1.5 有理数的乘方同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.5 有理数的乘方同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 486.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-19 20:18:28 | ||
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文档简介
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1.5 有理数的乘方 同步练习
一、选择题
1．所表示的意义是 （ ）
A．乘 B．个相乘 C．个相加 D．个相乘
2．国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中相等的是（ ）
A．和 B．与 C．和 D．和
4．有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
5．由四舍五入法得到的近似数2.10万精确到的数位是（ ）
A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位
6．某种细菌每0.5小时便由一个分裂成2个，经过3小时后，这种细菌由一个能分裂成（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（ ）
甲： 乙：
丙： 丁：
A．甲和丙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁
8．若，，且，则的值等于（ ）
A．1或5 B．1或 C．或 D．或5
二、填空题
9．的底数是 ．
10．用科学记数法表示的原数 ； ．
11．用四舍五入法取近似值为3.30，那么这个数精确到 位．
12．当整数为 时，；若是正整数，则 ．
13．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 ．
14．对于有理数、，定义一种新运算，规定，则 ．
三、解答题
15．（1）用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③0.027×104；④-70890．
（2）把下列用科学记数法表示的数还原成原数：①3.5×106；②1.20×105；③-9.3×104；④-2.34×108．
（3）下列的数各是几位数？①6×108；②1.4×107；③1019；④5.2×10n．
16．计算：
(1)； (2)．
17．设都表示有理数，规定一种新运算“”：当时，；当时，．
例如：；．
(1)求的值；
(2)求
18．概率学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．
初步探究
(1)直接写出计算结果： 、 ；
(2)关于除方，下列说法错误的是 ．
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；
C． ；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算
(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
的圈4次方 ；
的圈6次方 ；
(4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式＝ ；
(5)算一算：．
参考答案
1．D
【分析】根据乘方的定义解答即可．
【详解】表示个相乘，
故选：D
【点睛】本题主要考查了乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作，a叫做底数，n叫做指数，乘方的结果叫做幂．熟练掌握乘方的定义是解题的关键．
2．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：用科学记数法表示502000为．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
3．D
【分析】根据有理数的乘方运算法则及乘法运算分别进行计算，从而作出判断．
【详解】解：、，，故此选项不符合题意；
、，，故此选项不符合题意；
、，，故此选项不符合题意；
、，，故此选项符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查有理数的乘方运算，理解有理数乘方中的底数，以及正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数是解题关键．
4．D
【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可．
【详解】解：①，
②，
③，
④，
∴其中结果等于的是：①②③④．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”．
5．C
【分析】根据万，找出数字1后面第1个0的数位即可得．
【详解】解：∵万，数字1后面第1个0的数位是百位，
∴由四舍五入法得到的近似数万精确到的数位是百位，
故选：C．
【点睛】本题考查了近似数的精确度，解题的关键是熟练掌握精确度的概念：精确度表示一个近似数与准确数的接近程度，一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位．
6．C
【分析】仔细读题用2的乘方即可表示．
【详解】解：3小时，即6个半小时，
所以这种细菌由一个能分裂成：个，
故选：C
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．
7．C
【分析】据甲乙丙丁的式子计算出正确的结果，从而解答本题即可．
【详解】解：，故甲的做法是错误的；
，故乙的做法是错误的；
，故丙的做法正确；
，故丁的做法错误．
故选：C．
【点睛】本题考查有理数混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
8．A
【分析】根据绝对值的意义以及乘方的逆运算得出的值，代入求值即可，注意分类讨论．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
当时，；
当时，；
综上，的值等于或，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，乘方的逆运算等知识点，运用分类讨论的思想结合绝对值的意义解题是关键．
9．m
【分析】根据幂的相关定义处理；
【详解】解：的底数为m，
故答案为：m
【点睛】本题考查幂的相关定义；理解幂的相关定义是解题的关键．
10．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：，
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
11．百分
【分析】确定0所在的数位，即可．
【详解】解：用四舍五入法取近似值为3.30，那么这个数精确到百分位，
故答案为：百分．
【点睛】本题考查近似数的精确值．熟练掌握数位的确定方法，是解题的关键．
12． 奇数 0
【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案．
【详解】解：当整数为奇数时，；
当整数为奇数时，则为偶数，
∴，
当整数为偶数时，则为奇数，
；
故答案为：奇数，0
【点睛】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键．
13．
【分析】由a、b互为相反数，可得，由c、d互为倒数，可得，进而即可求解；
【详解】解：∵a、b互为相反数，
∴，
∵c、d互为倒数，
∴，
∴．
故答案为；．
【点睛】本题主要考查相反数、倒数的性质、有理数的乘方，掌握相关知识是正确求解的关键．
14．7
【分析】根据新定义把新运算转化为常规运算进行解答便可．
【详解】解：
，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，读懂新定义运算是解题的关键．
15．（1）①2.021×103；②5.76×106；③2.7×102；④-7.089×104；（2）①3500000；②120000；③-93000；④-234000000；（3）①是9位数；②是8位数；③是20位数；④是(n+1)位数．
【分析】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数；
（2）将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数；
（3）将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就得出这个数是几位数．
【详解】解：（1）用科学记数法表示各数分别为：
①2.021×103；②5.76×106；③2.7×102；④-7.089×104；
（2）把科学记数法表示的数还原成原数为：
①3500000；②120000；③-93000；④-234000000；
（3）①还原成原数是600000000，是9位数；
②还原成原数是14000000，是8位数；
③还原成原数是10000000000000000000，是20位数；
④还原成原数是5200…0[有(n-1)个0]，是(n+1)位数．
【点睛】此题考查了科学记数法表示数的方法和还原原数．解题的关键是明确科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据乘方的法则，有理数的混合运算顺序计算即可；
（2）根据乘方的法则，绝对值的意义，有理数的混合运算顺序计算即可；
【详解】（1）解：原式，
，
，
；
（2）解：原式，
，
，
．
【点睛】本题考查了乘方的法则，绝对值的意义，有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序，准确计算是本题的关键．
17．(1)16
(2)64
【分析】（1）根据新定义运算的含义列式计算即可；
（2）根据新定义运算的法则先计算括号内的运算，再利用新定义计算后面的运算即可．
【详解】（1）解：∵当时，；当时，．
∴；
（2）∵当时，；当时，．
∴
；
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，新定义运算的含义，理解题意，明确运算的含义是解本题的关键．
18．(1)
(2)C
(3)（﹣）2，（﹣）4；
(4)（）n﹣2；
(5)
【分析】（1）分别按公式进行计算即可；
（2）根据定义依次判定即可；
（3）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
（4）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则；
（5）将（2）中规律代入计算，注意运算顺序．
【详解】（1）解：，
．
故答案为：，；
（2）解：、任何非零数的圈2次方就是两个相同的非零数相除，所以都等于1；故选项说法正确；
、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1；故选项说法正确；
、，，则；故选项说法错误；
、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．故选项说法正确；
故答案为：C；
（3）解：将写成幂的形式为：，
的圈4次方，
5的圈5次方；
的圈6次方．
故答案为：，；
（4）解：．
故答案为：；
（5）解：
．
【点睛】本题考查了新运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义．
1.5 有理数的乘方 同步练习
一、选择题
1．所表示的意义是 （ ）
A．乘 B．个相乘 C．个相加 D．个相乘
2．国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中相等的是（ ）
A．和 B．与 C．和 D．和
4．有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
5．由四舍五入法得到的近似数2.10万精确到的数位是（ ）
A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位
6．某种细菌每0.5小时便由一个分裂成2个，经过3小时后，这种细菌由一个能分裂成（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（ ）
甲： 乙：
丙： 丁：
A．甲和丙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁
8．若，，且，则的值等于（ ）
A．1或5 B．1或 C．或 D．或5
二、填空题
9．的底数是 ．
10．用科学记数法表示的原数 ； ．
11．用四舍五入法取近似值为3.30，那么这个数精确到 位．
12．当整数为 时，；若是正整数，则 ．
13．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 ．
14．对于有理数、，定义一种新运算，规定，则 ．
三、解答题
15．（1）用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③0.027×104；④-70890．
（2）把下列用科学记数法表示的数还原成原数：①3.5×106；②1.20×105；③-9.3×104；④-2.34×108．
（3）下列的数各是几位数？①6×108；②1.4×107；③1019；④5.2×10n．
16．计算：
(1)； (2)．
17．设都表示有理数，规定一种新运算“”：当时，；当时，．
例如：；．
(1)求的值；
(2)求
18．概率学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．
初步探究
(1)直接写出计算结果： 、 ；
(2)关于除方，下列说法错误的是 ．
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；
C． ；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算
(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
的圈4次方 ；
的圈6次方 ；
(4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式＝ ；
(5)算一算：．
参考答案
1．D
【分析】根据乘方的定义解答即可．
【详解】表示个相乘，
故选：D
【点睛】本题主要考查了乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作，a叫做底数，n叫做指数，乘方的结果叫做幂．熟练掌握乘方的定义是解题的关键．
2．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：用科学记数法表示502000为．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
3．D
【分析】根据有理数的乘方运算法则及乘法运算分别进行计算，从而作出判断．
【详解】解：、，，故此选项不符合题意；
、，，故此选项不符合题意；
、，，故此选项不符合题意；
、，，故此选项符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查有理数的乘方运算，理解有理数乘方中的底数，以及正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数是解题关键．
4．D
【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可．
【详解】解：①，
②，
③，
④，
∴其中结果等于的是：①②③④．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”．
5．C
【分析】根据万，找出数字1后面第1个0的数位即可得．
【详解】解：∵万，数字1后面第1个0的数位是百位，
∴由四舍五入法得到的近似数万精确到的数位是百位，
故选：C．
【点睛】本题考查了近似数的精确度，解题的关键是熟练掌握精确度的概念：精确度表示一个近似数与准确数的接近程度，一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位．
6．C
【分析】仔细读题用2的乘方即可表示．
【详解】解：3小时，即6个半小时，
所以这种细菌由一个能分裂成：个，
故选：C
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．
7．C
【分析】据甲乙丙丁的式子计算出正确的结果，从而解答本题即可．
【详解】解：，故甲的做法是错误的；
，故乙的做法是错误的；
，故丙的做法正确；
，故丁的做法错误．
故选：C．
【点睛】本题考查有理数混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
8．A
【分析】根据绝对值的意义以及乘方的逆运算得出的值，代入求值即可，注意分类讨论．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
当时，；
当时，；
综上，的值等于或，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，乘方的逆运算等知识点，运用分类讨论的思想结合绝对值的意义解题是关键．
9．m
【分析】根据幂的相关定义处理；
【详解】解：的底数为m，
故答案为：m
【点睛】本题考查幂的相关定义；理解幂的相关定义是解题的关键．
10．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：，
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
11．百分
【分析】确定0所在的数位，即可．
【详解】解：用四舍五入法取近似值为3.30，那么这个数精确到百分位，
故答案为：百分．
【点睛】本题考查近似数的精确值．熟练掌握数位的确定方法，是解题的关键．
12． 奇数 0
【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案．
【详解】解：当整数为奇数时，；
当整数为奇数时，则为偶数，
∴，
当整数为偶数时，则为奇数，
；
故答案为：奇数，0
【点睛】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键．
13．
【分析】由a、b互为相反数，可得，由c、d互为倒数，可得，进而即可求解；
【详解】解：∵a、b互为相反数，
∴，
∵c、d互为倒数，
∴，
∴．
故答案为；．
【点睛】本题主要考查相反数、倒数的性质、有理数的乘方，掌握相关知识是正确求解的关键．
14．7
【分析】根据新定义把新运算转化为常规运算进行解答便可．
【详解】解：
，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，读懂新定义运算是解题的关键．
15．（1）①2.021×103；②5.76×106；③2.7×102；④-7.089×104；（2）①3500000；②120000；③-93000；④-234000000；（3）①是9位数；②是8位数；③是20位数；④是(n+1)位数．
【分析】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数；
（2）将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数；
（3）将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就得出这个数是几位数．
【详解】解：（1）用科学记数法表示各数分别为：
①2.021×103；②5.76×106；③2.7×102；④-7.089×104；
（2）把科学记数法表示的数还原成原数为：
①3500000；②120000；③-93000；④-234000000；
（3）①还原成原数是600000000，是9位数；
②还原成原数是14000000，是8位数；
③还原成原数是10000000000000000000，是20位数；
④还原成原数是5200…0[有(n-1)个0]，是(n+1)位数．
【点睛】此题考查了科学记数法表示数的方法和还原原数．解题的关键是明确科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据乘方的法则，有理数的混合运算顺序计算即可；
（2）根据乘方的法则，绝对值的意义，有理数的混合运算顺序计算即可；
【详解】（1）解：原式，
，
，
；
（2）解：原式，
，
，
．
【点睛】本题考查了乘方的法则，绝对值的意义，有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序，准确计算是本题的关键．
17．(1)16
(2)64
【分析】（1）根据新定义运算的含义列式计算即可；
（2）根据新定义运算的法则先计算括号内的运算，再利用新定义计算后面的运算即可．
【详解】（1）解：∵当时，；当时，．
∴；
（2）∵当时，；当时，．
∴
；
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，新定义运算的含义，理解题意，明确运算的含义是解本题的关键．
18．(1)
(2)C
(3)（﹣）2，（﹣）4；
(4)（）n﹣2；
(5)
【分析】（1）分别按公式进行计算即可；
（2）根据定义依次判定即可；
（3）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
（4）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则；
（5）将（2）中规律代入计算，注意运算顺序．
【详解】（1）解：，
．
故答案为：，；
（2）解：、任何非零数的圈2次方就是两个相同的非零数相除，所以都等于1；故选项说法正确；
、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1；故选项说法正确；
、，，则；故选项说法错误；
、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．故选项说法正确；
故答案为：C；
（3）解：将写成幂的形式为：，
的圈4次方，
5的圈5次方；
的圈6次方．
故答案为：，；
（4）解：．
故答案为：；
（5）解：
．
【点睛】本题考查了新运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义．