2022-2023学年重庆市北碚区重点学校九年级（下）入学数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市北碚区重点学校九年级（下）入学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.，，，这四个数中是正数的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.估算的值最接近下列哪个整数( )
A. B. C. D.
5.把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分本，则还缺本；如果每人分本，则剩余本设这个班有学生名，根据题意列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，已知、是的切线，、为切点，是的直径，连接，，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
7.在平行四边形中，的角平分线把边分成长度为和的两条线段，则平行四边形的周长为( )
A. 或 B. 或 C. D. 无法确定
8.下面命题中，为真命题的是( )
A. 三角形的一个外角大于它的任意一个内角
B. 内错角相等
C. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
D. 弧长相等的弧是等弧
9.如图，在矩形中，在上取点，连接，在上取点，连接将沿翻折，使得点刚好落在边的处，若，，，的长是( )
A. B. C. D.
10.已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为，则的值为( )
A. B. C. D.
11.从，，，，，这六个数中，随机抽一个数，记为，若数使关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的的值的积是( )
A. B. C. D.
12.设，是实数，定义@的一种运算如下：@，则下列结论：
若@，则，均为；
@@@；
存在实数，，满足@；
设，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，@最大．
其中正确的个数( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13.计算： ______ ．
14.甲、乙两人玩抽卡片游戏，张背面相同的卡片正面标有数字、、、，将张卡片洗匀后倒扣在桌面甲先随机抽取一张卡片，记下卡片上的数字，并将卡片放回洗匀，乙再抽取一张卡片，记下卡片上的数字，求出抽取的两数之和是奇数的概率______ ．
15.如图，中，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别为、，当点恰好落在上时，弧与点构成的阴影部分的面积为______ ．
16.年初，某公司准备预留一笔资金用于开发、、三个项目月份，公司分别向、、项目投入比值为：：的资金月份，公司将剩余资金的再投入到项目中，此时，项目获得的总投资金额占公司已投入项目资金的月份，公司继续向、项目投入资金，、项目月份获得公司投资比值为：，此时，项目获得的总投资金额占公司已投入项目资金的，则项目获得的总投资金额与公司预留的总投入资金的比值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17.计算：
；
．
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.本小题分
如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．
尺规作图保留作图痕迹，不写作法：过点作的垂线，交于点，连接．
猜想中与的数量关系，完成下列证明：
是的垂直平分线，
______ ，
，
，
，
______ ，
又在中，，
，
，
______ ，
又
______ ．
19.本小题分
为提高学生汉字书写能力，某校举行了汉字书写测试测试结束后，随机抽取八年级甲、乙两班各名同学的成绩进行分析成绩得分用单位：分表示，分成五组：：：，：，：，：，得分高于分被评为优秀．
整理、描述数据
甲班组得分为：、、、、；
乙班组得分为：、、、、、、、、．
分析数据
班级 平均数 中位数
甲班
乙班
请根据调查的信息分析：
补全甲班汉字书写成绩条形统计图：并直接写出、的值： ______ ， ______ ．
根据以上数据，你认为该校八年级甲、乙哪个班学生汉字书写能力较好？请说明理由一条理由即可．
若该校八年级共人参加了此次测试，估计参加此次测试成绩达到优秀的学生人数是多少？
20.本小题分
如图，反比例函数过点，连接并延长交反比例函数图象于点，为反比例函数图象上一点，点的横坐标为，一次函数经过，两点，与轴交于点，连接，．
求反比例函数和一次函数的解析式；
求的面积；
当时，直接写出自变量的取值范围．
21.本小题分
小明锻炼健身，从地匀速步行到地用时分钟若返回时，发现走一小路可使、两地间路程缩短米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用分钟．
求返回时、两地间的路程；
若小明从地步行到地后，以跑步形式继续前进到地整个锻炼过程不休息据测试，在他整个锻炼过程的前分钟含第分钟，步行平均每分钟消耗热量卡路里，跑步平均每分钟消耗热量卡路里；锻炼超过分钟后，每多跑步分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加卡路里测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗卡路里热量问：小明从地到地共锻炼多少分钟．
22.本小题分
如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为米；乙山的坡比为：，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为参考值：，，
求乙山处到河边的垂直距离；
求河的宽度结果保留整数
23.本小题分
材料一：若一个四位数的千位数字与十位数字之和为，百位数字与个位数字之和为，则称这个四位数为“十全数”交换这个“十全数”的千位数字与十位数字的位置，百位数字与个位数字的位置，得到新的四位数叫做这个“十全数”的“对应数”．
例如：是“十全数”，其“对应数”为；是“十全数”，其“对应数”为．
材料二：若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．
例如：，则是完全平方数：，则是完全平方数．
证明：一个“十全数”与其“对应数”之差能被整除；
记为“十全数”，为的“对应数”，且，若求满足是完全平方数的所有“十全数”．
24.本小题分
如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，且，直线与轴的交点为点，与轴的夹角，与抛物线交于点和点．
求抛物线的解析式；
抛物线的对称轴交直线于点，点是抛物线上一点，且位于第三象限，连接、，点为抛物线对称轴上动点，过点作轴交轴于点、位于直线的下方当面积最大时，求的最小值．
点为平面内一点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得点、、、构成的四边形为菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
25.本小题分
在和中，，且，．
如图，如果点在上，且，，求的长；
如图，与相交于点，点在下方，连接，且，连接并延长与的延长线交于点，点是延长线上一点，且，证明：；
如图，若，绕着点旋转，取中点连接，取中点，连接，点为中点，连接，若恰好经过点，请直接写出：：的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据有理数的意义可得是正数，
故选：．
根据有理数的意义即可得出．
本题考查的是正负数，解题的关键是理解有理数的意义．
2.【答案】
【解析】解：．无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算以及合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标为或，
即或，
故选：．
根据已知得出位似图形对应坐标与位似比的关系进而得出结果．
本题考查了位似图形的性质，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
4.【答案】
【解析】解：
，
，
的值最接近．
故选：．
先根据二次根式混合运算的法则化简代数式，然后估算即可．
本题考查了无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法．用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
5.【答案】
【解析】解：根据题意得．
故选：．
根据这批图书的总数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，连接，
、是的切线，
，，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，，根据四边形内角和等于求出，再根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：设的平分线交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
当，时，如图，
则，，
；
当，时，如图，
则，，
，
平行四边形的周长为或，
故选：．
设的平分线交于点，可证明，再分两种情况讨论，一是，，则，；二是，时，则，，分别求出平行四边形的周长即可．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角，故A选项不符合题意；
两直线平行，内错角相等，故B不符合题意；
对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故C符合题意；
在同圆或等圆中，弧长相等的弧是等弧，故D不符合题意；
故选：．
根据三角形外角性质、平行线的性质、正方形的判定定理、等弧的定义判断求解即可．
此题考查了命题与定理，熟记三角形外角性质、平行线的性质、正方形的判定定理、等弧的定义是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：连接，延长交于，如图：
将沿翻折，使得点刚好落在边的处，
，，，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
连接，延长交于，由沿翻折，使得点刚好落在边的处，可得，，，，，可知，，即得，，根据，得是等腰直角三角形，故FG．
本题考查矩形中的翻折变换问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．
10.【答案】
【解析】解：二次函数，
对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
，
时，的最大值为，
时，，
或不合题意舍去．
故选：．
先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，的最大值为，可得时，，即可求出．
本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解决此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：不等式组整理得，
关于的不等式组的解集为，
，
解分式方程，得，
，
，
为非负整数解，
，，，
．
故选：．
不等式组整理后，根据不等式组的解集为确定出的范围，再由分式方程有非负整数解，确定出的值即可求解．
此题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得@，
，
整理得：，
，
解得或，故错误；
@，
@@，
@@@，故正确；
@，
令，
解得，，故正确；
@，，
，
，
，
的最大值是，
此时，
解得，
当时，@最大，故正确．
故其中正确的是，共个．
故选：．
根据题中规定的运算法则对各选项进行新定义的运算即可解答．
此题主要考查了矩形的性质，整式的运算与化简，解题的关键是熟悉整式运算的法则，同时也理解运算定律，才能正确解决问题．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽取的两数之和是奇数的结果有种，
抽取的两数之和是奇数的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽取的两数之和是奇数的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，
由勾股定理得：，，
由旋转得：，
是等边三角形，
，
，
，
弧与点构成的阴影部分的面积，
故答案为：．
解直角三角形求出和，求出，可得等边，根据面积差得阴影部分的面积．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、扇形面积公式等知识点，能求出线段的长和的度数是解此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设某公司准备预留的资金为，月份，公司分别向、、项目投入的资金分别是，，，月份，公司分别向、项目投入的资金为，，
根据题意得：，
解得，
，月份总投资为，
项目获得的总投资金额占公司已投入项目资金的，
，
解得，
项目获得的总投资金额与公司预留的总投入资金的比值为．
故答案为：．
设某公司准备预留的资金为，月份，公司分别向、、项目投入的资金分别是，，，月份，公司分别向、项目投入的资金为，，再根据题意找出等量关系进行解题．
本题考查二元一次方程的应用，找出等量关系是解题的关键．
17.【答案】解：，
，
；
，
，
，
．
【解析】本题考查整式、分式的四则运算，掌握计算法则是正确计算的前提．
利用完全平方公式和多项式的乘法，进行计算即可；
根据分式的四则计算的法则进行计算即可，
18.【答案】
【解析】解：如图：
即为所求；
，
理由：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：，，，．
根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图；
根据等腰三角形底边上的高平分底边证明．
本题考查了基本作图，掌握等腰三角的性质好判定是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：甲班组的人数为，
补全甲班汉字书写成绩条形统计图如下：
乙班，，三组人数共有人，
共有名学生，处在第、位的两个数的平均数为，
乙班的中位数，
；
故答案为：，；
乙班学生汉字书写能力较好，理由如下：
乙班的平均数和中位数都大于甲班的；
乙班组人数有人，
人，
答：估计参加此次测试成绩达到优秀的学生人数是人．
先求出甲班组的人数，再补全条形统计图，然后根据乙班的中位数和组百分比求出、即可；
从平均数和中位数两个方面进行分析，即可得出答案；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查频数率分布直方图、中位数、众数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
20.【答案】解：将代入，
得，
解得，
，
，在反比例函数图象上，
点，关于原点成中心对称，
点坐标为，
把代入得，
点坐标为，
将，代入得，
解得，
；
如图，作轴交于点，
设所在直线解析式为，
将，代入得，
解得，
，
将代入得，
解得，
点坐标为，
把代入得，
点坐标为，，
；
由图象可得当时，曲线在直线上方，
当时，．
【解析】先将代入反比例解析式求解，然后求出点坐标，再将点，坐标代入求解．
作轴交于点，求出点坐标及所在直线解析式，从而可得长度，再根据求解．
根据图象求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
21.【答案】解：设返回时，两地间的路程为米，由题意得：
，
解得．
答：、两地间的路程为米；
设小明从地到地共锻炼分钟，由题意得：
，
整理得，
解得，舍去．
答：小明从地到地共锻炼分钟．
【解析】可设两地之间的距离为米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；
可设小明从地到地共锻炼分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗卡路里热量，列出方程即可求解．
考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
22.【答案】解：过作于点，如图，
乙山的坡比为：，
，
设米，则米，
米，
，
解得：，
米，
答：乙山处到河边的垂直距离为米；
过作于点，过作于点，
则四边形为矩形，
米，，
米，
从处看处的俯角为，
，
在中，，
米，
米，
在中，由勾股定理得：米，
由可知，米，
米，
答：河的宽度约为米．
【解析】过作于点，由坡度的概念和勾股定理即可得出结论；
过作于点，过作于点，则四边形为矩形，得米，，由锐角三角函数定义求出的长，再由勾股定理求出的长，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23.【答案】解：设“十全数”的千位数字为，百位数字为，
则十位数字为，个位数字为，
则这个“十全数”为：，
它的“对应数”为，，
，
所以一个“十全数”与其“对应数”之差能被整除；
设“十全数”的千位数字为，百位数字为，
则十位数字为，个位数字为，
，
，
，
由题意得：或且，
为完全平方数，
所以当时，．
【解析】用，表示“十全数”，再分解因式证明；
列式表示，再利用代入验证法求解．
本题考查了因式分解的应用，代入验证法是解题的关键．
24.【答案】解：，
，
，
，即，
，
，
，
，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
，
抛物线对称轴为直线，
设直线解析式为，把代入得：
，
解得，
直线解析式为，
由得：或，
，
在中，令得，
，
过作轴交直线于，过作于，延长交于，如图：
设，则，
，
，
当最大时，面积最大，此时，
，，
，，
根据题意可得，
，
，
，
，
，
，
取最小值时，取最小值，此时，即，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
的最小值为；
答：当面积最大时，的最小值是；
在抛物线的对称轴上存在点，使得点、、、构成的四边形为菱形，理由如下：
由，知，，设，，
当，为对角线时，，的中点重合，且，
，
解得，
；
当，为对角线，同理可得：
，
解得或，
或；
当，为对角线时，可得：
，
解得或，
或
综上所述，的坐标为或或或或
【解析】由，得，，可知，用待定系数法可得抛物线的解析式为；
可得直线解析式为，从而，，过作轴交直线于，过作于，延长交于，设，可得，又，故当最大时，面积最大，此时，，，可得，，又，，可得取最小值时，取最小值，此时，即，即可求出的最小值为；
设，，分三种情况列方程组：当，为对角线时，，的中点重合，且，可得，当，为对角线，，当，为对角线时，，分别解方程组可得答案．
本题考查二次函数，一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，锐角三角函数，菱形等知识，解题的关键是方程思想的应用．
25.【答案】解：如图，连接，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
在中，，，
；
证明：如图，延长至，使，连接，
由可得：≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，
，，
≌，
，
；
如图，设，相交于点，连接，，，，，作交的延长线于点，于点，
，
，，
，
，
，
，
，
为中点，为中点，
，
，
，
≌，
，
为中点，
是的中位线，
，
，：：：，
，：：，
为直径，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
设，则，
，
，，，
，，
，
，
在中，，
：：：：：：．
【解析】连接，证明≌、为直角三角形，由勾股定理得的长．延长到，使，连接，证明四边形是平行四边形，得到，证明≌得，所以．
设，相交于点，连接，，，证明≌得到，从而得到证明≌的条件，根据边比求出，将构造在特殊的直角三角形内，得到与的比，最后求出：：的值．
这是一道几何综合题，主要考查了三角形全等，勾股定理，等腰三角形三线合一，中位线定理，三角函数等知识点，熟悉手拉手模型，截长补短法是快速解答、问的关键，第难度较大．
第1页，共1页