2023-2024学年苏科版八年级数学上第七周周末提优训练(2.5--3.1）（含答案）

2023-2024学年苏科版八年级数学上第七周周末提优训练(2.5--3.1）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(每小题3分 共30分)
1.在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,则△ABC的面积为(　　)
A.12　　　　B.14　　　　C.18　　　　D.20
2.四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图),大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则组成弦图的每个小直角三角形的两条直角边边长的和为(　　)
A.5　　　　B.7　　　　C.25　　　　D.3
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图,有一个绳索拉直的木马秋千,绳索AB的长为5米,若将它往水平方向推进3米(即DE=3米),且绳索保持拉直的状态,则此时木马上升的高度为(　　)
A.1米　　　　B.米　　　　C.2米　　　　D.4米
4.已知,如图,一轮船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,两船相距(　　)
A.25海里　　　B.30海里　　　C.40海里　　　D.50海里
5．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，有下列结论：①AE＝CF；②△PEF是等腰直角三角形；③EF＝AP；④S四边形AEPF＝S△ABC.当∠EPF在△ABC内部绕顶点P旋转时(点E不与点A，B重合)，上述结论中，始终正确的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．正方形ABCD的边长为2，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，…按此规律继续下去，则s2024的值为（　　）
A．（）2022 B．（）2021 C．（）2022 D．（）2021
9．如图，∠AOB=60°，OA= OB，动点C从点D出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连结BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是( )
A.平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
10.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
二．填空题(每小题3分 共30分)
11．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为______．
12．如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于_______．
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
13．如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，连接MN，则△AMN的周长为_______．
14．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是_______．
15．如图，将四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，较短直角边长为b．较长直角边长为a，已知a+b=7，ab＝12，大正方形的边长为_____.
16.如图，在△ABC，∠C＝90°，c=5 ，则a2+b2+c2＝　 　．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图
17.如图所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于_____
18．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
19．如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD． 当α=_________时，△AOD是等腰三角形.
20. 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若三角形ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为________．
三．解答题（60分）
21．(6分)已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
(2)如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG.
22.（8分）如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.
(1)求证:△PDE≌△CDF;
(2)若CD=4 cm,EF=5 cm,求BC的长.
23.（8分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,AC=6 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动,设运动时间为t s.
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
24.(12分)△ABC中AB=AC,D是射线BC上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. (1)如图1,若D是BC边的中点,求证:DE=DF;
(2)过点B作BG⊥AC于点G.
①如图2,若D是BC边上任意一点,求证:BG=DE+DF;
②若点D是BC延长线上一点,AB=5,BC=6,DF=2,求DE的长.
　
图1 图2
25.（12分）定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形.如图1,在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD.
(1)如图1,△OAB与△OCD是对顶三角形,且A,O,C三点共线,请判断AB与CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AC,BD,试探究线段AC,BD之间的关系,并说明理由;
(3)如图3,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AD,BC,取AD的中点E,连接EO并延长,交BC于点F,延长OE至点G,使EG=OE,连接AG,求证:EF⊥BC.
图1 图2 图3
26.（14分）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
教师样卷
一．选择题(每小题3分 共30分)
1.在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,则△ABC的面积为(　A　)
A.12　　　　B.14　　　　C.18　　　　D.20
2.四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图),大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则组成弦图的每个小直角三角形的两条直角边边长的和为(　A　)
A.5　　　　B.7　　　　C.25　　　　D.3
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图,有一个绳索拉直的木马秋千,绳索AB的长为5米,若将它往水平方向推进3米(即DE=3米),且绳索保持拉直的状态,则此时木马上升的高度为(　A　)
A.1米　　　　B.米　　　　C.2米　　　　D.4米
4.已知,如图,一轮船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,两船相距(　A　)
A.25海里　　　B.30海里　　　C.40海里　　　D.50海里
5．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（　A　）
A． B． C． D．
6．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　C　）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，有下列结论：①AE＝CF；②△PEF是等腰直角三角形；③EF＝AP；④S四边形AEPF＝S△ABC.当∠EPF在△ABC内部绕顶点P旋转时(点E不与点A，B重合)，上述结论中，始终正确的是(B)
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．正方形ABCD的边长为2，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，…按此规律继续下去，则s2024的值为（　B　）
A．（）2022 B．（）2021 C．（）2022 D．（）2021
9．如图，∠AOB=60°，OA= OB，动点C从点D出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连结BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是( A )
A.平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
解:∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB．∠OAB=∠AB0=60° ①当点C在线段OB上时，如图1．∵△ACD是等边三角形，∴AC=AD．∠CAD=60°,∴∠OAC=∠BAD． 在△AOC和△ABD中，∴△AOC≌△ABD( SAS),
∴∠ABD=∠AOC=60°,∴∠DBF=180°-∠ABO-∠ABD=60°．∴∠DBE= ∠AOB,∴BD// OA.②当点C在OB的延长线上时，如图2．同①的方法得出BD//OA.，故选A．
10.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ C ）
A．9 B．8 C．7 D．6
解：∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG DG＝GF2+2CG DG，S2＝GF2，S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG NF，∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG NF＝3GF2，∴S2的值是：7．故选：C．
二．填空题(每小题3分 共30分)
11．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为__30°或150°或90°____．
解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
12．如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于___4____．
解：∵在△ABC中，∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∵DE⊥AB，∴∠AED=30°，∵AD=1，∴AE=2，∵BC=6，∴AC=BC=6，∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，故答案为4．
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
13．如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，连接MN，则△AMN的周长为__5_____．
解：延长CD、BD，分别交AB于Q，交AC于P，在AC上取一点K，使KP=QM，连接DK，
∵△BDC是顶角为120°的等腰三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠BPC=∠CQB=90°，∴PC=BC，BQ=BC，∴PC=BQ=AQ=AP=×5=，在Rt△BDQ和Rt△CDP中，∵，∴Rt△BDQ≌Rt△CDP（HL），∴DQ=PD，
同理得Rt△DQM≌Rt△DPK，∴DM=DK，∠QDM=∠PDK，∵∠BDQ=60°，∠MDN=60°，∴∠QDM+∠NDP=60°，∴∠PDK+∠NDP=60°，即∠NDK=60°，∴∠NDK=∠MDN=60°，∵ND=ND，
∴△MDN≌△KDN，∴MN=NK=NP+PK，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=
AM+AN+NP+QM=AP+AQ=+=5，故答案为：5．
14．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是___①②③_____．
解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴180°﹣∠ECD=180°﹣∠ACB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，故①小题正确；∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），∴∠BCQ=180°﹣60°×2=60°，∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ，故③小题正确；PC=QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ=60°，∴∠ACB=∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；∵AD=BE，AP=BQ，∴AD﹣AP=BE﹣BQ，即DP=QE，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．
15．如图，将四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，较短直角边长为b．较长直角边长为a，已知a+b=7，ab＝12，大正方形的边长为__5___.
16.如图，在△ABC，∠C＝90°，c=5 ，则a2+b2+c2＝　 50 　．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图
17.如图所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于_2π____
18．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
19．如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD． 当α=__125°，110°或140°_______时，△AOD是等腰三角形.
解： ① 要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=190°－α，∠ADO=α－60°，∴190°－α=α－60°，∴α=125°．② 要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO.∵∠OAD=180°－(∠AOD+∠ADO)=180°－(190°－α+α－60°)=50°，∴α－60°－50°．∴α=110°．③要使AD=OD，需∠AOD=∠OAD，∴190°－α=50°．∴α=140°．综上所述，当α为125°，110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
20. 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若三角形ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为___1或3_____．
解：当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFB=90°，∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=CD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠BEF=30°，∵BE=AB+AE=1+2=3，∴FB=EB=，∴CF=FB BC=，则CD=2CF=1；当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFC=90°，∵EC=ED，
∴F为CD的中点，即CF=DF=CD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠EBF=60°，
∴∠BEF=30°，∵BE=AE AB=2 1=1，∴FB=BE=，∴CF=BC+FB=，则CD=2CF=3，
综上，CD的值为1或3．故答案为：1或3
三．解答题（60分）
21．(6分)已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
(2)如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG.
解:(1)如图1中，线段BF即为所求．(2)如图2中，线段BG即为所求．
22.（8分）如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.
(1)求证:△PDE≌△CDF;
(2)若CD=4 cm,EF=5 cm,求BC的长.
解：(1)证明:∵四边形ABCD是长方形,∴AB=CD,∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°,由折叠知,AB=PD,∠P=∠A=90°,∠PDF=∠B=90°,∴PD=CD,∠P=∠C,∠PDF=∠ADC,∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF,在△PDE和△CDF中,∴△PDE≌△CDF(ASA).
(2)如图,过点E作EG⊥BC于点G,∵四边形ABCD是长方形,∴EG=AB=CD=4 cm,又∵EF=5 cm,GF2=EF2-EG2,∴GF=3 cm,设AE=BG=x cm,则EP=x cm,∵△PDE≌△CDF,∴CF=EP=x cm,PD=CD=4 cm,∴DE=GC=GF+FC=(3+x)cm,在Rt△PED中,PE2+PD2=DE2,即x2+42=(3+x)2,解得x=,∴BC=BG+GC=(cm).
23.（8分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,AC=6 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动,设运动时间为t s.
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
解：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,∵AB=10 cm,AC=6 cm,∴BC2=102-62=64,∴BC=8 cm.
(1)①当∠APB=90°时,点P与点C重合,∴t=8÷1=8.
②当∠BAP=90°时,∵BP=t cm,∴CP=(t-8)cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+PC2=62+(t-8)2,在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,∴102+[62+(t-8)2]=t2,解得t=.综上所述,t的值为8或.
(2)当AB=AP时,BP=2BC=16 cm,则t=16÷1=16;当BA=BP=10 cm时,t=10÷1=10;当PA=PB时,如图,设BP=PA=x cm,则PC=(8-x)cm,在Rt△ACP中,由勾股定理,得PC2+AC2=AP2,即(8-x)2+62=x2,解得x=,∴t=÷1=.综上所述,t的值为16或10或.
24.(12分)△ABC中AB=AC,D是射线BC上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. (1)如图1,若D是BC边的中点,求证:DE=DF;
(2)过点B作BG⊥AC于点G.
①如图2,若D是BC边上任意一点,求证:BG=DE+DF;
②若点D是BC延长线上一点,AB=5,BC=6,DF=2,求DE的长.
　
图1 图2
解：(1)证明:如图,连结AD.∵AB=AC,BD=CD,∴AD平分∠BAC,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
(2)①证明:如图,连结AD.∵△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积,
∴AB·DE+AC·DF=AC·BG,∵AB=AC,∴DE+DF=BG.
②如图,连结AD,过点A作AH⊥BC于点H.∵△ABC的面积=△ABD的面积-△ACD的面积,
∴AB·DE-AC·DF=AC·BG,∵AB=AC,∴DE-DF=BG,∵AC=AB=5,BC=6,AH⊥BC,∴BH=CH=3,
∵AH2=AB2-BH2,∴AH=4,∵AC·BG=BC·AH,∴BG=,∴DE=DF+BG=2+.
25.（12分）定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形.如图1,在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD.
(1)如图1,△OAB与△OCD是对顶三角形,且A,O,C三点共线,请判断AB与CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AC,BD,试探究线段AC,BD之间的关系,并说明理由;
(3)如图3,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AD,BC,取AD的中点E,连接EO并延长,交BC于点F,延长OE至点G,使EG=OE,连接AG,求证:EF⊥BC.
图1 图2 图3
解：　(1)AB∥CD.理由:∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,
∴∠OCD=∠ODC=(180°-∠COD),∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB),
∴∠OCD=∠OAB.∵A,O,C三点共线,∴AB∥CD.
(2)AC=BD,AC⊥BD.理由:如图,设BD交AC于点M,交OC于点J.∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中,∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD,∠OCM=∠ODJ.∵∠DJO=∠CJM,
∴∠CMJ=∠DOJ=90°,即AC⊥BD.
(3)证明:如题图3,∵E为AD中点,∴AE,DE,在△AEG和△DEO中,
∴△AEG≌△DEO(SAS),∴AG=OD,∠G=∠DOE,∴AG∥OD,∴∠OAG+∠AOD=180°.
∵∠COD=∠AOB=90°,∴∠AOD+∠BOC=180°,∴∠GAO=∠COB.∵OD=OC,∴AG=OC.在△GAO和△COB中,∴△GAO≌△COB(SAS),∴∠AOG=∠OBC.
∵∠AOG+∠BOF=90°,∴∠OBC+∠BOF=90°,∴∠BFO=90°,即EF⊥BC.
26.（14分）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
解：（1）AF=BD.证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）.同理知，DC=CF，∠DCF=60°.∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF.在△BCD和△ACF中，∴△BCD≌△ACF（SAS）.∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）.
（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立.
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB.证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；同理△BCF′≌△ACD，则BF′=AD.∴AF+BF′=BD+AD=AB；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′.证明如下：在△BCF′和△ACD中，∴△BCF′≌△ACD（SAS）.∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）.又由（2）知，AF=BD,∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．