2024年广东省普通高中数学科学业水平考试模拟试题答案
一、选择题
1.D解：，，，故选：D．
2.C解：，故选C
3.B解：根据题意，依次分析选项，对于A，，为反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于B，
设，定义域为，且有，故为奇函数，且其导数，
故在其定义域上为增函数，符合题意；对于C，，为正弦函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于D，，为偶函数，不符合题意；故选B．
4.D解：，对应函数图像开口向下，如图所示.则原不等式的解集为.故选.
5.A解：,,,解得.
6.A解：根据初等函数的性质得到函数的单调性，再由得答案.函数和在上均为
增函数，在上为单调增函数，，，函数的零点所在的区
间是，故选A.
7.D解：.故选：D.
8.C解：由题意知，是指，同时发生的概率，故是指，不同时发生的概率，即至多有一个
发生的概率.
9.A解：，把的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数
的图象，故选：A．
10.B解：根据线面关系的判定定理和性质分别判断即可.对A，若，，则或，故A错误；对B，若
，，则或，异面，故B错误；对C，若，，则由线面垂直的性质可得，故C正确；
对D，若，，则或，故D错误.故选：C.
11.A解：函数，，.故选：A.推导出，从而
，
12.A解：利用对数函数的性质，比较，的大小，将，与进行比较，即可得出答案．令，结合对数函数
性质，单调递增，，，．
二、填空题
13.解：=．故答案为：．
14.解：因为,故,所以函数必过定点.
15.解：函数，由，得
，∴函数的单调区间为．故答案为：
16.解：一个正方体的顶点都在球面上，且该正方体的表面积为，设正方体的棱长为，则，解得，
正方体的体对角线的长度就是外接球的直径，所以，所以外接球的表面积为：，故答案为：
.
17.解：用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为的样本，其中高二年级抽取人，高三年级抽取
人，高一年级要抽取人.该校高一年级共有学生人，每个个体被抽到的概率是.该校学
生总数是.
18.解：设,则,.又为奇函数,,即当时,.
三、解答题.
19.(1)解：根据正弦定理，
变为，即，
也即，所以．
整理，得，即，所以，所以，则．
(2)解：由，，得．由余弦定理，得，则，所以．则
20.解：(1)由频率分布直方图的性质得：解得；
(2)由频率分布直方图能求出：得分落在内的人数为：得分落在内的人数为：
(3)估计所有参赛选手得分的平均数为：，设所有的参赛选手得分的中位数为，则．解得，则所有参赛选手得分的众数估计值为：．
21.解：（1）由题意，除尘后y=2x2+（15-4k）x+120k+8+kx=2x2+（15-3k）x+120k+8，∵当日产量x=1时，总成本y=142，代入计算得k=1；
（2）由（1）y=2x2+12x+128，总利润L=48x-（2x2+12x+128）=36x-2x2-128，（x＞0）每吨产品的利润==36-2（x+）
≤36-4=4，当且仅当x=，即x=8时取等号，∴除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为
4万元．
22.解：（1）证明：侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，可得AB⊥AA1，又∵AB⊥AC，AC∩AA1=A，∴AB⊥平面AA1C1C，且A1C 平面AA1C1C，∴AB⊥A1C.
（2）解：因为几何体是棱柱，BB1AA1，则直线A1C与AA1所成的角就是异面直线A1C与BB1所成的角．直三棱柱ABC-A1B1C1
中，侧棱AA1⊥平面ABC，AC=AA1，∴三角形CAA1是等腰直角三角形，=45°．∴异面直线A1C与BB1所成角的大小为45°．2024年广东省普通高中数学科学业水平考试模拟试题
一、单选题
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.如果角的终边经过点，那么的值是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是( )．
A. B. C. D.
4.不等式的解集是( )
A. B. C. D.
5.已知向量,向量,且,则实数等于( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
7.已知扇形的圆心角为弧度，半径为，则扇形的面积是( ).
A. B. C. D.
8.已知，是两个相互独立事件，，分别表示它们发生的概率，则表示的是( )
A. 事件，同时发生的概率 B. 事件，至少有一个发生的概率
C. 事件，至多有一个发生的概率 D. 事件，都不发生的概率
9.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )
A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度
10.已知直线，和平面( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
11.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
12.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.i是虚数单位，复数=____．
14.当且时,函数必过定点____.
15.函数的单调递减区间为____．
16.一个正方体的顶点都在球面上，且该正方体的表面积为，则该球的表面积为____.
17.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为的样本，其中高二年级抽取人，高三年级抽取人，已知
该校高一年级共有人，则该校学生总数为____.
18.奇函数在上的表达式为,则在上的表达式为____.
三、解答题
19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．(1)求；(2)若，且
的面积为，求，．
20. 某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分技能，，，
，分组，绘成频率分布直方图（如图）
(1)求x的值；
(2)分别求出抽取的人中得分落在唱和内的人数；
(3)估计所有参赛选手得分的平均数、中位数、众数．
21.近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单
位：吨）之间的函数关系式为y=2x2+（15-4k）x+120k+8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每
吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量x=1时，总成本y=142．（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，
试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？
22. 如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，且AC=AA1．（1）求证：AB⊥A1C；（2）求异面直线A1C与
BB1所成角的大小．
