23.2 中心对称 同步讲练（含解析）
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23.2 中心对称
1. 中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。
中心对称的性质
（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
题型一、 中心对称的概念及性质
【例1.1】如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．点A的对称点是点 D．
【变式1.1】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式1.2】如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
题型二、 中心对称作图
【例2.1】如图所示，与关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了．
(1)请你找到对称中心O的位置．
(2)连接线段和线段，试判断四边形的形状，并说明理由．
【例2.2】如图所示．
(1)请你在图中画出，使其与关于点O成中心对称；
(2)请你在图中的边上找一个点作出，使其与关于点成中心对称，使与合成的图形为平行四边形．
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【变式2.1】已知四边形按要求画出图形．
(1)在图①中，画出以点D为对称中心，并且与四边形成中心对称的四边形；
(2)在图②中，画出以四边形外一点O为对称中心，并且与四边形成中心对称的四边形．
中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。
题型一、中心对称图形的概念
【例1.1】下面的图案是中国品牌新能源汽车标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】2023年暑假即将来临，我国各大博物院（馆）是同学们不错的选择，下面四副图是我国一些博物院（馆）的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】下列食品图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.3】下列标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二、作中心对称图形
【例2.1】将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
【例2.2】如图是由3个同样的正方形所组成，请再补上一个同样的正方形，使得由4个正方形组成的图形成为一个中心对称图形．画出所有情况（给出的图形不一定全用，不够可添加）．
【变式2.1】如图，的正方形网格图中（每个正方形边长为1），已知A、B两点均为格点，连接，请按要求画格点图形（项点均在格点上）．
(1)在图1中画出四边形，使其为中心对称图形．
(2)在图2中画出线段，使得，且．
【变式2.2】图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影．请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取1个涂上阴影：（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
(1)使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形．
(2)使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．
题型三、中心对称图形的性质
【例3.1】如图，在平行四边形中，点为对角线的交点，，过点的直线分别交和于点、，折叠平行四边形后，点落在点处，点落在点处，若，则的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【例3.2】如图所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，若，，，则的长度为 ．
【变式3.1】在等腰直角中，，，如果以的中点为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点落在点处，则的长度为 .
【变式3.2】如图，△ABC与△DBE关于点B成中心对称，若∠A=90°，∠ADC=30°，DE=2，则AB的长为 ．
【变式3.3】如图，△ABC和△DEF关于点O中心对称，若OB=4，则OE的长为 ．
关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
题型一、关于原点对称的点的坐标
【例1.1】若点与点关于坐标原点成中心对称，则点的坐标是 ．
【变式1.1】若点与点关于原点对称，则 ．
【变式1.2】平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是，则 ．
【变式1.3】已知平行四边形的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点，，则点D的坐标为 ．
题型二、作已知图形关于原点对称的图形
【例2.1】如图，平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，，．
(1)请在图中作出与关于原点对称的图形；
(2)点的坐标是________；点的坐标是________．
【例2.2】如图，正三角形在第一象限内．
(1)作出关于轴为对称轴的对称图形；
(2)作出关于原点为对称中心的对称图形；
(3)与存在怎样的对称关系？
【变式2.1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1)平移得到，若的坐标为，则的坐标为______；
(2)若和关于原点O成中心对称，则的坐标为______；
(3)的面积为______；
(4)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的．
【变式2.2】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
(1)画出将关于原点O的中心对称图形；
(2)将绕点E逆时针旋转得到，画出．
1．下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为（ ）
A．8 B． C．32 D．
3．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ）
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形
4．如图，与关于某个点成中心对称，则这个点是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
5．如图所示的图形中，都是由左边变成右边的图形，分别进行了平移、旋转、轴对称和中心对称变换．其中进行了中心对称变换的是 ，进行了轴对称变换的是 ．（填序号）
6．点与点关于原点对称，则的值为 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么对称中心的坐标为 ．
8．如图，在中，，，，D是的中点，点B，E关于点D成中心对称，则的长为 ．
9．如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长
10．如图，和关于点成中心对称．
(1)找出它们的对称中心；
(2)若，，，求的周长；
(3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由．
11．已知三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作关于点成中心对称的（点的对应点为，点的对应点为）；
(2)把向右平移3个单位，作出平移后的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）；
(3)轴上存在点，使得的值最小，则点的坐标是______
23.2 中心对称
1. 中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。
中心对称的性质
（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
题型一、 中心对称的概念及性质
【例1.1】如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．点A的对称点是点 D．
【答案】B
【详解】根据中心对称的性质解决问题即可．
解：∵与关于点O成中心对称，
∴，，点A的对称点是点，，
故A，C，D正确，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型．
【变式1.1】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】在直角中根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求得，而，据此即可求解．
【详解】解：在中，，，
，
．
故选：A．
【变式1.2】如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标，由此即可得．
【详解】解：由图可知，，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标均为，
与的对称中心是，
故选：B．
题型二、 中心对称作图
【例2.1】如图所示，与关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了．
(1)请你找到对称中心O的位置．
(2)连接线段和线段，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）两个图形成中心对称，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点O；
（2）由中心对称的性质可知：，，再利用平行四边形的判定，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）四边形是平行四边形
由中心对称的性质可得，，
∴四边形是平行四边形．
【例2.2】如图所示．
(1)请你在图中画出，使其与关于点O成中心对称；
(2)请你在图中的边上找一个点作出，使其与关于点成中心对称，使与合成的图形为平行四边形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
【分析】（1）将三角形三个顶点分别中心对称后，直接连线即可；
（2）取格点，作平行四边形，可知是对角线中点，则即所求点；或取格点，作平行四边形，可知是对角线中点，则即所求点．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，取格点，使得四边形是平行四边形，连接
由图可知，四边形即为所求平行四边形，
则是对角线中点，对角线交点即为所求点．
或取格点，使得四边形是平行四边形，连接，
由图可知，四边形即为所求平行四边形，
则是对角线中点，对角线交点即为所求点．
【点睛】此题考查中心对称，解题关键是图形的中心对称可转化为点的中心对称．
【变式2.1】已知四边形按要求画出图形．
(1)在图①中，画出以点D为对称中心，并且与四边形成中心对称的四边形；
(2)在图②中，画出以四边形外一点O为对称中心，并且与四边形成中心对称的四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用关于点对称图形的性质得出A，B，C对应点位置进而得出答案．
（2）直接利用关于点对称图形的性质得出A，B，C，D对应点位置进而得出答案．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）如图，四边形即为所求．
中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。
题型一、中心对称图形的概念
【例1.1】下面的图案是中国品牌新能源汽车标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，是解答本题的关键．
【变式1.1】2023年暑假即将来临，我国各大博物院（馆）是同学们不错的选择，下面四副图是我国一些博物院（馆）的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】轴对称图形：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：绕着一个点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合．
【详解】解：A：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C：是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D：是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．掌握相关定义是解题关键．
【变式1.2】下列食品图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【详解】根据中心对称图形定义
即寻找对称中心，旋转后与原图重合
得A符合题意，B、C、D均不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
【变式1.3】下列标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义即可解答．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选B．
题型二、作中心对称图形
【例2.1】将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
【答案】见解析（答案不唯一，符合题意即可）
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可．
【详解】解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形即为所求；
②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形即为所求；
③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形即为所求；
④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形即为所求．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念及作图，轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转能够和原图形重合．
【例2.2】如图是由3个同样的正方形所组成，请再补上一个同样的正方形，使得由4个正方形组成的图形成为一个中心对称图形．画出所有情况（给出的图形不一定全用，不够可添加）．
【答案】见解析
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：如图所示，一共有三种情况：
【点睛】此题考查了画中心对称图形，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【变式2.1】如图，的正方形网格图中（每个正方形边长为1），已知A、B两点均为格点，连接，请按要求画格点图形（项点均在格点上）．
(1)在图1中画出四边形，使其为中心对称图形．
(2)在图2中画出线段，使得，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的概念求解即可；
（2）根据题意和表格的特点求解即可．
【详解】（1）如图所示，四边形即为所求作四边形．
（2）如图所示，即为所求．
【点睛】本题考查作图-中心对称，垂直等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2.2】图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影．请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取1个涂上阴影：（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
(1)使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形．
(2)使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可求解．
（2）根据中心对称的性质画出图象即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，答案不唯一，画出一种即可．
（2）如图所示，答案不唯一，画出一种即可．
题型三、中心对称图形的性质
【例3.1】如图，在平行四边形中，点为对角线的交点，，过点的直线分别交和于点、，折叠平行四边形后，点落在点处，点落在点处，若，则的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】C
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，则，再根据平行线四边形的性质，可知，继而即可求得
【详解】平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，根据题意，则
则点和点关于中心对称
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选C．
【例3.2】如图所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，若，，，则的长度为 ．
【答案】4
【分析】根据题意得是直角三角形，根据，，可求得，而，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∵所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，
∴，
故答案为：4．
【点晴】本题主要考查了直角三角形的性质，中心对称图形的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
【变式3.1】在等腰直角中，，，如果以的中点为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点落在点处，则的长度为 .
【答案】cm
【分析】在Rt△DBC中利用勾股定理即可求得DB的长度，DB′=DB，据此即可求解．
【详解】如图：
在直角△DBC中,则
则
故答案为
【点睛】考查旋转的性质以及勾股定理，画出图形，数形结合是解题的关键.
【变式3.2】如图，△ABC与△DBE关于点B成中心对称，若∠A=90°，∠ADC=30°，DE=2，则AB的长为 ．
【答案】
【分析】由中心对称的性质推出，得到，，由锐角的正切求出AD的长，即可求出AB的长．
【详解】解：∵与关于点B成中心对称，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查中心对称，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握中心对称的性质．
【变式3.3】如图，△ABC和△DEF关于点O中心对称，若OB=4，则OE的长为 ．
【答案】4
【分析】利用中心对称图形的性质解决问题即可．
【详解】解：∵△ABC和△DEF关于点O中心对称，
∴点B与点E关于点O中心对称，
∴OB=OE，
∵OB=4，
∴OE=4，
故答案为：4．
关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
题型一、关于原点对称的点的坐标
【例1.1】若点与点关于坐标原点成中心对称，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据点关于原点成中心对称的点的坐标为求解即可．
【详解】解：∵点P与点关于原点成中心对称，
∴点P坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变化规则是解答的关键．
【变式1.1】若点与点关于原点对称，则 ．
【答案】
【分析】根据关于原点对称的点的特征：横纵坐标都互为相反数，求出的值，再进行求解即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴；
故答案为：9．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的特征．解题的关键是掌握关于原点对称的点的特征：横纵坐标都互为相反数．
【变式1.2】平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是，则 ．
【答案】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值即可答案．
【详解】解：与点关于原点对称的点的坐标是：．
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
【变式1.3】已知平行四边形的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点，，则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】因为平行四边形两条对角线相互平分，所以点A与点C、点B与点D关于原点对称，由于已知点A，B的坐标，故可求得C，D的坐标．
【详解】解：由题意知：点A与点C、点B与点D关于原点对称，
∵点A，B的坐标分别为，，
∴点C，D的坐标分别是，，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握关于原点对称的点的特征，已知点，则其关于原点对称的点的坐标为．
题型二、作已知图形关于原点对称的图形
【例2.1】如图，平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，，．
(1)请在图中作出与关于原点对称的图形；
(2)点的坐标是________；点的坐标是________．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）先作出点A和点B关于原点的对称点，再依次连接即可得到；
（2）根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：∵，，
∴，，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了关于作原点对称的图形，以及关于原点对称点的点坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数．
【例2.2】如图，正三角形在第一象限内．
(1)作出关于轴为对称轴的对称图形；
(2)作出关于原点为对称中心的对称图形；
(3)与存在怎样的对称关系？
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)关于轴对称
【分析】（1）作A、B、C三点关于x轴的对应点，再顺次连接即可；
（2）作A、B、C三点关于原点的对应点，再顺次连接即可；
（3）由图易得，两个三角形关于y轴对称．
【详解】（1）如图：
即为所求；
（2）如上图，即为所求；
（3）由图可知，与关于轴对称．
【点睛】本题考查了作简单图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．基本做法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
【变式2.1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1)平移得到，若的坐标为，则的坐标为______；
(2)若和关于原点O成中心对称，则的坐标为______；
(3)的面积为______；
(4)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)见解析
【分析】（1）由题意可知，是向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到，由此可得答案；
（2）根据中心对称的性质可得答案；
（3）利用割补法求三角形的面积即可；
（4）根据旋转的性质作图即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴是向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到，
∵，∴的坐标为．
故答案为：；
（2）解：∵和关于原点O成中心对称，，
∴的坐标为．
故答案为：；
（3）解：的面积为，
的面积为．
故答案为：；
（4）解：如图，即为所求．
【变式2.2】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
(1)画出将关于原点O的中心对称图形；
(2)将绕点E逆时针旋转得到，画出．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据成中心对称图形的性质画图即可；
（2）根据旋转中心、旋转角、旋转方向画图即可．
【详解】（1）作图如下：
（2）作图如下：
1．下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解： A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为（ ）
A．8 B． C．32 D．
【答案】B
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，求出a，b的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵点关于原点的对称点为，
，，
∴，
∴．
故选：B．
3．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ）
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A. 扇形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B. 平行四边形，是中心对称图形但不一定是轴对称图形，故该选项符合题意；
C. 等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D. 矩形，是中心对称图形又是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．如图，与关于某个点成中心对称，则这个点是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】B
【分析】两组对应点连线的交点即是对称中心，根据对称中心的确定方法即可解答.
【详解】如解图，连接、，相交于点E，则点E是对称中心.
故选：B.
5．如图所示的图形中，都是由左边变成右边的图形，分别进行了平移、旋转、轴对称和中心对称变换．其中进行了中心对称变换的是 ，进行了轴对称变换的是 ．（填序号）
【答案】 ② ③
【分析】根据中心对称和轴对称的定义即可解答．
【详解】如果一个图形绕着一个定点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，分析可得，进行中心对称变换的是②；
把一个图形沿一条直线对折，如果它能与另一个图形重合，称这两个图形为轴对称，分析可得，则进行轴对称变换的是③；
故答案为：②；③．
【点睛】本题考查了中心对称和轴对称的定义，熟练掌握中心对称和轴对称的定义是解题关键．
6．点与点关于原点对称，则的值为 ．
【答案】
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】解：由题意，得，
解得，，
故答案为：．
7．如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么对称中心的坐标为 ．
【答案】
【分析】对应点连线的中点即时对称中心的坐标，以此来求解即可．
【详解】解：的中点坐标是，
故答案是：．
【点睛】本题考查了中心对称变换，掌握根据对应点找出对称中心的方法是求解的关键．
8．如图，在中，，，，D是的中点，点B，E关于点D成中心对称，则的长为 ．
【答案】6
【分析】先根据勾股定理求出，再根据中心对称的性质可得，最后证明即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵点B，E关于点D成中心对称，
∴，
∵D是的中点，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：6．
9．如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长
【答案】
【分析】根据与关于C点成中心对称，可得，即可得，，，进而有，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】∵与关于C点成中心对称，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴在中，有：．
即．
【点睛】本题考查了中心对称图形的性质，全等的性质，勾股定理等知识，根据与关于C点成中心对称，得到，是解答本题的关键．
10．如图，和关于点成中心对称．
(1)找出它们的对称中心；
(2)若，，，求的周长；
(3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)15
(3)平行四边形，理由见解析
【分析】（1）根据中心对称的性质，对称中心在线段AD、CF上，则连接AD和CF，它们的交点即为对称中心O；
（2）根据中心对称的两个三角形全等可得到△DEF各边的长，然后计算△DEF的周长；
（3）根据中心对称的性质得OA=OD，OC=OF，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形ACDF为平行四边形．
【详解】（1）如图，点O为所作：
（2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴DF=AC=6，DE=AB=5，EF=BC=4，
∴△DEF的周长=4+5+6=15；
（3）四边形ACDF为平行四边形．理由如下：
∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴OA=OD，OC=OF，
∴四边形ACDF为平行四边形．
11．已知三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作关于点成中心对称的（点的对应点为，点的对应点为）；
(2)把向右平移3个单位，作出平移后的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）；
(3)轴上存在点，使得的值最小，则点的坐标是______
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）分别找到点关于点B对称的点，连接即可；
（2）将各个顶点向右平移三个单位得到对应点，，，连接即可；
（3）利用“将军饮马”模型求解即可
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图，找到点关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，根据“将军饮马”模型则点P即为所求，使得的值最小；
由图可知：点，点，点，
设直线，将点，代入解析式得：
，
解得：，
，
故点的坐标为：，
故答案为：
1. 中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。
中心对称的性质
（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
题型一、 中心对称的概念及性质
【例1.1】如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．点A的对称点是点 D．
【变式1.1】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式1.2】如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
题型二、 中心对称作图
【例2.1】如图所示，与关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了．
(1)请你找到对称中心O的位置．
(2)连接线段和线段，试判断四边形的形状，并说明理由．
【例2.2】如图所示．
(1)请你在图中画出，使其与关于点O成中心对称；
(2)请你在图中的边上找一个点作出，使其与关于点成中心对称，使与合成的图形为平行四边形．
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【变式2.1】已知四边形按要求画出图形．
(1)在图①中，画出以点D为对称中心，并且与四边形成中心对称的四边形；
(2)在图②中，画出以四边形外一点O为对称中心，并且与四边形成中心对称的四边形．
中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。
题型一、中心对称图形的概念
【例1.1】下面的图案是中国品牌新能源汽车标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】2023年暑假即将来临，我国各大博物院（馆）是同学们不错的选择，下面四副图是我国一些博物院（馆）的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】下列食品图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.3】下列标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二、作中心对称图形
【例2.1】将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
【例2.2】如图是由3个同样的正方形所组成，请再补上一个同样的正方形，使得由4个正方形组成的图形成为一个中心对称图形．画出所有情况（给出的图形不一定全用，不够可添加）．
【变式2.1】如图，的正方形网格图中（每个正方形边长为1），已知A、B两点均为格点，连接，请按要求画格点图形（项点均在格点上）．
(1)在图1中画出四边形，使其为中心对称图形．
(2)在图2中画出线段，使得，且．
【变式2.2】图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影．请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取1个涂上阴影：（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
(1)使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形．
(2)使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．
题型三、中心对称图形的性质
【例3.1】如图，在平行四边形中，点为对角线的交点，，过点的直线分别交和于点、，折叠平行四边形后，点落在点处，点落在点处，若，则的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【例3.2】如图所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，若，，，则的长度为 ．
【变式3.1】在等腰直角中，，，如果以的中点为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点落在点处，则的长度为 .
【变式3.2】如图，△ABC与△DBE关于点B成中心对称，若∠A=90°，∠ADC=30°，DE=2，则AB的长为 ．
【变式3.3】如图，△ABC和△DEF关于点O中心对称，若OB=4，则OE的长为 ．
关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
题型一、关于原点对称的点的坐标
【例1.1】若点与点关于坐标原点成中心对称，则点的坐标是 ．
【变式1.1】若点与点关于原点对称，则 ．
【变式1.2】平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是，则 ．
【变式1.3】已知平行四边形的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点，，则点D的坐标为 ．
题型二、作已知图形关于原点对称的图形
【例2.1】如图，平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，，．
(1)请在图中作出与关于原点对称的图形；
(2)点的坐标是________；点的坐标是________．
【例2.2】如图，正三角形在第一象限内．
(1)作出关于轴为对称轴的对称图形；
(2)作出关于原点为对称中心的对称图形；
(3)与存在怎样的对称关系？
【变式2.1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1)平移得到，若的坐标为，则的坐标为______；
(2)若和关于原点O成中心对称，则的坐标为______；
(3)的面积为______；
(4)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的．
【变式2.2】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
(1)画出将关于原点O的中心对称图形；
(2)将绕点E逆时针旋转得到，画出．
1．下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为（ ）
A．8 B． C．32 D．
3．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ）
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形
4．如图，与关于某个点成中心对称，则这个点是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
5．如图所示的图形中，都是由左边变成右边的图形，分别进行了平移、旋转、轴对称和中心对称变换．其中进行了中心对称变换的是 ，进行了轴对称变换的是 ．（填序号）
6．点与点关于原点对称，则的值为 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么对称中心的坐标为 ．
8．如图，在中，，，，D是的中点，点B，E关于点D成中心对称，则的长为 ．
9．如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长
10．如图，和关于点成中心对称．
(1)找出它们的对称中心；
(2)若，，，求的周长；
(3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由．
11．已知三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作关于点成中心对称的（点的对应点为，点的对应点为）；
(2)把向右平移3个单位，作出平移后的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）；
(3)轴上存在点，使得的值最小，则点的坐标是______
23.2 中心对称
1. 中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。
中心对称的性质
（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
题型一、 中心对称的概念及性质
【例1.1】如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．点A的对称点是点 D．
【答案】B
【详解】根据中心对称的性质解决问题即可．
解：∵与关于点O成中心对称，
∴，，点A的对称点是点，，
故A，C，D正确，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型．
【变式1.1】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】在直角中根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求得，而，据此即可求解．
【详解】解：在中，，，
，
．
故选：A．
【变式1.2】如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标，由此即可得．
【详解】解：由图可知，，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标均为，
与的对称中心是，
故选：B．
题型二、 中心对称作图
【例2.1】如图所示，与关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了．
(1)请你找到对称中心O的位置．
(2)连接线段和线段，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）两个图形成中心对称，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点O；
（2）由中心对称的性质可知：，，再利用平行四边形的判定，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）四边形是平行四边形
由中心对称的性质可得，，
∴四边形是平行四边形．
【例2.2】如图所示．
(1)请你在图中画出，使其与关于点O成中心对称；
(2)请你在图中的边上找一个点作出，使其与关于点成中心对称，使与合成的图形为平行四边形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
【分析】（1）将三角形三个顶点分别中心对称后，直接连线即可；
（2）取格点，作平行四边形，可知是对角线中点，则即所求点；或取格点，作平行四边形，可知是对角线中点，则即所求点．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，取格点，使得四边形是平行四边形，连接
由图可知，四边形即为所求平行四边形，
则是对角线中点，对角线交点即为所求点．
或取格点，使得四边形是平行四边形，连接，
由图可知，四边形即为所求平行四边形，
则是对角线中点，对角线交点即为所求点．
【点睛】此题考查中心对称，解题关键是图形的中心对称可转化为点的中心对称．
【变式2.1】已知四边形按要求画出图形．
(1)在图①中，画出以点D为对称中心，并且与四边形成中心对称的四边形；
(2)在图②中，画出以四边形外一点O为对称中心，并且与四边形成中心对称的四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用关于点对称图形的性质得出A，B，C对应点位置进而得出答案．
（2）直接利用关于点对称图形的性质得出A，B，C，D对应点位置进而得出答案．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）如图，四边形即为所求．
中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。
题型一、中心对称图形的概念
【例1.1】下面的图案是中国品牌新能源汽车标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，是解答本题的关键．
【变式1.1】2023年暑假即将来临，我国各大博物院（馆）是同学们不错的选择，下面四副图是我国一些博物院（馆）的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】轴对称图形：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：绕着一个点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合．
【详解】解：A：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C：是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D：是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．掌握相关定义是解题关键．
【变式1.2】下列食品图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【详解】根据中心对称图形定义
即寻找对称中心，旋转后与原图重合
得A符合题意，B、C、D均不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
【变式1.3】下列标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义即可解答．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选B．
题型二、作中心对称图形
【例2.1】将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
【答案】见解析（答案不唯一，符合题意即可）
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可．
【详解】解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形即为所求；
②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形即为所求；
③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形即为所求；
④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形即为所求．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念及作图，轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转能够和原图形重合．
【例2.2】如图是由3个同样的正方形所组成，请再补上一个同样的正方形，使得由4个正方形组成的图形成为一个中心对称图形．画出所有情况（给出的图形不一定全用，不够可添加）．
【答案】见解析
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：如图所示，一共有三种情况：
【点睛】此题考查了画中心对称图形，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【变式2.1】如图，的正方形网格图中（每个正方形边长为1），已知A、B两点均为格点，连接，请按要求画格点图形（项点均在格点上）．
(1)在图1中画出四边形，使其为中心对称图形．
(2)在图2中画出线段，使得，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的概念求解即可；
（2）根据题意和表格的特点求解即可．
【详解】（1）如图所示，四边形即为所求作四边形．
（2）如图所示，即为所求．
【点睛】本题考查作图-中心对称，垂直等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2.2】图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影．请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取1个涂上阴影：（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
(1)使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形．
(2)使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可求解．
（2）根据中心对称的性质画出图象即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，答案不唯一，画出一种即可．
（2）如图所示，答案不唯一，画出一种即可．
题型三、中心对称图形的性质
【例3.1】如图，在平行四边形中，点为对角线的交点，，过点的直线分别交和于点、，折叠平行四边形后，点落在点处，点落在点处，若，则的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】C
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，则，再根据平行线四边形的性质，可知，继而即可求得
【详解】平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，根据题意，则
则点和点关于中心对称
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选C．
【例3.2】如图所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，若，，，则的长度为 ．
【答案】4
【分析】根据题意得是直角三角形，根据，，可求得，而，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∵所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，
∴，
故答案为：4．
【点晴】本题主要考查了直角三角形的性质，中心对称图形的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
【变式3.1】在等腰直角中，，，如果以的中点为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点落在点处，则的长度为 .
【答案】cm
【分析】在Rt△DBC中利用勾股定理即可求得DB的长度，DB′=DB，据此即可求解．
【详解】如图：
在直角△DBC中,则
则
故答案为
【点睛】考查旋转的性质以及勾股定理，画出图形，数形结合是解题的关键.
【变式3.2】如图，△ABC与△DBE关于点B成中心对称，若∠A=90°，∠ADC=30°，DE=2，则AB的长为 ．
【答案】
【分析】由中心对称的性质推出，得到，，由锐角的正切求出AD的长，即可求出AB的长．
【详解】解：∵与关于点B成中心对称，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查中心对称，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握中心对称的性质．
【变式3.3】如图，△ABC和△DEF关于点O中心对称，若OB=4，则OE的长为 ．
【答案】4
【分析】利用中心对称图形的性质解决问题即可．
【详解】解：∵△ABC和△DEF关于点O中心对称，
∴点B与点E关于点O中心对称，
∴OB=OE，
∵OB=4，
∴OE=4，
故答案为：4．
关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
题型一、关于原点对称的点的坐标
【例1.1】若点与点关于坐标原点成中心对称，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据点关于原点成中心对称的点的坐标为求解即可．
【详解】解：∵点P与点关于原点成中心对称，
∴点P坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变化规则是解答的关键．
【变式1.1】若点与点关于原点对称，则 ．
【答案】
【分析】根据关于原点对称的点的特征：横纵坐标都互为相反数，求出的值，再进行求解即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴；
故答案为：9．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的特征．解题的关键是掌握关于原点对称的点的特征：横纵坐标都互为相反数．
【变式1.2】平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是，则 ．
【答案】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值即可答案．
【详解】解：与点关于原点对称的点的坐标是：．
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
【变式1.3】已知平行四边形的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点，，则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】因为平行四边形两条对角线相互平分，所以点A与点C、点B与点D关于原点对称，由于已知点A，B的坐标，故可求得C，D的坐标．
【详解】解：由题意知：点A与点C、点B与点D关于原点对称，
∵点A，B的坐标分别为，，
∴点C，D的坐标分别是，，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握关于原点对称的点的特征，已知点，则其关于原点对称的点的坐标为．
题型二、作已知图形关于原点对称的图形
【例2.1】如图，平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，，．
(1)请在图中作出与关于原点对称的图形；
(2)点的坐标是________；点的坐标是________．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）先作出点A和点B关于原点的对称点，再依次连接即可得到；
（2）根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：∵，，
∴，，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了关于作原点对称的图形，以及关于原点对称点的点坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数．
【例2.2】如图，正三角形在第一象限内．
(1)作出关于轴为对称轴的对称图形；
(2)作出关于原点为对称中心的对称图形；
(3)与存在怎样的对称关系？
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)关于轴对称
【分析】（1）作A、B、C三点关于x轴的对应点，再顺次连接即可；
（2）作A、B、C三点关于原点的对应点，再顺次连接即可；
（3）由图易得，两个三角形关于y轴对称．
【详解】（1）如图：
即为所求；
（2）如上图，即为所求；
（3）由图可知，与关于轴对称．
【点睛】本题考查了作简单图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．基本做法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
【变式2.1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1)平移得到，若的坐标为，则的坐标为______；
(2)若和关于原点O成中心对称，则的坐标为______；
(3)的面积为______；
(4)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)见解析
【分析】（1）由题意可知，是向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到，由此可得答案；
（2）根据中心对称的性质可得答案；
（3）利用割补法求三角形的面积即可；
（4）根据旋转的性质作图即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴是向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到，
∵，∴的坐标为．
故答案为：；
（2）解：∵和关于原点O成中心对称，，
∴的坐标为．
故答案为：；
（3）解：的面积为，
的面积为．
故答案为：；
（4）解：如图，即为所求．
【变式2.2】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
(1)画出将关于原点O的中心对称图形；
(2)将绕点E逆时针旋转得到，画出．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据成中心对称图形的性质画图即可；
（2）根据旋转中心、旋转角、旋转方向画图即可．
【详解】（1）作图如下：
（2）作图如下：
1．下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解： A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为（ ）
A．8 B． C．32 D．
【答案】B
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，求出a，b的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵点关于原点的对称点为，
，，
∴，
∴．
故选：B．
3．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ）
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A. 扇形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B. 平行四边形，是中心对称图形但不一定是轴对称图形，故该选项符合题意；
C. 等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D. 矩形，是中心对称图形又是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．如图，与关于某个点成中心对称，则这个点是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】B
【分析】两组对应点连线的交点即是对称中心，根据对称中心的确定方法即可解答.
【详解】如解图，连接、，相交于点E，则点E是对称中心.
故选：B.
5．如图所示的图形中，都是由左边变成右边的图形，分别进行了平移、旋转、轴对称和中心对称变换．其中进行了中心对称变换的是 ，进行了轴对称变换的是 ．（填序号）
【答案】 ② ③
【分析】根据中心对称和轴对称的定义即可解答．
【详解】如果一个图形绕着一个定点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，分析可得，进行中心对称变换的是②；
把一个图形沿一条直线对折，如果它能与另一个图形重合，称这两个图形为轴对称，分析可得，则进行轴对称变换的是③；
故答案为：②；③．
【点睛】本题考查了中心对称和轴对称的定义，熟练掌握中心对称和轴对称的定义是解题关键．
6．点与点关于原点对称，则的值为 ．
【答案】
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】解：由题意，得，
解得，，
故答案为：．
7．如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么对称中心的坐标为 ．
【答案】
【分析】对应点连线的中点即时对称中心的坐标，以此来求解即可．
【详解】解：的中点坐标是，
故答案是：．
【点睛】本题考查了中心对称变换，掌握根据对应点找出对称中心的方法是求解的关键．
8．如图，在中，，，，D是的中点，点B，E关于点D成中心对称，则的长为 ．
【答案】6
【分析】先根据勾股定理求出，再根据中心对称的性质可得，最后证明即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵点B，E关于点D成中心对称，
∴，
∵D是的中点，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：6．
9．如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长
【答案】
【分析】根据与关于C点成中心对称，可得，即可得，，，进而有，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】∵与关于C点成中心对称，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴在中，有：．
即．
【点睛】本题考查了中心对称图形的性质，全等的性质，勾股定理等知识，根据与关于C点成中心对称，得到，是解答本题的关键．
10．如图，和关于点成中心对称．
(1)找出它们的对称中心；
(2)若，，，求的周长；
(3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)15
(3)平行四边形，理由见解析
【分析】（1）根据中心对称的性质，对称中心在线段AD、CF上，则连接AD和CF，它们的交点即为对称中心O；
（2）根据中心对称的两个三角形全等可得到△DEF各边的长，然后计算△DEF的周长；
（3）根据中心对称的性质得OA=OD，OC=OF，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形ACDF为平行四边形．
【详解】（1）如图，点O为所作：
（2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴DF=AC=6，DE=AB=5，EF=BC=4，
∴△DEF的周长=4+5+6=15；
（3）四边形ACDF为平行四边形．理由如下：
∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴OA=OD，OC=OF，
∴四边形ACDF为平行四边形．
11．已知三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作关于点成中心对称的（点的对应点为，点的对应点为）；
(2)把向右平移3个单位，作出平移后的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）；
(3)轴上存在点，使得的值最小，则点的坐标是______
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）分别找到点关于点B对称的点，连接即可；
（2）将各个顶点向右平移三个单位得到对应点，，，连接即可；
（3）利用“将军饮马”模型求解即可
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图，找到点关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，根据“将军饮马”模型则点P即为所求，使得的值最小；
由图可知：点，点，点，
设直线，将点，代入解析式得：
，
解得：，
，
故点的坐标为：，
故答案为：
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