专题22.1二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2c(a≠0)图象与性质 （含解析）2023-2024学年九年级数学上册人教版专项讲练

专题22.1 二次函数(a≠0)与+c(a≠0)图象与性质
（知识梳理与题型讲解）
【知识点1】二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的函数是二次函数
若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.
【知识点2】二次函数(a≠0)的图象及性质
1.二次函数(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0
特别说明：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
【知识点2】二次函数(a≠0)的图象及性质
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
（1）
（2）
2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
函数
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，c) (0，c)
对称轴 y轴 y轴
函数变化 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.
最大（小）值 当时， 当时，
3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.
特别说明：
抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．
函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
【考点一】二次函数 概念的理解与认识 定义★★参数★★解析式
1．若函数是关于x的二次函数，求m的值．
2．下列函数属于二次函数的是( )
A． B． C． D．
3．用长为的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y ，一边长为，用含有x的代数式表示y为 ，自变量x的取值范围是 ．
【考点二】二次函数(a≠0)的图象 图象★★解析式
4．已知二次函数的图象经过点．求：
(1)该函数解析式及对称轴；
(2)试判断点是否在此函数的图象上．
5．已知y=是二次函数且其图象开口向上，求m的值和函数解析式．
6．在同一平面直角坐标系中，画出和的图象．
【考点三】二次函数(a≠0)的性质 对称轴★开口方向★顶点坐标★增减性
7．已知函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件m的值．
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？
(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小．
8．根据下列条件分别求a的取值范围．
(1)函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝有最大值；
(3)抛物线与的形状相同；
(4)函数的图象是开口向上的抛物线．
9．已知函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的k的值；
（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？
【考点四】二次函数(a≠0)的图象与性质★★几何综合
10．如图，在正方形中，已知：点A，点B在抛物线上，点C，点D在x轴上．
(1)求点A的坐标；
(2)连接交抛物线于点P，求点P的坐标．
11．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
12．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为．
(1)求，的值；
(2)若于点，．试说明点在抛物线上．
【考点五】二次函数+c(a≠0)的图象性质 对称轴★顶点坐标★开口方向
13．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
14．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
，，．
（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
15．求符合下列条件的抛物线的表达式.
（1）与的开口大小相同，方向相反；
（2）经过点（-3,2）.
【考点六】二次函数+c(a≠0)的图象性质 图象位置
16．当时，二次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
17．函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
18．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点七】二次函数+c(a≠0)的图象性质 增减性
19．已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
20．已知抛物线过点和点．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当为何值时，函数随的增大而增大．
21．已知都在函数图象上，则的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【考点八】二次函数+c(a≠0)的图象性质 几何综合
22．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A． B． C． D．
23．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ．
试卷第2页，共8页
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参考答案：
1．1
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，，
解得，
∴的值为1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数，据此判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
C、，是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、的右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的判定，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．
3．
【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式即可得出y与x的关系式．
【详解】解：①由题意可知，这个长方形的周长为
又因为一边长为，
所以另一边长为
又∵长方形面积长宽，
，
所以．
②∵，
∴
∴自变量x的取值范围是．
故答案为：①；②．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，准确分析列式是解题的关键．
4．(1)，对称轴为y轴
(2)点不在此函数的图象上
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可；
（2）求出当，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为y轴；
（2）解：在中，当时，，
∴点不在此函数的图象上．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
5．m=1，y=
【分析】根据二次函数的定义，得m2+m=2且m+1>0，确定m的值，然后把m的值代入函数式即可得到答案．
【详解】解：∵函数是二次函数且其图象开口向上，
∴，
解得：m=1，
∴二次函数的解析式为：y=．
【点睛】本题考查了二次函数的定义及性质，二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是： a、b、c为常数且a≠0，自变量最高次数为2．当a<0时，二次函数图象开口向下；当a＞0时，二次函数图象开口向上．
6．见解析
【分析】用列表，描点，连线的方法，即可作出图象．
【详解】解：列表如下：
x 0 1 2
12 0 3 12
0
描点：如图所示，以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，则和的图象如图所示．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，根据已知函数解析式画出图象是解本题的关键．
7．(1)2或
(2)当时，抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大
(3)当时，二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小
【分析】（1）根据二次函数的定义可求得m的值；
（2）根据二次函数的性质得当时，抛物线有最低点，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性；
（3）根据二次函数的性质得到当时，抛物线开口向下，函数有最大值，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性．
【详解】（1）解：根据题意得且，
解得，，
所以满足条件的m值为2或．
（2）解：当时，抛物线有最低点，
所以，
此时抛物线解析式为，
所以抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大．
（3）解：当时，抛物线开口向下，函数有最大值；
此时抛物线解析式为，
所以二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的最值，解决本题的关键是要注意二次函数的二次项系数不为零．
8．(1) ；
(2) ；
(3) 或 ；
(4) ．
【分析】（1）根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案；
（2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；
（3）根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数；
（4）根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．
【详解】（1）解：由题意得 ，
解得 ．
（2）由题意得 ，
解得 ．
（3）由题意得 或 ，
解得 或 ；
（4）函数土象开口向上
．
【点睛】本题考查了二次函数图象得性质，解决本题的关键是根据二次函数图象性质求解．
9．（1）；（2）k＝1，最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大；（3）k＝3，最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．
【分析】（1）由于函数是二次函数，所以x的次数为2，且系数不为0，即可求得满足条件的k的值；
（2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质即可知函数的单调区间；
（3）函数有最小值，则开口向上，然后根据二次函数性质可求得最小值，即可知函数单调区间．
【详解】解：（1）∵函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，
∴k满足，且k﹣2≠0，
∴解得：；
（2）∵抛物线有最高点，
∴图象开口向下，即k﹣2＜0，结合（1）所得，
∴k＝1，
∴最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大．
（3）∵函数有最小值，
∴图象开口向上，即k﹣2＞0，
∴k＝3，
∴最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的定义、待定系数法求解析式、解一元二次方程以及二次函数图像的性质；解决本题的关键在于知道二次函数的表达形式，用待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数图像的性质．
10．(1)
(2)P点的坐标为
【分析】（1）根据题意设，则，代入抛物线的解析式即可求得，得到；
（2）根据待定系数法求得直线的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组即可求得P点的坐标．
【详解】（1）解：由题意可设，则，
∵点A在抛物线上，
∴，
∴或（舍去），
∴；
（2）解：设直线的解析式，
∵，，
∴，解得，
∴直线为，
由解得或，
∴P点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解题的关键．
11．(1)抛物线解析式为
(2)
【分析】(1)把B(1,1)代入得，从而得到抛物线解析式；
(2)先根据待定系数法求直线AB的解析式，再联立直线和抛物线解析式解方程组，求出C
的坐标，然后求出，再根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式，解出t的值即可得到D点坐标．
【详解】（1）把代入得：，
∴抛物线解析式为；
（2）设直线AB的函数解析式为，
把，代入得：，，
∴直线AB的解析式为，
将与联立得：
或，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了待定系数法求一次函数解析式．
12．(1)，
(2)见解析
【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可．
（2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论．
【详解】（1）把点A（-4，8）代入，得：
∴；
把点A（-4，8）代入，得：
∴；
（2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．
∵直线AB的解析式为y=-x+6，
令x=0，则y=6
∴C（0，6），
∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°，
∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°，
∴∠ACM=∠CDN，
∵CA=CD，
∴△AMC≌△CND（SAS），
∴CN=AM=4，DN=CM=2，
∴D（-2，2），
当x=-2时，y=×22=2，
∴点D在抛物线y=x2上．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．见解析
【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可．
【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 轴
向上 轴
向上 轴
【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键．
14．（1）抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．
【分析】（1）首先利用取值、描点、连线的方法作出三个函数的图象，根据二次函数图象，可得二次函数的开口方向，对称抽，顶点坐标，通过观察归纳它们之间的关系．
（2）由（1）的规律可得抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【详解】解：（1）列表：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 2 0 2 …
描点、连线，可得抛物线．
将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）．
抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．
（2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象，发现图象的变化规律是解答此题的关键．
15．（1）；（2）.
【分析】（1）根据两抛物线开口大小相同，方向相反时，二次项系数化为相反数解答即可；
（2）把x=-3，y=2代入解析式求出a的值即可；
【详解】解：（1）∴函数与的开口大小相同，方向相反，
∴，
∴；
（2）将点（-3，2）代入，得
，解得，
∴所求抛物线的表达式为.
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，正确代入计算、理解函数性质是解题的关键．
16．D
【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：，
∵，
∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：，
故选D．
【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
17．C
【分析】先根据的顶点坐标为判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断 则 从而可得答案．
【详解】解：由的顶点坐标为
故A，B不符合题意；
由C，D中二次函数的图象可得：
函数y＝ax－a过一，二，四象限，
故C符合题意，D不符合题意，
故选C
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键．
18．D
【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．
【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）
A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；
B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；
C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；
D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．
19．(1)或
(2)
【分析】（1）根据二次函数的定义可得，，即可求解；
（2）点，，且，可得在对称轴右边，y随x的增大而减小，即可进行解答．
【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得：或．
（2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，
∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∴，解得
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为0，次数最高为2；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
20．（1）；（2）当时，函数随的增大而增大
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线过点和点，
，解得
∴这个函数得关系式为：．
（2）∵二次函数开口向下，对称轴为x=0，
∴当时，函数随的增大而增大．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
21．A
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出，，的值，然后比较它们的大小．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，，
所以．
故选：A．
【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把坐标代入解析式．
22．B
【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．
【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点，
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
23．2
【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．
【详解】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，
当点P在x轴上方时，∴x2-1>0,
∴PH=|x2-1|=x2-1，
在Rt△OHP中，由勾股定理，得
OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，
∴OP=x2+1，
∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键．
答案第12页，共15页
答案第11页，共15页