高二下·河南期中）用数学归纳法证明不等式“ ”时的过程中，由 到 ，不等式的左边增加的项为（ ）
A． B．
C． D．
8．利用数学归纳法证明“，（a ≠1，nN）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ）
A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a3
9．对于不等式 ，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
（1）当 时， ，不等式成立.（2）假设当 时，不等式 成立，当 时 .
当 时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确 B． 验得不正确
C．归纳假设不正确 D．从 到 的推理不正确
10．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有 ”这一命题，证明过程中应验证（ ）
A．n＝1时命题成立 B．n＝1，n＝2时命题成立
C．n＝3时命题成立 D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立
11．用数学归纳法证明对任意正整数n，都有++…+＞的过程中，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子为（ ）
A． B．+ C．- D．-
12．（2017高二下·西安期中）证明1+ +…+ （n∈N*），假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是（ ）
A．1项 B．k﹣1项 C．k项 D．2k项
13．（2020高二下·嘉兴期末）用数学归纳法证明： 时，从n=k推证 时，左边增加的代数式是（ ）
A． B． C． D．
14．某个命题与正整数有关，若当n=k 时该命题成立，那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立，现已知当 n=4 时该命题不成立，那么可推得（ ）
A．当 n=5 时，该命题不成立 B．当 n=5 时，该命题成立
C．当 n=3 时，该命题成立 D．当 n=3 时，该命题不成立
15．（2015高二下·沈丘期中）用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是（ ）
A．假设n=k（k∈N*），证明n=k+1命题成立
B．假设n=k（k为正奇数），证明n=k+1命题成立
C．假设n=2k+1（k∈N*），证明n=k+1命题成立
D．假设n=k（k为正奇数），证明n=k+2命题成立
16．（2017高二下·保定期末）用数学归纳法证明：1+ + ++ ＜n（n∈N*，n≥2）时，第二步证明由“k到k+1”时，左端增加的项数是（ ）
A．2k﹣1 B．2k C．2k﹣1 D．2k+1
17．用数学归纳法证明不等式2n>n2时，第一步需要验证n0=_____时，不等式成立（ ）
A．5 B．2和4 C．3 D．1
18．（2016高二下·会宁期中）用数学归纳法证明 1+ + +…+ ＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（ ）
A． B．
C． D．
19．（2019高二下·吉林期末）用数学归纳法证明： ，第二步证明由 到 时，左边应加（ ）
A． B．
C． D．
20．（2018高二下·保山期末）用数学归纳法证明“ … ”时，由 到 时，不等试左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
21．用数学归纳法证明：
22．（2018高二下·湛江期中）已知数列 的前n项和 ．
（1）计算 ， ， ， ；
（2）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
23．（2019高三上·扬州月考）已知数列 满足 … ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）猜想数列 的通项公式，并证明．
24．（2019高二下·南山期末）已知数列 的前n项和为 ，满足 ，且 ， .
（1）求 ， ， 的值；
（2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法予以证明.
25．已知 ，数列{an} 的前 n 项的和记为 Sn .S
（1）求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；
（2）请用数学归纳法证明你的猜想.
26．（2021高三上·南通月考）已知数列 满足： ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证：对于一切正整数n，不等式 恒成立．
27．（2016高二下·泗水期中）对于任意正整数n，猜想2n﹣1与（n+1）2的大小关系，并给出证明．
28．（2020高二下·宝应期中）已知数列 满足 ， .
（1）计算 ， ， ，根据计算结果，猜想 的表达式；
（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.
29．如图，画一个边长为a（a＞0）的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，记第1个正方形的边长为a1，第2个正方形的边长为a2，…，第n个正方形的边长为an．
（1）试归纳出或求出an的表达式；
（2）记第1个正方形的面积为S1，第2个正方形的面积为S2，…，第n个正方形的面积为Sn，求S1+S2+S3+…+Sn．
30．（2017高二下·鞍山期中）是否存在a，b，c使等式（ ）2+（ ）2+（ ）2+…+（ ）2= 对一切n∈N*都成立若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9 整除．选A。
【分析】因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，所以要证(k＋1)3＋(k＋2)3+(k+3)3=k3+(k＋1)3＋(k＋2)3+(k+3)3-k3能被9整除。只要证(k+3)3-k3能被9整除
2．【答案】D
【解析】【解答】当 时，原式左侧为 ，当 时，原式左侧为 ，所当从 到 ，左边需增添的代数式是
坆答案为:D．
【分析】比较n=k与n=k+1时,等式左边的区别,得到增加的项.
3．【答案】B
【解析】【解答】因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.
【分析】简单题，注意n=1是a的指数为2
4．【答案】C
【解析】【解答】凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其它不相邻的k-2个顶点可引k-2条对角线，原来一条边变为对角线，所以共增加k-1条，故选C。
【分析】简单题，注意认真分析图形的变化。
5．【答案】C
【解析】【解答】A.式子 ，当 时为： ，题中的说法错误；
B.式子 ，当 时为 ，题中的说法错误；
C.式子 ，当 时为 ，题中的说法正确；
D.设 ，
则 ， ，
，题中的说法错误；
故答案为：C.
【分析】由题意结合数学归纳法逐一考查所给的选项是否正确即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：用数学归纳法证明等式 ”时，
当n=k时，左边=1+ + +…+ ，
那么当n=k+1时，左边=1+ + +…+ ，
∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了共2k+1﹣2k=2k项，
故答案为：C．
【分析】比较由n=k变到n=k+1时，左边变化的项，即可得左边应增加的项数．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：当 时，不等式为 ；
当 时，不等式为
，
即 ，
比较可得增加的项为 ．
故答案为：C．
【分析】观察不等式左边由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．
8．【答案】C
【解析】【分析】首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1= （a≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．
【解答】用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=（a≠1)”
在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．
故选C．
9．【答案】D
【解析】【解答】在 时，没有应用 时的假设，即从 到 的推理不正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明方法，进而得出在 时，没有应用 时的假设，即从 到 的推理不正确。
10．【答案】D
【解析】【解答】假设 时不等式成立，即 ，当 时， ， 因此需要验证n＝1，2，3时命题成立．
故答案为:D.
【分析】由于从k到k+1的归纳推理只能从k=3开始,得到选项D.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，
当n=k+1时，左边的代数式为，
故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果，即-为不等式的左边增加的项，
故选：C．
【分析】准确写出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．注意分母及项数的变化．
12．【答案】D
【解析】【解答】解：当n=k时不等式为： 成立
当n=k+1时不等式左边为
则左边增加2k+1﹣2k=2k项．
故选D．
【分析】首先分析题目证明不等式1+ +…+ ，假设n=k时成立，求当n=k+1时，左端增加的项数．故可以分别把n=k+1，n=k代入不等式左边，使它们相减即可求出项数．
13．【答案】A
【解析】【解答】由题意，可得当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
所以从 到 时，左边需增加的代数式是 ，
故答案为：A．
【分析】根据题设中的等式，当n=k时，等式的左边为 ，当 时，等式的左边为 ，利用数学归纳法即可求解．
14．【答案】D
【解析】【解答】因为原命题与其逆否命题的真假性一致，所以可得若 时该命题不成立，则当 时该命题也不成立，由此可得选D
【分析】本题主要考查了数学归纳法的证明步骤，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析即可
15．【答案】D
【解析】【解答】解：由于相邻的两个奇数相差2，根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步时，假设n=k（k为正奇数）时，
xn+yn能被x+y整除，证明n=k+2时，xn+yn 也能被x+y整除，
故选D．
【分析】根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步，假设 n=k时，命题成立，在此基础上推证n=k+2时，命题也成立．
16．【答案】B
【解析】【解答】解：当n=k时，不等式左边为1+ ++ ，共有2k﹣1项，
当n=k+1时，不等式左边1+ ++ ，共有2k+1﹣1项，
∴增加的项数为2k+1﹣2k=2k，
故选B．
【分析】分别计算n=k和n=k+1时不等式的左边项数，从而得出答案．
17．【答案】A
【解析】【解答】将依次代入不等式验证可知从开始不等式恒成立，所以第一步要验证
【分析】数学归纳法：（1）证明当n取第一个值时命题成立。对于一般取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。综合（1）（2），对一切自然数n命题P(n)都成立。
18．【答案】B
【解析】【解答】解：用数学归纳法证明1+ + +…+ ＜n（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：
；
故选B．
【分析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．
19．【答案】D
【解析】【解答】在第二步证明时，假设 时成立，即左侧 ，
则 成立时，左侧 ，
左边增加的项数是 ，
故答案为：D．
【分析】当 成立，当 时，写出对应的关系式，观察计算即可得答案.
20．【答案】C
【解析】【解答】解：由n=k时，左边为 ，
当n=k+1时，左边为
所以增加项为两式作差得： ，
故答案为：C.
【分析】弄清n=k和n=k+1时左边各有哪些项，再进行比较即得结论.
21．【答案】证明：①当 n=1 时，左边 ，右边 左边，∴等式成立．②设当n=k 时，等式成立，即 ．则当 n=k+1 时，左边 ∴ n=k+1 时，等式成立．由①、②可知，原等式对于任意 成立．
【解析】【分析】本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是首先证明当n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，得到等式 ，下面证明当n=k+1时等式左边 ，根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．
22．【答案】（1）解：由已知得 当 时，有 ；
当 时，有 ； 同理可得
（2）解：猜想： .
证明：①当 时，由（1）得 ，等式成立，
②假设当 时， 成立，
则 当 时，有
，
， 即 当 时，等式也成立，
综合①②可知 对一切 都成立
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出 的值，同理求出 ， ， 。
（2）利用数学归纳法的证明步骤证明。
23．【答案】（1）解：利用题干等式，代入n= 1得 ，n=2时 ，n=3时 ．
（2）解：猜想： ．
证明：①当 ，2，3时，由上知结论成立；
②假设 时结论成立，
则有 ．
则 时， ．
由 得
，
．
又 ，则
，
于是 ．
所以 ， 故 时结论也成立．
由①②得， ．
【解析】【分析】（1）利用等式，求出 ， ， 的值；（2）归纳猜想，利用数学归纳法加以证明.
24．【答案】（1）解： ，且 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，或 舍 ，
当 时， ， ，或 舍 ，
， ，
（2）解：由 1 猜想 ，下面用数学归纳法证明：
①当 时， ，显然成立，
②假设 时，结论成立，即 ，
则当 时，由 ，
有 ，
，
，或 舍 ，
时结论成立，
由①②知当 ， 均成立．
【解析】【分析】 1 利用 代入计算，可得结论； 2 猜想 ，然后利用归纳法进行证明，检验 时等式成立，假设 时命题成立，证明当 时命题也成立．
25．【答案】（1）【解答】解：∵
∴ ， ，
∴猜想 ．
（2）【解答】
证明：①当 n=1 时， ，猜想成立
②假设当 n=k 时，猜想成立，即： ．
当 n=k+1 时，
．
∴ n=k+1 时猜想成立．
∴由①、②得 得证．
【解析】【分析】本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是(1)因为 ，所以可分别求出a1，a2，a3，进而可求出S1，S2，S3.(2)根据（1）可猜想出 ，然后利用数学归纳法证明时要分两个步骤：一先验证：当n=1时，等式成立；二先假设n=k时，等式成立；再证明当n=k+1时，等式也成立.在证明n=k+1时，一定要用上n=k时的归纳假设，否则证明无效.
26．【答案】（1）解：当 时，由 得 ，因此 是一个等比数列，其首项为 ，公比为 ，从而 ，据此得
（2）证明：∵ ，
要证 成立，只要证 时，有 ，①
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个 ，有
，②
用数学归纳法证明②式：
1°，当 时，②式显然成立；
2°，假设 时，②式成立，即 ，则当 时，
，即当 时，
成立．
故对一切 ，②式都成立．
利用②式得
，故①式成立．
从而结论 成立．
【解析】【分析】 (1)将条件变为： ，因此 是一个等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式；
(2) ，要证 成立 ，只要证n∈N*时有
，再由数学归纳法进行证明.
27．【答案】解：当n=1时，2n﹣1=1，（n+1）2=4，
当n=2时，2n﹣1=3，（n+1）2=9，
n=3时，2n﹣1=5，（n+1）2=16，
猜想：2n﹣1＜（n+1）2．
证明：∵（n+1）2﹣（2n﹣1）=n2+2n+1﹣2n+1=n2+2＞0．
∴（n+1）2＞2n﹣1，
即2n﹣1＜（n+1）2．
【解析】【分析】令n=1，2，3，分别计算2n﹣1与（n+1）2的值，根据规律进行猜想，使用作差法进行证明．
28．【答案】（1）解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
由此猜想 ；
（2）解：下面用数学归纳法证明 ，
①当 时，显然成立，
②假设当 时猜想成立，即 ，
由题意得 ，∴当 时猜想也成立；
由①和②，可知猜想成立，即 .
【解析】【分析】 （1）利用已知条件逐步求解 ， ， ，然后猜想 的表达式；
（2）利用数学归纳法的证明步骤，结合已知条件推出结果即可．
29．【答案】（1）解：∵第n个正方形的对角线长为 ，
∴第n+1个正方形的边长 ．
∴ ，即数列{an}是首项为a1=a，公比为 的等比数列．
∴an=（ ）n﹣1a．
（2）解：∵an=（ ）n﹣1a，
∴ ．
∴数列{Sn}是首项为S1=a2，公比为 的等比数列．
∴S1+S2+S3+…+sn=
=2a2（ ）．
【解析】【分析】（1）根据图形得到：当第n个正方形的对角线长为 时第n+1个正方形的边长为an+1= ，得到数列{an}是等比数列，根据等比数列的通项公式得到an的通项即可；（2）根据正方形的面积等于边长的平方可得sn=an2，代入求出sn的通项公式，然后根据等比数列的前n项和的公式得到S1+S2+S3+…+sn的和即可．
30．【答案】解：取n=1，2，3可得 解得：a= ，b= ，c= ．
下面用数学归纳法证明（ ）2+（ ）2+（ ）2+…+（ ）2= = ．
即证12+22+…+n2= n（n+1）（2n+1），
①n=1时，左边=1，右边=1，∴等式成立；
②假设n=k时等式成立，即12+22+…+k2= k（k+1）（2k+1）成立，
则当n=k+1时，等式左边=12+22+…+k2+（k+1）2═ k（k+1）（2k+1）+（k+1）2= [k（k+1）（2k+1）+6（k+1）2]= （k+1）（2k2+7k+6）= （k+1）（k+2）（2k+3），
∴当n=k+1时等式成立；
由数学归纳法，综合①②当n∈N*等式成立，
故存在a= ，b= ，c= 使已知等式成立
【解析】【分析】分别取n=1，2，3，得到关于a，b，c的方程组解得即可，先根据当n=1时，把n=1代入求值等式成立；再假设n=k时关系成立，利用变形可得n=k+1时关系也成立，综合得到对于任意n∈N*时都成立
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4.4数学归纳法
一、单选题
1．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证 n＝k＋1时的情况，只需展开( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)
2．用数学归纳法证明 时，从 到 ，左边需增添的代数式是（ ）
A． B．
C． D．
3．用数学归纳法证明 在验证n＝1时，左边所得的项为( )
A．1 B．1＋a＋a2
C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
4．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)为（ ）
A．f(n)+n+1 B．f(n)+n C．f(n)+n-1 D．f(n)+n-2
5．（2019高二上·辽宁月考）下面四个判断中，正确的是（ ）
A．式子 ，当 时为1
B．式子 ，当 时为
C．式子 ，当 时为
D．设 ，则
6．（2017高二下·洛阳期末）用数学归纳法证明“ ”时，由n=k不等式成立，证明n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）
A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1
7．（2018高二下·河南期中）用数学归纳法证明不等式“ ”时的过程中，由 到 ，不等式的左边增加的项为（ ）
A． B．
C． D．
8．利用数学归纳法证明“，（a ≠1，nN）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ）
A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a3
9．对于不等式 ，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
（1）当 时， ，不等式成立.（2）假设当 时，不等式 成立，当 时 .
当 时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确 B． 验得不正确
C．归纳假设不正确 D．从 到 的推理不正确
10．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有 ”这一命题，证明过程中应验证（ ）
A．n＝1时命题成立 B．n＝1，n＝2时命题成立
C．n＝3时命题成立 D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立
11．用数学归纳法证明对任意正整数n，都有++…+＞的过程中，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子为（ ）
A． B．+ C．- D．-
12．（2017高二下·西安期中）证明1+ +…+ （n∈N*），假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是（ ）
A．1项 B．k﹣1项 C．k项 D．2k项
13．（2020高二下·嘉兴期末）用数学归纳法证明： 时，从n=k推证 时，左边增加的代数式是（ ）
A． B． C． D．
14．某个命题与正整数有关，若当n=k 时该命题成立，那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立，现已知当 n=4 时该命题不成立，那么可推得（ ）
A．当 n=5 时，该命题不成立 B．当 n=5 时，该命题成立
C．当 n=3 时，该命题成立 D．当 n=3 时，该命题不成立
15．（2015高二下·沈丘期中）用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是（ ）
A．假设n=k（k∈N*），证明n=k+1命题成立
B．假设n=k（k为正奇数），证明n=k+1命题成立
C．假设n=2k+1（k∈N*），证明n=k+1命题成立
D．假设n=k（k为正奇数），证明n=k+2命题成立
16．（2017高二下·保定期末）用数学归纳法证明：1+ + ++ ＜n（n∈N*，n≥2）时，第二步证明由“k到k+1”时，左端增加的项数是（ ）
A．2k﹣1 B．2k C．2k﹣1 D．2k+1
17．用数学归纳法证明不等式2n>n2时，第一步需要验证n0=_____时，不等式成立（ ）
A．5 B．2和4 C．3 D．1
18．（2016高二下·会宁期中）用数学归纳法证明 1+ + +…+ ＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（ ）
A． B．
C． D．
19．（2019高二下·吉林期末）用数学归纳法证明： ，第二步证明由 到 时，左边应加（ ）
A． B．
C． D．
20．（2018高二下·保山期末）用数学归纳法证明“ … ”时，由 到 时，不等试左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
21．用数学归纳法证明：
22．（2018高二下·湛江期中）已知数列 的前n项和 ．
（1）计算 ， ， ， ；
（2）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
23．（2019高三上·扬州月考）已知数列 满足 … ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）猜想数列 的通项公式，并证明．
24．（2019高二下·南山期末）已知数列 的前n项和为 ，满足 ，且 ， .
（1）求 ， ， 的值；
（2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法予以证明.
25．已知 ，数列{an} 的前 n 项的和记为 Sn .S
（1）求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；
（2）请用数学归纳法证明你的猜想.
26．（2021高三上·南通月考）已知数列 满足： ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证：对于一切正整数n，不等式 恒成立．
27．（2016高二下·泗水期中）对于任意正整数n，猜想2n﹣1与（n+1）2的大小关系，并给出证明．
28．（2020高二下·宝应期中）已知数列 满足 ， .
（1）计算 ， ， ，根据计算结果，猜想 的表达式；
（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.
29．如图，画一个边长为a（a＞0）的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，记第1个正方形的边长为a1，第2个正方形的边长为a2，…，第n个正方形的边长为an．
（1）试归纳出或求出an的表达式；
（2）记第1个正方形的面积为S1，第2个正方形的面积为S2，…，第n个正方形的面积为Sn，求S1+S2+S3+…+Sn．
30．（2017高二下·鞍山期中）是否存在a，b，c使等式（ ）2+（ ）2+（ ）2+…+（ ）2= 对一切n∈N*都成立若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9 整除．选A。
【分析】因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，所以要证(k＋1)3＋(k＋2)3+(k+3)3=k3+(k＋1)3＋(k＋2)3+(k+3)3-k3能被9整除。只要证(k+3)3-k3能被9整除
2．【答案】D
【解析】【解答】当 时，原式左侧为 ，当 时，原式左侧为 ，所当从 到 ，左边需增添的代数式是
坆答案为:D．
【分析】比较n=k与n=k+1时,等式左边的区别,得到增加的项.
3．【答案】B
【解析】【解答】因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.
【分析】简单题，注意n=1是a的指数为2
4．【答案】C
【解析】【解答】凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其它不相邻的k-2个顶点可引k-2条对角线，原来一条边变为对角线，所以共增加k-1条，故选C。
【分析】简单题，注意认真分析图形的变化。
5．【答案】C
【解析】【解答】A.式子 ，当 时为： ，题中的说法错误；
B.式子 ，当 时为 ，题中的说法错误；
C.式子 ，当 时为 ，题中的说法正确；
D.设 ，
则 ， ，
，题中的说法错误；
故答案为：C.
【分析】由题意结合数学归纳法逐一考查所给的选项是否正确即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：用数学归纳法证明等式 ”时，
当n=k时，左边=1+ + +…+ ，
那么当n=k+1时，左边=1+ + +…+ ，
∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了共2k+1﹣2k=2k项，
故答案为：C．
【分析】比较由n=k变到n=k+1时，左边变化的项，即可得左边应增加的项数．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：当 时，不等式为 ；
当 时，不等式为
，
即 ，
比较可得增加的项为 ．
故答案为：C．
【分析】观察不等式左边由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．
8．【答案】C
【解析】【分析】首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1= （a≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．
【解答】用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=（a≠1)”
在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．
故选C．
9．【答案】D
【解析】【解答】在 时，没有应用 时的假设，即从 到 的推理不正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明方法，进而得出在 时，没有应用 时的假设，即从 到 的推理不正确。
10．【答案】D
【解析】【解答】假设 时不等式成立，即 ，当 时， ， 因此需要验证n＝1，2，3时命题成立．
故答案为:D.
【分析】由于从k到k+1的归纳推理只能从k=3开始,得到选项D.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，
当n=k+1时，左边的代数式为，
故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果，即-为不等式的左边增加的项，
故选：C．
【分析】准确写出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．注意分母及项数的变化．
12．【答案】D
【解析】【解答】解：当n=k时不等式为： 成立
当n=k+1时不等式左边为
则左边增加2k+1﹣2k=2k项．
故选D．
【分析】首先分析题目证明不等式1+ +…+ ，假设n=k时成立，求当n=k+1时，左端增加的项数．故可以分别把n=k+1，n=k代入不等式左边，使它们相减即可求出项数．
13．【答案】A
【解析】【解答】由题意，可得当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
所以从 到 时，左边需增加的代数式是 ，
故答案为：A．
【分析】根据题设中的等式，当n=k时，等式的左边为 ，当 时，等式的左边为 ，利用数学归纳法即可求解．
14．【答案】D
【解析】【解答】因为原命题与其逆否命题的真假性一致，所以可得若 时该命题不成立，则当 时该命题也不成立，由此可得选D
【分析】本题主要考查了数学归纳法的证明步骤，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析即可
15．【答案】D
【解析】【解答】解：由于相邻的两个奇数相差2，根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步时，假设n=k（k为正奇数）时，
xn+yn能被x+y整除，证明n=k+2时，xn+yn 也能被x+y整除，
故选D．
【分析】根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步，假设 n=k时，命题成立，在此基础上推证n=k+2时，命题也成立．
16．【答案】B
【解析】【解答】解：当n=k时，不等式左边为1+ ++ ，共有2k﹣1项，
当n=k+1时，不等式左边1+ ++ ，共有2k+1﹣1项，
∴增加的项数为2k+1﹣2k=2k，
故选B．
【分析】分别计算n=k和n=k+1时不等式的左边项数，从而得出答案．
17．【答案】A
【解析】【解答】将依次代入不等式验证可知从开始不等式恒成立，所以第一步要验证
【分析】数学归纳法：（1）证明当n取第一个值时命题成立。对于一般取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。综合（1）（2），对一切自然数n命题P(n)都成立。
18．【答案】B
【解析】【解答】解：用数学归纳法证明1+ + +…+ ＜n（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：
；
故选B．
【分析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．
19．【答案】D
【解析】【解答】在第二步证明时，假设 时成立，即左侧 ，
则 成立时，左侧 ，
左边增加的项数是 ，
故答案为：D．
【分析】当 成立，当 时，写出对应的关系式，观察计算即可得答案.
20．【答案】C
【解析】【解答】解：由n=k时，左边为 ，
当n=k+1时，左边为
所以增加项为两式作差得： ，
故答案为：C.
【分析】弄清n=k和n=k+1时左边各有哪些项，再进行比较即得结论.
21．【答案】证明：①当 n=1 时，左边 ，右边 左边，∴等式成立．②设当n=k 时，等式成立，即 ．则当 n=k+1 时，左边 ∴ n=k+1 时，等式成立．由①、②可知，原等式对于任意 成立．
【解析】【分析】本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是首先证明当n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，得到等式 ，下面证明当n=k+1时等式左边 ，根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．
22．【答案】（1）解：由已知得 当 时，有 ；
当 时，有 ； 同理可得
（2）解：猜想： .
证明：①当 时，由（1）得 ，等式成立，
②假设当 时， 成立，
则 当 时，有
，
， 即 当 时，等式也成立，
综合①②可知 对一切 都成立
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出 的值，同理求出 ， ， 。
（2）利用数学归纳法的证明步骤证明。
23．【答案】（1）解：利用题干等式，代入n= 1得 ，n=2时 ，n=3时 ．
（2）解：猜想： ．
证明：①当 ，2，3时，由上知结论成立；
②假设 时结论成立，
则有 ．
则 时， ．
由 得
，
．
又 ，则
，
于是 ．
所以 ， 故 时结论也成立．
由①②得， ．
【解析】【分析】（1）利用等式，求出 ， ， 的值；（2）归纳猜想，利用数学归纳法加以证明.
24．【答案】（1）解： ，且 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，或 舍 ，
当 时， ， ，或 舍 ，
， ，
（2）解：由 1 猜想 ，下面用数学归纳法证明：
①当 时， ，显然成立，
②假设 时，结论成立，即 ，
则当 时，由 ，
有 ，
，
，或 舍 ，
时结论成立，
由①②知当 ， 均成立．
【解析】【分析】 1 利用 代入计算，可得结论； 2 猜想 ，然后利用归纳法进行证明，检验 时等式成立，假设 时命题成立，证明当 时命题也成立．
25．【答案】（1）【解答】解：∵
∴ ， ，
∴猜想 ．
（2）【解答】
证明：①当 n=1 时， ，猜想成立
②假设当 n=k 时，猜想成立，即： ．
当 n=k+1 时，
．
∴ n=k+1 时猜想成立．
∴由①、②得 得证．
【解析】【分析】本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是(1)因为 ，所以可分别求出a1，a2，a3，进而可求出S1，S2，S3.(2)根据（1）可猜想出 ，然后利用数学归纳法证明时要分两个步骤：一先验证：当n=1时，等式成立；二先假设n=k时，等式成立；再证明当n=k+1时，等式也成立.在证明n=k+1时，一定要用上n=k时的归纳假设，否则证明无效.
26．【答案】（1）解：当 时，由 得 ，因此 是一个等比数列，其首项为 ，公比为 ，从而 ，据此得
（2）证明：∵ ，
要证 成立，只要证 时，有 ，①
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个 ，有
，②
用数学归纳法证明②式：
1°，当 时，②式显然成立；
2°，假设 时，②式成立，即 ，则当 时，
，即当 时，
成立．
故对一切 ，②式都成立．
利用②式得
，故①式成立．
从而结论 成立．
【解析】【分析】 (1)将条件变为： ，因此 是一个等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式；
(2) ，要证 成立 ，只要证n∈N*时有
，再由数学归纳法进行证明.
27．【答案】解：当n=1时，2n﹣1=1，（n+1）2=4，
当n=2时，2n﹣1=3，（n+1）2=9，
n=3时，2n﹣1=5，（n+1）2=16，
猜想：2n﹣1＜（n+1）2．
证明：∵（n+1）2﹣（2n﹣1）=n2+2n+1﹣2n+1=n2+2＞0．
∴（n+1）2＞2n﹣1，
即2n﹣1＜（n+1）2．
【解析】【分析】令n=1，2，3，分别计算2n﹣1与（n+1）2的值，根据规律进行猜想，使用作差法进行证明．
28．【答案】（1）解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
由此猜想 ；
（2）解：下面用数学归纳法证明 ，
①当 时，显然成立，
②假设当 时猜想成立，即 ，
由题意得 ，∴当 时猜想也成立；
由①和②，可知猜想成立，即 .
【解析】【分析】 （1）利用已知条件逐步求解 ， ， ，然后猜想 的表达式；
（2）利用数学归纳法的证明步骤，结合已知条件推出结果即可．
29．【答案】（1）解：∵第n个正方形的对角线长为 ，
∴第n+1个正方形的边长 ．
∴ ，即数列{an}是首项为a1=a，公比为 的等比数列．
∴an=（ ）n﹣1a．
（2）解：∵an=（ ）n﹣1a，
∴ ．
∴数列{Sn}是首项为S1=a2，公比为 的等比数列．
∴S1+S2+S3+…+sn=
=2a2（ ）．
【解析】【分析】（1）根据图形得到：当第n个正方形的对角线长为 时第n+1个正方形的边长为an+1= ，得到数列{an}是等比数列，根据等比数列的通项公式得到an的通项即可；（2）根据正方形的面积等于边长的平方可得sn=an2，代入求出sn的通项公式，然后根据等比数列的前n项和的公式得到S1+S2+S3+…+sn的和即可．
30．【答案】解：取n=1，2，3可得 解得：a= ，b= ，c= ．
下面用数学归纳法证明（ ）2+（ ）2+（ ）2+…+（ ）2= = ．
即证12+22+…+n2= n（n+1）（2n+1），
①n=1时，左边=1，右边=1，∴等式成立；
②假设n=k时等式成立，即12+22+…+k2= k（k+1）（2k+1）成立，
则当n=k+1时，等式左边=12+22+…+k2+（k+1）2═ k（k+1）（2k+1）+（k+1）2= [k（k+1）（2k+1）+6（k+1）2]= （k+1）（2k2+7k+6）= （k+1）（k+2）（2k+3），
∴当n=k+1时等式成立；
由数学归纳法，综合①②当n∈N*等式成立，
故存在a= ，b= ，c= 使已知等式成立
【解析】【分析】分别取n=1，2，3，得到关于a，b，c的方程组解得即可，先根据当n=1时，把n=1代入求值等式成立；再假设n=k时关系成立，利用变形可得n=k+1时关系也成立，综合得到对于任意n∈N*时都成立
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