初中数学人教版八上11.2.1第2课时直角三角形的两个锐角互余 同步课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的两个锐角互余
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）
2.掌握直角三角形的判定.（重点）
3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）
新课导入
1.三角形的内角和是多少度
复习引入
180°
3.直角三角形中，有一个角一定是 °.
90
2.按角的大小分类，三角形可以分为哪三类？
锐角三角形、直角三角形和钝角三角形
问题1：如下图所示的是我们常用的一副三角板,你知道它们两
锐角的度数之和吗 通过量角器测量一下吧！
30°+60°=90°
45°+45°=90°
新知探究
知识点1 直角三角形的性质
新课导入
问题2：如图，在△ABC中， 已知∠C=90°，（1）你能求出∠A ，∠B的度数吗？
知识点1 直角三角形的性质
能.
在△ABC中，因为 ∠C=90°，所以由三角形内角和
定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即∠A +∠B=90°.
不能.
（2）你能求出∠A +∠B的度数吗？你是怎么得到的？
新知探究
知识点1 直角三角形的性质
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．　　
几何语言：
在△ABC 中，∵∠C =90°，
∴∠A +∠B =90°．　
新知探究
图
知识点1 直角三角形的性质
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
注意：Rt△后必须紧跟表示直角三角形的三个
顶点的大写字母，不能单独使用.
直角三角形的表示：
新知探究
例1 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.
在Rt△BDE中,∠DBE=90°-∠BED.
∵ ∠AEC=∠BED，
∴ ∠CAE=∠DBE.
知识点1 直角三角形的性质
【变式】如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？
新知探究
知识点1 直角三角形的性质
方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.
与例1有哪些共同点与不同点？
新知探究
∠A=∠C
∠A=∠D
基本图形
两个直角三角形的一对锐角为对顶角，则另一对锐角相等.
新知探究
1.（2021苏州模拟）在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
跟踪训练
B
2.在△ABC中，∠A=90°，∠B=2∠C，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．30°或60°
A
新知探究
3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠1=32°，求∠D的度数．
跟踪训练
注意：在直角三角形中，若已知一个锐角
或者两个锐角之间的关系，可以直接运用
两个锐角互余求解，不需要再利用三角形
的内角和定理求解.
解：∵∠BAC=90°，∠1=32°，
∴∠ABC=90°-32°=58°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD= ∠ABC=29°.
∵CD∥AB，
∴∠D=∠ABD=29°．
知识点2 直角三角形的判定
新知探究
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如何验证？
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，由三角形内角和可知 ∠A +∠B +∠C=180°，
又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°.
于是△ABC是直角三角形.
新知探究
知识点2 直角三角形的判定
几何语言：
思考：由此，你可以得到直角三角形的判定方法吗？
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.　　　
在△ABC 中，
∵∠A +∠B =90°，
∴△ABC 是直角三角形．
新知探究
知识点2 直角三角形的判定
三角形是直角三角形　
三角形的两个角互余　　
直角三角形的性质与判定之间的关系：
新知探究
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．
证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°.
∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°.
∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．
知识点2 直角三角形的判定
【变式】（2021北京平谷区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．∠1+∠2=90° B．∠2=∠3
C．∠1=∠4 D．∠1=30°
D
【解析】∵∠ACB=90°，∴∠1+∠2=90°，故A选项正确；
∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，故B选项正确；∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠2+∠4=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠4，故C选项正确；
根据已知条件不能推出∠1=30°，故D选项符合题意；故选D．
新知探究
知识点2 直角三角形的判定
新知探究
∠1=∠2,∠C=90°，ED⊥AB
已知其中任意两条，即可求得第三条
∠1=∠2,∠3=∠4，∠ACB=90°，CD⊥AB
已知其中任意三条，即可求得第四条
基本图形
课堂小结
直角三角形的性质与判定
性质
判定
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
课堂训练
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且CD∥AB．∠B=60°，则∠1等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
A
课堂训练
2.如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=40°，则∠D的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
A
课堂训练
D
3.下列说法中错误的是（　　）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=2：2：4，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A=∠B-∠C，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若∠A= ∠B= ∠C，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则△ABC为直角三角形
【解析】列方程求解.A.解得∠C=90°∠A=∠B=45°，∴△ABC为直角三角形．B.可解得∠B=90°，∴△ABC为直角三角形．C.解得∠C=90°，∠B=60°，∠A=30°，∴△ABC为直角三角形．D.解得∠A=∠B=72°，∠C=36°，∴△ABC不是直角三角形.故选D．
课堂训练
4.如图，将一张长方形纸片剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2=________.
90°
直角
5.在△ABC中，若∠A=51°，∠B=39°，则这个三角形是____________
三角形.
6.在直角三角形中，锐角α是另一个内角的一半，则锐角α的度数为 ．
45°或30°
【解析】①当锐角α是直角的一半时，α= ×90°=45°；
②当锐角α是另一锐角的一半时，α= （90°-α），解得α=30°．
综上所述，锐角α的度数为45°或30°．
课堂训练
7.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
理由如下：
课堂训练
解：△ABD是直角三角形.
∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
8.如图，∠AOB=50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为多少时，△AOP为直角三角形．
解：若△AOP为直角三角形，则
课堂训练
①∠A=90°时，△AOP为直角三角形；
②当∠APO=90°时，△AOP为直角三角形，此时∠A=40°．
故∠A的度数为90°或40°时，△AOP为直角三角形．