专题22.32实际问题与二次函数 分层练习培优练（含解析）2023-2024学年九年级数学上册人教版专项讲练

专题22.32 实际问题与二次函数（分层练习）（培优练）
一、单选题
1．如图，为半圆的直径，动点为上，点从点出发，沿匀速运动到点，速度为，运动时间为，分别以与为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，等腰，，，正方形中，、、在同一直线上，正方形沿射线方向平移，直到点与重合，若点的平移距离为，平移过程中两个图形重叠部分的面积为，则与的关系的函数图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（ ）
A．2m B．2m C．m D．m
4．某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（ ）
A．11元 B．12元 C．13元 D．14元
5．竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4.2秒 D．第6.5秒
6．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（　　）
A．0.55米 B．米 C．米 D．0.4米
7．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【 】
A．点M B．点N C．点P D．点Q
8．2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
消毒液 每瓶售价（元） 每瓶成本（元） 每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶）
30 18 1200＋0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
9．如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，点 为线段 上一动点，点 的坐标为 ，连接 ，以 为底边向右侧作等腰直角 ，若点 恰好在抛物线上，则 长为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
10．如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法：
①a＝－1；
②抛物线的对称轴为x＝－1；
③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，n＝1；
④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，△PAC的面积最大．
其中，所有正确的说法是（ ）
A．①③ B．②③④ C．①④ D．①②④
二、填空题
11．如图，在中，，，点是线段上一点（不与点、重合），连接，过点、分别作、的垂线，两线相交于点，则面积的最大值为 ．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 ，△BDE面积的最大值为 ．
13．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过 m.
14．某花圃用花盆培育花苗，经试验发现，每盆的盈利与每盆种植的株数构成一定的关系．每盆植入4株时，平均每株盈利4元，以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0．5元．要使每盆盈利达到最大，则每盆应植 株．
15．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球能越过球网，又不出边界，则h的取值范围为 ．
16．某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了 米．
17．丰都县某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A、B两种商品的价格之和为27元，小明计划购买B商品的数量比A商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时发现A商品正打九折销售，而B商品的价格提高了20%，小明决定将A、B产品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为 元．
18．某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线（＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知二次函数经过点，，与轴交于另一点，抛物线的顶点为．

(1)求此二次函数解析式；
(2)连接，，，求证：是直角三角形；
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分，以为坐标原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽米，桥拱顶点到水面的距离是4米．

(1)①直接写出、两点的坐标：（　　），（　　）；
②求抛物线对应的函数解析式；
(2)要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？
(3)如图2，桥拱所在的抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图像，将新函数图像向右平移个单位长度，平移后的函数图像在时，的值随值的增大而减小，结合函数图像，直接写出的取值范围．
21．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元千克）与时间第（天）之间的函数关系为，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示．

(1)求日销售量（千克）与时间第（天）的函数表达式；
(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该养殖户有日销售利润不低于2400元，该养殖户决定每天捐赠元给村里的特困户，如果共捐赠了7350元，求的值．
22．某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，已知，．
(1)若抛物线经过点．
①求抛物线的解析式和顶点坐标；
②若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．
(2)要使弹珠能投入箱子，求的取值范围．
23．如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点．

(1)的值为______；
(2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；
(3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为______；
(4)若时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．
24．过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，深受年轻游客的喜爱．某游乐场修建了一款大型过山车．如图所示，为这款过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线，其中米，米（轨道厚度忽略不计）．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米，当过山车运动到C处时，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计，E为轨道最低点），已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，E点坐标为，求n的值；
(3)现需要对轨道下坡段进行安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求，已知这种材料的价格是100000元/米，请计算多长时，造价最低？最低造价为多少元？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】结合题意，可分别得到AP和PB关于t的函数；再结合图形得到阴影面积S为关于t的二次函数，根据二次函数的性质，从而得到答案．
【详解】∵点从点出发，沿匀速运动到点，速度为，运动时间为t
∴AP=2t
∵
∴PB=AB-AP=4-2t
∴阴影面积
∴阴影面积S为关于t的二次函数，且开口向下并经过坐标原点
∵选项D的曲线和阴影面积S的函数吻合
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数的性质；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解．
2．B
【分析】分三种情况解题计算解析式，在平面直角坐标系中画出函数图象解题即可．
【详解】解：如图，当 时，；
如图，当 时，
如图，当 时，
则画出函数图像符合B选项，
故选B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，分类讨论的数学思想是解题的关键．
3．A
【详解】建立如图所示直角坐标系：
可设这条抛物线为y=ax2，把点（2，–2）代入，得–2=a×22，解得：a=–，
∴y=–x2，当y=–3时，–x2=–3．解得：x=±，∴水面下降1m，水面宽度为2m．故选A．
4．D
【详解】设利润为w，由题意得，每天利润为：
w=（2+x）（20–2x）=–2x2+16x+40=–2（x–4）2+72．
所以当涨价4元（即售价为14元）时，每天利润最大，最大利润为72元．
故选D．
5．C
【分析】根据函数的表达式，算出第2秒与第6秒时的高度，列出等式，求出a、b的关系，然后根据二次函数的性质，求出对称轴，进而得出最高点.
【详解】由题意可知：h（2）=h（6），
即4a+2b=36a+6b，
解得b=﹣8a，
函数h=at2+bt的对称轴
故在t=4s时，小球的高度最高，
题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒，
故在第4.2秒时小球最高
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质.根据已知条件求出a、b的关系是解题的关键.
6．B
【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．
【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，
由题意得，对称轴为x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），
设解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得：，
所以解析式为：y＝x2+x+，
当x＝2.75时，y＝，
∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键
7．D
【详解】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；
B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；
C、，
假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；
D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；
故选D．
8．D
【分析】根据单日利润=单日的销售量×每瓶的利润－每日其他费用即可列出函数关系式，然后利用函数的最值问题即可求解 ．
【详解】解：根据题意，得
∴，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值，
又∵，
∴当时，，
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．
9．C
【分析】过点C作轴，垂足为E，过点D作，交延长线于点F，设点，然后证明≌，则，，即可求出点C的坐标，再求出点B的坐标，从而求出的长度．
【详解】解：根据题意，
∵，
令，则，，
∴点A的坐标为：，
过点C作轴，垂足为E，过点D作，交延长线于点F，设点，如图：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴≌，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
解得：，；
∵，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，
∴点B的横坐标为，
∴的长度为；
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
10．D
【分析】将C点坐标代入抛物线解析式求出a即可判断①；根据a即可得抛物线解析式，则其对称轴可得，②即可判断；只有当P点在对称轴且A、P、C三点共线时，有PB+PC最小值，连接AC交对称轴与点P，连接BP，对称轴交x轴于M点，根据轴，OA=OC=3，即有则n可求，③即可判断；连接PC、AC、OP、PA，根据可得，则④可判断．
【详解】∵抛物线过C点(0,3)，
∴，
∴a=-1，即①正确，
即抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为，即②正确，
当x=0时，y=3，即C点坐标为(0,3)
∴OC=3，
当y=0，有，
解得x为1或者-3，
∴A(-3,0)，B(1,0)，
∴OA=3，OB=1，
∵B(1,0)，C(0,3)，
∴，
∴要求△PBC周长最小值，即求PC+PB+BC的最小值，
∵BC为定值，
∴即求PC+PB的最小值，
可知只有当P点在对称轴且A、P、C三点共线时，有PB+PC最小值，
连接AC交对称轴与点P，连接BP，对称轴交x轴于M点，如图1所示，
∵A、B关于PM对称，
∴PA=PB，
∴PB+PC=PA+PC=AC，
∵对称轴x=-1，
∴OM=1，
∴AM=OA-OM=3-1=2，
显然有轴，
有∵OA=OC=3，
∴，
∴PM=AM=2，
∴P点坐标为(-1,2)，
∴n=2，
∴即△PBC周长最小值时，n=2，即③错误，
如图2所示，连接PC、AC、OP、PA，
由图有：，
∵，，，
∴，
∵P在抛物线上，
∴，
∴，
整理得：，
即当时，△PAC的面积最大，即④正确，
综上分析可得，正确的有：①②④．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，考查了二次函数的对称轴、最值、与坐标轴交点等知识，判断只有当P点在对称轴且A、P、C三点共线时，有PB+PC最小值，是解答本题的关键．
11．
【分析】先添加辅助线，证明三角形全等，根据性质求出线段，最后转换为求二次函数的最大值即可．
【详解】如图在上截取，设，

∵，
∴，即，
∵，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
，
∴当时，最大，最大值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是分析题意，弄清数量关系，转换为二次函数的应用．
12． 10
【分析】如图，过点作于，过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出，继而根据勾股定理求出，从而求得的长，然后证明，根据全等三角形的性质可得，设，则，继而根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质即可求得答案．
【详解】如图，过点作于，过点作于，过点作于，
，，，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
设，则，
，
，
的最大值为，
故答案为，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键．
13．1.2
【详解】以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，
设水平面与拱桥的交点为A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
利用待定系数法设函数的解析式为y=a（x+2）（x-2）代入点C坐标，
求得a=-，
即抛物线的解析式为y=-（x+2）（x-2），
令x=1，解得y=1.5，
船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.
故答案为：1.2.
14．6
【分析】每盆的盈利=每株盈利每盆种植的株数，设每盆的盈利为y，每盆种植的株数为x，依题意可得，利用配方法算出最值.
【详解】解：设每盆的盈利为y每盆种植的株数，每盆种植的株数为x，
依题意可得，
，
，
，
，
，
，当且仅当时，取得最大值.
本题的答案是：6.
【点睛】本题考查是的利用二次函数解决利润问题，配方法的经典应用.
15．
【分析】把点A坐标代入y＝a（x﹣6）2+h得y＝（x﹣6）2+h，当x＝9时，y＞2.43，求出h取值范围，当x＝18时，y≤0，求出h取值范围，综合即可求解．
【详解】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，
解得：a＝，
∴抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h，
由题意得：当x＝9时，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.43，
解得：h＞；
当x＝18时，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h≤0，
解得：h≥，
故h的取值范围是h≥．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用题，根据题意得到两个不等式并求出不等式组的解集是解题关键．
16．
【分析】以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线的对称轴，即可设该抛物线解析式为，由该抛物线经过点(9，0)，即可求出该抛物线解析式为，即能求出平移后的解析式为，即可知D点坐标．由点A和点C坐标利用待定系数法可求出经过点A、C的直线的解析式，又由于点D也在直线上，即可求出a的值．即求出了平移后的抛物线解析式，最后令y=0，解出x的值，即能求出移动后水柱最远落点到中心M的距离增加的量．
【详解】解：如图，以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．
根据题意可知水柱可以看成抛物线（只考虑第一象限）．
由题意可知C点坐标为(-4，0)．
∵喷水头A喷出的水柱距池中心3米处达到最高，
故该抛物线的对称轴为．
∴设该抛物线解析式为，
又∵水柱最远落点到中心M的距离为9米，
∴该抛物线又经过点(9，0)．
∴，即，
∴该抛物线解析式为．
当x=0时，
故点A坐标为(0，-27a)．
由题意可知将喷水头A向上移动1.5米至点B，即将抛物线向上平移1.5．
∴平移后的抛物线为．
∴点D坐标为(3，)．
设经过点A、C的直线解析式为，
∴，解得．
即经过点A、C的直线解析式为．
又∵该直线经过点D．
∴．
解得：．
故平移后的抛物线解析式为，
整理得：．
当时，即，
解得：（舍）．
∴移动后最远落点到中心M的距离为米，
∴移动后水柱最远落点到中心M的距离增加了（米）．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质，利用待定系数法求解析式以及一次函数的应用是解答本题的关键．数据处理较大，较难．
17．312.
【分析】设A商品的单价为x元/件，则B商品的单价为（27﹣x）元/件，计划购买A商品a件，则B商品为（a+2）件，根据题中等量关系可列出关于x的方程，用含a的式子表示出x，由“一共不超过25件，且每样不少于3件”“ 价格和购买数量均为整数”可知a的值，易求x的值.
【详解】设A商品的单价为x元/件，则B商品的单价为（27﹣x）元/件，计划购买A商品a件，则B商品为（a+2）件，
根据题意可得：0.9x×（a+2）+1.2×（27﹣x）×a＝xa+（27﹣x）（a+2）+8，
∴x＝，
∵a≥3，a+2≥3，a+a+2≤25，x，a均为整数，
∴a＝10，x＝10
∴小明购买两种商品实际花费＝9×12+1.2×10×17＝312元，
故答案为：312.
【点睛】本题考查了方程的应用，正确理解题意，找准题中的等量关系是解题的关键.
18．＜＜
【分析】先把抛物线解析式分解因式，得其与x轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标（0，4）和（4，4），结合二次项系数大小与开口大小及与x轴的交点为定点等即可解答．
【详解】解：抛物线，
∴其对称轴为：，且图象与x轴交于（，0），（3，0）．
∵抛物线顶点为（1，），当顶点在线段AB上时，有，则；
当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得：；
∴，
由对称轴为x=1及图象与x轴交于（，0），（3，0）可知，
当＜＜时，抛物线与线段AB有两个交点；
∴小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是＜＜；
故答案为：＜＜.
【点睛】本题实质是二次函数图象与线段交点个数的问题，需要综合分析二次函数开口方向，对称轴，与x轴交点情况等，难度较大．
19．(1)
(2)见解析
(3)存在，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据勾股定理的逆定理判断即可；
（3）设点坐标为，可得，即．又在抛物线上，可得一元二次方，求解一元二次方程即可得解．
【详解】（1）二次函数经过点，，
解得
抛物线的解析式为．
（2）由得，点坐标为．
，
，
．
，，
，
是直角三角形．
（3）解：存在，以为底边，则．
设点坐标为，得，即．
又在抛物线上，
，即．
解得，（舍去）．
．
，即点坐标为．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的定义，二次函数的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握二次函数的性质以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
20．(1)①，②
(2)米
(3)
【详解】（1）①∵，且点A在x轴上，
∴，
根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线，
∴点，
故答案为：，．
②设抛物线的解析式为，把原点代入得
，
解得，
∴此二次函数的表达式．
（2）∵二次函数的表达式，
令得：
，
解得：，，
∴小船的最大宽度为：米．
（3）根据平移规律得到点O平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点A平移后的对应点为，根据图像性质，得到函数在上，满足y随x的增大而减小，
∴或，
解得或（舍去），
故n的取值范围是．

【点睛】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用，熟练掌握抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用是解题的关键．
21．(1)（，为整数）；
(2)第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；
(3)的值为350．
【分析】（1）设日销售量与时间的函数解析式为，将、代入，得二元一次方程组，解得和的值，再代入即可；
（2）设日销售利润为，根据日利润等于每千克的利润乘以日销售量可得，分两种情况讨论：①当时，②当时；
（3）令，即，解一元二次方程组，求得解，得出符合题意的天数，即可得出的值．
【详解】（1）解：设日销售量与时间的函数解析式为
将、代入，
得：，解得：．
∴（，为整数）；
（2）解：设日销售利润为，则，
①当时，
，
当时，有最大值2450元；
②当时，
，
当时，有最大值2301
第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；
（3）解：由（2）得：当时，
，
令，即，
解得：，
即时，日销售利润不低于2400元，
共有21天符合条件．
（元．
【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识点，明确二次函数的相关性质并会数形结合，是解题的关键．
22．(1)①抛物线的解析式为，顶点坐标为；②弹珠能弹出箱子，理由见解析
(2)
【分析】（1）①把点，代入，再把抛物线解析式化为顶点式，可得顶点坐标，即可求解；②先求出抛物线L与x轴的两一个交点为，再根据题意可设抛物线M的解析式为，然后把代入，求出抛物线M的解析式，再求出当时，y的值即可求解．
（2）由抛物线经过点，得到，则抛物线解析式为，求出，；当时，，或，要使弹珠能投入箱子，则，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：①把点，代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
②弹珠能弹出箱子，理由如下：
∵，
∴，
∴；
当时，
解得：，
∴抛物线L与x轴的另外一个交点坐标为，
根据题意可设抛物线M的解析式为，
把点代入，得：，
解得：或，
∵抛物线M的对称轴在直线的左侧，
∴，
∴抛物线M的解析式为，
∵当时，，
∴弹珠能弹出箱子．
（2）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
∵，
∴，
∴，，
在中，当时，则，
∴，
解得或，
∵要使弹珠能投入箱子，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴；
当，即时，满足，
当，即时，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当时，弹珠能投入箱子．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键．
23．(1)1
(2)水柱与坡面之间的最大铅直高度为米
(3)
(4)水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树，理由见解析
【分析】（1）代入抛物线与y轴的交点的坐标即可求解；
（2）根据已知条件求出抛物线解析式及直线解析式，设抛物线上一点P点横坐标为t，作作轴交于点Q，用t表示P点和Q点的坐标，并计算的长度，建立关于t的二次函数，在取值范围内求最大值即可；
（3）代入B点横坐标到一次函数解析式，求出对应纵坐标；代入点、抛物线对称轴及B点横坐标到二次函数解析式，建立不等式进行求解；
（4）根据平移求得平移后的抛物线解析式，代入到抛物线解析式和直线解析式进行对比即可．
【详解】（1）代入到抛物线解析式，得：；
故答案为：1；
（2）设抛物线的解析式为
将点代入，得
抛物线的解析式为
即
坡地经过点
的解析式为
如解图，

设抛物线上一点，过点P作轴交于点Q，
则，的长为
，
函数图像开口向下，d有最大值
根据顶点公式当时，有最大值
水柱与坡面之间的最大铅直高度为米；
故答案为：水柱与坡面之间的最大铅直高度为米；
（3）由（2）知，直线的解析式为，
时，
，
抛物线的解析式为，即，
当时，，要使水柱能超过点B则，
解得
故答案为：；
（4）不能；
当灌溉装置水平向后移动4米时，由（2）可得平移后的抛物线解析式为．
将代入抛物线解析式，得，
将代入直线OB解析式，得
水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求解二次函数解析式和直线解析式、平移规律求二次函数解析式、根据坐标关系及二次函数求线段最大值是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)当为米时，造价最低，最低造价为2356000元
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法即可求解；
（2）求得，推出，得到，据此即可求解；
（3）设，得到l关于a的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数表达式为，
把代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵米，E点坐标为，
∴，
∵P和C到地面的距离均为n米，且P，C在抛物线上，
∴P，C关于直线对称．
∵C为两条形状完全相同的抛物线与的交点，
∴抛物线由抛物线向右平移20个单位得到，
∴，
∴，
将代入得
∴；
（3）解：∵，设，
则，，
∴
，
∵，
∴开口向上，
∴当时，最短，最短为23.56．
（元）
∴当为米时，造价最低，最低造价为2356000元．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及平移的性质，关键用二次函数的性质解决实际问题．
答案第1页，共2页
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