专题22.13二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 直通中考基础练（含解析）2023-2024学年九年级数学上册人教版专项讲练

专题22.13 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象与性质
（直通中考）（基础练）
【要点回顾】二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象与性质
开口方向：时，开口向上；，开口向下，
对称轴：
顶点坐标：
；
一、单选题
（2023·辽宁大连·统考中考真题）
1．已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
（2023·湖南·统考中考真题）
2．如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）

A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对
（2023·陕西·统考中考真题）
3．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
（2023·贵州·统考中考真题）
4．已知，二次数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023·辽宁营口·统考中考真题）
5．如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022·辽宁阜新·统考中考真题）
6．下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点在函数图像上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点
（2022·甘肃兰州·统考中考真题）
7．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2022·广西贺州·统考中考真题）
8．已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022·陕西·统考中考真题）
9．已知二次函数y=x2 2x 3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当 13时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2022·广东广州·统考中考真题）
10．如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小
二、填空题
（2023·山东泰安·统考中考真题）
11．二次函数的最大值是 ．
（2023·内蒙古·统考中考真题）
12．已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为 ．
（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
13．抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ．
（2022·江苏徐州·统考中考真题）
14．若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ．
（2013·贵州贵阳·中考真题）
15．已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是 ．
（2022·辽宁锦州·统考中考真题）
16．如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：
①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）
（2020·四川广安·中考真题）
17．已知二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0），当自变量x分别取，0，4时，所对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系为 （用“＜”连接）．
（2020·广西贵港·中考真题）
18．如图，对于抛物线，，，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点；②抛物线的对称轴可由抛物线的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
（2021·江苏盐城·统考中考真题）
19．已知抛物线经过点和．
（1）求、的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
20．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
（2023·广东深圳·统考三模）
21．如图，抛物线经过点，点，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
（2023·黑龙江鸡西·校考三模）
22．如图，抛物线与轴交于，两点，是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)作轴于点，为抛物线上位于点，之间的一点，连接，若恰好平分的面积，求点的坐标．
（2023·河北承德·统考一模）
23．如图，是某位同学设计的动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线．抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线上．
(1)若，且抛物线顶点纵坐标为3，求、的值；
(2)试推断：与的数量关系；
(3)横、纵坐标都是整数的点称为整点，若抛物线的顶点恰好是整点时，抛物线就会改变颜色．那么，当时，这组抛物线中有几条会改变颜色．
（2023·江苏徐州·统考一模）
24．如图，已知抛物线经过点和点，其对称轴交轴于点，点是抛物线在直线上方的一个动点（不含，两点）．
(1)求、的值．
(2)连接、，若的面积是的面积的倍，求点的坐标．
(3)若直线、分别交该抛物线的对称轴于点、，试问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，当时，函数的最小值为，
当时，，当时，，
∴当时，函数的最大值为2，
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．C
【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分，两种情况讨论即可．
【详解】解：∵直线l为二次函数的图像的对称轴，
∴对称轴为直线，
当时，则，
当时，则，
∴a，b异号，
故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在y轴的右侧列不等式是解本题的关键．
3．D
【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．
【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，
∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，
∴，
∴，
∴，
∴当时，二次函数有最小值，最小值为，
故选：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．
4．D
【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点所在象限．
【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
，，
，
在第四象限，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限，解题的关键是根据二次函数的图象判断出a和b的符号．
5．C
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线对称轴为直线，故②正确；
∴，
∴，
∴，故①错误；
由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键．
6．D
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【详解】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
7．B
【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．
8．D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
9．B
【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解．
【详解】解：y=x2 2x 3=(x-1)2-4，
∴对称轴为直线x=1，
令y=0，则(x-1)2-4=0，
解得x=-1或3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
二次函数y=x2 2x 3的图象如图：
由图象知．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键．
10．C
【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
11．
【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：利用配方法，将一般式化成顶点式：
二次函数开口向下，
顶点处取最大值，
即当时，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决问题的关键，也是易错点．
12．2
【分析】将点代入函数解析式求解即可．
【详解】解：点在上，
∴，
，
解得：(舍去)
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．
13．（3，5）
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为（1，2），
∵将抛物线y=（x-1）2+2再向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故答案为：（3，5）．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
14．4
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
15．m≥﹣2
【详解】抛物线的对称轴为直线，
∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．
故答案为m≥﹣2．
16．①②③
【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．
【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点和点，则对称轴，故，故③正确；
④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
17．＜＜
【分析】根据题意可得该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3，从而得出当x＜3时，y随x的增大而增大，点（4，）关于对称轴直线x=3的对称点为（2，），然后比较横坐标的大小即可得出结论．
【详解】解：∵二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0），
∴该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，点（4，）关于对称轴直线x=3的对称点为（2，）
∵0＜2＜＜3
∴＜＜
故答案为：＜＜．
【点睛】此题考查的是二次函数图象的性质，掌握抛物线对称轴两侧的增减性的判断方法是解题关键．
18．①②④
【分析】根据抛物线图象性质及配方法解题．
【详解】将分别代入抛物线，，中，可知，这三条抛物线都经过点C，故①正确；
抛物线的对称轴为，
抛物线的对称轴为，可由向右平移1个单位而得到，故②正确；
抛物线的顶点为A
抛物线的顶点为B
抛物线的顶点为C
，
三条抛物线的顶点不在同一条直线上，故③错误；
将分别代入三条抛物线，得0或1，0或2，0或3，
可知，相邻两点之间的距离相等，故④正确，
综上所述，正确的是①②④，
故选：①②④．
【点睛】本题考查二次函数的性质，其中涉及将一般式化为顶点式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19．（1），；（2）
【分析】（1）将点和，代入解析式求解即可；
（2）将，按题目要求平移即可．
【详解】（1）将点和代入抛物线得：
解得：
∴，
（2）原函数的表达式为:，
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：
平移后的新函数表达式为:
即
【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式求出点的坐标，再利用中点坐标公式可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得，
则该抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的顶点坐标为，
当时，，即，
为的中点，且，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、两点之间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知得出点，进而待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据解析式化为顶点式求得，待定系数法求得直线的解析式，过点作轴于点，交于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，且．
∴，
即，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵，
∴,
如图所示，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)点的坐标为
【分析】（1）根据顶点坐标得出抛物线对称轴为直线，继而得出点的坐标为，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意经过的中点，待定系数法求得直线解析式，进而联立抛物线解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵是抛物线的顶点，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∵点，在抛物线图像上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵恰好平分的面积，
∴经过的中点，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的表达式为，
∵直线：与抛物线交于点，，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，直线与抛物线的交点问题，中点坐标公式，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为，根据顶点坐标公式即可求解；
（2）根据顶点始终在直线上，列出等式，即可求解；
（3）根据对称轴为直线且为整数，得出的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵，则，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：依题意，顶点始终在直线上
∴，又，
解得：，
（3）解：∵，
∴，顶点在上，
∵对称轴为直线是整数
∴当
∴当时，这组抛物线中有8条会改变颜色
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题的关键．
24．(1)，
(2)或
(3)是，
【分析】（1）将点代入，可求出二次函数解析式，再令，可求出的值；
（2）根据题意得，直线的表达式：，如图所示（见详解），过点作轴交于，交轴于，可设点的坐标为，且，则点，的面积是的面积的倍，由此即可求解；
（3）由（2）可知，直线的表达式为：，用含的式子分别表示出，，即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，解得，即，
令，代入，解得．
∴，．
（2）解：根据题意得，，直线的表达式：，
如图所示，过点作轴交于，交轴于，
∵点在二次函数图像上，
∴设点的坐标为，且，则点，
∵，
∴，即，解得，，
∴点的坐标为或．
（3）解：为定值，
由（2）可知，直线的表达式为：，
令，则点的坐标为
∴，
同理可得：点的坐标为
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数的综合，掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像与二次函数图像的交点坐标的计算方法，图形的变换时解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页