2023-2024学年辽宁省葫芦岛重点中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省葫芦岛重点中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列计算中，正确的是( )
A. B. C. D.
2.下列条件中不能判断是直角三角形的是( )
A. B.
C. D. ：：：：
3.我校月份举行的“学习强国，强国有我”的强国知识竞赛中，全校名进入决赛的选手的成绩如下总分分：
成绩分
人数人
表中表示成绩的数据中，中位数和众数是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.如图，在平行四边形中，平分，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图是一次函数的图象，则关于的一次方程的解是( )
A.
B.
C.
D.
6.若化简的结果是，则实数的取值范围是( )
A. 为任意实数 B. C. D.
7.如图，在平行四边形中，为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则度．( )
A. B. C. D.
8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形如图拼成的一个大正方形如图设直角三角形较长
直角边长为，较短直角边长为若，大正方形的面积为，则图中的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.函数中，自变量的取值范围是______．
10.已知且，化简二次根式的结果是______ ．
11.如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行______米．
12.如图，若一次函数为常数，且的图象过点，则不等式的解集为______．
13.如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是______ ．
14.如图，在中，，，分别以，为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形若的面积为，的面积为，则的结果为______ ．
15.如图，正方形的边长为，动点从正方形边上开始，沿的路径移动，设点经过的路径长为，设点、、所围成的的面积是，则与的函数关系图象如图所示，则其中所在的直线关系式为______．
16.如图，在菱形中，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：
；；≌；．
其中正确的结论有______ 填序号．
三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
已知，，求下列各式的值：
；
．
19.本小题分
某校学生会为了解本校学生每天做作业所用时间情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查，在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：
对各班班长进行调查；
对某班的全体学生进行调查；
从全校每班随机抽取名学生进行调查．
在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会收集到的数据整理后绘制成如图所示的条形统计图．
为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案______填、或；
被调查的学生每天做作业所用时间的众数为______小时；
根据以上统计结果，估计该校名学生中每天做作业用小时的人数．
20.本小题分
如图，在 中，点是中点，连接并延长交的延长线于点．
求证：；
若，，的度数．
21.本小题分
在中，是边上的一点，是边的中点，过点作交的延长线于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，请直接写出的长为______ ．
22.本小题分
如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
根据题意，______，______，______；
根据中求得的数据，求秋千的长度．
如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送______
23.本小题分
华联超市欲购进、两种品牌的书包共个．已知两种书包的进价和售价如下表所示．设购进种书包个，且所购进的两种书包能全部卖出，获得的总利润为元．
品牌 进价元个 售价元个
求关于的函数关系式；
如果购进两种书包的总费不超过元，那么该商场如何进货才能获利最大？并求出最大利润．提示利润售价进价
24.本小题分
【问题】如图，和都是等腰直角三角形，，点在上求证：．
【应用】如图，四边形和四边形都是正方形，点在对角线上若，，正方形的面积是______ ；
【拓展】如图，和都是等边三角形，点在上，连接若，，请直接写出的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、、开方数不相同，它们不是同类二次根式，故不能相加；故本选项错误；
B、、开方数不相同，它们不是同类二次根式，所以不能相减；故本选项错误；
C、；故本选项错误；
D、；故本选项正确．
故选：．
A、根据同类二次根式的定义解答；
C、根据二次根式的乘法运算法则：，计算；
D、根据二次根式的除法运算法则计算．
本题主要考查了二次根式的混合运算．熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
2.【答案】
【解析】解：，故是直角三角形，选项A不符合题意；
，
，故是直角三角形，选项B不符合题意；
，
是直角三角形，选项C不符合题意；
：：：：，
最大角，故不是直角三角形，选项D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理和题意，可以判断哪个选项符合题意．
本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出三角形的形状．
3.【答案】
【解析】解：这组数据的中位数为，众数为，
故选：．
根据中位数和众数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
4.【答案】
【解析】解：平分，
，
中，，，
，，
，
．
故选：．
根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出，然后根据补角性质可得答案．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：从图象可知：一次函数与轴的交点坐标是，
代入函数解析式得：，
解得：，
即，
当时，，
解得：，
即关于的一次方程的解是，
故选：．
根据函数的图象得出一次函数与轴的交点坐标是，把坐标代入函数解析式，求出，再求出方程的解即可．
本题考查了一次函数与一元一次方程，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
应该满足，
，
．
故选：．
利用二次根式与绝对值的性质化简得出，然后根据题意得出，解不等式组即可．
本题主要考查了二次根式的性质与化简及解一元一次不等式组，正确得出与的符号是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
将沿折叠至处，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解．
本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由图形可知，中间四边形的边长为的小正方形，
大正方形的面积为，
，
又大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
，
，
，
负值已舍，
即图中小正方形的边长为，
，
故选：．
由图形可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出的值，再根据勾股定理即可求出的长．
本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，正确得出大正方形的面积表示方法是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，列不等式求解．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10.【答案】
【解析】解：有意义，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
直接利用二次根式的性质得出，的符号，进而化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，正确得出，的符号是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：过点作于，连接．
在中，米，米．
根据勾股定理得米．
从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．
注意作辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理．
12.【答案】
【解析】解：如图所示：不等式的解集为：．
故答案为：．
利用图象得出答案即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即．
故答案为：．
连接，由矩形的性质得出，，，，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：分别以，为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形的面积为，的面积为，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，
故答案为：．
根据等腰直角三角形的性质得出，，再根据勾股定理得出的值即可求解．
本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由点的运动可知，图中段，对应了点在上运动，如图所示，
此时，
则，
．
故答案为：．
根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数形结合的数学思想．关键是将图中点的运动与图中的函数图象进行对应．
16.【答案】
【解析】解：由菱形的性质可得、是等边三角形，，故正确；
，，可得角所对直角边等于斜边一半、，
故可得出，即正确；
首先可得对应边，因为，，故可得不全等，即错误；
，即正确．
综上可得正确．
故答案为：．
先判断出、是等边三角形，然后根据等边三角形的三心重心、内心、垂心合一的性质，结合菱形对角线平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行各项的判断．
此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通，难度一般．
17.【答案】解：
．
．
【解析】根据二次根式的运算法则即可求解；
根据二次根式的运算法则即可求解．
此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．
18.【答案】解：，，
；
，
；
由知，；
，
．
【解析】先求出与的值，把原式化为的形式，再代入进行计算即可；
先通分，再把中与的值代入进行计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】

人．
则估计该校名学生中每天做作业用小时的人数是人．
【解析】解：为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案；
众数是：小时；
见答案；
收集的方法必须具有代表性，据此即可确定；
根据众数的定义即可求解；
利用总人数乘以对应的比例即可求解．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
点是中点，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：由可得，，
，
，
，
，
．
【解析】由题意易得，，进而易证≌，则有，然后问题可求证；
由及题意易得，则，然后根据三角形外角的性质可求解．
本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
21.【答案】
【解析】证明：是边的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：，，
，
，
由得：四边形是平行四边形，，，
，
平行四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：．
证≌，得，再由，即可得出四边形是平行四边形；
先证，再证平行四边形是矩形，得，，然后由勾股定理求出，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和矩形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：，，；
，
，
设秋千的长度为，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即秋千的长度是；
．
【解析】解：由题意得：，，，
，，，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：，，；
见答案；
当时，，
，
，
由可知，，
，
在中，由勾股定理得：，
即需要将秋千往前推送，
故答案为：．
由题意得，，，证四边形是矩形，得，则；
设秋千的长度为 ，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
当时，，则，得，然后在中，由勾股定理求出的长即可．
此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
23.【答案】解：由题意，得
，
．
关于的函数关系式：；
由题意，得
，
解得：．
，
，
随的增大而增大，
当时，．
进货方案是：种书包购买个，种书包购买个，才能获得最大利润，最大利润为元．
【解析】根据总利润每个的利润数量就可以表示出与之间的关系式；
分别表示出购买、两种书包的费用，由其总费用不超过元建立不等式组求出取值范围，再由一次函数的解析式据可以求出进货方案及最大利润．
本题考查了由销售问题的数量关系求函数的解析式的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
24.【答案】
【解析】【问题】证明：连接，
和都是等腰直角三角形，，
，即，
又，，
≌，
，．
，
，
又，
；
【应用】解：如图，连接，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，是等腰直角三角形，
≌，，
，，
，
，
，
，
正方形的面积是．
故答案为：．
【拓展】解：如图，过点作于，
和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
中，，，
，
，
的面积．
【问题】根据证明≌可得结论；
【应用】如图，连接，根据证明≌，可得，，由勾股定理可得的长，最后由正方形的面积两条对角线乘积的一半可得结论；
【拓展】如图，过点作于，根据证明≌，得，，由含角的直角三角形的性质和勾股定理可得和的长，最后由三角形的面积公式可得结论．
此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识，解本题的关键是证明两个三角形全等．
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