高中数学人教A版（2019）选修二第四章数列同步练习（答案＋解析）

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第四章数列综合卷
一、单选题
1．（2019高一下·滁州月考）已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=(　　）．
A．3 B．15 C．48 D．63
2．（2021·河南模拟）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个正整数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则数列 各项的和为（　　）
A．137835 B．137836 C．135809 D．135810
3．（2021高二上·宁波期末）已知数列 的通项公式为 ．若数列 的前n项和为 ，则 取得最大值时n的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2020高二上·蛟河月考）数列 是等差数列，且 ， ，那么 （　　）
A． B． C． D．
5．（2019·天津模拟）已知函数 在 上单调，且函数 的图象关于 对称，若数列 是公差不为 的等差数列，且 ，则 的前 项的和为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020高二上·深圳期末）等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （　　）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
7．（2020·龙岩模拟）设 是等比数列 的前n项和，且a3= ，S3= ，则 （　　）
A． B．6 C． 或6 D． 或
8．（2019高二上·湖北期中）已知数列 中 ，则 （　　）
A． B． C．100 D．-100
9．（2019高三上·吉林期中）等比数列 的首项为 ，公比为 ，前 项和为 ，则当 时， 的最小值与最大值的比值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2023高二上·南山期末）设等差数列的前项和为，若，且，则的公差为（　　）
A． B． C． D．
11．（2020·柳州模拟）已知 是等比数列 的前 项和， ， ，则 （　　）
A．3 B．5 C．-3 D．-5
12．（2020高二上·淮安期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何 ”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少 ”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
13．（2021高三上·河南月考）等比数列的前项和为，首项，若数列也为等比数列，则数列的公比的值为（　　）
A．-1 B．1 C．±1 D．不能确定
14．（2022高二上·深圳期末）中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得（　　）
A．76石 B．77石 C．78石 D．79石
15．（2022·贵州模拟）已知函数，现有下列四个命题：
①，，成等差数列；②，，成等差数列；③，，成等比数列；④，，成等比数列.其中所有真命题的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
16．（2020高二上·拉萨月考）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为 ：男、子、伯、候、公，共五级.现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分 个（ 为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是（　　）
A． B． C． D．
17．（2022高二上·福州期末）设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值时，n等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
18．（2023·柳州模拟）2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（　　）
A．23 B．25 C．27 D．29
19．（2020高二上·金台期中）已知 为等差数列， 为公差， 为前n项和， ，则下列说法错误的是（　　）
A． B．
C． 和 均为 的最大值 D．
20．（2022高三上·河南开学考）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2022这2022个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（　　）
A．58 B．57 C．56 D．55
二、解答题
21．（2020高二上·秭归期中）在① ，② ，③an+1＝an+n-8这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的Sn存在最大值，则求出最大值；若问题中的Sn不存在最大值，请说明理由.
问题：设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝4，_________，求{an}的通项公式，并判断Sn是否存在最大值.
22．（2023·杭州模拟）设公差不为0的等差数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前n项和．
23．（2020高一下·广东月考）已知数列 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列 的前三项分别是 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）若b1+b2+……+bk=85，求正整数k的值．
24．用数学归纳法证明：
25．（2022高二下·成都期中）设数列满足，.
（1）求，，，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
26．用数学归纳法证明： .
27．（2023高二上·玉溪期末）已知数列是递增的等比数列，为的前项和，满足，
（1）求的通项公式；
（2）若数列，求数列的前项和.
28．（2022·包头二模）已知数列的各项均为互不相等的正数，且，记为数列的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立．
①数列是等比数列；②数列是等比数列；③
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
29．（2020高二上·吉林期末）已知数列 是一个等差数列，且 ， 。
（Ⅰ）求 的通项 ；
（Ⅱ）求 前n项和 的最大值．
30．（2021高二下·吕梁期末）已知数列 满足 .
（1）求 ；
（2）猜想数列通项公式 ，并用数学归纳法给出证明.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：,。
故答案为：C
【分析】利用等比数列的通项公式借助整体思想即可求出结果。
2．【答案】D
【解析】【解答】由题意知， 被15除1，所以数列 是等差数列，公差 ，首项为 ，
，由 得， ．因此 ，
。
故答案为：D．
【分析】由题意知， 被15除1，所以数列 是等差数列，公差 ，首项为 ，进而结合等差数列的通项公式和已知条件，进而求出n的取值范围，从而确定题中满足要求的n的值，再利用等差数列的前n项和公式，进而求出数列 各项的和 。
3．【答案】C
【解析】【解答】由条件有 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 .
即 ，
所以 取得最大值时n的值为4.
故答案为：C
【分析】利用递推公式得，分和两种情况计算可得 取得最大值时n的值 。
4．【答案】B
【解析】【解答】设 ，则 是等差数列，设公差为 ，当 时， ，
当 时， ，则 ，所以 ，
即 ，所以 。
故答案为：B.
【分析】设 ，再利用数列 是等差数列，设公差为 ，再利用等差数列的通项公式求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式求出数列 的通项公式，进而求出数列的通项公式，再利用代入法求出数列第2020项的值。
5．【答案】C
【解析】【解答】因为函数 的图象关于 对称，所以函数 关于 对称，又因为函数 在 上单调，所以 在 上也单调，由 ，可以得到 ， ，
故答案为：C.
【分析】由函数 的图象关于 对称，可知函数 关于 对称，函数 在 上单调，所以 在 上也单调，由 ，可以得到 ，进而可以求出 的前 项的和.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：因为 ， ，
所以 解得 ， ，
故答案为：B
【分析】首先根据已知条件构造关于 ， 的方程组，求出数列的通项公式，再根据等差数列求和公式计算可得；
7．【答案】C
【解析】【解答】当 时，此时 ，验证 ，满足；
当 时， ， ，解得 ， .
综上所述： 或 .
故答案为：C.
【分析】直接利用等比数列公式计算得到答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】由 可得 ,故 是以 为首项, 为公差的等差数列,故 ,即 .故 .
故答案为：B
【分析】对 两边同除以 构造等差数列求解即可.
9．【答案】B
【解析】【解答】等比数列 的首项为 ，公比为 ，前 项和为
设 ，则
数列对应函数为：
易知： 在 上递减， 在 上递减
故 在 上递减
的最小值与最大值的比值为
故答案为：B
【分析】先计算得到 ， ，构造函数 ，证明函数单调递减，得到最大值和最小值.
10．【答案】B
【解析】【解答】因为，，则，
因此，等差数列的公差为.
故答案为：B.
【分析】根据等差数列的求和公式和，求得，结合，即可求解.
11．【答案】A
【解析】【解答】设等比数列的公比为 ，因为 ，即 ，解得 ，
又由等比数列求和公式得 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】设等比数列的公比为q，由 ，求得 ，再结合等比数列的求和公式，即可求解.
12．【答案】C
【解析】【解答】设该女子第一天织布 尺，
则 ，
解得 ，
前 天织布的尺数为： ，
由 ，得 ，
解得 的最小值为8。
故答案为：C．
【分析】利用实际问题的已知条件结合等比数列的定义，从而将问题转化为等比数列的问题，再利用等比数列的前n的尺数，再结合等比数列前n项和公式结合要使织布的总尺数不少于30尺，从而解不等式求出n的取值范围，进而求出n的最小值，从而求出至少需要的天数。
13．【答案】A
【解析】【解答】由题意，等比数列的前项和为，首项，
可得
则，
因为数列也为等比数列，所以，
即，整理得，解得或（舍去），
所以数列的公比的值为-1.
故选：A.
【分析】根据题意求得，根据数列也为等比数列，利用列出方程，即可求解出答案。
14．【答案】C
【解析】【解答】设甲、乙、丙分得的米数为x+d，x，x-d，则，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石）
故答案为：C
【分析】设甲、乙、丙分得的米数为x+d，x，x-d，得到 ，求得d=18，进而求得的值，即可求解.
15．【答案】D
【解析】【解答】因为
，所以①为真命题.
因为
，
，
，所以②为真命题.
因为
，所以
，
，
成等差数列，又
，所以③是假命题.
因为
，
，
，所以④为真命题.
故答案为：D
【分析】由等差数列、等比数列的概念逐项判断即可。
16．【答案】B
【解析】【解答】设首项为 ，因为和为80，所以
因为 ，
所以
因此“公”恰好分得30个橘子的概率是 ，
故答案为：B.
【分析】根据题意由等差数列的前n项和公式代入数值即可计算出，结合题意列举出满足题意的所有m和a1可能取值，由此得出答案。
17．【答案】A
【解析】【解答】设等差数列的公差为d，根据题意
又，
设最大，则，解得
，A符合题意
故答案为：A.
【分析】根据题中等式求解出等差数列的公差，进而求解出数列的前n项和，最后根据的表达式求解出结果.
18．【答案】C
【解析】【解答】根据题意，把各排座位数看作等差数列，设等差数列通项为，首项为，公差为，前项和为，则=2，，
因为，所以，即得.
故答案为：C
【分析】根据题意转化为等差数列问题，利用等差数列通项公式和前n项和公式基本量运算，即可求解出答案.
19．【答案】C
【解析】【解答】由 ，
由 ，B说法正确；
因为 ， ，所以 ，因此A说法正确；
因为 ，所以等差数列 是单调递增数列，因此 没有最大值，C说法错误；
由 ，
因为 ，所以 ，因此D说法正确.
故答案为：C
【分析】由等差数列的通项公式以及定义即可得出选项A正确；由已知条件结合等差数列的前n项和公式的定义即可得出选项B正确；由等差数列的前n项和公式结合二次函数的单调性即可得出选项C错误；由等差数列的前n项和的定义以及性质整理即可得出选项D正确，从而得出答案。
20．【答案】A
【解析】【解答】因为能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的数，
所以，，，即是以1为首项，35为公差的等差数列，
即，
由题意知且，得，
解得，，所以此数列的项数为58项。
故答案为：A.
【分析】利用能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的数，所以，，，再利用等差数列的定义判断出数列是以1为首项，35为公差的等差数列，再结合等差数列的通项公式得出，由题意知且，从而得出n的取值范围，再利用，从而求出此数列的项数。
21．【答案】解：选①因为 ，a1＝4，
所以{an}是首项为4，公比为 的等比数列，
所以 .
当n为奇数时， ，
因为 随着n的增加而减少，所以此时Sn的最大值为S1＝4.
当n为偶数时， ，且 .综上，Sn存在最大值，且最大值为4.
选②因为 ，a1＝4，所以{an}是首项为4，公差为 的等差数列，
所以 .由 ，得n≤25，
所以Sn存在最大值，且最大值为S25（或S24），因为 ，
所以Sn的最大值为50.选③因为an+1＝an+n-8，所以an+1-an＝n-8，
所以a2-a1＝-7，a3-a2＝-6，…，an-an-1＝n-9，则 ，
又a1＝4，所以 .
当n≥16时，an＞0，故Sn不存在最大值.
【解析】【分析】将三个条件分别代入题中结合等比数列的定义，等比数列前n项和公式、数列的单调性求最值的方法，从而求出数列{an}的通项公式，并判断出Sn是否存在最大值。
22．【答案】（1）解：，设公差为d，首项为
，因为公差不为0，所以解得，
，数列的通项公式为，.
（2）解：
①
②
得，解得
【解析】【分析】(1) 设公差为d，首项为 ，由 ，，利用通项公式与求和公式可得关于a1 ， d的方程组，联立解得a1，d，即可得数列的通项公式；
(2)数列 满足 ， ，可得 ，利用累加求和可得 ， 利用求和公式可得数列的前n项和．
23．【答案】（1）解：设数列 的公差为 ，由 ， ， 为等比数列的前三项，
所以， ，即 ，解得 ，
所以，数列 的首项为 ，公差为 的等差数列，
故通项公式为 .
（2）解：由（1）知， ， ， ，
则等比数列 的首项为 ，公比为 ，故通项公式为 ，
所以， ，解得 .
故正整数 .
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式、等比数列的定义即可得出；（2）利用等比数列的定义和前 项和公式即可得出．
24．【答案】证明：①当 时，左边 ，右边 ，左边 右边
②假设 时等式成立，
即
那么当 时，
可得 ，
即等式成立.
综合①②可得等式成立
【解析】【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而证出
。
25．【答案】（1）解：由，，可得：
，，
由，，，可猜想：
（2）证明：①当时，成立；
②假设当时，猜想成立，即.
则当时，
即当时，猜想成立.
由①②可知，对于任意的，都有成立.
综上所述，猜想得证.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和代入法，进而得出数列的第二项的值、第三项的值和第四项的值，再利用归纳推理的方法，进而猜想出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而证明出（1）中的猜想。
26．【答案】证明：(1)当 时，左边 ，右边 ，等式成立.
⑵假设当 时，等式成立，即 ，
那么，当 时，
这就是说，当 时等式成立.
根据(1)和(2)可知等式对任意 都成立.
【解析】【分析】利用已知条件结合数学归纳法证明方法，从而证出 成立。
27．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
为递增的等比数列，，，
，解得：（舍）或，
.
（2）解：由（1）得：，又，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，.
【解析】【分析】 (1) 设等比数列的公比为， q>1，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求 的通项公式；
(2) 由（1）得：，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得数列的前项和.
28．【答案】解：①③②．已知数列是等比数列，．
设数列的公比为，又，所以，因为，所以，
根据题意可知，所以解得，所以，所以，且，因为，
所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列．
①②③．已知数列是等比数列，数列是等比数列．
设数列的公比为，又，根据题意，所以，，
所以，，，，
因为数列是等比数列，所以，即，
化解得，即，根据题意且，所以得，
从而，，所以有．
②③①．已知数列是等比数列，．
因为为数列的前项和，且，所以，
设数列的公比为，根据题意有且，所以，
当时，，
又因为，所以，又，所以有，又，所以，
所以得，
因为
所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列．
【解析】【分析】先确定所选的条件，再根据数列的通项与前n项.和的关系，结合等比数列及前n项和的函数特征进行运算，分析即可得出结论.
29．【答案】解：（Ⅰ）设 的公差为 ，由已知条件， ，
解得 ， ．
所以 ．
（Ⅱ） ．
所以 时， 取到最大值 ．
【解析】【分析】（Ⅰ）将已知条件转化为等差数列的首项和公差表示，通过解方程组得到基本量，进而求得通项公式；（Ⅱ）由首项和公差值可得到 的表达式，利用二次函数性质可求得和的最值
30．【答案】（1）数列 满足
得 .
则
.
（2）猜想数列通项公式 .
用数学归纳法证明：
①n=1时， 成立.
②假设 时成立， .
则n=k+1时， .
因此n=k+1时，猜想成立.
综上可得：数列通项公式 .
【解析】【分析】 (1)根据题意，由数列的递推公式依次计算a2，a3，a4的值，即可得答案；
(2)根据题意，由(1)的结论归纳通项公式am，再用数学归纳法证明可得答案.
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