数学人教A版（2019）必修第一册第三章函数的概念与性质单元复习（共38张ppt）

(共38张PPT)
必修第一册 第三章
函数的概念与性质
章末复习
第三章 函数的概念与性质
知识网络
知识点梳理
1.函数的概念
一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的三要素
(1)函数的三要素： 、 、 .
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为同一个函数.
实数集
任意
唯一确定
定义域
对应关系
值域
定义域
对应关系
知识点梳理
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有 、图象法和 .
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
解析法
列表法
知识点梳理
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D 当x15.函数的单调性
(1)单调函数的定义
f(x1)f(x1)>f(x2)
图象描述 自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
知识点梳理
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上_________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
单调递增
单调递减
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1) x∈I，都有________； (2) x0∈I，使得_________ (1) x∈I，都有_________；
(2) x0∈I，使得_________
结论 M为最大值 M为最小值
6.函数的最值
f(x)≤M
f(x)≥M
f(x0)＝M
f(x0)＝M
知识点梳理
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且___________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于____对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且_____________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于_____对称
7.函数的奇偶性
f(－x)＝f(x)
y轴
f(－x)＝－f(x)
原点
知识点梳理
8.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
y＝xα
知识点梳理
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点_____和_____，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点_____，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为_______；当α为偶数时，y＝xα为_______.
(1,1)
(0,0)
(1,1)
奇函数
偶函数
知识点梳理
一次函数
二次函数
幂函数型
分段函数
常见函数模型
9.常见函数模型
【例1】函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】函数有意义，
则，解得或，
所以函数的定义域为．
故答案为：
题型一：求具体函数与抽象函数的定义域
【对点训练1】若函数的定义域为，则函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
于是有，
即函数的定义域，
故答案为：
题型一：求具体函数与抽象函数的定义域
【对点训练2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】由题意得，解得，
所以的定义域为，
故答案为：
题型一：求具体函数与抽象函数的定义域
【对点训练3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】因为，即，
所以，所以，
所以．
故答案为：．
题型一：求具体函数与抽象函数的定义域
【例2】（1）已知为二次函数，且 ，求函数的解析式；
（2）已知，求函数 的解析式．
【解析】（1）设 ，
则有：
，
所以 ， 所以 ，
所以 ．
（2） 令 ．
则 ，
所以 ，
所以 的解析式为 ．
题型二：求函数的解析式
【对点训练4】（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式；
（2）已知，求的解析式．
（3）若对任意实数x，均有，求的解析式．
【解析】（1）令 ，
因为，所以，
则．
由题意可知：
，
得，所以．
所以．
（2）令，则，
．
．
（3）因为①，
所以②，
由①②得：，
解得：．
题型二：求函数的解析式
【对点训练5】（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
（5）已知是定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
【解析】（1）．
（2） 设，则，，
即，
所以，
所以．
（3）因为是二次函数，所以设．由，得c＝1．
由，得
，
整理得，
所以，所以，
所以．
（4）用－x替换中的x，
得，
由，
解得．
（5）令，
则，
所以．
题型二：求函数的解析式
【例3】求下列函数的值域．
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）由于，且；
所以可得，
因此函数的值域是．
（2）令，所以，
即，
当时，，
即函数的值域为．
（3）易知需满足，即，
即函数定义域为；
，
由二次函数性质可得，
所以的值域为．
题型三：求函数的值域
【对点训练6】求下列函数的值域：
（1）， （2），
（3）， （4）
【解析】（1）由题意可得：，
因为，则，
所以原函数的值域为．
（2）因为，
则，当且仅当，
即时，等号成立，
所以原函数的值域为．
（3）令，解得，
可得函数的定义域为，
因为，
可得
所以原函数的值域为．
（4）设，则，
所以原函数转化为，
因为函数的图象开口向下，对称轴方程为，
可知当时，函数取到最大值，
所以原函数的值域为．
题型三：求函数的值域
【例4】（2023·山东·高一山东省实验中学校考阶段练习）函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，
即，解得：，
所以函数的定义域是，
是由和 复合而成，
因为对称轴为，开口向下，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
而单调递增，
所以的单调递增区间是，
故答案为：．
题型四：函数的单调性
【对点训练7】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，
，根据其是由函数向右平移1个单位再向上平移1个单位得到，
则在上单调递减，
由题意得，解得，则的取值范围为．
题型四：函数的单调性
【对点训练8】（2023·湖北武汉·高一校联考期中）函数是定义在上的增函数，若对于任意正实数，恒有，且，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】，，
，
则不等式等价为
，
函数在定义域上为增函数，
不等式等价为，
即，解得，
不等式的解集为
题型四：函数的单调性
【对点训练9】（2023·河北邯郸·高一校考期末）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立．
（1）求；
（2）用定义证明的单调性；
【解析】（1）令，则由题意可得
，
（2）任取且，即，
由题意可得
，
而当且仅当时，，
所以，即，
所以函数在单调递减．
题型四：函数的单调性
【对点训练10】（2023·天津·高一统考期中）已知函数是奇函数，且．
（1）求的解析式；
（2）判断在区间上的单调性并说明理由．
【解析】（1）因为函数是奇函数，
所以，即，
因为不恒为0，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以的解析式为．
（2）在区间上的单调递减．
证明：任取且，只需证明．
易知，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以在区间上的单调递减．
题型四：函数的单调性
【例5】（2023·全国·高一期中）已知函数，且．
（1）求实数的值；
（2）判断该函数的奇偶性；
（3）判断函数在上的单调性，并证明．
【解析】（1），且，
，
；
（2）由（1）得函数，
定义域为关于原点对称
，
函数为奇函数．
（3）函数在上是增函数，
任取，，不妨设，
则
，
且
，，
，即，
在上是增函数．
题型五：函数的奇偶性
【对点训练11】（2023·全国·高一期中）已知定义在，，上的函数满足：①，，，，；②当时，，且．
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）判断函数在上的单调性；
（3）求函数在区间，，上的最大值；
（4）求不等式的解集．
【解析】（1）令，则，
得；
再令，则，
得．
对于条件，令，
则，所以．
又函数的定义域关于原点对称，所以函数为偶函数．
（2）任取，，且，则有．
又当时，，
而，
所以函数在上是增函数．
（3）．
又由（1）知函数在区间，，上是偶函数且在上是增函数，
函数在区间，，上的最大值为
（4），
，
原不等式等价于
又函数为偶函数，且函数在上是增函数，
原不等式又等价于，
即或，
不等式的解集为或
题型五：函数的奇偶性
【对点训练12】（2023·江西南昌·高一南昌市八一中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间不单调，求出实数的取值范围．
【解析】（1）由是定义在上的奇函数，
所以，
又时，，
所以时，，
所以，
所以函数的解析式为．
（2）当时，，
若，由知，在上递增，不合题意；
，，
所以在上先减再增，符合函数在上不单调，
综上，实数的取值范围为．
题型五：函数的奇偶性
【例6】（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．， C．有最大值 D．最小值为0
【答案】BD
【解析】令，即，
解得或，
所以可知
，
所以，故A错误；
当时，，故B正确；
由（或）可知，函数无最大值，故C错误；
当或时，，当时，，
所以最小值为0，故D正确．
故选：BD
题型六：函数性质的综合应用
【对点训练13】（多选题）（2023·福建福州·高一校联考期中）已知连续函数对任意实数恒有，当时，，，则（ ）
A． B．在上的最大值是4
C．图像关于中心对称 D．不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】令，
则，即A正确；
令，则，
又，∴，
，
则
，
即C正确；
由，即B项错误；
由条件可得
，
当时，，
即在定义域上单调递增，
，
即，即D正确；
故选：ACD
题型六：函数性质的综合应用
【对点训练14】（2023·全国·高一期中）已知函数
（1）设在区间的最小值为，求的表达式；
（2）设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
【解析】（1）由于，当时，
对称轴为，
当即时，在上为增函数，
；
当即时，；
当即时，在上为减函数，
综上可得．
（2），
在区间上任取，
则
（*）
∵在上为增函数，
∴
∴（*）可转化为对任意，在区间上都成立．
即
因为，
所以，
由
得，
解得；
所以实数a的取值范围是．
题型六：函数性质的综合应用
【例7】（2023·浙江金华·高一校考期中）已知点在幂函数的图像上．
（1）求的解析式；
（2）若函数，是否存在实数a，使得最小值为5？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由
【解析】（1）设幂函数，
由点在幂函数的图象上，
所以，
解得，
所以．
（2）函数，，且二次函数的图象是抛物线，对称轴是．
①当，即时，在上是单调增函数，最小值为，解得，满足题意；
②当，即时，在上先减后增，最小值为，方程无解；
综上知，存在实数，使得有最小值为．
题型七：幂函数
【对点训练15】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增．
（1）求m和n的值；
（2）求满足不等式的a的取值范围．
【解析】（1）∵是幂函数，
∴，解得m=3．
由在上单调递增得，
解得．
∵，
∴或．
当时，函数，图象关于y轴对称，符合题意．
当时，函数，图象关于原点对称，不合题意．
综上，，．
（2）由（1）得，，
∴．
∵函数在和上均单调递减，
∴当时，，
当时，．
∴满足不等式的条件为或或，
解得或，
∴满足不等式的的取值范围．
题型七：幂函数
【对点训练16】（2023·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知幂函数，
且．
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在正数，使得函数在区间上的最大值为5，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题知，，
解得或，
当时，，满足，
当时，，不满足，
所以．
（2）．
当时，在区间上单调递增，在上单调递减，
所以，
解得，不合题意；
当时，在区间上递增，
所以，解得．
综上所述，存在正数，使得在区间上的最大值为5．
题型七：幂函数
【例8】某地区去年用电量为，电价为0．8元/，今年计划将电价降到0．55～0．75元/．用户心理承受价位是0．40元/．下调电价后，实际价位和用户心理价位仍存在差距，假设新增的用电量与这个差值成反比（比例系数为0．2a），该地区的电力成本价为0．3元/，那么电价定为多少时仍可保证电力部门的收益增长率不低于20%？
【解析】设下调后的电价为x元，
依题意知，新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为0．2a），
则新增用电量为，即用电量增至，
所以今年电力部门的收益
；
要保证电力部门的收益增长率不低于20%，
则，
由，
整理得，
解得．
答：当电价定到0．60～0．75元/，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
题型八：函数的实际应用
【对点训练17】某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．
（1）求利润函数及利润函数的最大值；
（2）为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．
【解析】（1）由题意知，
，
易得的对称轴为，
所以当或时，取得最大值为（元）．
所以利润函数，最大值为（元）；
（2）依题意，得
（元）．
当且仅当时等号成立，
即时，等号成立．
所以当台时，每台产品的利润取得最大值元．
题型八：函数的实际应用
【对点训练18】巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数．
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整）
【解析】（1）由题意知
时，海里/小时；
当时，设，
则，解得，
故；
（2）由（1）可得
，
当时，，
此时；
当时，
，
当时，取到最大值为625；
由于，故当船只密度为25艘/海里时，通过的船只数量可以达到最大值，
最大值为625．
题型八：函数的实际应用
好学数学
数学好学
学好数学