24.4弧长及扇形面积 同步测试题（含答案） 人教版九年级数学上册

24.4弧长及扇形面积 同步测试题
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（　　）
A．12π B．15π C．20π D．24π
2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（　　）
A．6π B．2π C．π D．π
3．如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是（　　）
A．15π B．30π C．45π D．60π
4．如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（　　）
A．9 B．6 C．3 D．12
5．如图，已知圆锥的母线与高的夹角为30°，则圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为（　　）
A．90° B．120° C．180° D．210°
6．如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积是（　　）
A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm2
二．填空题（共6小题，满分24分）
7．扇形的半径为8cm，圆心角为45°，则该扇形的弧长为 　 　cm．
8．如图，⊙O的半径为2，点A，B，C都在⊙O上，若∠B＝30°，则的长为 　 　．（结果用含有π的式子表示）
9．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是　 　．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 　 　．（结果保留π）
11．如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为 　 　．（结果不取近似值）
12．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
13．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A（0，4），B（4，4），C（6，2）．
（1）该圆弧所在圆的圆心坐标为 　 　．
（2）求弧ABC的长．
14．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，求的长．
15．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
16．如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆．求：
（1）圆锥的母线长与底面半径之比；
（2）求∠BAC的度数；
（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．
17．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 　 　；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
18．如图所示，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则：
（1）求出围成的圆锥的侧面积为多少？
（2）求出该圆锥的底面半径是多少？
19．如图，有一个下面是圆锥、上面是圆柱的容器，圆锥的高是6cm，圆柱的高是8cm，从圆锥的尖到容器里的液面高是11cm．当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是多少厘米？
20．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
参考答案
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
由已知得，母线长l＝5，半径r为4，
∴圆锥的侧面积是S＝πlr＝5×4×π＝20π．
故选：C．
2．解：∵直径AB＝6，
∴半径OB＝3，
∵圆周角∠A＝30°，
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，
∴的长是＝π，
故选：D．
3．解：圆锥的母线l＝＝＝10，
∴圆锥的侧面积＝π 10 6＝60π，
故选：D．
4．解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE＝45°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝45°，
∴∠EOC＝90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，
∴，
故选：A．
5．解：设圆锥底面圆的半径OB＝r，则圆锥的底面圆的周长为2πr，
∵∠COB＝90°，∠OCB＝30°，
∴BC＝2OB＝2r，
设展开后扇形的圆心角的度数为n°，
则＝2πr，
解得：n＝180，
即圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为180°，
故选：C．
6．解：∵AB的长是45cm，扇面BD的长为30cm，
∴AD＝AB﹣BD＝15cm，
∵∠BAC＝120°，
∴扇面的面积S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE
＝﹣
＝600π（cm2），
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
7．解：由题意得，扇形的半径为8cm，圆心角为45°，
故此扇形的弧长为：＝2π（cm），
故答案为：2π
8．解：∵∠AOC＝2∠B，∠B＝30°，
∴∠AOC＝60°．
∴的长为＝π，
故答案为：．
9．解：设圆锥底面圆的半径为r，
∵AC＝6，∠ACB＝120°，
∴＝＝2πr，
∴r＝2，即：OA＝2，
在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC＝＝4，
故答案为：4．
10．解：如图，连接OD，OE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠OEC，
∴AB∥OE，
∴∠BDO+∠DOE＝180°，
∵AB是切线，
∴∠BDO＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣∠DOE＝90°，
∴劣弧的长是＝2π．
故答案为：2π．
11．解：如图，连接BD交AC于点O，则AC⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，∠BAO＝30°，
∴BO＝AB＝1，AO＝AB＝，
∴AC＝2OA＝2，BD＝2BO＝2，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝2，
∴S阴影部分＝S菱形ABCD﹣2S扇形ADE
＝2﹣
＝，
故答案为：．
12．解：如图，设O′A′交于点T，连接OT．
∵OT＝OB，OO′＝O′B，
∴OT＝2OO′，
∵∠OO′T＝90°，
∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，
∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）
＝﹣（﹣×1×）
＝+．
故答案为：+．
三．解答题（共6小题，满分72分）
13．解：（1）由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，
由网格可得该点P（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）根据网格可得，OP＝CQ＝2，OA＝PQ＝4，
∠AOP＝∠PQC＝90°，
由勾股定理得，
AP＝＝＝2＝PC，
∵AP2＝22+42＝20，CP2＝22+42＝20，AC2＝22+62＝40，
∴AP2+CP2＝AC2，
∴∠APC＝90°，
∴弧ABC的长为＝π，
答：弧ABC的长为π．
14．解：（1）∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴由圆周角定理得：∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°；
（2）连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．
∵OD⊥BC于点D，OB＝OC，
∴∠BOD＝BOC＝60°，
BD＝BC＝＝3，
∵Rt△BOD中，，
∴OB=
∴的长＝．
15．解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴由勾股定理得：AB＝10cm，
∴OB＝5cm，
连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴BD＝＝＝5cm；
（2）S阴影＝S扇形ODB﹣S△ODB
＝π 52﹣×5×5
＝（cm2）．
16．解：（1）设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长AC＝l，
∵2πr＝πl，
∴l：r＝2：1；
（2）∵AO⊥OC，＝2，
∴圆锥高与母线的夹角为30°，
则∠BAC＝60°；
（3）由图可知l2＝h2+r2，h＝3cm，
∴（2r）2＝（3）2+r2，即4r2＝27+r2，
解得r＝3cm，
∴l＝2r＝6cm，
∴圆锥的侧面积为＝18π（cm2）．
17．解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；
（2）连接EO，
∵AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN×CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．
18．解：（1）圆锥的侧面积＝＝12π（cm2）；
（2）该圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr＝，
解得r＝2．
即圆锥的底面半径为2cm．
19．解：设这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是h厘米，圆柱的底面积为s平方厘米．
由题意：s h＝5s+×s×6，
解得h＝7，
7＜8，符合题意，
答：容器里的液面高是7厘米．
20．解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π DE＝，AD＝2DE，
∴n＝90，
∴∠BAC＝90°．
（2）∵AD＝2DE＝10（cm），
∴S阴＝ BC AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝（100﹣25π）cm2．