初中数学人教版八上11.2.1第1课时三角形的内角和 同步课件(共29张PPT)
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八上11.2.1第1课时三角形的内角和 同步课件(共29张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-19 19:47:17 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°。（难点）
2.会运用三角形内角和定理进行计算和证明。（重点）
新课导入
复习引入
小学的时候我们已经知道“三角形的内角和等于180°”，你还记得我们是怎么得到这个结论的吗？利用你手中的三角形纸片回忆一下吧！
是通过量角器测量或者剪拼验证的
55°
45°
80°＋45°＋55°=180°
80°
方法一：量角器测量
新课导入
方法二：剪拼
A
B
C
B
A
新课导入
还可以用折叠的方法，你知道怎样操作吗？
方法三：折叠
新课导入
180°
追问1：运用度量的方法，得出的三个内角的和都是180°吗？为什么？
我们需要通过推理的方法去证明，只有这样，才能完全让人信服.
新课导入
不是，因为测量常常有误差，结果就不准确
追问2：我们刚才通过三种方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和是180°，但我们手中的三角形纸片只是所有三角形中的几个，形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证，那么该怎么办呢？
追问3：有什么方法可以得到180°？
②两直线平行，同旁内角互补，即两者之和为180°.
新课导入
①平角的度数是180°.
③邻补角的和是180°.
新知探究
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角.
知识点1 三角形的内角和的定理的证明
A
B
C
B
C
B
B
A
C
A
如图，移动后的∠B，∠C各有
一条边在直线l上.想一想，直线l与
△ABC的边BC有什么关系？由这个图，你能想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？
新知探究
直线l与边BC平行.我们可以得到启发，过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”.
知识点1 三角形的内角和的定理的证明
A
B
C
B
C
l
新知探究
知识点1 三角形的内角和的定理的证明
如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：过点A作直线l，使得l∥BC.
∵l∥BC，
∴∠2=∠B，∠3=∠C（两直线平行，内错角相等）.
∵∠1、∠2、∠3构成平角，
∴∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义）.
则∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）.
A
C
1
2
3
l
B
让我们一起来看一看它的证明过程吧！
在这里，为了证明的需要，要在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线
新知探究
知识点1 三角形的内角和的定理的证明
证明：过点C作直线l，使得l//AB，延长BC.
C
1
2
B
A
l
如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C
=180°.
对于这种拼合方法，我们该如何证明呢？
∴ ∠A=∠1 ,(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
新知探究
知识点1 三角形的内角和的定理的证明
你还能想出来其他的证明方法吗？
试一试：按照上图中的辅助线，
给出证明步骤吧！
新知探究
知识点1 三角形的内角和的定理的证明
思考：（1）多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
（2）多种证明方法中，添加辅助线的思路是什么？
①构造平角；②构造同旁内角.
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
新知探究
知识点2 三角形的内角和的定理的运用
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°=85°.
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
D
C
B
新知探究
1.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE//BC交AC于点E，若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小是（ ）
A.44° B.40° C.39° D.38°
【解析】∵∠A=54°，∠B=48°,∴∠ACB=180°-54°-48°=78°.∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB=39°.
∵DE//BC，∴∠CDE=∠DCB=39°. 故选C.
跟踪训练
A
C
B
D E
C
出现角平分线、平行线，找相等的角是关键.
新知探究
2.在△ABC中，∠A= ∠B= ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．
跟踪训练
∴设∠A=x，则∠B=2x，∠ACB=3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB=180°，
∴x＋2x＋3x=180°，解得x=30°.∴∠A=30°，∠ACB=90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=180°-90°-30°=60°.
解：∵∠A= ∠B= ∠ACB，
新知探究
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE= ×90°=45°，
∴∠DCE=∠ACD-∠ACE=60°-45°=15°.
题中出现了角度的倍分、和差、比例关系时，通常会借助方程来解（先设未知数，再运用三角形的内角和定理列方程求解），这是一个重要的数学思想——方程思想.
新知探究
知识点3 三角形的内角和的定理在实际生活中的运用
例2 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
【分析】A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.
A
B
C
D
北
北
新知探究
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,
所以∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°,
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
A
B
C
D
北
北
E
知识点3 三角形的内角和的定理在实际生活中的运用
新知探究
如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.
D
E
跟踪训练
解：如图，由题意得BE∥AD,∠BAD=40°，
∠CAD=15°，∠EBC=80°，
∴∠EBA=∠BAD=40°， ∠BAC=40°+15°=55°,
∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC
=180°-55°-40°=85°．
课堂小结
三角形的内角和定理
内容
数学语言
应用
三角形三个内角的和等于180°
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
在△ABC中，已知三个内角的关系，求三个内角的大小
在△ABC中，已知两个内角的大小，求第三个内角的大小
证法
了解添加辅助线的方法和目的
在实际生活中的应用
课堂训练
1.求出下列各图中∠1的度数．
70°
30°
25°
课堂训练
2.如图所示，∠α的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
A
【解析】∵∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD，∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
∴30°+20°=40°+α，
∴α=10°故选A．
3.在△ABC 中， ∠A =2∠B ，∠C -∠B =60°.
（1）求∠A，∠B，∠C的度数.
（2）△ABC是 三角形.
（1）解:设∠B=x°，则∠A=(2x)°，∠C=(x ＋ 60)°，从而有
2x＋x＋(x＋60)=180.
解得x=30.
所以2x=60 ，x＋60=90.
故∠A，∠B，∠C的度数分别为60°，30°，90°.
课堂训练
（2）【解析】因为∠C的度数为 90°，所以该三角形为直角三角形.
直角
4.如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于点E，交AC于点F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
课堂训练
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA=90°．
∵在△AEF中，∠FEA=90°，∠A=30°，
∴∠AFE=180°－∠FEA－∠A=60°.
又∵∠CFD=∠AFE，∴∠CFD=60°.
∴在△CDF中，∠CFD=60°，∠FCD=80°，
∠D=180°－∠CFD－∠FCD=40°.
课堂训练
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．
5.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
课堂训练
6.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数 .
B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
（
解：根据三角形内角和为180°可知
∠1+∠2+∠A=180°，∠3+∠4+∠A=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠A=180°-40°=140°，
∠3+∠4=180°-∠A=180°-40°=140°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=280 °.
7.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数.
A
C
B
D
1
2
3
4
课堂训练
解：∵∠3+∠ADB=180°，∠1+∠2+∠ADB=180°，
∴∠3=∠1+∠2.∵∠3=∠4，∠1=∠2，
∴∠4=∠1+∠2=2∠1.
∵∠1+∠2+∠4+∠DAC=180°，
∴∠DAC=180°-∠1-∠2-∠4=180°-4∠1.
∵∠BAC=∠1+∠DAC，∴∠BAC=∠1+（180°-4∠1）=180°-3∠1=63°，
∴∠1=39°，则∠DAC=24°.
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°。（难点）
2.会运用三角形内角和定理进行计算和证明。（重点）
新课导入
复习引入
小学的时候我们已经知道“三角形的内角和等于180°”，你还记得我们是怎么得到这个结论的吗？利用你手中的三角形纸片回忆一下吧！
是通过量角器测量或者剪拼验证的
55°
45°
80°＋45°＋55°=180°
80°
方法一：量角器测量
新课导入
方法二：剪拼
A
B
C
B
A
新课导入
还可以用折叠的方法，你知道怎样操作吗？
方法三：折叠
新课导入
180°
追问1：运用度量的方法，得出的三个内角的和都是180°吗？为什么？
我们需要通过推理的方法去证明，只有这样，才能完全让人信服.
新课导入
不是，因为测量常常有误差，结果就不准确
追问2：我们刚才通过三种方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和是180°，但我们手中的三角形纸片只是所有三角形中的几个，形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证，那么该怎么办呢？
追问3：有什么方法可以得到180°？
②两直线平行，同旁内角互补，即两者之和为180°.
新课导入
①平角的度数是180°.
③邻补角的和是180°.
新知探究
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角.
知识点1 三角形的内角和的定理的证明
A
B
C
B
C
B
B
A
C
A
如图，移动后的∠B，∠C各有
一条边在直线l上.想一想，直线l与
△ABC的边BC有什么关系？由这个图，你能想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？
新知探究
直线l与边BC平行.我们可以得到启发，过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”.
知识点1 三角形的内角和的定理的证明
A
B
C
B
C
l
新知探究
知识点1 三角形的内角和的定理的证明
如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：过点A作直线l，使得l∥BC.
∵l∥BC，
∴∠2=∠B，∠3=∠C（两直线平行，内错角相等）.
∵∠1、∠2、∠3构成平角，
∴∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义）.
则∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）.
A
C
1
2
3
l
B
让我们一起来看一看它的证明过程吧！
在这里，为了证明的需要，要在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线
新知探究
知识点1 三角形的内角和的定理的证明
证明：过点C作直线l，使得l//AB，延长BC.
C
1
2
B
A
l
如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C
=180°.
对于这种拼合方法，我们该如何证明呢？
∴ ∠A=∠1 ,(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
新知探究
知识点1 三角形的内角和的定理的证明
你还能想出来其他的证明方法吗？
试一试：按照上图中的辅助线，
给出证明步骤吧！
新知探究
知识点1 三角形的内角和的定理的证明
思考：（1）多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
（2）多种证明方法中，添加辅助线的思路是什么？
①构造平角；②构造同旁内角.
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
新知探究
知识点2 三角形的内角和的定理的运用
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°=85°.
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
D
C
B
新知探究
1.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE//BC交AC于点E，若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小是（ ）
A.44° B.40° C.39° D.38°
【解析】∵∠A=54°，∠B=48°,∴∠ACB=180°-54°-48°=78°.∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB=39°.
∵DE//BC，∴∠CDE=∠DCB=39°. 故选C.
跟踪训练
A
C
B
D E
C
出现角平分线、平行线，找相等的角是关键.
新知探究
2.在△ABC中，∠A= ∠B= ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．
跟踪训练
∴设∠A=x，则∠B=2x，∠ACB=3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB=180°，
∴x＋2x＋3x=180°，解得x=30°.∴∠A=30°，∠ACB=90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=180°-90°-30°=60°.
解：∵∠A= ∠B= ∠ACB，
新知探究
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE= ×90°=45°，
∴∠DCE=∠ACD-∠ACE=60°-45°=15°.
题中出现了角度的倍分、和差、比例关系时，通常会借助方程来解（先设未知数，再运用三角形的内角和定理列方程求解），这是一个重要的数学思想——方程思想.
新知探究
知识点3 三角形的内角和的定理在实际生活中的运用
例2 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
【分析】A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.
A
B
C
D
北
北
新知探究
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,
所以∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°,
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
A
B
C
D
北
北
E
知识点3 三角形的内角和的定理在实际生活中的运用
新知探究
如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.
D
E
跟踪训练
解：如图，由题意得BE∥AD,∠BAD=40°，
∠CAD=15°，∠EBC=80°，
∴∠EBA=∠BAD=40°， ∠BAC=40°+15°=55°,
∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC
=180°-55°-40°=85°．
课堂小结
三角形的内角和定理
内容
数学语言
应用
三角形三个内角的和等于180°
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
在△ABC中，已知三个内角的关系，求三个内角的大小
在△ABC中，已知两个内角的大小，求第三个内角的大小
证法
了解添加辅助线的方法和目的
在实际生活中的应用
课堂训练
1.求出下列各图中∠1的度数．
70°
30°
25°
课堂训练
2.如图所示，∠α的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
A
【解析】∵∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD，∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
∴30°+20°=40°+α，
∴α=10°故选A．
3.在△ABC 中， ∠A =2∠B ，∠C -∠B =60°.
（1）求∠A，∠B，∠C的度数.
（2）△ABC是 三角形.
（1）解:设∠B=x°，则∠A=(2x)°，∠C=(x ＋ 60)°，从而有
2x＋x＋(x＋60)=180.
解得x=30.
所以2x=60 ，x＋60=90.
故∠A，∠B，∠C的度数分别为60°，30°，90°.
课堂训练
（2）【解析】因为∠C的度数为 90°，所以该三角形为直角三角形.
直角
4.如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于点E，交AC于点F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
课堂训练
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA=90°．
∵在△AEF中，∠FEA=90°，∠A=30°，
∴∠AFE=180°－∠FEA－∠A=60°.
又∵∠CFD=∠AFE，∴∠CFD=60°.
∴在△CDF中，∠CFD=60°，∠FCD=80°，
∠D=180°－∠CFD－∠FCD=40°.
课堂训练
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．
5.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
课堂训练
6.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数 .
B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
（
解：根据三角形内角和为180°可知
∠1+∠2+∠A=180°，∠3+∠4+∠A=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠A=180°-40°=140°，
∠3+∠4=180°-∠A=180°-40°=140°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=280 °.
7.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数.
A
C
B
D
1
2
3
4
课堂训练
解：∵∠3+∠ADB=180°，∠1+∠2+∠ADB=180°，
∴∠3=∠1+∠2.∵∠3=∠4，∠1=∠2，
∴∠4=∠1+∠2=2∠1.
∵∠1+∠2+∠4+∠DAC=180°，
∴∠DAC=180°-∠1-∠2-∠4=180°-4∠1.
∵∠BAC=∠1+∠DAC，∴∠BAC=∠1+（180°-4∠1）=180°-3∠1=63°，
∴∠1=39°，则∠DAC=24°.