苏科版九年级数学下册2023-2024学年6.5相似三角形的性质（第2课时）课件 同步课件（共20张PPT）

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第6章 · 图形的相似
6.5 相似三角形的性质（2）
第2课时 相似三角形中对应线段的性质
学习目标
1.理解相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；
2.利用相似三角形对应线段的性质解决问题．
知识回顾
回顾“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这个结论的探究过程，你有什么发现？
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ ∠B＝∠B'，
∵AD⊥BC，A'D′⊥B'C'，
∴∠ADB＝∠A′D′B'＝90°.
∴△ABD∽△A'B'D'.
∴ = =k，
∴ = = =kk=k2
如图，△ABC∽△ A'B'C', △ABC与△ A'B'C'的相似比是k，AD、A 'D'是对应高．
相似三角形对应高的比等于相似比．
类似地，相似三角形对应中线、对应角平分线等对应线段的比是否也等于相似比呢？
思考与探索
A
B
C
A′
B′
C′
E
E′
问题1 如图，△ABC∽△ A'B'C', △ABC与△ A'B'C'的相似比是k，AD、A 'D'是对应中线．
=？
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k．
∴ = =k，∠B=∠B′，
∵AD、A'D'是中线，
∴ =k，
∴ = ，
∴△ABE∽△A′B′E′．
∴ =k.
思考与探索
A
B
C
A′
B′
C′
F
F′
问题2 如图，△ABC∽△ A'B'C', △ABC与△ A'B'C'的相似比是k，AF、A 'F'是角平分线．
=？
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k．
∴ ∠BAC=∠B′A′C′，∠B=∠B′，
∵AF、A'F'是角平分线，
∴ ∠BAF=∠BAC, ∠B′A′F′=∠B′A′C′，
∴ ∠BAF=∠B′A′F′，
∴△ABF∽△A′B′F′．
∴ =k.
思考与探索
A
B
C
A′
B′
C′
G
G′
问题3 如图，△ABC∽△ A'B'C', △ABC与△ A'B'C'的相似比是k，点G、G′分别在BC、B′C′上，且=k.
=？
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k．
∴ =k，∠B=∠B′，
∵ =k，
∴ = ，
∴△ABG∽△A′B′G′，
∴ =k.
相似三角形对应中线等于相似比；
相似三角形对应角平分线等于相似比的平方；
类比与归纳
相似三角形对应线段的比等于相似比的平方．
新知巩固
1. 若两个相似三角形对应高的比为1:3，则它们的相似比为______；对应中线的比为______；对应角平分线的比为______；周长的比为______；面积的比为______．
1 : 3
1 : 3
1 : 3
2.已知两个相似三角形的一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为________.
90
1 : 3
1 : 9
新知应用
例 如图，AF是△ABC的高，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，DE交AF于点G．设DE=6，BC=10，GF=5，求点A到DE、BC的距离．
D
B
C
E
G
F
A
┛
解：由DE∥BC，∠AFB= 90°得
∠AGD=90°，即 AG⊥DE.
可知AG、AF的长分别为点A到DE、BC的距离.
∵DE∥BC，
∴∠ADE= ∠B，∠AED=∠C，∴△ADG∽△FEB，
∴，即，
计算，得AG = 7.5，AF= AG+5 = 12.5，
即点A到DE、BC的距离分别为7.5、12.5.
新知巩固
1.如图，点 D、E分别在 AC、AB上，且∠ADE=∠B，F、G分别是 BC、DE的中点. 设 AD= 3，AB= 5，求的值.
解：∵∠ADE=∠B，∠EAD=∠CAB，
∴△EAD∽△CAB.
∵AG、AF分别是△ADE、△ABC的中线，
∴.
E
B
C
D
G
F
A
新知巩固
2. 如图，在△ABC和△A'B'C'中，AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C' 的角平分线，且AB=2A'B'，AC=2A'C'，∠BAC=∠B'A'C' 求:
(1)的值；(2)△ABC与△A'B'C'的面积的比.
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
解：(1)∵AB=2A'B'，AC=2A'C'，
∴2，
∵∠BAC=∠B'A'C' ，
∴△BAC∽△B'A'C' ，
∵AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C' 的角平分线，
∴2.
(2)△ABC与△A'B'C'的面积的比为4.
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，正方形DEFG的顶点D、G分别在 AB、AC 上，EF在BC上. 设AB=5，BC=6，求正方形DEFG的边长.
新知巩固
A
B
C
D
G
E
F
M
N
解：设正方形DEFG的边长为x，
作△ABC的高AM，AM交DG于点N.
∵AB=AC，BC=6，
∴BM=CM=BC=×6=3，
∵AM⊥BC，
∴ ∠AMB=90°，
在Rt△AMB中，由勾股定理得AM===4.
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC.
∴，
∴，解得x=2.4.
类比归纳
全等三角形与相似三角形性质比较：
全等三角形 相似三角形
对应边（ ） 对应边的比等于（ ）
对应角（ ） 对应角（ ）
周长（ ） 周长的比等于（ ）
面积（ ） 面积的比等于（ ）
对应高（ ） 对应高的比等于（ ）
对应中线（ ） 对应中线的比等于（ ）
对应角平分线（ ） 对应角平分线的比等于（ ）
相等
相等
相等
相等
相等
相等
相等
相等
相似比
相似比
相似比
相似比的平方
相似比
相似比
课堂小结
相似三角形中
对应线段的性质
相似三角形对应中线等于相似比；
相似三角形对应角平分线等于相似比的平方；
相似三角形对应线段的比等于相似比的平方．
当堂检测
1. 用一放大镜看一个直角三角形，该三角形的边长放大到原来的10倍后，下列结论错误的 ( )
A．斜边上的中线是原来的10倍 B．斜边上的高是原来的10倍
C．周长是原来的10倍 D．最小内角是原来的10倍
2. 顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应高的比是( )
A．1：4 B．1：3 C．1： D．1：2
D
D
当堂检测
3. 已知△ABC∽△DEF，面积比为9:4，则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为( 　　 )A. 4:9 B. 9:4 C. 2:3 D. 3:2
D
4. 在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP、DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ的值为 ( )
A．2 B．4 C．1 D.
C
当堂检测
5. △ABC 与 △A'B'C' 的面积之比是9:25，若 BC 边上的高 AD＝12cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝_______ .
20 cm
6. 在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC＝9，AD是BC边上的高.△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为________.
15.5
B
C
A
D
B
C
A
D(A)
E
F
当堂检测
7.如图，在△ABC中，AD是高，点E、F分别在AB、AC上，且EF∥BC，
EF交AD于点G，. 求：
(1)的值；(2)△AEF与△ABC的面积的比.
E
F
B
C
A
G
D
解：(1)∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠C.
∴△AEF∽△ABC.
∵AG、AD分别是△AEF、△ABC的高，
∴ .
(2)∵△AEF∽△ABC，
∴ .
当堂检测
8. 如图，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC 上，QM 在 BC上，AD交PN于点 E．设BC = 48，AD=16，PQ：PN=5：9，求矩形PQMN的面积.
A
B
C
P
N
Q
E
D
M
解：∵PN∥BC，
∴∠APN=∠B，∠ANP=∠C.
∴△APN∽△ABC.
∵AE、AD分别是△APN、△ABC的高，
∴ .
即 ，解得PQ=10，PN=PQ=18，
∴矩形PQMN的面积=180.
当堂检测
C
A
B
D
E
9.如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，且EC∥AB，EB∥DC.
(1)△ABE与△ECD相似吗？为什么？
(2)设△ABE的边BE上的高为h1，△ECD的边CD上的高为h2，△ABE的面积为3，△ECD的面积为1，求的值以及△BCE的面积.
解：(1)由EC// AB ，EB//DC，得∠A=∠CED，∠AEB=∠D.
∴△ABE∽△ECD.
(2)由题意，得==.
又由EB// DC，得△BCE的边BE上的高与△ECD 的边 CD 上的高相等，
∴ =，
=.