2023-2024学年湖北省武汉市洪山区华中师大一附中光谷分校九年级（上）收心考数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省武汉市洪山区华中师大一附中光谷分校九年级（上）收心考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2.二次函数图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 或个
5.已知关于的一元二次方程均为常数且的解是，，则关于的一元二次方程的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点，的坐标分别为，，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第次旋转后，点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.对于二次函数，规定函数是它的相关函数已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.一元二次方程的根的判别式的值为______ ．
12.如图，在中，弦，点是圆上一点，且，则的半径是______ ．
13.已知二次函数，当时，函数值的取值范围是______ ．
14.已知而成函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线有三个不同公共点时的值是______ ．
15.如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：；；；；其中正确的是______ 填序号．
16.如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
解方程：
；
．
18.本小题分
已知是关于的一元二次方程的一个根．
求．
求此方程的另一个根．
19.本小题分
某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长米、宽米的矩形空地上．如图，空地被划分出个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为平方米，小路的宽应为多少米？
20.本小题分
如图，抛物线的对称轴为，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为．
求点的坐标；
若点在抛物线上，，且，求点的坐标．
21.本小题分
在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标是，请解答下列问题：
在图中画出关于轴对称的，并直接写出点的对应点的坐标；
将绕原点顺时针旋转得到，在图中画出，并直接写出点的对应点的坐标；
将沿直线折叠，刚好和重合，请直接写出直线的解析式为______ ．
22.本小题分
如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为单位：．
求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围．
23.本小题分
如图正方形和正方形，边在边上，，，将正方形绕点逆时针旋转．
如图正方形旋转到此位置，求证：；
的延长线交直线于点，当正方形由图绕点逆时针旋转，请直接写出旋转过程中点运动的路线长；
在旋转的过程中，是否存在某时刻？若存在，试求出的长；若不存在，请说明理由点即中的点
24.本小题分
已知抛物线与轴交于、两点在左边，与轴交于点，顶点为，．
求与满足的关系式；
直线，与抛物线交于另一点，的面积为，求的值；
在的条件下，过的直线与抛物线交于、两点，分别过、且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点，求长的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是，，，
故选：．
根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义即可得出结果．
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2.【答案】
【解析】解：，
二次函数图象的顶点坐标为．
故选：．
将二次函数解析式变形为顶点式，进而可得出二次函数的顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式变形为顶点式是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：选项B、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
4.【答案】
【解析】解：直线不经过第一象限，
，
当时，方程是一次方程，有一个根，
当时，
关于的方程，
，
关于的方程有两个不相等的实数根，
故选：．
由直线解析式求得，然后确定的符号即可．
本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
5.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程均为常数且的解是，，
对于关于的一元二次方程的解为和，
即或，
即，，
关于的一元二次方程的解是，．
故选：．
把看作关于的一元二次方程，则或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解的定义，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：设，则、是函数和轴的交点的横坐标，
而，
即函数向上平移个单位得到函数，
则两个函数的图象如图所示省略了轴，
从图象看，，
故选：．
设，而，即函数向上平移个单位得到函数，通过画出函数大致图象即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确理解图象的平移是本题解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，，
原式．
故选：．
先由，是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系得出，，然后化简原式代入计算即可求解．
本题考查了根与系数的关系：，是一元二次方程的两个实数根时，，，同时考查了一元二次方程解的定义．
8.【答案】
【解析】解：在正方形中，点的坐标为，
点．
，
．
．
四边形是平行四边形，
．
．
由题意，可得风车第次旋转结束时，点的坐标为；第次旋转结束时，点的坐标为；第次旋转结束时，点的坐标为；第次旋转结束时，点的坐标为．
将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，
旋转次为一个循环．
，
经过第次旋转后，点的坐标与第次旋转结束时点的坐标相同，为；
故选：．
根据风车绕点顺时针旋转，每次旋转，可知旋转次为一个循环，得到经过第次旋转后，点的坐标与第次旋转结束时点的坐标相同，进行求解即可．
本题考查规律探索求点坐标．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，抽象概括出相应的坐标规律是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，过点作交的延长线于点，作直线，
四边形是正方形，
，，，
，
，
由旋转知，，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
点在的平分线上，
如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，最小，
点关于直线的对称点，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形，
，
设，由图知，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
故选：．
过点作交的延长线于点，作直线，首先证明≌，得，，再证明点在的平分线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，最小，设，由图知，，则，由∽，得到对应边成比例即可求出的值，再利用勾股定理即可解决问题．
本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力．
10.【答案】
【解析】解：如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．
所以当时，，即，解得．
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．
抛物线与轴交点纵坐标为，
，解得：．
当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．
抛物线经过点，
．
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．
抛物线经过点，
，解得：．
时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．
综上所述，的取值范围是或，
故选：．
首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，，，
．
所以一元二次方程根的判别式的值为．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式即可求出值．
本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．
12.【答案】
【解析】解：连接、，如图，
，
而，
为等边三角形，
，
即的半径为．
故答案为：．
连接、，根据圆周角定理得，而，于是可判断为等边三角形，所以．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．
13.【答案】
【解析】解：的对称轴为，，开口向上
又
当时，最小为，时，为
故答案为：．
求得二次函数图象的对称轴方程，根据二次函数的性质求解即可．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
14.【答案】或
【解析】解：函数与轴有两个交点，
，
解得，
当取最小整数时，，
抛物线为，
将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为或．
因为的，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有个交点时它一定过把代入得所以，
与相切时，图象有三个交点，
，
，
解得．
故答案为：或．
根据题意求得，得到解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解析式中，，可求出它函数图象与轴的交点坐标．画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有个交点，可以有两种情况：
过交点，根据待定系数法，可得的值；不过点，直线与相切，根据判别式，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：由于抛物线的开口向下，因此，
由于抛物线的对称轴是直线，所以、异号，而，所以，
由于抛物线与轴的交点在轴的正半轴，因此，
所以，
因此不正确；
由图象可知，当时，，即，
因此正确；
由抛物线的对称性以及图象可知，
当时，，
因此正确；
因为对称轴为，即，
而当时，，
所以，
即，
因此不正确；
由于抛物线的顶点坐标为，即时，的值最大，即最大，
当时，，
即，
因此正确；
综上所述，正确的结论有：，
故答案为：．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，逐项进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数、、的关系是正确判断的前提．
16.【答案】
【解析】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于．
四边形是矩形，
，，
，
，
在和中
≌，
，
点在射线上运动，
当时，的值最小，
，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
的最小值为．
如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于首先证明，推出点在射线上运动，推出当时，的值最小．
本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17.【答案】解：方程可化为，
，
解得：，；
方程可化为，
解得：，．
【解析】原方程移项、合并同类项可化为，再利用因式分解法可得，以此求解即可；
原方程去括号、移项、合并同类项可化为，在利用公式法计算即可．
本题主要考查解一元二次方程，熟知解一元二次的方法是解题关键．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值注意符号；求出的值若，方程无实数根；在的前提下，把、、的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：；．
18.【答案】解：是关于的一元二次方程的一个根，
，
，
即，
解得，．
故的值是或；
当时，
，即，
解得，．
当时，
，即，
解得，．
故另一根为．
【解析】将代入解析式即可求出的值；
把的值代入方程，从而解出另一根．
本题考查了一元二次方程的解，要知道，一元二次方程的解使得方程左右两边相等．
19.【答案】解：设小路的宽应为米，则个矩形区域可合成长为米，宽为米的矩形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：小路的宽应为米．
【解析】设小路的宽应为米，则个矩形区域可合成长为米，宽为米的矩形，根据个矩形区域的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】解：对称轴为，点坐标为，
点坐标为；
由条件其对称轴为，即，
当时，代入可求得，
抛物线为，
又过，代入可求得，
抛物线解析式为，
点坐标为，
，且，
，
，
设到轴的距离为，则，解得，
点的横坐标为或，
当时，代入抛物线解析式可求得，
当时，代入抛物线解析式可求得，
点坐标为或．
【解析】由二次函数的对称性可知，点、到对称轴的距离相等可求得点的坐标；
由条件可先求得抛物线的解析式，再求得的面积，结合条件可求得点到轴的距离，即点的横坐标，代入可求得点坐标．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及与坐标轴的交点，利用二次函数的对称性求得点的坐标、求得二次函数的解析式是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：如图所示，即为所求，点的对应点的坐标为；
如图所示，即为所求，点的对应点的坐标为；
点与对应点所连线段的中点的坐标为，
点与对应点所连线段的中点的坐标为，
设所在直线解析式为，
将、坐标代入，得：，
解得：，
所以直线的解析式为，
故答案为：．
分别作出点、、关于轴的对称点，再顺次连接可得；
分别作出点、、绕原点顺时针旋转得到对应点，再顺次连接可得；
根据轴对称的性质得出两组对应点所连线段的中点坐标，再根据待定系数法求解可得．
本题主要考查作图轴对称变换、旋转变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换和旋转变换的定义和性质及待定系数法求直线解析式．
22.【答案】解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为，当时，，
解得，舍去，
喷出水的最大射程为；
解：对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
点的坐标为；
解：，
点的纵坐标为，
，解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为，
综上所述，的取值范围是．
【解析】由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；
由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标；
根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案．
本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
23.【答案】证明：在正方形和正方形中，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图：
≌，
，
，
点的运动轨迹为以为直径的，所对的圆心角是，
，
，
旋转过程中点运动的路线长；
解：存在；
由勾股定理得，，
，
，
是等边三角形，
又，
直线是的垂直平分线，
，
设与相交于，
则，
，
在中，．
【解析】根据正方形的性质可得，，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据直径所对的圆周角是直角判断出点的运动轨迹为以为直径的弧，然后根据弧长公式列式计算即可得解；
利用勾股定理列式求出，从而得到，判断出是等边三角形，再根据到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上判断出直线是的垂直平分线，根据等边三角形的性质可得，设与相交于，解直角三角形求出，再求出，然后在中，利用的余弦列式求解即可．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，综合题，难点较大，作辅助线构造出有一个角是的直角三角形是解题的关键，难点在于判断出路线是以为直径的弧长的一部分，利用到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上判断出直线是的垂直平分线是解题的关键．
24.【答案】解：在抛物线中，
当时，，
，
当时，，，
，，
，
，
；
，
，
设的解析式为，
将点代入，
得，，
，
，
设直线的解析式为，
将点代入，
得，，
直线的解析式为，
直线与抛物线联立，得，
解得，，，
，
，
顶点，
如图，过点作轴的垂线，交于点，
则，
，
，
解得，取正值，
；
在的条件下，可设抛物线的解析式为，
设，，过点的切线解析式为，
将抛物线与切线的解析式联立，
得，
整理，得 ，
，
方程可整理为 ，
只有一个交点，
，
整理，得，
即，
，
过的切线为，
同理可得过的切线为，
，的坐标满足，
将代入整理，得
，
将代入，
得，
在的条件下，抛物线解析式为，即，，
，
整理，得，
点坐标满足，
即点为直线上的一点，
当垂直于直线时，最小，如图所示，
直线与轴交点，与轴交点，
，，，
，
，
的最小值为．
【解析】在中，令，可求出点的坐标，令时，可求出点，的坐标，利用可列等式求出与的关系式；
用含或的代数式求出直线的解析式，直线的解析式，表示出，的坐标，求出抛物线顶点坐标，利用可求出的值及的值；
可设抛物线解析式为为，设，，过点的切线解析式为，将抛物线与切线的解析式联立，由只有一个公共点可求出的值，得到，的坐标满足，将代入，推出为直线上的一点，由垂线段最短，求出垂直于直线时的值即为最小值．
本题综合考查了二次函数与一次函数的图象及性质，解题关键是熟练掌握直线与二次函数图象的关系．
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