2023-2024学年湖北省黄石市下陆区有色中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省黄石市下陆区有色中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若是关于的一元二次方程，则( )
A. B. C. D. 且
2.正方形具有而矩形没有的性质是( )
A. 对角线互相平分 B. 每条对角线平分一组对角
C. 对角线相等 D. 对边相等
3.下列三角形中是直角三角形的是( )
A. 三边之比为：： B. 三边之比为
C. 三边之长为，， D. 三边之长为，，
4.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则、的取值范围是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.用配方法解方程：，下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知方程的两根是，，则的值是( )
A. B. C. D.
8.关于的方程有实数根，则满足( )
A. 且 B. 且 C. D.
9.对于函数的图象，下列说法不正确的是( )
A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 最大值为 D. 与轴不相交
10.二次函数的图象如图所示，给出下列结论：
；
；
若，则；
．
其中正确的结论有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.函数是二次函数，则的值为______．
12.将抛物线向左平移个单位后得到抛物线______ ．
13.若一次函数与的图象关于轴对称，则、的值分别等于______ ．
14.已知是一元二次方程的一个解，则的值是______ ．
15.已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是______ ．
16.设，，，是四个不同的实数，如果，是方程的两根，，是方程的两根，那么的值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共106.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
解方程：
；
．
19.本小题分
如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点．
求菱形的面积；
求的长度．
20.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：不论为何值，方程总有实数根；
若该方程有两根为，，且，求的值．
21.本小题分
某幼儿园有一道长为米的墙，计划用米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪．
当矩形草坪面积为平方米时候，求该矩形草坪边的长．
怎样围能得到面积最大的草坪？
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为．
分别求出直线和这条抛物线的解析式；
若点在第四象限，连接、，求线段最长时点的坐标．
23.本小题分
在二次函数中，
若它的图象过点，则的值为多少？
当时，的最小值为，求出的值．
24.本小题分
某水果商店销售一种进价为元千克的优质水果，若售价为元千克，则一个月可售出千克；若售价在元千克的基础上每涨价元，则月销售量就减少千克．
当售价为元千克时，每月销售水果多少千克？
当月利润为元时，每千克水果售价为多少元？
当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
25.本小题分
已知，抛物线经过点和．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，得，
解得，
故选：．
根据一元二次方程：未知数的最高次数是；二次项系数不为，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2.【答案】
【解析】解：、正方形和矩形对角线都互相平分，故A不符合题意，
B、正方形对角线平分对角，而矩形对角线不平分对角，故B符合题意，
C、正方形和矩形对角线都相等，故C不符合题意，
D、正方形和矩形的对边都相等，故D不符合题意．
故选B．
首先要知道正方形和矩形的性质，正方形是四边相等的矩形，正方形对角线平分对角，且对角线互相垂直．
本题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质和长方形对角线平分相等性质的比较．
3.【答案】
【解析】解：、设三角形的三边长为，，，，不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、设三角形的三边长为，，，，能构成直角三角形，故本选项正确；
C、，，不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、，，不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：．
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
4.【答案】
【解析】解：、，故选项错误；
B、不能合并，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误．
故选C．
A、利用二次根式的化简公式计算得到结果，即可做出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式化为最简二次根式得到结果，即可做出判断．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，．
故选：．
根据一次函数图象和性质进行判断即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、二、四象限”是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是用配方法解一元二次方程，在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】
解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由题意，，，
．
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系求解．
本题考查一元二次方程根与系数的关系；掌握根与系数关系定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
分类讨论：当时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当时，根据判别式的意义得到且时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的的范围．
【解答】解：当时，原方程变形为，解得；
当时，，
解得，
即且时，方程有两个实数根，
所以的取值范围为．
故选C．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于基础题，中考常考题型．
根据二次函数的性质即可一一判断．
【解答】
解：对于函数的图象，
，
开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数有最大值，
故A、、C正确；
对于，当时，，因此与轴的交点为，不正确，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
，
对称轴，，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故选项正确；
对称轴，又，则，则，故错误；
，则，
抛物线对称轴为：，，，故选项正确；
当时，，，则，
，
，
，，图象与轴交于负半轴，
，故选项正确．
故选：．
分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与轴交点得出，，的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出的取值范围是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：函数是二次函数，
且，
解得：．
则的值为．
故答案为：．
根据二次函数的定义列式计算，得到答案．
本题考查的是二次函数的定义，形如、、是常数，的函数叫做二次函数．
12.【答案】
【解析】解：抛物线向左平移个单位后得到抛物线为：．
故答案为：．
根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可．
本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练平移后解析式的变化规则是解题的关键．
13.【答案】，
【解析】解：直线，时，；时，；
直线与轴交于，与轴交于．
直线经过点，．
，
解得．
故答案为：，．
由直线，知与轴交于，与轴交于，根据轴对称性质，直线经过点，，建立二元一次方程组求解．
本题考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据轴对称的性质求点的坐标是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，将代入方程得到：，
解得：，
故答案为：．
将代入方程得到关于的方程，解得即可．
本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：；
抛物线对称轴为，开口向下，时，随的增大而减小，
时，随的增大而减小，
故答案为：．
将一般式化为顶点式，，根据二次函数的增减性求解．
本题考查二次函数的性质，熟悉配方法，二次函数的性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，是方程的两根，，是方程的两根，
，．
．
，；
．
，，
．
，得，
，
，
．
．
．
故答案为：．
由根与系数关系，得，，由方程解定义，得，，用代入法，消去字母，，得，，再根据等式的性质，变形求得，进而得解．
本题考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，等式的变形；掌握根与系数关系是解题的关键．
17.【答案】解：
．
．
【解析】根据二次根式的性质化简，根据二次根式加减运算法则运算；
根据二次根式的性质化简，根据二次根式加减运算法则运算；
本题考查二次根式的化简和运算；掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：，
这里，，，
，
，
，；
，
，
或，
，．
【解析】利用公式法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
19.【答案】解：菱形的面积；
菱形中，，
在中，，，
，
，
．
【解析】根据对角线求解菱形面积；
解，，，，根据菱形面积求线段．
本题考查菱形的性质，勾股定理；由勾股定理求解线段的长是解题的关键．
20.【答案】证明：，，，
，
，即，
不论为何值，方程总有实数根．
解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，即，
，
整理得：，
解得：，，
的值为或．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出无论为何值，方程总有实数根；
利用根与系数的关系可得出，，结合，可得出关于的一元二次方程，结合即可求出的值．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；根据根与系数的关系及，找出关于的一元二次方程．
21.【答案】解：设矩形草坪边的长为米，则
，
解得，舍去．
故该矩形草坪边的长为米，．
，
故当矩形草坪长为米，宽为米的时候，所围的草坪面积最大．
【解析】可设矩形草坪边的长为米，则的长是，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解；
根据配方法即可得到怎样围能得到面积最大的草坪．
本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键．
22.【答案】解：抛物线经过点，，得
，
解得，
．
设直线的解析式为，经过，，得
，
解得，
直线的解析式为．
点在第四象限，设，，
．
时，取得最大值，．
．
【解析】将已知两点坐标代入解析式，求解方程组即可；
点在第四象限，设，，则，所以时，取得最大值，得．
本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数性质；由坐标表示线段长，进而运用二次函数性质是解题的关键．
23.【答案】解：图象经过点，
，解得．
，
时，
时，对称轴在直线右侧或与重合，
，解得舍去；
时，对称轴在直线左侧，
，解得舍去或；
综上，．
【解析】将点坐标代入解析式，求解；
分情况讨论：时，对称轴在直线右侧或与重合，时，分别确定自变量取值范围内的函数极值，建立方程求解．
本题考查二次函数的性质，根据自变量取值范围确定函数极值是解题的关键．
24.【答案】解：当售价为元千克时，每月销售水果千克；
设每千克水果售价为元，
由题意可得：，
解得：，，
答：每千克水果售价为元或元；
设每千克水果售价为元，获得的月利润为元，
由题意可得：，
当时，有最大值为元，
答：当每千克水果售价为元时，获得的月利润最大值为元．
【解析】本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．
由月销售量销售单价，可求解；
设每千克水果售价为元，由利润每千克的利润销售的数量，可列方程，即可求解；
设每千克水果售价为元，获得的月利润为元，由利润每千克的利润销售的数量，可得与的关系式，由二次函数的性质可求解．
25.【答案】解：将、代入中，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为．
连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图所示．
当时，有，
解得：，，
点的坐标为．
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线．
设直线的解析式为，
将、代入中，
得：，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，
当的值最小时，点的坐标为．
设点的坐标为，
则，，
．
分三种情况考虑：
当时，有，即，
解得：，，
点的坐标为或；
当时，有，即，
解得：，
点的坐标为；
当时，有，即，
解得：，
点的坐标为
综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或
【解析】本题考查待定系数法求二次一次函数解析式、二次一次函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；分、和三种情况，列出关于的方程．
由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标；
设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标．
第1页，共1页