2.7 弧长及扇形的面积同步练习（含答案） 苏科版九年级数学上册

苏科版九年级数学上册
2.7 弧长及扇形的面积
一、选择题
1.已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为( )
A. B. C. D.
2.在半径为的中，弦，则的长是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，，以点为中心，把逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为如图，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
5.如图，内接于，若的半径为，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，线段经过的圆心，，分别与相切于点，若，，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积即阴影部分面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
9.如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，，则这朵三叶花的面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，上有一个动点和一个定点，令线段的中点是点，过点作的切线，且，现测得的长度是，的度数是，若线段的最大值是，最小值是，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.若扇形的半径为，圆心角，为则此扇形的弧长是 ．
12.半径为，圆心角为的扇形面积为 ．
13.如图，已知正六边形的边长为，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧如图，则所得到的三条弧的长度之和为 结果保留
14.如图，在扇形中，，半径为，正方形的顶点是的中点，点在上，点在的延长线上，则图中阴影部分的面积为______．
15.如图，在中，，以点为圆心，为半径的与相切于点，交于点，交于点，点是上的一点，且，则图中阴影部分的面积为______．
16.如图，在扇形中，，半径将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上点处，折痕交于点，则图中阴影部分的面积为_________．
17.如图，正六边形的边长为，以点为圆心，的长为半径，作扇形，则图中阴影部分的面积为_____结果保留根号和．
18.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是_______________．
三、解答题
19.如图，与相切于点，，分别交于点，，
求证：；
已知，，求阴影部分的面积．
20.如图，在中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆经过点，过点作直线，使．
判断直线与的位置关系，并说明理由；若，，求图中阴影部分的面积．
21.如图，已知是的直径，，是上的点，，交于点，连结．
求证：；
若，，求的长．
22.如图，在等腰中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为．
求证：是的切线．
若，，求的长．
23.已知：如图，以等边的边为直径作，分别交，于点，，过点作交于点．
求证：是的切线；
若等边的边长为，求由、、围成的阴影部分面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
设扇形的半径为利用弧长公式构建方程求出，再利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】
解：设扇形的半径为．
由题意：，
，
，
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了弧长的计算和垂径定理，此题先利用垂径定理求出角的度数，再利用弧长公式求弧长．
先利用垂径定理求出角的度数，再利用弧长公式求弧长．
【解答】
解：如图，作，
则利用垂径定理可知，
弦，
，
，
，
的长，
故选C．
3.【答案】
【解析】解：在中，，，
，，
阴影部分的面积．
故选B．
根据阴影部分的面积列式，代入数值解答即可．
本题考查了扇形面积公式的应用，以及旋转的基本性质．
4.【答案】
【解析】解：连接，
在中，，
，，
，
阴影部分的面积，
故选：．
连接，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：连接，，
，
，
．
故选B．
连接，，根据圆周角定理求出度数，再由弧长公式即可得出结论．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，利用圆周角定理及弧长公式求解是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得是解题的关键．
连接、，根据切线性质和，易证得和是等腰直角三角形，进而求得，，根据弧长公式求得即可．
【解答】
解：连接、，
，分别与相切于点，．
，，
，
，
，
，，
，
，
，
的长度为：，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
【解答】
解：过作于，
是等边三角形，
，，
，
，，
的面积为，
，
莱洛三角形的面积，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，，根据旋转的性质得到，推出是等边三角形，得到，推出是等边三角形，得到，得到，在底角为的等腰中，求得，到的距离为，则图中阴影部分的面积，即可求解．
【解答】
解：连接，，
将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，
，
是等边三角形，
，，
点在上，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
又，
在底角为的等腰中，，到的距离为，
图中阴影部分的面积
．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积、直角等腰三角形的面积、弓形的面积等知识点．解决本题的关键是根据弦长得到圆的半径．先算出三叶花即一个小弓形的面积，再算三叶花的面积．一个小弓形的面积扇形面积三角形的面积．
【解答】
解：如图，弧是上满足条件的一段弧，连接、，
由题意知，．
，．
，
，
，
．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．
连接，，点为的中点，如图，先利用弧长公式计算出的半径为，再利用垂径定理得到，则，于是利用圆周角定理得到点在以为直径的圆上，直线交于、，如图，根据切线的性质得到，则利用勾股定理可计算出，利用点与圆的位置关系得到，，然后计算即可．
【解答】
解：连接，，点为的中点，如图，
设的半径为，
根据题意得，
解得，
点为的中点，
，
，
点在以为直径的圆上，
直线交于、，如图，
为切线，
，
在中，，
，，
即，，
．
故选C．
11.【答案】
【解析】【分析】
根据弧长的公式进行计算即可．
本题考查了弧长的计算．此题属于基础题，熟记弧长公式是解题的关键．
【解答】
解：扇形的半径为，圆心角为，
此扇形的弧长．
故答案为：
12.【答案】
【解析】解：扇形的面积，
故答案为．
利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是正多边形的计算、弧长的计算，掌握正多边形的内角的计算公式、弧长公式是解题的关键，属于基础题．
解答此题，首先求出正六边形的内角的度数，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】
解：正六边形的一个内角的度数为：
，
则所得到的三条弧的长度之和为：，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接．
在扇形中，正方形的顶点是的中点，
，
，
，
阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积
．
故答案为：．
连结，根据勾股定理可求的长，根据题意可得出阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积，依此列式计算即可求解．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，扇形面积的计算，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接．
与相切于点，
．
，
．
．
故答案是：．
图中阴影部分的面积由圆周角定理推知．
本题考查了切线的性质与扇形面积的计算．求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是折叠的性质，扇形的面积，三角形的面积有关知识，根据题意先求出扇形的面积，再减去个的面积即可解答．
【解答】
解：在扇形中，，半径，
扇形的面积为，
连接，
扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上点处，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
阴影部分的面积为．
故答案为．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．设正六边形的中心为点，连接、，作于，根据正多边形的中心角公式求出，求出，得到正六边形的面积，求出，利用扇形面积公式求出扇形的面积，结合图形计算即可．
【解答】
解：设正六边形的中心为点，连接、，作于，
，
，
，
正六边形的面积，
，
扇形的面积，
图中阴影部分的面积．
故答案为．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键． 先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到≌，于是．
【解答】
解：，，
，
．
又绕点逆时针旋转后得到，
≌，
故答案为．
19.【答案】解：连接，
与相切于点
，
由于，
，
，
由可知：是等腰三角形，
，
，
，
，
，
扇形的面积为：，
的面积为：

【解析】连接，由切线的性质可知，由于，所以，从而可证明，从而可知；
由可知：是等腰三角形，所以，从可求出扇形的面积以及的面积
本题考查切线的性质，解题的关键是求证，然后利用等腰三角形的三线合一定理求出与的长度，从而可知扇形与的面积，本题属于中等题型．
20.【答案】解：是的切线．
理由：连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，
又为的半径，
是的切线；
由可知，
，
在中，，，
，，
．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系、扇形面积、三角形面积等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，扇形的面积公式．
要证是切线，只要证明即可；
求出以及，根据计算即可．
21.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
即，
；
解：由知，
，
，
，
．
【解析】本题考查弧长的计算，垂径定理，以及圆周角定理．
根据平行线的性质得出，再利用垂径定理证明即可；
由知，则可求出，根据弧长公式解答即可．
22.【答案】证明：连接．
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
即，
是的切线．
解：连接，
是直径，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，，，
，
又，
，
在中，
，
，
又是等边三角形，
的长为：．
【解析】连接，只要证明即可；
连接，根据是直径，得到，利用得到，解直角三角形求得，在中，解直角三角形求得，根据题意证得是等边三角形，即可得到，然后利用弧长公式求得即可．
本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．
23.【答案】解：如图，连接、，
是的直径，
，即，
又是等边三角形，
，
，
是的中位线，
，
，
，
是的切线；
连接、作于点，
，
四边形是矩形，
，
，且，
和均为等边三角形，
，
，，
，，
，
则阴影部分面积为
．
【解析】【试题解析】
本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
连接、，先利用等腰三角形的性质证，再证为的中位线得，根据可得；
连接、作，求出、的长及的度数，根据阴影部分面积计算可得．