23.1 图形的旋转 同步讲练（含解析）

23.1 图形的旋转
旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
旋转的性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
题型一、旋转的概念
【例1.1】下列运动属于旋转的是（ ）
A．钟表上时针的运动 B．行驶中的自行车的运动
C．进行赛跑的运动员的运动 D．羽毛在空中的运动
【变式1.1】．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1.2】在下图的四个图形中，不能由所给的图形经过旋转或平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
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【变式1.3】如图所示，图形①经过________变换得到图形②；图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④(填“平移”“旋转”或“轴对称”)．
题型二、确定旋转中心
【例2.1】如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（ ）

A．点A B．点 C．点 D．点
【变式2.1】如图，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）

A．点P B．点Q C．点M D．点N
【变式2.2】．如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）

A．点 B．点 C．点 D．点
题型三 利用旋转的性质求解
【例3.1】将绕着点C逆时针旋转，后得到，若，，则的大小是 ．
【例3.2】已知：如图，等边的边长为4，是的中点，线段绕点顺时针旋转得到线段，则 ．

【变式3.1】如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则______．

【变式3.2】如图，在中，，，，将绕点A逆时针方向旋转得到，交于点，则___________．

【变式3.3】如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，则 ．

【变式3.4】如图，在中，，，，将绕点B逆时针旋转至，连接，则线段______________．
题型四 求旋转后的坐标
【例4.1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【例4.2】如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式4.1】在平面直角坐标系中，已知点，那么将点M绕原点O逆时针旋转后与点N重合，那么点N的坐标是 ．
【变式4.2】在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点O旋转到，则点的坐标是 ．
【变式4.3】如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点C的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型五 平面直角坐标系中与旋转有关的规律探究
【例5.1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，∠A＝90°，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是（1，1）．若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，可得A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣），…则A2021的坐标是______．
【变式5.1】如图，在平面直角坐标系中，有一边长为1的正方形，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，…，照此规律作下去，则的坐标是 ，的坐标是 .

【变式5.2】如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是 ．

【变式5.3】如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为，依此类推，的坐标 ，经过2022次翻滚后点对应点的坐标为 ．

题型六、利用旋转设计图形
【例6.1】如示例图将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定某两种划分法可经过旋转、轴对称得到的划分法为相同划分法）．
【变式6.1】如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作；
（1）将原图形绕点O逆时针旋转90°；
（2）发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变得更加美丽．
【变式6.2】分析图①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分．
【变式6.3】阅读材料：
课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线划分成两部分(分别用阴影和空白表示)，使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法．
约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同．
小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图①、图②、图③所示．
小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形(图③)逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法(图①)是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．”
老师说：“小方说得对．”
完成下列问题：
(1)图④的划分方法是否正确？
(2)判断图⑤的划分方法与图②小易的划分方法是否相同，并说明你的理由．
(3)请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图⑥中画出来．
1．如图，将绕点O顺时针旋转后，得到，下列说法正确的是（ ）
A．点B的对应点是点C B．
C． D．
2．如图，在中，，，若将绕点逆时针旋转后得到，连接和，则（ ）
A． B． C． D．
3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，将绕原点按顺时针方向旋转得，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，则点与点B之间的距离为（ ）

A． B． C．4 D．2
5．如图，图形是由一个经过 5 次旋转得到，每次旋转了 ．

6．如图，ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，现将ABC绕A点按逆时针方向旋转，则旋转后点C对应点的坐标是 ．
7．如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．

(1)画出关于轴对称的（点，，分别为，，的对应点）；
(2)将绕原点逆时针旋转得到，画出（点，，分别为，，的对应点）．
8．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，将绕点C顺时针旋转得，连接．

(1)当，_____________；
(2)当为多少度时，是等腰三角形？说明理由．
9．如图，已知 中，，把 绕 点逆时针方向旋转得到 ，连接 ， 交于点 ．

(1)求证：．
(2)若 ，，当四边形 是菱形时，求 的长．
10．如图，在边长为的正方形中，点为对角线上任意一点（可与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
23.1 图形的旋转
旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
旋转的性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
题型一、旋转的概念
【例1.1】下列运动属于旋转的是（ ）
A．钟表上时针的运动 B．行驶中的自行车的运动
C．进行赛跑的运动员的运动 D．羽毛在空中的运动
【答案】A
【分析】根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，进而分别判断得出答案．
【详解】解：A、钟表上时针的运动，属于旋转，故此选项符合题意；
B、行驶中的自行车的运动，也有平移，不属于旋转，故此选项不合题意；
C、进行赛跑的运动员的运动，也有平移，不属于旋转，故此选项不合题意；
D、羽毛在空中的运动，也有平移，不属于旋转，故此选项不合题意．
故选：A．
【变式1.1】．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转变换的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】A．两个三角形的大小不一样，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，
B．两个三角形成抽对称，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，
C. 一个三角形可以通过另一个三角形平移得到，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，
D．能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形，
故选D．
【变式训练1.2】在下图的四个图形中，不能由所给的图形经过旋转或平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合图形，旋转或平移，分别判断、解答即可．
【详解】解：A、由图形逆时针旋转90°而得出，故本选项不符合题意；
B、由图形顺时针旋转180°而得出，故本选项不符合题意；
C、由图形顺时针旋转90°而得出，故本选项不符合题意；
D、不能由如图图形经过旋转或平移得到，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1.3】如图所示，图形①经过________变换得到图形②；图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④(填“平移”“旋转”或“轴对称”)．
【答案】 轴对称 旋转 平移
【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可．
【详解】仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系．
∴图形①经过轴对称变换得到图形②；图形①经过旋转变换得到图形③；图形①经过平移变换得到图形④．
故答案为轴对称；旋转；平移.
题型二、确定旋转中心
【例2.1】如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（ ）

A．点A B．点 C．点 D．点
【答案】B
【分析】根据旋转的性质，作两组对应点所连线段的垂直平分线，交点即为旋转中心，即可得．
【详解】解：如图所示，两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B即为旋转中心，

故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
【变式2.1】如图，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）

A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】C
【分析】关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题．
【详解】解：∵与关于某点成中心对称，

∴对应点B和E的连线与对应点C和F的连线的交点M是对称中心．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质．
【变式2.2】．如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）

A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，所以作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心．
【详解】解：∵甲经过旋转后得到乙，
∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，
∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，
作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，如图，

即旋转中心为M点．
故选：A．
题型三 利用旋转的性质求解
【例3.1】将绕着点C逆时针旋转，后得到，若，，则的大小是 ．
【答案】90°
【分析】三角形的内角和求出，旋转得到，利用，进行求解即可．
【详解】，，
，
将绕着点C逆时针旋转后得到，
，
，
故答案为：
【例3.2】已知：如图，等边的边长为4，是的中点，线段绕点顺时针旋转得到线段，则 ．

【答案】2
【分析】连接，根据旋转的性质得出，证明是等边三角形，根据是等边三角形，得出，，推出垂直平分，得出，即可得出答案．
【详解】解：连接，

∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
故答案为：2．
【变式3.1】如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则______．

【答案】50
【分析】先根据旋转的性质得到，再由平角的定义求出的度数，即可利用平行线的性质得到答案．
【详解】解：将绕点顺时针旋转至，
∴，
∵，
∴，
，
，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等和旋转的性质是解题的关键．
【变式3.2】如图，在中，，，，将绕点A逆时针方向旋转得到，交于点，则___________．

【答案】/
【分析】根据题意可得为等腰直角三角形，再解直角三角形，求出，，即可解答．
【详解】解： 绕点A逆时针方向旋转得到，
，
，，，
，
．
故答案为：．
【变式3.3】如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，则 ．

【答案】
【分析】根据旋转的性质可得，可得，在中，的度数，根据等量代换即可求解．
【详解】解：将绕点顺时针旋转，得到，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式3.4】如图，在中，，，，将绕点B逆时针旋转至，连接，则线段______________．
【答案】
【分析】过点D作于点F，连接，根据旋转的性质可得，从而得到是等边三角形，进而得到，根据直角三角形的性质可得，再由求出的长，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点F，连接，
∵将绕点B逆时针旋转至，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
题型四 求旋转后的坐标
【例4.1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作轴于点C，作轴于点D，根据旋转的性质可得，，根据证明 ，推出，，可得 ．
【详解】解：如图，为旋转后线段，作轴于点C，作轴于点D，

点的坐标是，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
又 ，
，
在和中，
，
，
，，
，
故选B．
【例4.2】如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先画出平移后的图形，再利用旋转的性质画出旋转后的图形即可求解．
【详解】解：先画出△ABC平移后的△DEF，再利用旋转得到△A'B'C'，
由图像可知A'（-1，-3），
故选：C．
【变式4.1】在平面直角坐标系中，已知点，那么将点M绕原点O逆时针旋转后与点N重合，那么点N的坐标是 ．
【答案】
【分析】分别过点M，点N作x轴的垂线，垂足为B，A，证明，得到，，从而可得点N的坐标．
【详解】解：如图，分别过点M，点N作x轴的垂线，垂足为B，A，
由旋转可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查了点的旋转问题，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解题关键在于能正确画出图形，构造全等三角形．
【变式4.2】在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点O旋转到，则点的坐标是 ．
【答案】或
【分析】根据题意作图，过点A作轴于B，过点作轴于，根据旋转的性质可得，利用同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后写出点的坐标，同理求出逆时针旋转时的坐标，故可求解．
【详解】如图，过点A作轴于B，过点作轴于，
∵绕坐标原点O顺时针旋转至，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴点的坐标为．
同理绕坐标原点O逆时针旋转至，
，
∴点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
故答案为：或．
【变式4.3】如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点C的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用勾股定理和勾股定理得逆定理证明，从而得到旋转角为，由此即可求出点C的对应点的坐标．
【详解】解：∵线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，
∴的对应点为，
∴，
∴
∴，
∴旋转角为，
∴点绕点P逆时针旋转得到的点的坐标为，
故选：D．
题型五 平面直角坐标系中与旋转有关的规律探究
【例5.1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，∠A＝90°，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是（1，1）．若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，可得A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣），…则A2021的坐标是______．
【答案】
【分析】根据题意得：A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣）， ，…，由此发现，旋转8次一个循环，再由 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得：A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣）， ，…，由此发现，旋转8次一个循环，
∵ ，
∴A2021的坐标是 ．
故答案为：
【变式5.1】如图，在平面直角坐标系中，有一边长为1的正方形，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，…，照此规律作下去，则的坐标是 ，的坐标是 .

【答案】 ，
【分析】根据已知条件和勾股定理求出的长度即可求出的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，所以可求出从到变化的坐标．
【详解】解：四边形是正方形，，
，
，
的坐标是，
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，
旋转8次则旋转一周，
从到经过了2021次变化，
，
从到与在y轴负半轴上，
，
点的坐标是，．
故答案为：，，．
【变式5.2】如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是 ．

【答案】
【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，

由图象可得，点，在x轴的正半轴上，
∴．旋转3次为一个循环，
∵
∴点在射线的延长线上，
∴点在x轴的正半轴上，
∵，是正三角形，
∴由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴同理可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴由旋转的性质可得，，
∴如图所示，过点作轴于点E，

∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．
【变式5.3】如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为，依此类推，的坐标 ，经过2022次翻滚后点对应点的坐标为 ．

【答案】
【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点对应点一循环，先求出的商，从而解答本题．
【详解】解：如图所示：

的坐标为，
观察图形可得经过4次翻滚后点对应点一循环，
，
点，长方形的周长为：，
经过2022次翻滚后点对应点的坐标为，即．
故答案为：;．
题型六、利用旋转设计图形
【例6.1】如示例图将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定某两种划分法可经过旋转、轴对称得到的划分法为相同划分法）．
【答案】见解析
【分析】直接利用旋转图形是全等图形的性质来构造图形．
【详解】解：如图所示：
．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形图形的性质，找出全等图形的对称中心是解题关键．
【变式6.1】如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作；
（1）将原图形绕点O逆时针旋转90°；
（2）发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变得更加美丽．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由将原图形绕点O逆时针旋转90°可得旋转后的图形的边与原图形对应的边垂直且相等，故可画出旋转后的图形；
（2）当组成的图形为中心对称图形时，图案会更加美丽，由此可补全图形，即可得到更加完美的图形．
【详解】解：（1）∵将原图绕点O逆时针旋转90°，
∴旋转后的图形的边与原图形对应的边垂直且相等．
∴可画出旋转后的图形，如图1粗实线所示：
（2）由（1）中图形可知，当组成的图形为中心对称图形时，图案会更加美丽，
可再将原图形绕点O逆时针旋转180°，然后将原图形绕点O顺时针旋转90°，
如图2所示．
【点睛】本题考查了旋转作图和利用旋转设计图案，解题的关键是要充分利用图形的特点和网格．
【变式6.2】分析图①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分．
【答案】见解析
【分析】从图中可以观察变化规律是，正方形每次绕其中心顺时针旋转，每个阴影部分也随之旋转，据此即可解答．
【详解】解：按规律在图③中画出其中的阴影部分是：
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，找准规律是解题的关键．
【变式6.3】阅读材料：
课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线划分成两部分(分别用阴影和空白表示)，使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法．
约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同．
小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图①、图②、图③所示．
小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形(图③)逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法(图①)是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．”
老师说：“小方说得对．”
完成下列问题：
(1)图④的划分方法是否正确？
(2)判断图⑤的划分方法与图②小易的划分方法是否相同，并说明你的理由．
(3)请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图⑥中画出来．
【答案】(1) 不正确;(2)相同，理由见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据约定“如果划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么划分方法相同”直接判断即可；
（2）将图⑤沿直线翻折、旋转后得到的划分方法与图②的划分方法相同即可判断；
（3）利用正方形的对称轴和中心结合正方形的面积即可解决问题．.
【详解】解：（1）根据题意可得：图④的划分方法不正确；
（2）相同，因为将图⑤沿直线翻折、旋转后得到的划分方法与图②的划分方法相同；
（3）如图：
1．如图，将绕点O顺时针旋转后，得到，下列说法正确的是（ ）
A．点B的对应点是点C B．
C． D．
【答案】D
【分析】旋转得到全等三角形，对应边和对应角相等，直接判断即可．
【详解】由题可知，
点B的对应点是点D，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意．
故选：D
2．如图，在中，，，若将绕点逆时针旋转后得到，连接和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件可求出的度数，根据旋转的性质可得为等边三角形，可求出、的度数以及得到，进而求出的度数，由角的和差关系可得的度数．
【详解】由旋转得：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，将绕原点按顺时针方向旋转得，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作轴于点C，作轴于点D，则，证明，得到，由点B在第三象限即可得到点B的坐标．
【详解】解：如图，作轴于点C，作轴于点D，则，

∴，
∵点A的坐标为，将绕原点按顺时针方向旋转得，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B在第三象限，
∴点B的坐标为，
故选：B．
4．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，则点与点B之间的距离为（ ）

A． B． C．4 D．2
【答案】B
【分析】先由旋转性质得，，，再证明、是等边三角形，得到，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：由旋转性质得，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，则，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，即，
故选：B．
5．如图，图形是由一个经过 5 次旋转得到，每次旋转了 ．

【答案】72
【分析】根据旋转的性质进行求解即可．
【详解】解：由图可知：每次旋转了；
故答案为：72．
6．如图，ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，现将ABC绕A点按逆时针方向旋转，则旋转后点C对应点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据图形在坐标中的旋转步骤，对线段AB、AC先逆时针旋转，然后连接BC即可得出旋转后的图形，直接读出点的坐标即可．
【详解】解：如图所示，逆时针旋转后的图形如图，
根据图像可得：点C的坐标为：，
故答案为：．
7．如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．

(1)画出关于轴对称的（点，，分别为，，的对应点）；
(2)将绕原点逆时针旋转得到，画出（点，，分别为，，的对应点）．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求．

8．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，将绕点C顺时针旋转得，连接．

(1)当，_____________；
(2)当为多少度时，是等腰三角形？说明理由．
【答案】(1)
(2)当或或时，是等腰三角形．
【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，再根据旋转的性质可得，继而得到为，即可求解；
（2）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，进而得到的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【详解】（1）解：∵将绕点C顺时针旋转得，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴；
①当时，，
∴；
②当时，，
∴；
③当时，，
∴，
当或或时，是等腰三角形．
【点睛】本题综合考查了旋转的性质，全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题的关键．
9．如图，已知 中，，把 绕 点逆时针方向旋转得到 ，连接 ， 交于点 ．

(1)求证：．
(2)若 ，，当四边形 是菱形时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）把 绕 点逆时针方向旋转得到 ，根据旋转的性质得出，，进而得出，即可证明
（2）根据菱形的性质可得出，，，根据，进而得，根据勾股定理求得，根据即可求解．
【详解】（1） 把 绕 点逆时针方向旋转得到 ，
，，
，且 ，，
．
（2） 是菱形，
，，，
，
，
，
，
．
，
．
10．如图，在边长为的正方形中，点为对角线上任意一点（可与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，由全等三角形的性质即可到结论；
（2）由（1）的结论并结合正方形的性质可得：，，推导出是直角三角形，利用勾股定理求得的长度．
【详解】（1）证明：在正方形中，，，
由旋转的性质知：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴．
（2）解：∵是正方形的对角线，且边长为，，
∴，，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，，
∴，
在中，
．
∴的长为．