3.1.1函数及其表示方法（第一课时） 课件（共20张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.1.1函数及其表示方法（第一课时） 课件（共20张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-20 09:31:50 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
3.1.1函数及其表示方法(1)
在数学中函数概念的解释有两个基本的派别，第一派叫古典派，它的主要目标是数学在物理和技术中的传统应用，以“变量”的概念为基础。初中数学里的函数概念属于这一派；第二派叫现代派（或集合论派），以“元素”概念为基础，函数概念的外延更广，用于所有传统的数学应用和新近出现的新的应用领域．这节课我们一起学习一下吧.
1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.（重点、难点）
2.会判断给出的两个函数是否是同一函数.
3.会求一些简单函数的定义域.（重点）
探究点1 函数的概念
思考1：初中我们学习过哪些函数呢？你能举几个例子吗？
【提示】正比例函数,一次函数,
反比例函数,二次函数.
思考2：初中我们学习的函数是怎样定义的？
【提示】在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么就称是的函数.
（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。
思考3：观察下列两个实例有什么不同点和共同点？与初中学习的函数是否相同？
以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则是的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
【提示】是的函数.的变化范围是数集{2008，2009，20100，2011，2012，2013，2014，2015}，的变化范围是数集{116.5，125.5，131.8，139.6，148.2，152.6，158.2，171.5}.并且对于数集中每一个,按照图表，在数集中都有唯一确定的与之对应.
（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.
如果用t表示测量的时间，表示测量的指标值，则是的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
【提示】是的函数.的变化范围是数集[]，的变化范围是数集.并且对于数集中每一个时间,按照图像，在数集中都有唯一确定的指标值与之对应.
两个实例有什么共同点和不同点？
不同点
实例1是用表格刻画变量之间的对应关系.
实例2是用图象刻画变量之间的对应关系.
共同点
（1）都有两个非空数集.
（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系.
初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从这两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：实例中的是的函数，是的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等.
那么如何给函数下一个新的定义呢？
一般地，给定两个非空实数集与，以及对应关系，如果对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与对应，则称为定义在集合上的一个函数，记作
,,
其中称为自变量，称为因变量，自变量取值的范围（即数集）称为这个函数的定义域.
{|,}
称为函数的值域.
函数
所有函数值组成的集合
注意：
2.如何理解“ ”？
【解析】符号表示“ 是变量的函数”，它仅仅是函数符号，并不表示等于与的乘积,是对应关系，也可用其他小写英文字母如 , 等表示.例如：即表示.
【解析】当为常数时，表示的是自变量时对应的函数值，是一个常数,也可以记作 .
1.函数概念中的关键词
【解析】(1) A，B是非空数集.(2)任意的∈A，存在唯一的∈B与之对应.
3.与的区别和联系.
即时训练:
下列可作为函数的图象的是（ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
x
x
x
x
y
y
y
y
O
O
O
O
√
D
是否一个自变量的值仅对应一个函数值
例1 求下列函数的定义域:
(1) (2)
【解析】（1）因为函数有意义当且仅当
解得,所以函数的定义域为
（2）因为函数有意义当且仅当
解得且,所以函数的定义域为
在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合.
【总结】
1.求函数定义域常用的依据：
（1）分式中分母不能为零；
（2）二次根式中的被开方数要大于或等于零；
（3）零次方的底数不能为零；
（4）实际问题要有意义.
2.定义域要写成集合或区间形式.
跟踪训练 求下列函数的定义域:
【解析】（1）因为函数有意义当且仅当
解得,所以函数的定义域为
（2）因为函数有意义当且仅当
解得,所以函数的定义域为
探究点2 相等函数
思考1：函数与是同一函数吗？
提示：不是，定义域不同
思考3：函数与是同一函数吗？
提示：是，定义域相同，对应关系相同
思考2：函数与是同一函数吗？
提示：是，定义域相同，对应关系
一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一函数.
即时训练 下列函数是否表示同一函数.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
是
是
不是，定义域不同
不是，定义域不同
例2 设函数的值域为S，分别判断和3是否是S中的元素.
【解析】由于恒成立，所以无解，因此，.
当时，可解得,即,所以.
用方程去判断一个数是否属于函数的值域.
例3 已知:
(1)求和;
(2)求函数的值域.
【解析】（1）由已知可得
（2）（方法一）因为
所以恒成立，从而可知
又因为当的绝对值逐渐变大时，函数值会逐渐接近于0，但不会等于0，
因此所求函数值域为.
观察法
（方法二）假设是所求值域中的元素，则关于的方程应该
有解，即应该有解，从而
解得.因此所求函数值域为.
方程法
求函数的值域，应先确定定义域，遵循定义域优先原则，再根据具体情况求的取值范围.
注意
跟踪训练 求下列函数的值域.
（1）；（2）
【解析】（1）
因此，函数的值域为
（2）
因此，函数的值域为
定义域
值域
函数的概念
函数的记法
函数
3.1.1函数及其表示方法(1)
在数学中函数概念的解释有两个基本的派别，第一派叫古典派，它的主要目标是数学在物理和技术中的传统应用，以“变量”的概念为基础。初中数学里的函数概念属于这一派；第二派叫现代派（或集合论派），以“元素”概念为基础，函数概念的外延更广，用于所有传统的数学应用和新近出现的新的应用领域．这节课我们一起学习一下吧.
1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.（重点、难点）
2.会判断给出的两个函数是否是同一函数.
3.会求一些简单函数的定义域.（重点）
探究点1 函数的概念
思考1：初中我们学习过哪些函数呢？你能举几个例子吗？
【提示】正比例函数,一次函数,
反比例函数,二次函数.
思考2：初中我们学习的函数是怎样定义的？
【提示】在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么就称是的函数.
（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。
思考3：观察下列两个实例有什么不同点和共同点？与初中学习的函数是否相同？
以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则是的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
【提示】是的函数.的变化范围是数集{2008，2009，20100，2011，2012，2013，2014，2015}，的变化范围是数集{116.5，125.5，131.8，139.6，148.2，152.6，158.2，171.5}.并且对于数集中每一个,按照图表，在数集中都有唯一确定的与之对应.
（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.
如果用t表示测量的时间，表示测量的指标值，则是的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
【提示】是的函数.的变化范围是数集[]，的变化范围是数集.并且对于数集中每一个时间,按照图像，在数集中都有唯一确定的指标值与之对应.
两个实例有什么共同点和不同点？
不同点
实例1是用表格刻画变量之间的对应关系.
实例2是用图象刻画变量之间的对应关系.
共同点
（1）都有两个非空数集.
（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系.
初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从这两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：实例中的是的函数，是的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等.
那么如何给函数下一个新的定义呢？
一般地，给定两个非空实数集与，以及对应关系，如果对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与对应，则称为定义在集合上的一个函数，记作
,,
其中称为自变量，称为因变量，自变量取值的范围（即数集）称为这个函数的定义域.
{|,}
称为函数的值域.
函数
所有函数值组成的集合
注意：
2.如何理解“ ”？
【解析】符号表示“ 是变量的函数”，它仅仅是函数符号，并不表示等于与的乘积,是对应关系，也可用其他小写英文字母如 , 等表示.例如：即表示.
【解析】当为常数时，表示的是自变量时对应的函数值，是一个常数,也可以记作 .
1.函数概念中的关键词
【解析】(1) A，B是非空数集.(2)任意的∈A，存在唯一的∈B与之对应.
3.与的区别和联系.
即时训练:
下列可作为函数的图象的是（ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
x
x
x
x
y
y
y
y
O
O
O
O
√
D
是否一个自变量的值仅对应一个函数值
例1 求下列函数的定义域:
(1) (2)
【解析】（1）因为函数有意义当且仅当
解得,所以函数的定义域为
（2）因为函数有意义当且仅当
解得且,所以函数的定义域为
在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合.
【总结】
1.求函数定义域常用的依据：
（1）分式中分母不能为零；
（2）二次根式中的被开方数要大于或等于零；
（3）零次方的底数不能为零；
（4）实际问题要有意义.
2.定义域要写成集合或区间形式.
跟踪训练 求下列函数的定义域:
【解析】（1）因为函数有意义当且仅当
解得,所以函数的定义域为
（2）因为函数有意义当且仅当
解得,所以函数的定义域为
探究点2 相等函数
思考1：函数与是同一函数吗？
提示：不是，定义域不同
思考3：函数与是同一函数吗？
提示：是，定义域相同，对应关系相同
思考2：函数与是同一函数吗？
提示：是，定义域相同，对应关系
一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一函数.
即时训练 下列函数是否表示同一函数.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
是
是
不是，定义域不同
不是，定义域不同
例2 设函数的值域为S，分别判断和3是否是S中的元素.
【解析】由于恒成立，所以无解，因此，.
当时，可解得,即,所以.
用方程去判断一个数是否属于函数的值域.
例3 已知:
(1)求和;
(2)求函数的值域.
【解析】（1）由已知可得
（2）（方法一）因为
所以恒成立，从而可知
又因为当的绝对值逐渐变大时，函数值会逐渐接近于0，但不会等于0，
因此所求函数值域为.
观察法
（方法二）假设是所求值域中的元素，则关于的方程应该
有解，即应该有解，从而
解得.因此所求函数值域为.
方程法
求函数的值域，应先确定定义域，遵循定义域优先原则，再根据具体情况求的取值范围.
注意
跟踪训练 求下列函数的值域.
（1）；（2）
【解析】（1）
因此，函数的值域为
（2）
因此，函数的值域为
定义域
值域
函数的概念
函数的记法
函数