2023-2024学年河南省信阳市固始县桃花坞中学及分校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省信阳市固始县桃花坞中学及分校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.用配方法解方程，配方的结果是( )
A. B. C. D.
4.关于的方程的一个解是，则值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5.对于实数，定义运算“”如下：，例如，则方程的根的情况为( )
A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
6.若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为( )
A. B. C. D.
7.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
8.如图，某工程队计划将一块长、宽的矩形场地建设成绿化广场，广场内部修建四条宽相等的小路，其余区域进行绿化若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽设小路的宽为，则可列方程( )
A.
B.
C.
D.
9.毕业年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为，则这次参加聚会的同学有( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
10.若是方程的一个根，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.一元二次方程的解为______．
12.关于的方程的两根分别为、，则的值为______ ．
13.已知方程是关于的一元二次方程，则______．
14.如图，数轴上点代表的数字为，点代表的数字为，已知，且点在数轴的负半轴上，则的值为______．
15.如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上不与点、重合，过点分别作、的垂线，垂足分别为、当点的坐标为______时，矩形的面积为．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.本小题分
按要求解下列方程．
公式法；
配方法；
因式分解法．
17.本小题分
一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小，求原来的两位数．
18.本小题分
已知关于的一元二次方程有，两实数根．
若，求及的值；
是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，利用一面墙墙长度不超过，用长的篱笆围一个矩形场地．
怎样围才能使矩形场地的面积为？
能否使所围矩形场地的面积为，为什么？
20.本小题分
“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式例如：解方程，就可利用该思维方式，设，将原方程转化为关于的一元二次方程，解出，再求这种方法又叫“换元法”请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：
若，则的值为______ ．
解方程：．
21.本小题分
建设美丽城市，改造老旧小区．某市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
年老旧小区改造的平均费用为每个万元．年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加如果投入资金年增长率保持不变，求该市在年最多可以改造多少个老旧小区？
22.本小题分
已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．
如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
23.本小题分
如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间秒．
求、的代数表达式；
当为何值时，四边形是平行四边形；
当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：属于分式方程，不符合题意；
B.属于一元一次方程，不符合题意；
C.属于一元二次方程，符合题意；
D.未知数的最高次数是，不符合题意．
故选：．
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，．
故选：．
根据一元二次方程的一般形式：是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
3.【答案】
【解析】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得．
故选：．
把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
本题考查了配方法，解题的关键是注意：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解，直接把代入方程得，然后解关于的一元二次方程即可．
【解答】
解：把代入方程得，
整理得，解得，，
即的值为或．
故选B
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：解方程得：或，
如图，菱形的对角线，交于点，
即，，
四边形是菱形，
，，，
由勾股定理得：，
故选：．
画出图形，先求出方程的解，即可得出，，根据菱形的性质求出和，根据勾股定理求出即可．
本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，能求出方程的解是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，
解得：且，
故选：．
根据“方程是一元二次方程”，得到，结合“该方程有两个实数根”，得到，得到关于的一元一次不等式，解之即可．
本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程的根与的关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根；
熟知一元二次方程的根与的关系是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设小路的宽为 米，则绿化区域面积相当于长为米，宽为米的矩形面积，
，
故选：．
根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的，即可得出关于的一元二次方程，
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．
9.【答案】
【解析】解：设这次参加聚会的同学有人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
这次参加聚会的同学有人．
故选：．
设这次参加聚会的同学有人，利用握手的总次数这次参加聚会的同学人数这次参加聚会的同学人数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：是方程的一个根，
，
，
，
．
故选：．
先根据一元二次的定义得到，再用表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11.【答案】，
【解析】解：
或
解得，．
故答案为：，．
根据因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程因式分解法，解决本题的关键是掌握因式分解法．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了代数式求值，根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，直接根据根与系数的关系求解即可．
【解答】
解：关于的方程的两根分别为、，
，，
．
13.【答案】
【解析】解：是关于的一元二次方程，
且，
解得，
故答案为：．
根据一元二次方程未知数的最高次数是和二次项的系数不等于解答即可．
本题考查的是一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是特别要注意的条件．
14.【答案】或
【解析】解：根据题意得，
整理得，
，
或，
所以，．
故答案为：或．
先利用数轴上两点之间的距离的求法得到，再把方程化为一般式为，接着利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了数轴．
15.【答案】或
【解析】解：点在一次函数的图象上，
可设，
，，
由题意得：，
整理得，
解得，，
或．
或，
故答案为：或．
设，则利用矩形的性质列出关于的方程，通过解方程求得值，继而求得点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数关系式．
16.【答案】解：，
这里，，，
，
，
，；
，
移项，得 ．
配方，得 ，即，
所以，
解得，；
，
移项，得 ，
因式分解，得，
于是得或，
解得，．
【解析】利用公式法求解即可；
利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法、公式法、配方法是解题的关键．
17.【答案】解：设个位数字为，则十位数字为，由题意得：
，
解得：，不合题意，舍去，
十位数字：，
这个两位数为：，
答：原来的两位数．
【解析】首先设个位数字为，则十位数字为，由题意得等量关系：原两位数新两位数，根据等量关系列出方程解方程即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出原两位数和新两位数是解决问题的关键．
18.【答案】解：根据题意得，，，
若，，解得，
，
解得：；
存在；
，
，
，，
，
整理得：，
解得：，，
经检验，为原方程的解，
又一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
．
【解析】根据一元二次方程根和系数的关系，得到，，即可求出及的值；
将，代入，整理得：，求出的值，然后再舍去不合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，根和系数的关系，解分式方程，熟练掌握一元二次方程根和系数的关系：，是解题关键．
19.【答案】解：设所围矩形的一边为米，则另一边为米．
依题意，得，即，
解得，．
墙的长度不超过，
不合题意，应舍去．
当时，，
所以，当所围矩形的长为、宽为时，能使矩形的面积为．
不能．理由如下：
由得，
又，
上述方程没有实数根．
因此，不能使所围矩形场地的面积为．
【解析】设所围矩形的一边为米，则另一边为米，然后根据题意可列方程得，进而求解即可；
根据题意可列方程为，得然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：设，原方程转化为，解得，，
当时，；当时，舍去；
所以的值为；
故答案为：；
设，原方程转化为，解得，，
当时，，不合题意舍去；
当时，，则，解得，，
经检验，原方程的解为，．
设，原方程转化为，解得，，然后利用非负数的性质确定的值；
设，原方程转化为，解得，，当时，，当时，，然后分别解无理方程即可．
本题考查了无有方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．也考查了换元法解方程．
21.【答案】解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．
设该市在年可以改造个老旧小区，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
的最大值为．
答：该市在年最多可以改造个老旧小区．
【解析】设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用年投入资金金额年投入资金金额年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设该市在年可以改造个老旧小区，根据年改造老旧小区所需资金不多于年投入资金金额，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：为等腰三角形，理由如下：
把代入方程得，则，所以为等腰三角形；
为直角三角形，理由如下：
根据题意得，即，所以为直角三角形；
为等边三角形，
，
方程化为，即，解得，．
【解析】把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状；
根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
23.【答案】解：根据题意，，
当点未到点时，；
当点由点返回时，；
四边形是平行四边形，
，
当从运动到时，
，，
，
解得：，
当从运动到时，
，，
，
解得：，
当或秒时，四边形是平行四边形；
当时，作于，则，
，，
，
．
当时，，，
，
，
解得．
当时，，
，
，
即，
，
方程无实根，
综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．
【解析】根据题意，写出代数表达式即可；
根据平行四边形的性质知，分当从运动到时，当从运动到时，两种情况进行求解即可；
分、、三种情况讨论求出值即可．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边的性质，等腰三角形的性质及动点问题，一元二次方程的应用，学会用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
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