人教A版（2019）必修第一册3.2.1 单调性与最大（小）值（第1课时）课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
第三章
函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.1单调性与最大（小）值
（第1课时）
新课导入
前面我们学习了函数的定义及表示法，知道函数描述了客观世界中变量之间的一种对应关系.这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律.因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法.
我们知道，先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以得到函数的一些性质.观察下图中的各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？
变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质
新课讲解
一、单调性的定义
在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质，这一性质叫做函数的单调性.下面进一步用符号语言刻画这种性质.
先研究二次函数的单调性.画出它的图象（如图），可以看到：
图象在轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，当时，随的增大而减小.
用符号语言描述，就是任意取，得到，，那么当时，有.这时我们就说函数在区间上是单调递减的.
图象在轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当时，随的增大而增大.用符号语言描述，任意取，得到，，那么当时，有.这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间.
注：(1)函数单调性关注的是整个区间上 的性质，单独一点不存 在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间 定义域
(3)遵循最简原则， 单调区间应尽可能大；
(4)单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
函数单调性的性质
(1)错误;例如在的定义域上取某些符合题设条件的值，但并不能说明函数在由这些值组成的区间上单调递增(区间的连续性)
(2) ；
例1 根据定义，研究函数 ( )= + ( ≠0)的单调性.
解：函数的定义域是.
且，则
由，得，所以
①当时，.
于是，即.
这时，是增函数.
②当时，.于是
，即.
这时，是减函数.
例2 物理学中的玻意耳定律(为正常数)告诉我们，对于一定量气体，当其体积减小时，压强将增大.试对此用函数的单调性证明.
证明：且，则
由，得；
由，得.
又，于是，即.
所以，根据函数单调性的定义，函数，是减函数.也就是说，当体积减小时，压强将增大.
例3 根据定义证明函数在区间上单调递增.
证明：且，有
由，得，.
所以，.
又由，得.
于是，即.
所以，函数在区间上单调递增.
定义法证明函数单调性的步骤
①取值：设为该区间内任意的两个值，且
②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形
③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论
④判断：根据定义做出结论。
练习（P79）
练习（P79）
常见题型分类
题型一：理解单调性定义
C
不能；不能（比如某些分段函数）
题型二：利用定义法证明函数单调性
题型三：求函数的单调性或单调区间
B
D
题型四：利用函数单调性比较大小
B
A
题型五：利用函数单调性解不等式
C
题型六：根据函数的单调性求参数范围
D
A
B
课堂小结
一、单调性的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
函数单调性的性质
定义法证明函数单调性的步骤