高中数学人教A版（2019）选修二5.2导数的运算同步练习（答案＋解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选修二5.2导数的运算同步练习（答案＋解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 357.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-20 12:20:43 | ||
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文档简介
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5.2导数的运算
一、单选题
1．（2019高二下·深圳期中）下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝ ；③(ex)′＝ex；④( )′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022高二下·泗水期中）下列求导运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高二下·安徽期中）已知函数，则f（e）＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高二下·横峰月考）若 ，则 的解集为
A． B．
C． D．
5．定义方程 的实数根 为函数 的“新驻点”，若函数 ， ， 的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高三上·邢台月考）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数 ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019高二下·南山期末）已知函数 的导函数为 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C．-1 D．-2
9．（2022高二上·新化期末）若函数，满足且，则（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022高二下·自贡期末）若函数在上可导，且，则（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
11．函数 的导数 （ ）
A． B． C． D．
12．（2021高二下·泗水期中）若函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．0 B．-1 C．-2 D．2
13．（2022·湖北模拟）如图为宜昌市至喜长江大桥，其缆索两端固定在两侧索塔顶部，中间形成的平面曲线称为悬链线．当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利借助微积分推导出悬链线的方程，其中为参数．当时，函数称为双曲余弦函数，与之对应的函数称为双曲正弦函数．关于双曲函数，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021高二下·讷河月考）已知函数 在 处的导数为1，则 （ ）
A． B．3 C． D．
15．函数 的导数为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2020高二上·菏泽期末）日常生活的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将 水净化到纯净度为 时所需费用（单位：元）为 ．设将 水净化到纯净度为92%，98%时，所需净化费用的瞬时变化率分别为 ，则 （ ）
A． B．16 C． D．25
17．（2021高三上·兖州期中）已知函数，为的导函数，则（ ）
A．0 B．2021 C．2022 D．6
18．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
19．（2023高二下·合肥期中）设函数，是的导数，则函数的部分图像可以为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2020·广州模拟）已知函数 的导函数为 ，记 ， ，…， N . 若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．（2021高三上·泾阳期中）设函数．若，则a= ．
22．（2022高三上·河南月考）写出一个同时满足下列三个性质的函数： ．
①定义域为；②；③的导函数．
23．（2020·丹东模拟）已知 为偶函数，当 时， ，则 .
24．（2020高三上·北京月考）设函数f（x）=ex+ae x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
25．（2020高二下·天津期中） ，若 ，则 ．
三、解答题
26．（2019高三上·维吾尔自治月考）求下列函数的导数．
（1） ；
（2） .
27．（2022高二下·贺州月考）求下列函数的导数.
28．（2021高二下·武功期中）求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）
29．（2023高二下·金华月考）求下列函数的导数：
（1）；
（2） ；
（3）．
30．求下列函数的导数.
（1） ；
（2） .
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】因为 ，
所以正确的有②③，
故答案为：B.
【分析】利用求导公式结合导数的乘除法运算法则，从而找出函数求导运算正确的个数。
2．【答案】C
【解析】【解答】A选项：，A正确，不符合题意；
B选项：，B正确，不符合题意；
C选项：，C错误，符合题意；
D选项：，D正确，不符合题意
故答案为：C
【分析】依据求导公式及法则一一判断即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】函数，则，解得，
所以，所以，
所以，解得，所以，
所以.
故答案为：D．
【分析】令x=1可得，求出，求导函数可得，结合可求出，进而求出的解析式，代入x=e即可得答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：由题， 的定义域为 ， ，
令 ，整理得 ，解得 或 ，
结合函数的定义域知， 的解集为 ．
故答案为：C．
【分析】利用导数的运算法则得出。
5．【答案】C
【解析】【解答】由 可得 ，
令 ，解得 ，即 ．
由 可得 ，
设 ，
当 时， ，
当 时， ，
故 ．
由 可得 ，
令 ，得 ，
则 ，
又 ，所以 ，得 ，即 ．
综上可知， ．
故答案为：C．
【分析】根据题意由已知条件求出函数的导函数，由此得到a、b、c再由零点存在性定理计算出a、b、c的取值范围进而比较出大小即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】对于A，，A不正确；
对于B，，B不符合题意.
对于C，，C符合题意
对于D，，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据常用导数的公式，结合导数的运算法则，逐一求解判断即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】由题意知 ，且 ，若 ，则 ，解得 或 ，又因为 。
故答案为：C
【分析】利用对数函数的定义域，从而求出x的取值范围，再利用导数的运算法则，从而求出导函数，再利用分式不等式求解集的方法，从而结合进而转化为一元二次不等式求解集的方法，再结合从而由交集的运算法则求出不等式 的解集 。
8．【答案】B
【解析】【解答】由 可得： ，
令 ，可得 ，解得 ，
则 ，
故答案为：B
【分析】对 求导，在导函数中取 ，化简求出 的值，再取 ，即可求出 ．
9．【答案】C
【解析】【解答】取 ，则有 ，即 ，又因为 所以 ，所以 ，所以 .
故答案为：C
【分析】取 ，求得 ，进而求得 ，得到 ，代入即可求解.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，解得，
所以，函数开口向上，对称轴为，
因为，所以；
故答案为：C
【分析】求出函数的导函数，令，即可求出，从而得到的解析式，再根据二次函数的性质判断可得.
11．【答案】D
【解析】【解答】 ， 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则和复合函数的求导方法，进而求出函数 的导数 。
12．【答案】C
【解析】【解答】由题意 ，所以 ，得 .
故答案为：C.
【分析】求出导函数，赋值x=1，即可求解。
13．【答案】D
【解析】【解答】A选项，
，A选项错误.
B选项， ，B选项错误.
C选项，，C选项错误.
D选项，，D选项正确.
故答案为：D
【分析】对于A，代入解析式化简即可判断；对于B，由导数的四则运算即可判断；对于C，将x=-1，x=2代入解析式即可判断；对于D，由解析式化简即可判断。
14．【答案】C
【解析】【解答】 。
故答案为：C.
【分析】利用极限求导数的方法结合变形法，进而求出极限值。
15．【答案】C
【解析】【解答】 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复合函数求导的方法，进而求出函数 的导数。
16．【答案】B
【解析】【解答】由题知，净化费用的瞬时变化率应为 ， ， ， ，则 ，
故答案为：B
【分析】 根据题中给出的函数关系式，求出其导函数，利用瞬时变化率与导数的关系求出 ，即可得到比值.
17．【答案】D
【解析】【解答】依题意，的定义域为R，令，则，
即是奇函数，有，则，
又，且有，即是偶函数，，
所以.
故答案为：D
【分析】，是奇函数则有，又，是偶函数，，再计算的值即可．
18．【答案】C
【解析】【解答】 ，
，
，
，
，所以4为最小正周期，故
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合导数的公式，从而结合周期函数的定义，进而求出函数的最小正周期，再结合函数的周期性，从而求出的值。
19．【答案】A
【解析】【解答】因为，所以，定义域为R，
且，
所以为奇函数，所以排除BC选项，
又，
∴，所以排除D选项，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数的奇偶性，再结合x的取值范围结合函数求值域的方法得出函数 的部分图象。
20．【答案】D
【解析】【解答】由题可知：
所以
所以猜想可知：
由
所以
所以
故答案为：D
【分析】通过计算 ，可得 ，最后计算可得结果.
21．【答案】1
【解析】【解答】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：1
【分析】先求出函数的导数，再根据 ， 求得a的值。
22．【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】若，其定义域为，满足①；
，，所以，满足②；
，满足③.
故答案为：.
【分析】根据题目所给条件，从第二个条件f（x）与f（-x）的乘积为f（0）的平方入手，最容易联想到的是指数函数形式，再找到能满足第三个条件的式子。
23．【答案】-2
【解析】【解答】当 时， ，
则当 ， ，
所以
因为 为偶函数，
所以
所以
则
故答案为： .
【分析】根据 时的解析式，结合偶函数性质可求得 时的解析式.求得导函数，即可代入求得 的值.
24．【答案】-1；
【解析】【解答】若函数 为奇函数,则 ，
对任意的 恒成立.
若函数 是 上的增函数,则 恒成立, .
即实数 的取值范围是
【分析】首先由奇函数的定义得到关于 的恒等式，据此可得 的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
25．【答案】1
【解析】【解答】由题意，函数 ，可得 ，
因为 ，可得 ，即 ，解得 .
故答案为： .
【分析】先求导数，然后根据 ，列出方程，即可求解 的值，得到答案．
26．【答案】（1）解：因为
所以
（2）解：
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化简 ，再由求导公式求导即可。（2）由复合函数的求导公式即可求解。
27．【答案】解：
解：法一：y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′
=4x(3x-2)+(2x2+3)·3
=18x2-8x+9.
法二：因为y=(2x2+3)(3x-2)
=6x3-4x2+9x-6，
所以y′=18x2-8x+9.
【解析】【分析】（1）利用导数的除法法则求解；
（2）法一：利用导数的乘法法则求解；法二：转化为多项式函数，再利用导数的加法和减法求解.
28．【答案】（1）解：；
（2）解：，
；
（3）解：
.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的乘法和加法运算法则，进而得出函数的导函数。
（2）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和导数的加减法运算法则和复合函数求导方法，进而得出函数的导函数。
29．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的加法运算法则得出导函数。
（2）利用已知条件结合导数的乘法运算法则得出导函数。
（3）利用已知条件结合导数的乘法运算法则和复合函数的导数运算法则，进而得出导函数。
30．【答案】（1）解： ，
（2）解：
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则和复合函数求导方法，进而求出函数的导数。
（2）利用已知条件结合导数的运算法则，进而求出函数的导数。
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5.2导数的运算
一、单选题
1．（2019高二下·深圳期中）下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝ ；③(ex)′＝ex；④( )′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022高二下·泗水期中）下列求导运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高二下·安徽期中）已知函数，则f（e）＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高二下·横峰月考）若 ，则 的解集为
A． B．
C． D．
5．定义方程 的实数根 为函数 的“新驻点”，若函数 ， ， 的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高三上·邢台月考）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数 ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019高二下·南山期末）已知函数 的导函数为 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C．-1 D．-2
9．（2022高二上·新化期末）若函数，满足且，则（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022高二下·自贡期末）若函数在上可导，且，则（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
11．函数 的导数 （ ）
A． B． C． D．
12．（2021高二下·泗水期中）若函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．0 B．-1 C．-2 D．2
13．（2022·湖北模拟）如图为宜昌市至喜长江大桥，其缆索两端固定在两侧索塔顶部，中间形成的平面曲线称为悬链线．当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利借助微积分推导出悬链线的方程，其中为参数．当时，函数称为双曲余弦函数，与之对应的函数称为双曲正弦函数．关于双曲函数，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021高二下·讷河月考）已知函数 在 处的导数为1，则 （ ）
A． B．3 C． D．
15．函数 的导数为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2020高二上·菏泽期末）日常生活的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将 水净化到纯净度为 时所需费用（单位：元）为 ．设将 水净化到纯净度为92%，98%时，所需净化费用的瞬时变化率分别为 ，则 （ ）
A． B．16 C． D．25
17．（2021高三上·兖州期中）已知函数，为的导函数，则（ ）
A．0 B．2021 C．2022 D．6
18．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
19．（2023高二下·合肥期中）设函数，是的导数，则函数的部分图像可以为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2020·广州模拟）已知函数 的导函数为 ，记 ， ，…， N . 若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．（2021高三上·泾阳期中）设函数．若，则a= ．
22．（2022高三上·河南月考）写出一个同时满足下列三个性质的函数： ．
①定义域为；②；③的导函数．
23．（2020·丹东模拟）已知 为偶函数，当 时， ，则 .
24．（2020高三上·北京月考）设函数f（x）=ex+ae x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
25．（2020高二下·天津期中） ，若 ，则 ．
三、解答题
26．（2019高三上·维吾尔自治月考）求下列函数的导数．
（1） ；
（2） .
27．（2022高二下·贺州月考）求下列函数的导数.
28．（2021高二下·武功期中）求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）
29．（2023高二下·金华月考）求下列函数的导数：
（1）；
（2） ；
（3）．
30．求下列函数的导数.
（1） ；
（2） .
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】因为 ，
所以正确的有②③，
故答案为：B.
【分析】利用求导公式结合导数的乘除法运算法则，从而找出函数求导运算正确的个数。
2．【答案】C
【解析】【解答】A选项：，A正确，不符合题意；
B选项：，B正确，不符合题意；
C选项：，C错误，符合题意；
D选项：，D正确，不符合题意
故答案为：C
【分析】依据求导公式及法则一一判断即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】函数，则，解得，
所以，所以，
所以，解得，所以，
所以.
故答案为：D．
【分析】令x=1可得，求出，求导函数可得，结合可求出，进而求出的解析式，代入x=e即可得答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：由题， 的定义域为 ， ，
令 ，整理得 ，解得 或 ，
结合函数的定义域知， 的解集为 ．
故答案为：C．
【分析】利用导数的运算法则得出。
5．【答案】C
【解析】【解答】由 可得 ，
令 ，解得 ，即 ．
由 可得 ，
设 ，
当 时， ，
当 时， ，
故 ．
由 可得 ，
令 ，得 ，
则 ，
又 ，所以 ，得 ，即 ．
综上可知， ．
故答案为：C．
【分析】根据题意由已知条件求出函数的导函数，由此得到a、b、c再由零点存在性定理计算出a、b、c的取值范围进而比较出大小即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】对于A，，A不正确；
对于B，，B不符合题意.
对于C，，C符合题意
对于D，，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据常用导数的公式，结合导数的运算法则，逐一求解判断即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】由题意知 ，且 ，若 ，则 ，解得 或 ，又因为 。
故答案为：C
【分析】利用对数函数的定义域，从而求出x的取值范围，再利用导数的运算法则，从而求出导函数，再利用分式不等式求解集的方法，从而结合进而转化为一元二次不等式求解集的方法，再结合从而由交集的运算法则求出不等式 的解集 。
8．【答案】B
【解析】【解答】由 可得： ，
令 ，可得 ，解得 ，
则 ，
故答案为：B
【分析】对 求导，在导函数中取 ，化简求出 的值，再取 ，即可求出 ．
9．【答案】C
【解析】【解答】取 ，则有 ，即 ，又因为 所以 ，所以 ，所以 .
故答案为：C
【分析】取 ，求得 ，进而求得 ，得到 ，代入即可求解.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，解得，
所以，函数开口向上，对称轴为，
因为，所以；
故答案为：C
【分析】求出函数的导函数，令，即可求出，从而得到的解析式，再根据二次函数的性质判断可得.
11．【答案】D
【解析】【解答】 ， 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则和复合函数的求导方法，进而求出函数 的导数 。
12．【答案】C
【解析】【解答】由题意 ，所以 ，得 .
故答案为：C.
【分析】求出导函数，赋值x=1，即可求解。
13．【答案】D
【解析】【解答】A选项，
，A选项错误.
B选项， ，B选项错误.
C选项，，C选项错误.
D选项，，D选项正确.
故答案为：D
【分析】对于A，代入解析式化简即可判断；对于B，由导数的四则运算即可判断；对于C，将x=-1，x=2代入解析式即可判断；对于D，由解析式化简即可判断。
14．【答案】C
【解析】【解答】 。
故答案为：C.
【分析】利用极限求导数的方法结合变形法，进而求出极限值。
15．【答案】C
【解析】【解答】 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复合函数求导的方法，进而求出函数 的导数。
16．【答案】B
【解析】【解答】由题知，净化费用的瞬时变化率应为 ， ， ， ，则 ，
故答案为：B
【分析】 根据题中给出的函数关系式，求出其导函数，利用瞬时变化率与导数的关系求出 ，即可得到比值.
17．【答案】D
【解析】【解答】依题意，的定义域为R，令，则，
即是奇函数，有，则，
又，且有，即是偶函数，，
所以.
故答案为：D
【分析】，是奇函数则有，又，是偶函数，，再计算的值即可．
18．【答案】C
【解析】【解答】 ，
，
，
，
，所以4为最小正周期，故
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合导数的公式，从而结合周期函数的定义，进而求出函数的最小正周期，再结合函数的周期性，从而求出的值。
19．【答案】A
【解析】【解答】因为，所以，定义域为R，
且，
所以为奇函数，所以排除BC选项，
又，
∴，所以排除D选项，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数的奇偶性，再结合x的取值范围结合函数求值域的方法得出函数 的部分图象。
20．【答案】D
【解析】【解答】由题可知：
所以
所以猜想可知：
由
所以
所以
故答案为：D
【分析】通过计算 ，可得 ，最后计算可得结果.
21．【答案】1
【解析】【解答】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：1
【分析】先求出函数的导数，再根据 ， 求得a的值。
22．【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】若，其定义域为，满足①；
，，所以，满足②；
，满足③.
故答案为：.
【分析】根据题目所给条件，从第二个条件f（x）与f（-x）的乘积为f（0）的平方入手，最容易联想到的是指数函数形式，再找到能满足第三个条件的式子。
23．【答案】-2
【解析】【解答】当 时， ，
则当 ， ，
所以
因为 为偶函数，
所以
所以
则
故答案为： .
【分析】根据 时的解析式，结合偶函数性质可求得 时的解析式.求得导函数，即可代入求得 的值.
24．【答案】-1；
【解析】【解答】若函数 为奇函数,则 ，
对任意的 恒成立.
若函数 是 上的增函数,则 恒成立, .
即实数 的取值范围是
【分析】首先由奇函数的定义得到关于 的恒等式，据此可得 的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
25．【答案】1
【解析】【解答】由题意，函数 ，可得 ，
因为 ，可得 ，即 ，解得 .
故答案为： .
【分析】先求导数，然后根据 ，列出方程，即可求解 的值，得到答案．
26．【答案】（1）解：因为
所以
（2）解：
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化简 ，再由求导公式求导即可。（2）由复合函数的求导公式即可求解。
27．【答案】解：
解：法一：y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′
=4x(3x-2)+(2x2+3)·3
=18x2-8x+9.
法二：因为y=(2x2+3)(3x-2)
=6x3-4x2+9x-6，
所以y′=18x2-8x+9.
【解析】【分析】（1）利用导数的除法法则求解；
（2）法一：利用导数的乘法法则求解；法二：转化为多项式函数，再利用导数的加法和减法求解.
28．【答案】（1）解：；
（2）解：，
；
（3）解：
.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的乘法和加法运算法则，进而得出函数的导函数。
（2）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和导数的加减法运算法则和复合函数求导方法，进而得出函数的导函数。
29．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的加法运算法则得出导函数。
（2）利用已知条件结合导数的乘法运算法则得出导函数。
（3）利用已知条件结合导数的乘法运算法则和复合函数的导数运算法则，进而得出导函数。
30．【答案】（1）解： ，
（2）解：
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则和复合函数求导方法，进而求出函数的导数。
（2）利用已知条件结合导数的运算法则，进而求出函数的导数。
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