高中数学人教A版（2019）选修二第五章一元函数的导数及其应用 章节综合测试卷（答案＋解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选修二第五章一元函数的导数及其应用 章节综合测试卷（答案＋解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 337.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-20 12:22:15 | ||
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文档简介
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第五章一元函数的导数及其应用综合卷
一、单选题
1．（2023高三上·南宁期末）已知、、，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2019高二上·武威期末）函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间是（ ）
A．(－∞，－1)，(0，1) B．(－1，0)，(1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
3．（2023·内江模拟）已知函数和有相同的极大值，则（ ）
A．2 B．0 C．-3 D．-1
4．（2019高二下·吉林期末）已知函数 ， ，当 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若 是函数 的极值点，则方程 在 上的不同实根个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
6．（2020高二上·长沙期末）函数 的极大值为 （ ）
A． B． C．1 D．0
7．（2020高二下·赣州期末）函数 是定义在区间 上的可导函数，其导函数 ，且满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·肥东模拟）函数 的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019高二下·江门月考）曲线 在点 处的切线平行与直线 ，则点 的坐标为（ ）．
A． B．
C． D． 或
10．（2020高二下·广州期末）设函数 的图象与y轴相交于点Q，则曲线 在点Q处的切线方程（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高二下·南阳月考）函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二下·深圳月考）已知上函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
13．（2020高三上·安徽开学考）若曲线 在点 处的切线过点 ，则函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D． ，
14．（2020高二下·上饶期末）已知P与Q分别为函数 与函数 的图象上一点，则线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
15．（2022高二下·凉州期中）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是 （ ）
A． B． C． D．
16．（2019高三上·维吾尔自治月考）已知 是函数 的导函数，且对任意的实数 都有 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2020高二下·辽阳期末）已知函数 的定义域为 ，且 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
18．（2022·沧州模拟）已知且，且，且，则（ ）
A． B．
C． D．
19．函数 在 内有最小值，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
20．（2019高二下·临海月考）函数 的图象与直线 相切，则a等于（ ）
A． B． C． D．1
二、解答题
21．（2021高二下·讷河月考）利用导数的定义，求 在 处的导数.
22．（2023高二下·花都期中）某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为万元，可获得的加工费为万元，其中．
（1）若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额单位：万元应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为其中为产品订单的金额，试问在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．
23．（2022·湖南模拟）已知函数
（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
（2）若，求的取值范围.
24．（2022·天津市模拟）已知，
（1）求在处的切线方程以及的单调性；
（2）对，有恒成立，求的最大整数解；
（3）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.
25．（2022高二下·海淀会考）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．
26．（2019高三上·扬州月考）已知函数 （ 是自然对数的底数）
（1）若直线 为曲线 的一条切线，求实数 的值；
（2）若函数 在区间 上为单调函数，求实数 的取值范围；
（3）设 ，若 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数 的取值范围.
27．（2020·安徽模拟）已知函数 .
（1）当 时，求函数 的最大值；
（2）若函数 存在两个极值点 ， ，求证： .
28．（2022高二下·鄠邑期末）已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
29．（2021高二下·江西月考）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的零点个数.
30．（2020高三上·营口月考）已知函数 满足 ， ， .
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调区间；
（3）当 且 时，求证： .
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】因为、、，由可得，由可得，
由可得，
构造函数，其中，则，
当时，；当时，.
所以，函数的增区间为，减区间为，
因为，所以，，即，即，
因为、、，则、、，所以，，
因此，.
故答案为：A.
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数f(x)的单调性，由题中条件可得出f(ea)=f(9)，f(eb)=f(8)，f(e2)=f(ec)，再利用函数f(x)的单调性可得出f(ea)、f(eb)、f(ec)的大小，再结合函数f(x)在(e，+∞)上的单调性及指数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.
2．【答案】A
【解析】【解答】y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0，得单调递减区间为(－∞，－1)，(0，1).
故答案为：A.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。
3．【答案】B
【解析】【解答】，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，
又，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，
依据题意，和有相同的极大值，
故，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】 利用导数法求得f (x)和g (x)的极大值，然后根据f (x)与g (x)有相同的极大值建立方程，求解可得的值.
4．【答案】D
【解析】【解答】
,即函数 在 时是单调增函数.
则 恒成立.
.
令 ,则
时, 单调递减, 时 单调递增.
故答案为：D.
【分析】由 变形可得 ,可知函数 在 为增函数, 由 恒成立,求解参数即可求得取值范围.
5．【答案】A
【解析】【解答】由 ，得 ，则 ，在 上， 单调递增， ，函数 与 的交点个数为1。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合导数求极值点的方法，从而求出a的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数 与 的交点个数。
6．【答案】B
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，且 ，
令 ，可得 ，列表如下：
0
增 极大值 减
所以，函数 的极大值为 .
故答案为：B.
【分析】先求导，根据导数和函数极值的关系，即可求出答案。
7．【答案】B
【解析】【解答】令 ，则 ，
∵定义域为 ，且 ，
， 在 上单调递增，
不等式 等价于 ，
，
解得
故答案为：B
【分析】 构造新函数 ，求导后可证明g（x）在（0，+∞）上单调递增，而不等式
等价于 ，解之即可．
8．【答案】A
【解析】【解答】令x=0，可得 ，则排除C、D； ,
当 时， ，
当 时， ，故排除B，
故答案为：A.
【分析】利用函数值结合求导的方法判断函数单调性的方法，从而求出函数 的大致图象。
9．【答案】D
【解析】【解答】由 得 ，
设点 ，则有 ，
解得 或 ，又 ， ，
所以点 的坐标为 或 ．
故答案为： ．
【分析】设点 ，则有 ，代入切线方程可得点 的坐标.
10．【答案】D
【解析】【解答】∵函数 的图象与y轴相交于点Q，且f（0）＝2，得Q（0，2）．
∵ ＝ex，∴ ＝e0＝1．
则曲线 在点Q处的切线方程为y-2=x,即y＝x+2
故答案为：D.
【分析】先求Q点坐标，然后求f（x）的导数，进而求得切线斜率，最后利用点斜式可得切线方程．
11．【答案】C
【解析】【解答】由题得，，令解得，则当时f(x)为减函数，当时，f(x)为增函数，所以点处的函数值为最小值，代入函数解得。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值。
12．【答案】C
【解析】【解答】解：令 ，则 ，又 的导数 在 上恒有 ， 恒成立， 是 上的减函数，又 ，
当 时， ，即 ，即不等式 的解集为 ；
故答案为：C．
【分析】令，从而求导可判断导数恒成立，从而可判断函数的单调性，从而可得当时，，从而得到不等式的解集．
13．【答案】D
【解析】【解答】由题意 ，
∴ ，又 ，
故曲线在点 处的切线方程为 ，
将点 代入可得 ，
则 ，
令 ，
所以 或 ，
故函数在 ， 上单调递减.
故答案为：D
【分析】根据导数求出点 处的切线方程，将点 代入可得 再令导数小于零得出单调递减区间。
14．【答案】C
【解析】【解答】由 得 ，令 得 ， ，
函数 的图象在点 处的切线方程为 ，即 ，
直线 与直线 间的距离为 ．
∴线段 的最小值为 ．
故答案为：C．
【分析】 先求出与直线2x-y+6=0平行，且与函数y=2lnx+2相切的直线为l，再求出这2条平行直线间的距离，从而得出结论．
15．【答案】C
【解析】【解答】，令得：或，令得：，故在处取得极大值，在处取得极小值，且，，，所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是3，-17.
故答案为：C
【分析】 求导，利用导研究函数在闭区间[-3 ， 0]上的单调性，利用单调性求函数的最值.
16．【答案】A
【解析】【解答】令 ，则 ，
可设 ，
，
所以
解不等式 ，即 ，所以
解得 ，所以不等式的解集为
故选：A
【分析】首先构造函数 ，利用导函数求出 的解析式，即可求解不等式。
17．【答案】A
【解析】【解答】解：令函数 ，则 ，
， ， 在 上单调递减．
， 可化为 ，即 ，
，解得 ．
不等式的解集为 ， ．
故答案为：A．
【分析】 构造函数 ，求导后可判断出g（x）在（0，+∞）上单调递减．原不等式可化为 ，即 ，于是 ，解之即可．
18．【答案】A
【解析】【解答】由已知条件，对于，两边同取对数，
则有，即，
同理：；
构造函数，
则，，
对其求导得：
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，，
再构造函数，对其求导得：
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
即：
又
故答案为：A.
【分析】 对已知的等式进行变形，转化成结构一致，从而构造函数，确定构造的函数的性质，得到a、b、c的大小，再根据选项构造函数，借助函数的单调性比较大小即可得答案.
19．【答案】B
【解析】【解答】 有解， ，又 ，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，再结合比较法求出函数在给定区间的最小值，再利用函数 在 内有最小值，从而求出实数 的取值范围。
20．【答案】B
【解析】【解答】设切点为 则 ，消去 解得
故答案为：B
【分析】设切点为 利用求导的方法求出曲线在切点处的斜率，再利用点斜式方程求出函数图象在切点处的切线方程，再利用已知的函数的图象在切点处的切线方程的等价关系，从而求出a的值。
21．【答案】解：
，
∴ ，
∴
【解析】【分析】利用极限与导数的关系，进而求出函数 在 处的导数 。
22．【答案】（1）解：设加工费用为，则，
，
若企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长，则，
，
，
，
即该企业加工产品订单的金额单位：万元应在范围内；
（2）解：令，该企业加工生产将不会出现亏损，即，
，
，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，且，
在上恒成立，故，
，
，
所以当时，该企业加工生产将不会出现亏损．
【解析】【分析】(1)设加工费用为，则，求出导数，若企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长，求出取值范围.
(2)令，根据题意该企业加工生产将不会出现亏损，求出，令，则，令，则，在上单调递减，求出即可.
23．【答案】（1）解：由得.
，令，
在上单调递增，
因为，所以当时，，
当时，，令解得，解得，
所以的减区间是，增区间是；
（2）解：当时，，不合题意，
当时，由（1）知，故，满足题意，
当时，设，，易知时，，递减，时，，递增，因此，所以，即，时，两边取对数得．
，满足题意．
综上，的取舍范围是．
【解析】【分析】(1)首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的单调区间。
(2)根据题意对a分情况讨论，由此即可得出导函数的正负，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，从而得出a的取值范围。
24．【答案】（1）解：
所以定义域为
；
；
所以切线方程为；
，
令解得
令解得
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：等价于；
，
记，，所以为上的递增函数，
且，，所以，使得
即，
所以在上递减，在上递增，
且；
所以的最大整数解为.
（3）解：，得，
当，，，；
所以在上单调递减，上单调递增，
而要使有两个零点，要满足，
即；
因为，，令，
由，，
即：，
而要证，
只需证，
即证：
即：由，只需证：，
令，则
令，则
故在上递增，；
故在上递增，；
.
【解析】【分析】(1)求得f (x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0， 可得增区间；导数小于0，可得减区间；
(2) 等价于，可令 ，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得h (x)的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；
(3)求得g (x)的导数和单调性，由极小值小于0，可得a >2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证 .
25．【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
当时，，
所以函数在上递增，
当时，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
综上所述，当时，函数的单调区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为
（2）解：由（1）得，
当时，函数在上递增，
所以函数最多一个零点，
故不符题意；
当时，函数在上递减，在上递增，
所以，
又当时，，当时，，
因为有两个不同的零点，
所以，解得，
综上所述，的取值范围为.
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)根据函数的单调性，问题转化为 ，解关于a的不等式，求出a的取值范围.
26．【答案】（1）解：设切点 ，则 （*）
又
，代入（*）得
．
（2）解：设 ，
当 单调递增时，
则 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立，
又
解得 ．
当 单调递减时，
则 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立，
综上 单调时 的取值范围为 ．
（3）解： ，
令 则 ，
当 时， ， 单调递增，
∴ ，即 .
1）当 ，即 时，
∴ ，
则 单调递增，
在 上无极值点．
2）当 即 时，
∴
I）当 ，即 时，
在 递增，
，
在 上递增，
在 上无极值点．
II）当 时，由
在 递减， 递增，
又
使得
在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上有一个极小值点．
3）当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
在 上恒成立，
无极值点．
4）当 时，
在 递增，
使得 ，
当 时， 当 时， ，
，
，
令 ，
下面证明 ，即证 ，
又
，
即证 ，所以结论成立，即 ，
在 递减， 递增，
为 的极小值.
综上当 或 时， 在 上有极值点．
【解析】【分析】（1）设切点，根据导数的几何意义求解．（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大（小）于等于零在 恒成立求解可得 的范围．（3）由题意得 ，令 ，然后对实数 的取值进行分类讨论，并根据 的符号去掉绝对值，再结合导数得到函数 的单调性，进而得到函数 有极值时实数 的取值范围．
27．【答案】（1）解：由题意知， 定义域为 ，且 ，
当 时，解得 ，此时 对 成立，
则 在 上是增函数，此时最大值为 ，
当 时，由 得 ，由 ，
取 ，则 时， ； 时， ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，又
则当 ，即 时，此时， 在 上的最大值为 ；
当 ，即 时， 在 上的最大值为 ，
综上，当 时，函数 在 的最大值为 ，当 时，函数 在 的最大值为1.
（2）解：要使 存在两个极值点，则 在 上存在两不等的实根，
令 ，则对称轴为 ，则 ，解得 ，
由韦达定理知 ，
.
令 ， ， ， 在 上单调递减，
时， ， .
【解析】【分析】（1）求出函数的导数 ，分为 ， ， 三种情况，结合导数判断函数的单调性，继而求出最大值.（2）由函数 存在两个极值点可知 在 上存在两不等的实根，令 ，从而可知 ，可求出 的取值范围，结合韦达定理可求出 ，结合令 ，在 上的单调性，可证明 .
28．【答案】（1）解：当时，函数，其定义域为
令得
+ 0 -
单调递增 极大值 单调递减
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）解：由可得
令，下面求在的最大值．
令
∴在上单调递减且
所以当时，；当时，．
于是当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以的最大值为
故．
【解析】【分析】 (1) 当时，函数 ，求出函数的定义域和导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的单调区间；
(2) 由可得 ， 令 ，利用导数判断函数的单调性，求出g (x)的最大值，即可求出a的取值范围.
29．【答案】（1）当 时， ，
定义域为 ， ，
又 ， ，
∴曲线 在 处的切线方程是 ，
即 ；
（2）显然 ，函数 的定义域为 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 有最大值 ，
当 ，即 时， ，于是 ，即 ，
∴ 在 上单调递减，又 ，∴ 只有一个零点，
当 ，即 时， ， ，
令 ( )，则 ，
∴ 在 上单调递减， ，∴ ；
∴ ，
又 且 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴存在 ，使得 ，存在 ，使得 ，
∴当 时， ，当 时， ，当 时 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，且 ，∴ 在 内有唯一零点，且 、 ，
又 ， ，
∴ 在 与 内均有唯一零点，
故当 时，函数 有三个零点，
因此当 时，函数 有一个零点，当 时，函数 有三个零点.
【解析】【分析】(1)根据题意把a的值代入求出函数的解析式，再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式计算出导函数的值即为直线的斜率值，由点斜式即可求出直线的方程。
(2)首先求出函数的定义域，对其求导得到，构造函数对其求导并结合a的不同取值范围即可得出导函数的性质，由此即可得出函数g(x)的单调性，由函数g(x)的单调性即可求出函数g(x)的最值进而得出，由此得出函数f(x)的单调性，结合零点的定义以及导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函数f(x)的单调性即可求出函数的最值，即可得出 在 与 内均有唯一零点，即 当 时，函数 有三个零点，由此得证出结论。
30．【答案】（1）解： ，令 ，解得 ，
由 ，令 得 ， ，
所以， .
（2）解：因为 ，所以 ，
，①当 时，总有 ，函数 在 上单调递增；
②当 时，由 得函数 在 上单调递增，
由 得函数 在 上单调递减；
综上，当 时，总有 ，函数 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减.
（3）解：设 ， ， 得 在 上递减，
所以当 时， ；当 时， .
而 ， ，
所以 在 上递增， ，
则 在 上递增， ，
①当 时， ，
，∴ 在 上递减，
，∴ ，
②当 时， ，
， ，
所以 ，∴ 递减， ，∴ .
综上： .
【解析】【分析】（1）利用函数的导数求出 ，即可得到函数的解析式；
（2）化简函数的解析式，求出导函数，通过与0的大小比较，判断导函数的符号，求解函数的单调区间。
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第五章一元函数的导数及其应用综合卷
一、单选题
1．（2023高三上·南宁期末）已知、、，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2019高二上·武威期末）函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间是（ ）
A．(－∞，－1)，(0，1) B．(－1，0)，(1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
3．（2023·内江模拟）已知函数和有相同的极大值，则（ ）
A．2 B．0 C．-3 D．-1
4．（2019高二下·吉林期末）已知函数 ， ，当 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若 是函数 的极值点，则方程 在 上的不同实根个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
6．（2020高二上·长沙期末）函数 的极大值为 （ ）
A． B． C．1 D．0
7．（2020高二下·赣州期末）函数 是定义在区间 上的可导函数，其导函数 ，且满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·肥东模拟）函数 的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019高二下·江门月考）曲线 在点 处的切线平行与直线 ，则点 的坐标为（ ）．
A． B．
C． D． 或
10．（2020高二下·广州期末）设函数 的图象与y轴相交于点Q，则曲线 在点Q处的切线方程（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高二下·南阳月考）函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二下·深圳月考）已知上函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
13．（2020高三上·安徽开学考）若曲线 在点 处的切线过点 ，则函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D． ，
14．（2020高二下·上饶期末）已知P与Q分别为函数 与函数 的图象上一点，则线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
15．（2022高二下·凉州期中）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是 （ ）
A． B． C． D．
16．（2019高三上·维吾尔自治月考）已知 是函数 的导函数，且对任意的实数 都有 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2020高二下·辽阳期末）已知函数 的定义域为 ，且 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
18．（2022·沧州模拟）已知且，且，且，则（ ）
A． B．
C． D．
19．函数 在 内有最小值，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
20．（2019高二下·临海月考）函数 的图象与直线 相切，则a等于（ ）
A． B． C． D．1
二、解答题
21．（2021高二下·讷河月考）利用导数的定义，求 在 处的导数.
22．（2023高二下·花都期中）某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为万元，可获得的加工费为万元，其中．
（1）若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额单位：万元应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为其中为产品订单的金额，试问在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．
23．（2022·湖南模拟）已知函数
（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
（2）若，求的取值范围.
24．（2022·天津市模拟）已知，
（1）求在处的切线方程以及的单调性；
（2）对，有恒成立，求的最大整数解；
（3）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.
25．（2022高二下·海淀会考）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．
26．（2019高三上·扬州月考）已知函数 （ 是自然对数的底数）
（1）若直线 为曲线 的一条切线，求实数 的值；
（2）若函数 在区间 上为单调函数，求实数 的取值范围；
（3）设 ，若 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数 的取值范围.
27．（2020·安徽模拟）已知函数 .
（1）当 时，求函数 的最大值；
（2）若函数 存在两个极值点 ， ，求证： .
28．（2022高二下·鄠邑期末）已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
29．（2021高二下·江西月考）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的零点个数.
30．（2020高三上·营口月考）已知函数 满足 ， ， .
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调区间；
（3）当 且 时，求证： .
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】因为、、，由可得，由可得，
由可得，
构造函数，其中，则，
当时，；当时，.
所以，函数的增区间为，减区间为，
因为，所以，，即，即，
因为、、，则、、，所以，，
因此，.
故答案为：A.
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数f(x)的单调性，由题中条件可得出f(ea)=f(9)，f(eb)=f(8)，f(e2)=f(ec)，再利用函数f(x)的单调性可得出f(ea)、f(eb)、f(ec)的大小，再结合函数f(x)在(e，+∞)上的单调性及指数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.
2．【答案】A
【解析】【解答】y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0，得单调递减区间为(－∞，－1)，(0，1).
故答案为：A.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。
3．【答案】B
【解析】【解答】，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，
又，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，
依据题意，和有相同的极大值，
故，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】 利用导数法求得f (x)和g (x)的极大值，然后根据f (x)与g (x)有相同的极大值建立方程，求解可得的值.
4．【答案】D
【解析】【解答】
,即函数 在 时是单调增函数.
则 恒成立.
.
令 ,则
时, 单调递减, 时 单调递增.
故答案为：D.
【分析】由 变形可得 ,可知函数 在 为增函数, 由 恒成立,求解参数即可求得取值范围.
5．【答案】A
【解析】【解答】由 ，得 ，则 ，在 上， 单调递增， ，函数 与 的交点个数为1。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合导数求极值点的方法，从而求出a的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数 与 的交点个数。
6．【答案】B
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，且 ，
令 ，可得 ，列表如下：
0
增 极大值 减
所以，函数 的极大值为 .
故答案为：B.
【分析】先求导，根据导数和函数极值的关系，即可求出答案。
7．【答案】B
【解析】【解答】令 ，则 ，
∵定义域为 ，且 ，
， 在 上单调递增，
不等式 等价于 ，
，
解得
故答案为：B
【分析】 构造新函数 ，求导后可证明g（x）在（0，+∞）上单调递增，而不等式
等价于 ，解之即可．
8．【答案】A
【解析】【解答】令x=0，可得 ，则排除C、D； ,
当 时， ，
当 时， ，故排除B，
故答案为：A.
【分析】利用函数值结合求导的方法判断函数单调性的方法，从而求出函数 的大致图象。
9．【答案】D
【解析】【解答】由 得 ，
设点 ，则有 ，
解得 或 ，又 ， ，
所以点 的坐标为 或 ．
故答案为： ．
【分析】设点 ，则有 ，代入切线方程可得点 的坐标.
10．【答案】D
【解析】【解答】∵函数 的图象与y轴相交于点Q，且f（0）＝2，得Q（0，2）．
∵ ＝ex，∴ ＝e0＝1．
则曲线 在点Q处的切线方程为y-2=x,即y＝x+2
故答案为：D.
【分析】先求Q点坐标，然后求f（x）的导数，进而求得切线斜率，最后利用点斜式可得切线方程．
11．【答案】C
【解析】【解答】由题得，，令解得，则当时f(x)为减函数，当时，f(x)为增函数，所以点处的函数值为最小值，代入函数解得。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值。
12．【答案】C
【解析】【解答】解：令 ，则 ，又 的导数 在 上恒有 ， 恒成立， 是 上的减函数，又 ，
当 时， ，即 ，即不等式 的解集为 ；
故答案为：C．
【分析】令，从而求导可判断导数恒成立，从而可判断函数的单调性，从而可得当时，，从而得到不等式的解集．
13．【答案】D
【解析】【解答】由题意 ，
∴ ，又 ，
故曲线在点 处的切线方程为 ，
将点 代入可得 ，
则 ，
令 ，
所以 或 ，
故函数在 ， 上单调递减.
故答案为：D
【分析】根据导数求出点 处的切线方程，将点 代入可得 再令导数小于零得出单调递减区间。
14．【答案】C
【解析】【解答】由 得 ，令 得 ， ，
函数 的图象在点 处的切线方程为 ，即 ，
直线 与直线 间的距离为 ．
∴线段 的最小值为 ．
故答案为：C．
【分析】 先求出与直线2x-y+6=0平行，且与函数y=2lnx+2相切的直线为l，再求出这2条平行直线间的距离，从而得出结论．
15．【答案】C
【解析】【解答】，令得：或，令得：，故在处取得极大值，在处取得极小值，且，，，所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是3，-17.
故答案为：C
【分析】 求导，利用导研究函数在闭区间[-3 ， 0]上的单调性，利用单调性求函数的最值.
16．【答案】A
【解析】【解答】令 ，则 ，
可设 ，
，
所以
解不等式 ，即 ，所以
解得 ，所以不等式的解集为
故选：A
【分析】首先构造函数 ，利用导函数求出 的解析式，即可求解不等式。
17．【答案】A
【解析】【解答】解：令函数 ，则 ，
， ， 在 上单调递减．
， 可化为 ，即 ，
，解得 ．
不等式的解集为 ， ．
故答案为：A．
【分析】 构造函数 ，求导后可判断出g（x）在（0，+∞）上单调递减．原不等式可化为 ，即 ，于是 ，解之即可．
18．【答案】A
【解析】【解答】由已知条件，对于，两边同取对数，
则有，即，
同理：；
构造函数，
则，，
对其求导得：
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，，
再构造函数，对其求导得：
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
即：
又
故答案为：A.
【分析】 对已知的等式进行变形，转化成结构一致，从而构造函数，确定构造的函数的性质，得到a、b、c的大小，再根据选项构造函数，借助函数的单调性比较大小即可得答案.
19．【答案】B
【解析】【解答】 有解， ，又 ，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，再结合比较法求出函数在给定区间的最小值，再利用函数 在 内有最小值，从而求出实数 的取值范围。
20．【答案】B
【解析】【解答】设切点为 则 ，消去 解得
故答案为：B
【分析】设切点为 利用求导的方法求出曲线在切点处的斜率，再利用点斜式方程求出函数图象在切点处的切线方程，再利用已知的函数的图象在切点处的切线方程的等价关系，从而求出a的值。
21．【答案】解：
，
∴ ，
∴
【解析】【分析】利用极限与导数的关系，进而求出函数 在 处的导数 。
22．【答案】（1）解：设加工费用为，则，
，
若企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长，则，
，
，
，
即该企业加工产品订单的金额单位：万元应在范围内；
（2）解：令，该企业加工生产将不会出现亏损，即，
，
，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，且，
在上恒成立，故，
，
，
所以当时，该企业加工生产将不会出现亏损．
【解析】【分析】(1)设加工费用为，则，求出导数，若企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长，求出取值范围.
(2)令，根据题意该企业加工生产将不会出现亏损，求出，令，则，令，则，在上单调递减，求出即可.
23．【答案】（1）解：由得.
，令，
在上单调递增，
因为，所以当时，，
当时，，令解得，解得，
所以的减区间是，增区间是；
（2）解：当时，，不合题意，
当时，由（1）知，故，满足题意，
当时，设，，易知时，，递减，时，，递增，因此，所以，即，时，两边取对数得．
，满足题意．
综上，的取舍范围是．
【解析】【分析】(1)首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的单调区间。
(2)根据题意对a分情况讨论，由此即可得出导函数的正负，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，从而得出a的取值范围。
24．【答案】（1）解：
所以定义域为
；
；
所以切线方程为；
，
令解得
令解得
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：等价于；
，
记，，所以为上的递增函数，
且，，所以，使得
即，
所以在上递减，在上递增，
且；
所以的最大整数解为.
（3）解：，得，
当，，，；
所以在上单调递减，上单调递增，
而要使有两个零点，要满足，
即；
因为，，令，
由，，
即：，
而要证，
只需证，
即证：
即：由，只需证：，
令，则
令，则
故在上递增，；
故在上递增，；
.
【解析】【分析】(1)求得f (x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0， 可得增区间；导数小于0，可得减区间；
(2) 等价于，可令 ，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得h (x)的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；
(3)求得g (x)的导数和单调性，由极小值小于0，可得a >2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证 .
25．【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
当时，，
所以函数在上递增，
当时，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
综上所述，当时，函数的单调区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为
（2）解：由（1）得，
当时，函数在上递增，
所以函数最多一个零点，
故不符题意；
当时，函数在上递减，在上递增，
所以，
又当时，，当时，，
因为有两个不同的零点，
所以，解得，
综上所述，的取值范围为.
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)根据函数的单调性，问题转化为 ，解关于a的不等式，求出a的取值范围.
26．【答案】（1）解：设切点 ，则 （*）
又
，代入（*）得
．
（2）解：设 ，
当 单调递增时，
则 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立，
又
解得 ．
当 单调递减时，
则 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立，
综上 单调时 的取值范围为 ．
（3）解： ，
令 则 ，
当 时， ， 单调递增，
∴ ，即 .
1）当 ，即 时，
∴ ，
则 单调递增，
在 上无极值点．
2）当 即 时，
∴
I）当 ，即 时，
在 递增，
，
在 上递增，
在 上无极值点．
II）当 时，由
在 递减， 递增，
又
使得
在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上有一个极小值点．
3）当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
在 上恒成立，
无极值点．
4）当 时，
在 递增，
使得 ，
当 时， 当 时， ，
，
，
令 ，
下面证明 ，即证 ，
又
，
即证 ，所以结论成立，即 ，
在 递减， 递增，
为 的极小值.
综上当 或 时， 在 上有极值点．
【解析】【分析】（1）设切点，根据导数的几何意义求解．（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大（小）于等于零在 恒成立求解可得 的范围．（3）由题意得 ，令 ，然后对实数 的取值进行分类讨论，并根据 的符号去掉绝对值，再结合导数得到函数 的单调性，进而得到函数 有极值时实数 的取值范围．
27．【答案】（1）解：由题意知， 定义域为 ，且 ，
当 时，解得 ，此时 对 成立，
则 在 上是增函数，此时最大值为 ，
当 时，由 得 ，由 ，
取 ，则 时， ； 时， ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，又
则当 ，即 时，此时， 在 上的最大值为 ；
当 ，即 时， 在 上的最大值为 ，
综上，当 时，函数 在 的最大值为 ，当 时，函数 在 的最大值为1.
（2）解：要使 存在两个极值点，则 在 上存在两不等的实根，
令 ，则对称轴为 ，则 ，解得 ，
由韦达定理知 ，
.
令 ， ， ， 在 上单调递减，
时， ， .
【解析】【分析】（1）求出函数的导数 ，分为 ， ， 三种情况，结合导数判断函数的单调性，继而求出最大值.（2）由函数 存在两个极值点可知 在 上存在两不等的实根，令 ，从而可知 ，可求出 的取值范围，结合韦达定理可求出 ，结合令 ，在 上的单调性，可证明 .
28．【答案】（1）解：当时，函数，其定义域为
令得
+ 0 -
单调递增 极大值 单调递减
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）解：由可得
令，下面求在的最大值．
令
∴在上单调递减且
所以当时，；当时，．
于是当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以的最大值为
故．
【解析】【分析】 (1) 当时，函数 ，求出函数的定义域和导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的单调区间；
(2) 由可得 ， 令 ，利用导数判断函数的单调性，求出g (x)的最大值，即可求出a的取值范围.
29．【答案】（1）当 时， ，
定义域为 ， ，
又 ， ，
∴曲线 在 处的切线方程是 ，
即 ；
（2）显然 ，函数 的定义域为 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 有最大值 ，
当 ，即 时， ，于是 ，即 ，
∴ 在 上单调递减，又 ，∴ 只有一个零点，
当 ，即 时， ， ，
令 ( )，则 ，
∴ 在 上单调递减， ，∴ ；
∴ ，
又 且 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴存在 ，使得 ，存在 ，使得 ，
∴当 时， ，当 时， ，当 时 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，且 ，∴ 在 内有唯一零点，且 、 ，
又 ， ，
∴ 在 与 内均有唯一零点，
故当 时，函数 有三个零点，
因此当 时，函数 有一个零点，当 时，函数 有三个零点.
【解析】【分析】(1)根据题意把a的值代入求出函数的解析式，再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式计算出导函数的值即为直线的斜率值，由点斜式即可求出直线的方程。
(2)首先求出函数的定义域，对其求导得到，构造函数对其求导并结合a的不同取值范围即可得出导函数的性质，由此即可得出函数g(x)的单调性，由函数g(x)的单调性即可求出函数g(x)的最值进而得出，由此得出函数f(x)的单调性，结合零点的定义以及导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函数f(x)的单调性即可求出函数的最值，即可得出 在 与 内均有唯一零点，即 当 时，函数 有三个零点，由此得证出结论。
30．【答案】（1）解： ，令 ，解得 ，
由 ，令 得 ， ，
所以， .
（2）解：因为 ，所以 ，
，①当 时，总有 ，函数 在 上单调递增；
②当 时，由 得函数 在 上单调递增，
由 得函数 在 上单调递减；
综上，当 时，总有 ，函数 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减.
（3）解：设 ， ， 得 在 上递减，
所以当 时， ；当 时， .
而 ， ，
所以 在 上递增， ，
则 在 上递增， ，
①当 时， ，
，∴ 在 上递减，
，∴ ，
②当 时， ，
， ，
所以 ，∴ 递减， ，∴ .
综上： .
【解析】【分析】（1）利用函数的导数求出 ，即可得到函数的解析式；
（2）化简函数的解析式，求出导函数，通过与0的大小比较，判断导函数的符号，求解函数的单调区间。
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