2023-2024学年湖南省长沙外国语学校九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙外国语学校九年级（上）入学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁人各射击次，平均成绩相同，方差分别是，，，，这人中成绩发挥最稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
3.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.下列命题是真命题的是( )
A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 四边都相等的四边形是矩形
5.如图，已知矩形，，，平分交于点，点、分别为、的中点，则( )
A. B. C. D.
6.在函数中，自变量的取值范围是( )
A. B. 且 C. 且 D.
7.在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，则原点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
9.将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是
( )
A. B. C. D.
10.如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.已知、是关于的方程的两个不相等的实数根，则______．
12.当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是_______．
13.一次函数的图象与轴的交点坐标是______．
14.如图，菱形的对角线、相交于点，过点作直线分别与、相交于、两点，若，，则图中阴影部分的面积等于______．
15.点关于轴对称的点的坐标是______ ．
16.二次函数的图象如图，对称轴为若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17.计算：．
四、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.本小题分
解一元二次方程：．
19.本小题分
为了调查学生每天的零花钱情况，对我校初二学年某班名同学每天零花钱情况进行了统计，并绘制成下面的统计图．
直接写出这名同学零花钱数据的众数是______ ；中位数是______ ．
求这名同学零花钱的平均数．
20.本小题分
已知二次函数的图象如图所示．
求这个二次函数的表达式；
观察图象，当时，的取值范围为______．
21.本小题分
如图，在 中，，平分，交于点，过点作交于点．
求证：四边形是菱形；
若菱形的周长为，，求的大小．
22.本小题分
为响应国家全民阅读的号召，望月湖区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量单位：本该阅览室在年图书借阅总量是本，年图书借阅总量是本．
求该社区的图书借阅总量从年至年的年平均增长率；
已知年该社区居民借阅图书人数有人，预计年达到人，如果至年图书借阅总量的增长率不低于至年的年平均增长率，那么年的人均借阅量比年增长，的值至少是多少？
23.本小题分
某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为元个．根据市场调查，该产品的日销售量个与销售单价元个之间满足一次函数关系．关于日销售量个与销售单价元个的几组数据如表：
求出与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围及的值．
按照中的销售规律，当销售单价定为元个时，日销售量为______个，此时，获得日销售利润是______．
为防范风险，该公司将日进货成本控制在含元以内，按照中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
依据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形关于这条直线对称，这条直线就是这个图形的对称轴，由此即可作答．
此题主要考查了轴对称图形，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．
2.【答案】
【解析】解：，，，，
，
这人中成绩发挥最稳定的是乙，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
3.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得，
故选：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
此题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
4.【答案】
【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，故不符合题意；
C、对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形，故不符合题意；
D、四边都相等的四边形是菱形，故不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的性质，正方形的判定方法进行判断．
本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形中位线的定理，求的长是解本题的关键．
由矩形的性质和角平分线的定义可得，可得，由勾股定理可求，由三角形中位线定理可求的长．
【解答】
解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
点、分别为、的中点，
．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：根据题意得：且，
解得：且．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查坐标平面内点的特征，将到的距离转化为直角三角形斜边上的高是解题的关键由是直角三角形，利用直角三角形面积相等，将到的距离转化为直角三角形斜边上的高求解；
解：点、的坐标分别是、，
，，
，
到的距离为，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：把代入得，
所以，
所以．
故选：．
把代入得，然后利用整体代入的方法计算的值．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
9.【答案】
【解析】解：将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是，即．
故选：．
按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
10.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限．
故选：．
先由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，再由一次函数的性质解答．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．用到的知识点：
二次函数，当时，抛物线开口向下；抛物线与轴交于，当时，与轴交于正半轴；当，时，一次函数的图象在一、二、四象限．
11.【答案】
【解析】解：、是关于的方程的两个不相等的实数根，
．
故答案为．
由根与系数的关系求解即可．
本题考查了根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
12.【答案】
【解析】解：经过第二、三、四象限，
，，
，，
；
故答案为；
根据一次函数，，时图象经过第二、三、四象限，可得，，即可求解；
13.【答案】
【解析】解：令中，则，
解得：．
一次函数的图象与轴的交点坐标为．
故答案为：．
令一次函数解析式中，则可得出关于的一元一次方程，解方程得出值，从而得出一次函数图象与轴的交点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，令一次函数解析式中或，求出或值是关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为的面积为解题关键．
根据菱形的性质可证出≌，可将阴影部分面积转化为的面积，根据菱形的面积公式计算即可．
【解答】
解：四边形为菱形，
，，，
，
≌，
，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故答案为：．
关于轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．
本题主要考查的是关于坐标轴对称的点的坐标特点，明确关于轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称点的纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，解得，
抛物线解析式为，顶点坐标为，
当时，，当时，，
一元二次方程为实数在的范围内有解，
直线与二次函数在范围内有交点，
，
．
故答案为：．
一元二次方程为实数在的范围内有解，即直线与二次函数，在这个范围内由交点，则：在顶点和时之间时，两个函数有交点，即可求解．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．题目关键是把一元二次方程转化为直线与二次函数的交点．
17.【答案】解：原式．
【解析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
18.【答案】解：．
移项得：．
配方得：．
即，
开平方得：，
解得，．
【解析】根据配方法解一元二次方程的步骤：移项、配方、开平方，即可得出方程的解．
本题考查了一元二次方程的解法：配方法；熟练掌握用配方法解一元二次方程是解决问题的关键．
19.【答案】
【解析】解：出现次数最多数为，故众数为；
数据个数为个，中位数为从小到大排列的第，个数的平均数，由图知，第，个数均为，故中位数为；
故答案为：；．
元，
故平均数为：．
根据众数、中位数的定义求解，由图知，中位数为从小到大排列的第，个数的平均数；
根据加权平均数的定义求解．
本题考查众数，中位数，加权平均数的定义和计算；理解相关定义是解题的关键．
20.【答案】设二次函数解析式为，
将点代入，得：，
解得，
则这个二次函数解析式为；
．
【解析】解：见答案；
由图象知，当时，的取值范围为，
故答案为：．
【分析】
利用待定系数法求抛物线解析式；
结合图象，写出所对应的因变量的范围即可．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
21.【答案】证明： ，
，即 ，
，
四边形为平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
解：连接交于点；则于点，
，，
，
菱形的周长为，
，
在中，
，
由勾股定理可得：，
．
【解析】由题意可得四边形是平行四边形，由平分，可得，则结论可得
连接交于点；则于点由题意可得，，，可得的长即可求的长．
本题考查了菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，关键是利用这些性质和判定解决问题．
22.【答案】解：设该社区的图书借阅总量从年至年的年平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，舍去．
答：该社区的图书借阅总量从年至年的年平均增长率为．
依题意，得：，
解得：．
答：的值至少是．
【解析】设该社区的图书借阅总量从年至年的年平均增长率为，根据该社区年及年的图书借阅总量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据年的借阅总量年的人均借阅量增长率年借阅图书人数结合至年图书借阅总量的增长率不低于至年的年平均增长率，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：是的一次函数，设，
图象过点，，
，
解得：，
，
当时，；
与之间的函数关系式为，的值为；
，；
由题意得：，
解得．
，
即与之间的函数关系式为，
的对称轴为：，
，
抛物线开口向下，当时，随增大而减小，
当时，，
即以元个的价格销售，可获得最大利润元．
【解析】解：见答案；
个；
元．
故日销售量为个，获得日销售利润是元；
故答案为：，；
见答案．
观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，代入求得的值即可；
把代入，可求日销售量，日销售利润每个商品的利润日销售量，依此计算即可；
根据进货成本可得自变量的取值，根据销售利润每个商品的利润销售量，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．
此题主要考查了二次函数的应用；要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值．
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