数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.2.3直线的一般式方程（共17张ppt）

(共17张PPT)
2.2.3直线的一般式方程
问题1：由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.
(1)斜率是,经过点；
(2)在轴和轴上的截距分别是,3;
(3)经过两点，;
(4)在轴上的截距是,斜率是.
(1) ；
(2) =1；
(3) ；
(4)-3.
这几种直线的方程形式都可化成：
导入
由问题1我们发现，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，它们都是关于的二元一次方程.直线与二元一次方程是否都有这种关系呢
导入
问题2：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗
当α≠90°时, 由点斜式可得，直线的方程为：-
是关于的二元一次方程.
当α=90°时, 直线的斜率不存在，其方程为：y-
方程可以看成是关于的二元一次方程，因为此时方程中y的系数为0.
结论：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x, y的二元一次方程表示. ，不同时为）
概念学习
问题3：任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗
由： （，不同时为）
时，方程它表示一条直线.
时，,它表示一条直线.
由上可知, 关于的二元一次方程都表示一条直线.
（，不同时为）
课堂练习
3. 已知直线l的方程是.
(1)当时, 直线l的斜率是多少 当B=0时呢
(2)系数取什么值时, 方程表示经过原点的直线
典型练习
直线
二元一次方程
，不同时为
我们把关于的二元一次方程
(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
注：直线的一般式适用于所有直线.
课堂练习
在方程A+B +C=0中, A,B,C为何值时, 方程表示的直线：
①平行于轴；②平行于轴；③与轴重合；④与轴重合.
温馨提示：可以先写出符合条件的具体直线方程，再观察系数A，B，C的特点
①此时，
②此时不存在，
③，此时
④，此时不存在，
小组讨论
例5：已知直线过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点，斜率为的直线的点斜式方程是，
化为一般式，得.
典型例题
1. 根据下列条件, 写出直线的方程, 并把它化为一般式:
(1) 经过点A(8,－2), 斜率是-
(2) 经过点B(4, 2), 平行于轴;
(3) 经过点P1(3,－2), P2(5,－4);
(4) 在轴、轴上的截距分别是-3.
课堂练习
例6：把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.
解：把直线的一般式方程化为斜截式.
因此，直线的斜率，它在轴上的截距是.
在直线的方程中，令，得，
即直线在轴上的截距是.
由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，，
过，两点作直线，就得直线(如图).
典型例题
2.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距, 并画出图形:
1）3x+y-5=0 (2)- (3)x+2y=0 (4)7x-6y+4=0
x
y
O
5
l
(1)
x
y
O
-5
l
(2)
4
x
y
O
(-2,1)
l
(3)

x
y
O
l
(4)
课堂练习
解：(1) 4x＋y－14＝0；
(3) x－2y－3＝0.
(2) 7x－2y－20＝0；
教材67页 习题2.2 第8题
(1) 求经过点A(3,2), 且与直线4x＋y－2＝0平行的直线方程；
(2) 经过点C(2,－3), 且平行于过M(1, 2)和N(－1,－5)两点的直线;
(3) 求经过点B(3,0), 且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程.
课堂练习
形式 方程 适用条件
点斜式 斜率存在的直线
斜截式 斜率存在的直线
两点式 直线不与坐标轴垂直
截距式 直线不过原点
一般式 （，不同时为） 所有
小结
练习1 已知直线与直线平行，求的值；
解： (1)由，知：
①当时，显然与不平行；
②当时，，需.
解得或，
∴的值为或.
补充练习
练习2 已知直线和
，当为a为何值时，直线和2互相垂直？
解:①若1-=0，即=1时，直线:3x-1=0与直线2 :5y+2=0显然垂直.
②若=0，即时，直线:x+5y-2=0与直线2 :5x-4=0不垂直.
③若1-≠0且2+3≠0，则直线， 2的斜率k1，k2都存在，
K1-，k2-.当⊥ 2时， K1 k2 =-1，即-=-1，解得a=-1.综上可知，当a=1或a=-1时，直线⊥ 2.
补充练习
过点P(1,4)作直线与两坐标轴正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线的方程.
x
y
O
P(1,4)
解直线的方程为y-4=k(x-1),k<0,则可求得直线与坐标轴的交点坐标为（0，-k+4),(-,故直线在两坐标軕的的截距之和是：
-k+4+（= -k+5=9,
(因为-k>0, >0)
当且仅当-k即k=-2时，上式取得等号.
所以，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，直线的方程的方程是y-4=-2（x-1)化成一般式得2x+y-6=0
补充练习（提高）