高中数学人教A版（2019）选修二5.3导数在研究函数中的应用同步练习（答案＋解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选修二5.3导数在研究函数中的应用同步练习（答案＋解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 327.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-20 12:21:17 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
5.3导数在研究函数中的应用
一、单选题
1．（2019高二上·咸阳月考）已知函数 ，若任意的 ，存在 ，使得 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020高二下·成都期末）已知 是定义在R上的函数，其导函数为 ，若 ， ，则不等式 (其中e为自然对数的底数)的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021高二下·浙江期中）已知的切线斜率等于，则切点坐标是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．（2021·湖南模拟）已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020高二下·池州期末）已知不等式 对任意 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高二下·赤峰期末）若函数 存在极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·平谷期末）函数在上的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二下·横峰月考）函数 的定义域为 为 的导函数，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·雅安模拟）定义在R上的偶函数的导函数为，且当时，．则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2019高二下·青冈期末） 在 上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·岳阳模拟）已知定义在上的函数满足，且时，上恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
13．（2019高三上·上高月考）函数 ，则使得 成立的 取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2019高三上·宜昌月考）函数 的零点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2020高三上·福州期中）设 则下列判断中正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2020高二下·吉林月考）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
17．（2019高二下·哈尔滨月考）设函数 ，若 是函数 是极大值点，则函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2019高二下·哈尔滨月考）函数 ， 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
20．（2020高二下·营口期中）已知函数 ，若任意给定的 ，总存在两个不同的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
21．（2019高二下·鹤岗期末）已知函数 ， .
（1）若函数 与 的图像上存在关于原点对称的点，求实数 的取值范围；
（2）设 ，已知 在 上存在两个极值点 ，且 ，求证： （其中 为自然对数的底数）.
22．（2021高二下·中山期末）已知函数 .
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）若函数 的图象与 轴有且只有一个交点，求 的取值范围.
23．（2022高二下·抚州期中）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
24．（2021高二下·淮安期中）在①的一个极值点为0，②为奇函数，③若曲线在点处的切线与直线垂直这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题.
已知函数，且_________，求在上的最大值与最小值.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.
25．（2020高三上·天津期末）已知函数 为自然对数的底数）.
（1）当 时，求曲线 在点 ， 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性；
（3）当 时，证明 .
26．（2021高二下·河北期末）已知函数 在 处取得极大值．
（1）求 ；
（2）求经过点 且与曲线 相切的直线斜率．
27．（2022高二下·连云期末）已知函数．
（1）求的最小值；
（2）设，若有且仅有两个实根，证明：．
28．（2023·石景山模拟）已知函数.
（1）当时，
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求证：，.
（2）若在上恰有一个极值点，求的取值范围.
29．（2022·济宁模拟）已知函数.
（1）若函数在上有极值，求在上所有极值的和；
（2）若对任意恒成立，求正实数a的取值集合.
30．（2021高二下·荔湾期末）已知函数 ．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当x＞0时， 恒成立，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】由于 是单调递减函数，故 是单调递减函数，
由于 ，故 的最小值为 ，
对 求导得 ，
令 ，可得 ，且 时， 为增函数，
故 的最小值为 ，
要使得 ，则有 ，解得 .
故答案为：A
【分析】利用指数函数的的单调性求出 是单调递减函数，利用导数判断 为增函数，再根据题意 的最小值大于等于 的最小值即可求解.
2．【答案】B
【解析】【解答】由题知：构造函数 ，
则 ，
故函数 在 上单调递增，
又因为 ，
所以当且仅当 时， 成立，
即 ，即 ，
因此不等式 的解集为 .
故答案为：B
【分析】首先构造函数 ，利用导数得到 在 上单调递增，再根据 得到 ，再化简即可得到答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】 ，则 ，由 可得 ，
因此， ， ，故所求切点的坐标为 或 .
故答案为：B.
【分析】求出 的导函数，利用导函数的值为-4，即可求得切点的横坐标，代入求得切点的纵坐标，即得切点坐标.
4．【答案】D
【解析】【解答】因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以函数
的图像关于点
中心对称，且
，
当
时，
，
则
，当且仅当
时取等号，
故
，函数
在
上单调递增，
因为函数
的图像关于点
中心对称，
所以函数
在
上单调递增，
不等式
可化为
或
，
，即
，解得
，
，即
，解得
，
故不等式的解集为
，
故答案为：D.
【分析】根据题意得出函数
的图像关于点
中心对称，且
，然后根据基本不等式得出
，则函数
在
上单调递增，最后将不等式
可化为
或
，通过计算即可求出答案。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：由 得 ，令 ，则 ，于是等价转化为 对于一切实数恒成立，设 ，则 ，所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】根据题意分离参数得到，再令 构造函数，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值由此得出从而求出a的取值范围。
6．【答案】A
【解析】【解答】若函数 存在极值点，
则 有解，
若 ，则 ， 为减函数，无极值点；
若 ，由 可得： ，
当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
故 为极小值点.
故答案为：A.
【分析】 先求导数，根据题意f′（x）=0在（-∞，+∞）上有根，得到y=a与在（-∞，+∞）有交点，进而得出答案．
7．【答案】C
【解析】【解答】对于函数，，
因为，当时，，当时，，当时，，
所以在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，在[，π]是增函数．
因此，函数在上的极小值点为.
故答案为：C.
【分析】 分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知 在 单调递增，又 ， 时， ； 时， ；
对于 ，当 时，不等式成立，
当 时， ，不等式不成立；
当 时， ，且 ，
不等式成立不等式的解集
故答案为：A.
【分析】 根据函数的单调性以及f(1)=0,求出x>1时，f(x)>0,x<1时，f(x)<0,再分类讨论分别计算取并集即可．
9．【答案】D
【解析】【解答】令，因为是偶函数，所以为偶函数，
当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
则，即，则，A不符合题意；
，即，B不符合题意；
，即，C不符合题意；
，即，则，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】构造函数，易得为偶函数，求导可得进而得到在单调递减，在单调递增，结合函数的单调性，逐项判断即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】因为函数 在 连续可导且单调递增，
所以 在 恒成立，
分离参数得 恒成立，即 ，
故答案为：D．
【分析】利用函数 在 连续可导且单调递增，可得导函数在 大于等于0恒成立即可得到a的取值范围．
11．【答案】B
【解析】【解答】由题得，
令，则为偶函数
时，，则，则递增
由得：
，即，
则，所以.
故答案为：B.
【分析】 结合已知不等式可构造函数，结合单调性及奇偶性即可求解可得答案.
12．【答案】C
【解析】【解答】 ，今 ，即 ，
原函数的单调递增区间是 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调递增区间。
13．【答案】B
【解析】【解答】由题意知函数的定义域为 ，
当 时， ，
∴ 在 上单调递减，
∵
∴ 是偶函数，
∴ 在 上单调递增．
∵ ，
∴ ，
两边平方后化简得 且 且 ，
解得 或 ，
故使不等式成立 的取值范围是 ．
故答案为：B．
【分析】先求出函数的定义域，然后根据函数单调性的性质，可能判断出函数在 时的单调性，再判断函数的奇偶性，运用函数的奇偶性的性质，以及函数在 时的单调性，可以把 ，转化为自变量之间的大小关系，进而求出 的取值范围.
14．【答案】B
【解析】【解答】依题意 ，故 是函数 的零点.构造函数 ，注意到 ，且 ，所以 在 上递增，只有唯一零点 .所以 有两个零点 或 .
故答案为：B.
【分析】将函数 因式分解.利用导数求得函数 的单调区间，判断出函数 零点个数.由此判断出 零点个数.
15．【答案】B
【解析】【解答】设 ，所以 ，令 ，所以 ，
所以 时， ， 单调递增； ， ， 单调递减，
因为 ，且 ，所以 ，
故答案为：B.
【分析】构造函数 ，利用导数分析 的单调性，从而判断出 的大小关系.
16．【答案】C
【解析】【解答】函数 的定义域为； ，
，
当 时，函数单调递增，解得 ，
所以函数 的单调递增区间是 .
故答案为：C
【分析】先求出函数的定义域，然后求导，求出导函数大于零时不等式的解集即可.
17．【答案】A
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∵ 是函数的极大值点，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；
∴当 时， 有极小值，且极小值为 ．
故答案为：A．
【分析】根据函数 的极大值点为 求出参数 的值，然后再根据函数的单调性求出函数的极小值即可．
18．【答案】A
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，易得当 时， 恒成立，所以 在闭区间 内单调递减，故当 时， 取最大值，即 ，
故答案为：A。
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用函数的极值求出函数在给定区间的最大值。
19．【答案】D
【解析】【解答】显然，定义域为R，由可知函数为偶函数，又当时，，有，
可知函数的减区间为，增区间为，又由，
，由，可得．
故答案为：D.
【分析】先判断出为偶函数，再求导确定单调性，借助指数、对数运算比较，，的大小，再由单调性即可求解.
20．【答案】A
【解析】【解答】 .
当 时， ，显然不满足题意；
当 时，函数 的变化情况如下表所示
0 1 2
0 - 0 +
1 极小值
又 时， 在 上是减函数，
且对任意 的值域为 ，
此时当 时，函数 上不存在两个 使得 成立，∴不合题意；
当 时，函数 的变化情况如下表所示
0 1 2
0 + 0 -
1 极大值
在 的最大值为 .
又 时， 在 上是增函数，且对任意 .
由题意可知 .
综上，实数 的取值范围是 .
故答案为：A.
【分析】根据题意对函数求导然后对a分情况讨论即可得出函数f(x)以及g(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的值域，由此即可得出恒成立时实数a的取值范围。
21．【答案】（1）解：函数 与 的图像上存在关于原点对称的点
即 的图像与函数 的图像有交点
即 在 有解，即 在 上有解
设 ， ，则
当 时， 为减函数；当 时， 为增函数
，即
（2）解： ，
在 上存在两个极值点 ，且
且
，即
设 ，则
要证 ，即证
只需证明 ，即证明
设 ，则
则 在 上单调递增，
即
【解析】【分析】（1）将问题转化为 在 有解，即 在 上有解，通过求解 的最小值得到 ；（2）通过极值点为 可求得 ，通过构造函数的方式可得： ；通过求证 可证得 ，进而可证得结论.
22．【答案】（1）解：当 时， ，
所以
令 得 或 ，
所以 的变化如表：
-1 3
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当 时，函数取得极大值 ，
当 时，函数取得极小值 .
（2）因为 ，所以 ，
当 ，即 时，函数 恒成立， 在 上单调递增，
因为 ，
所以函数 的图象与 轴有且只有一个交点；
当 ，即 时， 有两个不等的实数根，不妨设 ，且 ，
所以 ，
所以当 变化时， 的变化如表
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
因为 ，所以 ，
所以 ，
同理得 ，
所以
，
故令 得 ，
所以当 时，
所以当 时，函数 的图象与 轴有且只有一个交点；
综上所述， 的取值范围是
【解析】【分析】 (1)由a=-3得到f (x)的解析式，求出导函数等于0时x的值，讨论函数的增减性得到函数的极值；
(2)求出导函数，利用导函数根的判别式讨论导函数=0方程的解的情况得到关于a的不等式，因为图象与x轴有且只有一个交点，①根的判别式小于等于0，f' (x) ≥0在R上恒成立，f(x)在R上单调递增， ；②根的判别式大于0时由 得到求出a的解集可.
23．【答案】（1）解：当时，，
所以，
可知在R上单调递增，且，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增．
即的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）解：由题得对任意恒成立，
所以，
当时，则，原不等式成立，则；
当时，则，
令，其中，
则，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以，
所以，所以只需，解得，
综上，实数a的取值范围是．
【解析】【分析】(1)求得f (x)的导数，判断导数的单调性以及零点，可得 的单调区间；
(2)首先判断x=1时不等式成立，再由参数分离和构造新函数判断单调性和最值，可求得实数a的取值范围．
24．【答案】解：选择①：因为．所以，故，．，令．得．
当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．
因为．所以的最小值为．
选择②：因为，所以，因为为奇函数，
所以由，可得．，，
令．得．当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．因为．
所以的最小值为．
选择③：所以，故，，，令．得．当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．因为．所以的最小值为．
【解析】【分析】 选择① ，首先对函数求导，由导函数的几何性质即可求出切线的斜率，把数值代入计算出x的取值，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值。
选择②： 首先由已知条件结合奇函数的性质即可求出函数的解析式，然后再对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值； 选择③：首先对函数求导，由导函数的几何性质即可求出切线的斜率，把数值代入计算出x的取值，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值。
25．【答案】（1）解：当 时， .
所以 ，
所以 ，又 .
所以曲线在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）解：易得 （ ）.
①当 时， ，此时 在 上单调递增；
②当 时，令 ，得 .
则当 时， ，此时 在 上单调递增；
当 时， ，此时 在 上单调递减.
综上所述，当 时，函数 在区间 上单调递增；
当 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
（3）解：由（2）知，当 时， 在 处取得最大值，
即
，
则 等价于 ，即 ，
即 .（※）
令 ，则 .不妨设 （ ），
所以 （ ）.
从而，当 时， ；当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递增；在区间 上单调递减.
故当 时 .
所以当 时，总有 .
即当 时，不等式（※）总成立，
故当 时， 成立.
【解析】【分析】（1）当 时， ，利用导数的几何意义求得切线方程；（2）对函数进行求导得 ，对 分 和 两种情况进行分类讨论，研究导数值的正负，从而得到函数的单调区间；（3）证明不等式 成立等价于证明 成立，再构造函数进行证明.
26．【答案】（1）解：由题意可知 ， ．
令 ，得 或 ．
当 时， ，则 ，得 ，
所以 ，所以当 时 ， 时 ，
即 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ，
当 时 取得极大值，满足题意；
当 时， ，显然不合题意．故 ．
（2）由（1）知 ，则 ， ．
设切点为 ，则 ，
所以切线方程为 ，
将点 代入，得 ，所以 ，或 ．
因为 ， ，
所以经过点 且与曲线 相切的直线斜率为6或 ．
【解析】【分析】（1） 由题意可知 ， 求出函数的导函数，令 即可求出参数的值，判断函数的单调性进行检验即可求出a；
（2） 由（1）知 ，求出函数的导函数， 设切点为 ，表示出切线方程，然后将点 代入切线方程，求出x0即可得解。
27．【答案】（1）解：的定义域为．，
令，即，解得，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
故是在的唯一最小值点．
所以．
（2）证明：，定义域为，
因为．所以在单调递增，
又，，故存在，使得．
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
因为有且仅有两个实根，所以，
又，，且
所以，故．
又
又在单调递减，故是在的唯一根，
故．所以．
【解析】【分析】(1)求导得f' (x)，分析f' (x)的正负，进而可得f (x)的单调性，即可求出 的最小值；
(2)根据题意可得 ， 求导分析单调性，又F'(1)<0，F' (2)>0， 推出F(x)存在唯一x0，使得 ，根据导数符号可得F(x)的单调性，极小值，又 ，又f (x)有且仅有两个零点，则 ，即可证得 ．
28．【答案】（1）解：当时，
（ⅰ） ，又，所以切线方程为.
（ⅱ），，因为，所以，
所以，所以
所以在单调递增，所以；
（2）解：，
当时，所以，
，
由（1）知，，
所以在上单调递增.
所以当时，没有极值点，
当时，，
因为与在单调递增.
所以在单调递增.
所以，.
所以使得.
所以当时，，因此在区间上单调递减，
当时，，因此在区间上单调递增.
故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.
【解析】【分析】（1） （ⅰ）当m= 1时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程； （ⅱ）根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数f (x)的最值，即可证明结论；
( 2 )根据极值点与函数的关系，对m进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得m的取值范围.
29．【答案】（1）解：，
当时，，在上单调递增，无极值.
当时，，在上单调递减，无极值.
当时，在上有2个实根，设其为，且.
当时，；当时，.
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增.
所以为的极大值，为的极小值.
由正弦函数的对称性可知，所以在上的所有极值的和为
（2）解：即.
设，，
则，设
.
当时，，所以在R上单调递增.
又，，所以，使得，
所以，当时，，单调递减：
当时，，单调递增.
所以，，不合题意.
当a=1时，，所以在R上单调递增.
又，
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，，符合题意.
当时，因为函数在上都为增函数，
所以在上单调递增.
又，所以，
所以在上单调递增.
又，，
所以，使得，所以，当时，，单调递增.
所以，，不合题意.
综上，正实数a的取值集合是{1}
【解析】【分析】（1）求导，通过导数的符号来判断函数的单调性，求出 在上的极值，进而求出在上所有极值的和；
（2）由 得，设，， 求导可得函数的单调性，进而求出正实数a的取值集合.
30．【答案】（1）f′（x）＝ex﹣a+1，
由于ex＞0，
所以当﹣a+1≥0，即a≤1时，f′（x）＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立，
所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，
当﹣a+1＜0，即a＞1时，
在（ln（a﹣1），+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（﹣∞，ln（a﹣1））上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
（2）因为当x＞0时，f（x）≥x2+1恒成立，
所以当x＞0时，ex﹣ax+x≥x2+1恒成立，
所以当x＞0时，a≤ 恒成立，
令g（x）＝ ，
g′（x）＝
令h（x）＝ex﹣x﹣1，
h′（x）＝ex﹣1，
当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）≥h（0）＝0，
所以当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）min＝g（1）＝e﹣1，
所以a≤e﹣1，
A的取值范围（﹣∞，e﹣1]．
【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，再由导函数的性质得出函数的单调性即可。
(2)首先结合x的取值范围即可得出 当x＞0时，a≤ 恒成立，构造函数g(x)结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，从而得到a的取值范围即可。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
5.3导数在研究函数中的应用
一、单选题
1．（2019高二上·咸阳月考）已知函数 ，若任意的 ，存在 ，使得 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020高二下·成都期末）已知 是定义在R上的函数，其导函数为 ，若 ， ，则不等式 (其中e为自然对数的底数)的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021高二下·浙江期中）已知的切线斜率等于，则切点坐标是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．（2021·湖南模拟）已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020高二下·池州期末）已知不等式 对任意 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高二下·赤峰期末）若函数 存在极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·平谷期末）函数在上的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二下·横峰月考）函数 的定义域为 为 的导函数，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·雅安模拟）定义在R上的偶函数的导函数为，且当时，．则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2019高二下·青冈期末） 在 上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·岳阳模拟）已知定义在上的函数满足，且时，上恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
13．（2019高三上·上高月考）函数 ，则使得 成立的 取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2019高三上·宜昌月考）函数 的零点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2020高三上·福州期中）设 则下列判断中正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2020高二下·吉林月考）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
17．（2019高二下·哈尔滨月考）设函数 ，若 是函数 是极大值点，则函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2019高二下·哈尔滨月考）函数 ， 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
20．（2020高二下·营口期中）已知函数 ，若任意给定的 ，总存在两个不同的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
21．（2019高二下·鹤岗期末）已知函数 ， .
（1）若函数 与 的图像上存在关于原点对称的点，求实数 的取值范围；
（2）设 ，已知 在 上存在两个极值点 ，且 ，求证： （其中 为自然对数的底数）.
22．（2021高二下·中山期末）已知函数 .
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）若函数 的图象与 轴有且只有一个交点，求 的取值范围.
23．（2022高二下·抚州期中）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
24．（2021高二下·淮安期中）在①的一个极值点为0，②为奇函数，③若曲线在点处的切线与直线垂直这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题.
已知函数，且_________，求在上的最大值与最小值.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.
25．（2020高三上·天津期末）已知函数 为自然对数的底数）.
（1）当 时，求曲线 在点 ， 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性；
（3）当 时，证明 .
26．（2021高二下·河北期末）已知函数 在 处取得极大值．
（1）求 ；
（2）求经过点 且与曲线 相切的直线斜率．
27．（2022高二下·连云期末）已知函数．
（1）求的最小值；
（2）设，若有且仅有两个实根，证明：．
28．（2023·石景山模拟）已知函数.
（1）当时，
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求证：，.
（2）若在上恰有一个极值点，求的取值范围.
29．（2022·济宁模拟）已知函数.
（1）若函数在上有极值，求在上所有极值的和；
（2）若对任意恒成立，求正实数a的取值集合.
30．（2021高二下·荔湾期末）已知函数 ．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当x＞0时， 恒成立，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】由于 是单调递减函数，故 是单调递减函数，
由于 ，故 的最小值为 ，
对 求导得 ，
令 ，可得 ，且 时， 为增函数，
故 的最小值为 ，
要使得 ，则有 ，解得 .
故答案为：A
【分析】利用指数函数的的单调性求出 是单调递减函数，利用导数判断 为增函数，再根据题意 的最小值大于等于 的最小值即可求解.
2．【答案】B
【解析】【解答】由题知：构造函数 ，
则 ，
故函数 在 上单调递增，
又因为 ，
所以当且仅当 时， 成立，
即 ，即 ，
因此不等式 的解集为 .
故答案为：B
【分析】首先构造函数 ，利用导数得到 在 上单调递增，再根据 得到 ，再化简即可得到答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】 ，则 ，由 可得 ，
因此， ， ，故所求切点的坐标为 或 .
故答案为：B.
【分析】求出 的导函数，利用导函数的值为-4，即可求得切点的横坐标，代入求得切点的纵坐标，即得切点坐标.
4．【答案】D
【解析】【解答】因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以函数
的图像关于点
中心对称，且
，
当
时，
，
则
，当且仅当
时取等号，
故
，函数
在
上单调递增，
因为函数
的图像关于点
中心对称，
所以函数
在
上单调递增，
不等式
可化为
或
，
，即
，解得
，
，即
，解得
，
故不等式的解集为
，
故答案为：D.
【分析】根据题意得出函数
的图像关于点
中心对称，且
，然后根据基本不等式得出
，则函数
在
上单调递增，最后将不等式
可化为
或
，通过计算即可求出答案。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：由 得 ，令 ，则 ，于是等价转化为 对于一切实数恒成立，设 ，则 ，所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】根据题意分离参数得到，再令 构造函数，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值由此得出从而求出a的取值范围。
6．【答案】A
【解析】【解答】若函数 存在极值点，
则 有解，
若 ，则 ， 为减函数，无极值点；
若 ，由 可得： ，
当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
故 为极小值点.
故答案为：A.
【分析】 先求导数，根据题意f′（x）=0在（-∞，+∞）上有根，得到y=a与在（-∞，+∞）有交点，进而得出答案．
7．【答案】C
【解析】【解答】对于函数，，
因为，当时，，当时，，当时，，
所以在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，在[，π]是增函数．
因此，函数在上的极小值点为.
故答案为：C.
【分析】 分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知 在 单调递增，又 ， 时， ； 时， ；
对于 ，当 时，不等式成立，
当 时， ，不等式不成立；
当 时， ，且 ，
不等式成立不等式的解集
故答案为：A.
【分析】 根据函数的单调性以及f(1)=0,求出x>1时，f(x)>0,x<1时，f(x)<0,再分类讨论分别计算取并集即可．
9．【答案】D
【解析】【解答】令，因为是偶函数，所以为偶函数，
当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
则，即，则，A不符合题意；
，即，B不符合题意；
，即，C不符合题意；
，即，则，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】构造函数，易得为偶函数，求导可得进而得到在单调递减，在单调递增，结合函数的单调性，逐项判断即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】因为函数 在 连续可导且单调递增，
所以 在 恒成立，
分离参数得 恒成立，即 ，
故答案为：D．
【分析】利用函数 在 连续可导且单调递增，可得导函数在 大于等于0恒成立即可得到a的取值范围．
11．【答案】B
【解析】【解答】由题得，
令，则为偶函数
时，，则，则递增
由得：
，即，
则，所以.
故答案为：B.
【分析】 结合已知不等式可构造函数，结合单调性及奇偶性即可求解可得答案.
12．【答案】C
【解析】【解答】 ，今 ，即 ，
原函数的单调递增区间是 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调递增区间。
13．【答案】B
【解析】【解答】由题意知函数的定义域为 ，
当 时， ，
∴ 在 上单调递减，
∵
∴ 是偶函数，
∴ 在 上单调递增．
∵ ，
∴ ，
两边平方后化简得 且 且 ，
解得 或 ，
故使不等式成立 的取值范围是 ．
故答案为：B．
【分析】先求出函数的定义域，然后根据函数单调性的性质，可能判断出函数在 时的单调性，再判断函数的奇偶性，运用函数的奇偶性的性质，以及函数在 时的单调性，可以把 ，转化为自变量之间的大小关系，进而求出 的取值范围.
14．【答案】B
【解析】【解答】依题意 ，故 是函数 的零点.构造函数 ，注意到 ，且 ，所以 在 上递增，只有唯一零点 .所以 有两个零点 或 .
故答案为：B.
【分析】将函数 因式分解.利用导数求得函数 的单调区间，判断出函数 零点个数.由此判断出 零点个数.
15．【答案】B
【解析】【解答】设 ，所以 ，令 ，所以 ，
所以 时， ， 单调递增； ， ， 单调递减，
因为 ，且 ，所以 ，
故答案为：B.
【分析】构造函数 ，利用导数分析 的单调性，从而判断出 的大小关系.
16．【答案】C
【解析】【解答】函数 的定义域为； ，
，
当 时，函数单调递增，解得 ，
所以函数 的单调递增区间是 .
故答案为：C
【分析】先求出函数的定义域，然后求导，求出导函数大于零时不等式的解集即可.
17．【答案】A
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∵ 是函数的极大值点，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；
∴当 时， 有极小值，且极小值为 ．
故答案为：A．
【分析】根据函数 的极大值点为 求出参数 的值，然后再根据函数的单调性求出函数的极小值即可．
18．【答案】A
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，易得当 时， 恒成立，所以 在闭区间 内单调递减，故当 时， 取最大值，即 ，
故答案为：A。
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用函数的极值求出函数在给定区间的最大值。
19．【答案】D
【解析】【解答】显然，定义域为R，由可知函数为偶函数，又当时，，有，
可知函数的减区间为，增区间为，又由，
，由，可得．
故答案为：D.
【分析】先判断出为偶函数，再求导确定单调性，借助指数、对数运算比较，，的大小，再由单调性即可求解.
20．【答案】A
【解析】【解答】 .
当 时， ，显然不满足题意；
当 时，函数 的变化情况如下表所示
0 1 2
0 - 0 +
1 极小值
又 时， 在 上是减函数，
且对任意 的值域为 ，
此时当 时，函数 上不存在两个 使得 成立，∴不合题意；
当 时，函数 的变化情况如下表所示
0 1 2
0 + 0 -
1 极大值
在 的最大值为 .
又 时， 在 上是增函数，且对任意 .
由题意可知 .
综上，实数 的取值范围是 .
故答案为：A.
【分析】根据题意对函数求导然后对a分情况讨论即可得出函数f(x)以及g(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的值域，由此即可得出恒成立时实数a的取值范围。
21．【答案】（1）解：函数 与 的图像上存在关于原点对称的点
即 的图像与函数 的图像有交点
即 在 有解，即 在 上有解
设 ， ，则
当 时， 为减函数；当 时， 为增函数
，即
（2）解： ，
在 上存在两个极值点 ，且
且
，即
设 ，则
要证 ，即证
只需证明 ，即证明
设 ，则
则 在 上单调递增，
即
【解析】【分析】（1）将问题转化为 在 有解，即 在 上有解，通过求解 的最小值得到 ；（2）通过极值点为 可求得 ，通过构造函数的方式可得： ；通过求证 可证得 ，进而可证得结论.
22．【答案】（1）解：当 时， ，
所以
令 得 或 ，
所以 的变化如表：
-1 3
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当 时，函数取得极大值 ，
当 时，函数取得极小值 .
（2）因为 ，所以 ，
当 ，即 时，函数 恒成立， 在 上单调递增，
因为 ，
所以函数 的图象与 轴有且只有一个交点；
当 ，即 时， 有两个不等的实数根，不妨设 ，且 ，
所以 ，
所以当 变化时， 的变化如表
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
因为 ，所以 ，
所以 ，
同理得 ，
所以
，
故令 得 ，
所以当 时，
所以当 时，函数 的图象与 轴有且只有一个交点；
综上所述， 的取值范围是
【解析】【分析】 (1)由a=-3得到f (x)的解析式，求出导函数等于0时x的值，讨论函数的增减性得到函数的极值；
(2)求出导函数，利用导函数根的判别式讨论导函数=0方程的解的情况得到关于a的不等式，因为图象与x轴有且只有一个交点，①根的判别式小于等于0，f' (x) ≥0在R上恒成立，f(x)在R上单调递增， ；②根的判别式大于0时由 得到求出a的解集可.
23．【答案】（1）解：当时，，
所以，
可知在R上单调递增，且，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增．
即的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）解：由题得对任意恒成立，
所以，
当时，则，原不等式成立，则；
当时，则，
令，其中，
则，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以，
所以，所以只需，解得，
综上，实数a的取值范围是．
【解析】【分析】(1)求得f (x)的导数，判断导数的单调性以及零点，可得 的单调区间；
(2)首先判断x=1时不等式成立，再由参数分离和构造新函数判断单调性和最值，可求得实数a的取值范围．
24．【答案】解：选择①：因为．所以，故，．，令．得．
当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．
因为．所以的最小值为．
选择②：因为，所以，因为为奇函数，
所以由，可得．，，
令．得．当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．因为．
所以的最小值为．
选择③：所以，故，，，令．得．当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．因为．所以的最小值为．
【解析】【分析】 选择① ，首先对函数求导，由导函数的几何性质即可求出切线的斜率，把数值代入计算出x的取值，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值。
选择②： 首先由已知条件结合奇函数的性质即可求出函数的解析式，然后再对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值； 选择③：首先对函数求导，由导函数的几何性质即可求出切线的斜率，把数值代入计算出x的取值，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值。
25．【答案】（1）解：当 时， .
所以 ，
所以 ，又 .
所以曲线在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）解：易得 （ ）.
①当 时， ，此时 在 上单调递增；
②当 时，令 ，得 .
则当 时， ，此时 在 上单调递增；
当 时， ，此时 在 上单调递减.
综上所述，当 时，函数 在区间 上单调递增；
当 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
（3）解：由（2）知，当 时， 在 处取得最大值，
即
，
则 等价于 ，即 ，
即 .（※）
令 ，则 .不妨设 （ ），
所以 （ ）.
从而，当 时， ；当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递增；在区间 上单调递减.
故当 时 .
所以当 时，总有 .
即当 时，不等式（※）总成立，
故当 时， 成立.
【解析】【分析】（1）当 时， ，利用导数的几何意义求得切线方程；（2）对函数进行求导得 ，对 分 和 两种情况进行分类讨论，研究导数值的正负，从而得到函数的单调区间；（3）证明不等式 成立等价于证明 成立，再构造函数进行证明.
26．【答案】（1）解：由题意可知 ， ．
令 ，得 或 ．
当 时， ，则 ，得 ，
所以 ，所以当 时 ， 时 ，
即 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ，
当 时 取得极大值，满足题意；
当 时， ，显然不合题意．故 ．
（2）由（1）知 ，则 ， ．
设切点为 ，则 ，
所以切线方程为 ，
将点 代入，得 ，所以 ，或 ．
因为 ， ，
所以经过点 且与曲线 相切的直线斜率为6或 ．
【解析】【分析】（1） 由题意可知 ， 求出函数的导函数，令 即可求出参数的值，判断函数的单调性进行检验即可求出a；
（2） 由（1）知 ，求出函数的导函数， 设切点为 ，表示出切线方程，然后将点 代入切线方程，求出x0即可得解。
27．【答案】（1）解：的定义域为．，
令，即，解得，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
故是在的唯一最小值点．
所以．
（2）证明：，定义域为，
因为．所以在单调递增，
又，，故存在，使得．
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
因为有且仅有两个实根，所以，
又，，且
所以，故．
又
又在单调递减，故是在的唯一根，
故．所以．
【解析】【分析】(1)求导得f' (x)，分析f' (x)的正负，进而可得f (x)的单调性，即可求出 的最小值；
(2)根据题意可得 ， 求导分析单调性，又F'(1)<0，F' (2)>0， 推出F(x)存在唯一x0，使得 ，根据导数符号可得F(x)的单调性，极小值，又 ，又f (x)有且仅有两个零点，则 ，即可证得 ．
28．【答案】（1）解：当时，
（ⅰ） ，又，所以切线方程为.
（ⅱ），，因为，所以，
所以，所以
所以在单调递增，所以；
（2）解：，
当时，所以，
，
由（1）知，，
所以在上单调递增.
所以当时，没有极值点，
当时，，
因为与在单调递增.
所以在单调递增.
所以，.
所以使得.
所以当时，，因此在区间上单调递减，
当时，，因此在区间上单调递增.
故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.
【解析】【分析】（1） （ⅰ）当m= 1时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程； （ⅱ）根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数f (x)的最值，即可证明结论；
( 2 )根据极值点与函数的关系，对m进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得m的取值范围.
29．【答案】（1）解：，
当时，，在上单调递增，无极值.
当时，，在上单调递减，无极值.
当时，在上有2个实根，设其为，且.
当时，；当时，.
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增.
所以为的极大值，为的极小值.
由正弦函数的对称性可知，所以在上的所有极值的和为
（2）解：即.
设，，
则，设
.
当时，，所以在R上单调递增.
又，，所以，使得，
所以，当时，，单调递减：
当时，，单调递增.
所以，，不合题意.
当a=1时，，所以在R上单调递增.
又，
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，，符合题意.
当时，因为函数在上都为增函数，
所以在上单调递增.
又，所以，
所以在上单调递增.
又，，
所以，使得，所以，当时，，单调递增.
所以，，不合题意.
综上，正实数a的取值集合是{1}
【解析】【分析】（1）求导，通过导数的符号来判断函数的单调性，求出 在上的极值，进而求出在上所有极值的和；
（2）由 得，设，， 求导可得函数的单调性，进而求出正实数a的取值集合.
30．【答案】（1）f′（x）＝ex﹣a+1，
由于ex＞0，
所以当﹣a+1≥0，即a≤1时，f′（x）＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立，
所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，
当﹣a+1＜0，即a＞1时，
在（ln（a﹣1），+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（﹣∞，ln（a﹣1））上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
（2）因为当x＞0时，f（x）≥x2+1恒成立，
所以当x＞0时，ex﹣ax+x≥x2+1恒成立，
所以当x＞0时，a≤ 恒成立，
令g（x）＝ ，
g′（x）＝
令h（x）＝ex﹣x﹣1，
h′（x）＝ex﹣1，
当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）≥h（0）＝0，
所以当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）min＝g（1）＝e﹣1，
所以a≤e﹣1，
A的取值范围（﹣∞，e﹣1]．
【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，再由导函数的性质得出函数的单调性即可。
(2)首先结合x的取值范围即可得出 当x＞0时，a≤ 恒成立，构造函数g(x)结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，从而得到a的取值范围即可。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)