专题22.20二次函数图象的对称性 分层练习基础练（含解析）2023-2024学年九年级数学上册人教版专项讲练

专题22.20 二次函数图象的对称性（分层练习）（基础练）
【知识要点】
（1） 二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1， x2 其对应的纵坐标相等那么对称轴：
（2）与抛物线y=ax2 +bx+c（a≠0）关于 y轴对称的函数解析式：y=ax2 -bx+c（a≠0）
与抛物线y=ax2 +bx+c（a≠0）关于 x轴对称的函数解析式：y=-ax2 –bx-c（a≠0）
（3）当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；
当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；
一、单选题
1．已知抛物线经过A，B两点，则它的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定
2．已知抛物线过不同的两点和，若点在这条抛物线上，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．或
3．已知二次函数的图像上有两点和，则当时，二次函数的值是（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
4．如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于x的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为( )
A．-2 B．-1 C．0 D．3
5．已知二次函数（a为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数的自变量与函数值之间满足下列数量关系：
2 4 5
0.35 0.35 3
那么的值为（　　）
A．18 B．15 C．9 D．3
7．坐标平面上有一水平线与二次函数的图形，其中为一正数，且与二次函数图象相交于、两点，其位置如图所示．若：：，则的长度为(　　)
A．17 B．19 C．21 D．24
8．如图，A，B分别是抛物线上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y=3 B．y=6
C．y=9 D．y=36
9．下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 …
y … 4 0 0 a …
其中，a的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　）
A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6
二、填空题
11．抛物线经过和两点，则a值为 ．
12．某二次函数图象经过，，，那么该图象的对称轴的解析式为 ．
13．已知抛物线经过点，，若函数值y随x的值的增大而减小，则x的取值范围是 ．
14．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，正确的结论有 ．

15．二次函数图像上部分点的坐标满足如表：
x … …
y … …
那么m的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点为 ．
17．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ．
18．如图，在正方形中，，点E、F分别在边、上，且，将线段绕点F顺时针旋转90°至线段，连接，则线段的最小值为 ．
三、解答题
19．已知抛物线与x轴交于A，B两点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）．
(1)如图1，M为抛物线与y轴的交点，直线l为抛物线的对称轴，请画出点M关于直线l的对称点．
(2)如图2，四边形为平行四边形，请画出抛物线的对称轴．
20．已知抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标．
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在点处，并写出平移后抛物线的表达式．
21．如图，已知二次函数的图像经过点．

(1)求a的值和二次函数图像的顶点坐标．
(2)已知点在该二次函数图像上．
①当时，求n的值；
②当时，该二次函数有最大值，请结合函数图像求出m的值．
22．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．
23．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为___________；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点，使得﹖若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，抛物线经过点，与轴交于点过点且平行于轴的直线交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据A、B两点的纵坐标相等即可求解．
【详解】解：因为已知两点的纵坐标相同，都是9，
所以对称轴是直线．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，正确得出A、B两点关于抛物线的对称轴对称是解题关键．
2．A
【分析】根据对称性可得，代入解方程即可求解．
【详解】解：∵抛物线，对称轴为直线，
又抛物线过不同的两点和，
∴，
∴即，代入解析式，得，
解得：或，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．C
【分析】根据题意得出抛物线的对称轴为直线，也可表示为直线，可得，代入函数的解析式即可求得二次函数的值．
【详解】解：二次函数的图像上有两点和，
∴，
∴，
当时，二次函数．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，图像上的点坐标符合解析式是解题的关键．
4．A
【分析】根据抛物线与抛物线的对称轴相同，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为，
抛物线的对称轴为直线
抛物线的对称轴也是，
∴抛物线与x轴的另一个交点为
∴方程的另一个根为
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称轴方程是：．
5．D
【分析】先确定对称轴，根据把点A的对称点确定，转化为对称轴同侧的点，根据抛物线开口向上，对称轴的右侧y随x的增大而增大比较即可．
【详解】解：因为二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，
所以对称轴，
设点A的对称点为，
所以，
解得，
因为抛物线开口向上，
所以对称轴的右侧y随x的增大而增大，
因为，
所以．
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线的开口方向，增减性，对称性，熟练掌握增减性是解题的关键．
6．A
【分析】根据和时的y值相等，两点关于对称轴对称可得对称轴，再根据二次函数的对称性可求出时，，从而可得，然后代入求值即可得．
【详解】由表可知，和时的y值相等，即两点关于对称轴对称，
则该二次函数的对称轴是，
由二次函数的对称性得：时的y值与时的y值相等，即为，
将代入二次函数的解析式得：，
则，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性与对称轴，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
7．C
【分析】根据对称轴，结合即可求解．
【详解】解：设对称轴与交于点．
.
，
．
对称轴，．，
：：．
：：：：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数关于对称轴对称，结合图形，找到线段的长度是解题的关键．
8．C
【分析】根据抛物线的对称性可知B点的横坐标为3，代入抛物线解析式可求B点的纵坐标，从而可得直线AB的表达式．
【详解】∵线段AB⊥y轴，且AB＝6，
∴由抛物线的对称性可知，B点横坐标为3，
当x＝3时，，
∴直线AB的表达式y＝9．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性与点的坐标的关系，关键是根据对称性求B点的横坐标．
9．A
【分析】根据表格可求出该抛物线的对称轴为，从而得出当时，y的值和当时，y的值相等，即得出a的值为4．
【详解】解：∵时，；时，，
∴该二次函数的对称轴为，
∴当时，y的值和当时，y的值相等．
∵当时，，
∴当时，，
∴a的值为4．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的对称性．掌握二次函数图象关于其对称轴对称是解题关键．
10．C
【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离．
【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)，
∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)，
过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，
∴CE=C'E，
则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值；
∵直线yx+3，
设直线C'F的解析式为，
将C'(﹣2，﹣2)代入得：，
解得：，
∴C'F的解析式为yx，
解方程组，
得：，
∴F(，)，
∴C'F．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键．
11．3
【分析】由抛物线的对称轴公式建立方程求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过和两点，
∴对称轴为：直线，
解得：，
故答案为：3
【点睛】本题考查的是利用抛物线的对称轴公式求解，熟练的求解抛物线的对称轴是解本题的关键．
12．
【分析】根据二次函数的对称性可知，点 和点 关于二次函数的对称轴对称，根据对称轴，即可求得答案．
【详解】解：∵点 和点 关于二次函数的对称轴对称，
∴对称轴．
故答案为：．
【点睛】此题考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求二次函数的对称轴，注意抓住图象上点的特征，选用适当的方法解答．
13．
【分析】根据、的坐标特征确定出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质求解．
【详解】解：点，的纵坐标相同，
、是对称点，
对称轴，
当时，随的增大而减小；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据、的坐标求得对称轴．
14．②③④
【分析】利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴得到，则可对①③进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的一个交点坐标为，再根据二次函数的图象可对④进行判断．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，所以①错误，
，所以③正确；
抛物线的对称轴为直线，
当和时，函数值相等，所以②正确；
抛物线与轴的一个交点坐标为，
而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的一个交点坐标为，
当时，，所以④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是利用图象进行分析，得到相应系数的符号．
15．
【分析】根据二次函数的对称性解答即可．
【详解】解：、时的函数值相等都是，
函数图像的对称轴为直线
和也关于直线对称，
当和时的函数值也相等，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．
16．
【分析】根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的相关知识．
17．
【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．
【详解】解：如图，
在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1），
∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，
∴对称轴为x=1，顶点D（1，2），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1），
作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE
=DE+D′F+FG+GE′
=DE+D′E′
=，
∴四边形EDFG的周长的最小值为：．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键．
18．
【分析】过点作交于点，连接，过作于，根据四边形是正方形，将线段绕点顺时针旋转至线段，可得，，又，即可证明，得，四边形是平行四边形，故，设，可得，由二次函数性质可得答案．
【详解】解：过点作交于点，连接，过作于，如图：
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
将线段绕点顺时针旋转至线段，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
设，则，，
，
，
当时，最小为，
最小为，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接交l于点C，连接并延长交抛物线于点；
（2）延长交抛物线于点M，延长交抛物线于点N，分别连接，相交于点E，分别延长相交于点F，作直线即可．
【详解】（1）如图1，点即为所求．
（2）如图2，直线l即为所求．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．
20．(1)，
(2)把抛物线向左平移1个单位，向上平移个单位平移后抛物线的顶点落在点处；
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）根据顶点坐标和的坐标即可得出把抛物线向左平移一个单位，向上平移个单位平移后抛物线的顶点落在点处，进而得到平移后抛物线的表达式为
【详解】（1）解：抛物线经过，，三点，而、两点的纵坐标相同，
抛物线的对称轴为直线，
，即，
把的坐标代入得，
解得，
抛物线的表达式为，
，
顶点坐标为；
（2）解：抛物线的顶点为，，
把抛物线向左平移1个单位，向上平移个单位平移后抛物线的顶点落在点处，
∴平移后抛物线的表达式为．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．
21．(1)，顶点坐标为
(2)①；②或
【分析】（1）把点代入，解得a的值并配方，得，即得二次函数图像的顶点坐标；
（2）①把代入即可；②结合函数图像，即可得到当时，该二次函数有最大值时的m的值．
【详解】（1）解：将点代入，
得，解得，
∴二次函数的解析式为，
配方，得，
∴顶点坐标为；
（2）解：①将代入，得.
∴当时，.
②由（1）可知抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，如解图所示：

根据函数图像，若满足当时，该二次函数有最大值，则或，
∴或．
【点睛】本题主要考查二次函数图像性质以及应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练二次函数图像性质以及应用知识内容．
22．（1）二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣6；（2）对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣10）；（3）点P与点Q关于对称轴x＝2对称，m＝6，所以点Q到x轴的距离为6
【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）把二次函数解析式化为顶点式即可求解；
（3）将点P的坐标代入（1）中函数解析式求得m的值，然后根据二次函数的对称性可进行求解
【详解】解：（1）将A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）代入y＝ax2﹣4x+c，
得，解得，
所以二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣6；
（2）由y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10可知：
对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣10）；
（3）将P（m，m）坐标代入y＝x2﹣4x﹣6，得m＝m2﹣4m﹣6．
解得，
因为m＞0，所以m＝﹣1不合题意，舍去．所以m＝6，
所以P点坐标为（6，6）；
因为点P与点Q关于对称轴x＝2对称，所以点Q到x轴的距离为6．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）设抛物线的解析式为，再把代入求出的值即可；
（2）连接交于点，点即为所求，设，代入直线即可求解；
（3）根据（1）中抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴及顶点坐标，设出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，所以可得出的面积，进而得出点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设抛物线的解析式为，
∵过点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，即；
（2）如图，连接交于点，连接
∵点是抛物线对称轴上的一个动点，
，
∴对称轴为，
根据对称轴可得关于对称轴,
∴，
当三点共线时，最小，
∵，，设直线的解析式为，
,
解得,
∴直线的解析式为，
设，
当时，，
∴,
∴当的值最小时，点的坐标为;
（3）解：∵抛物线的解析式为；
∴其对称轴，顶点的坐标为，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴设，
∵，，
∴设过点、的直线解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与轴的交点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
当点在点上方时，，解得，
∴此时；
当点在点下方时，，解得，
∴此时，
综上所述，可得：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求二次函数解析式、根据轴对称的性质求求线段和的最小值，三角形的面积公式，解本题的关键在明确题意，利用二次函数性质和数形结合思想解答问题．
24．（1）；（2）6；（3）存在，，理由见解析．
【分析】（1）将点代入函数解析式求解即可确定函数解析式；
（2）当时，，可确定点B的坐标，然后由对称轴及轴，可得点C的坐标，据此得出，，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据B、C关于抛物线的对称轴对称，可得点P为直线AC与抛物线对称轴的交点，此时，的周长最小，设直线AC的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后联合对称轴求解即可确定点P的坐标．
【详解】解：（1）将代入中，
得：，
解得：
抛物线的解析式：；
当时，，
∴，
由（1）知，抛物线的对称轴：，
∵轴，
∴点、关于对称轴对称，则，
，，
；
（3）如图所示：点B、C关于抛物线的对称轴对称，
∴点P为直线AC与抛物线对称轴的交点，此时，的周长最小，
设直线AC的解析式为，代入、，得：
，
解得 ，
直线：；
点P为直线AC与抛物线对称轴的交点，
∴，
解得 ，
．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数与一次函数交点及二次函数的基本性质等，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．
答案第1页，共2页
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