2023-2024学年江西省九江市永修重点学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省九江市永修重点学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.保护环境，人人有责．下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知，下列式子不成立的是( )
A. B.
C. D. 如果，那么
4.一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点、，若的周长是，则直线上任意一点到、距离和最小为( )
A. B. C. D.
6.如图，直线与交于点，有四个结论：；；当时，；当时，，其中正确的有个．( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7.已知点关于原点的对称点为，则 ______ ．
8.把分解因式，结果为______ ．
9.将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则______
10.若关于的方程无解，则______．
11.如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为______．
12.已知、、的坐标分别是，，，在平面内找一点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______．
三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）
13.如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点，与轴交于点．
求直线的解析式；
求的面积；
直接写出不等式的解集．
四、解答题（本大题共10小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14.本小题分
解不等式组；
解下列方程：．
15.本小题分
先化简，再从，，，中选择一个适当的数作为的值代入求值．
16.本小题分
如图，中，将逆时针旋转后得到，点落在边上，，求的度数．
17.本小题分
在中，和分别平分和，过点作，分别交，于点，．
若，请判断是否是等腰三角形，并说明理由；
若的周长为，，求的周长．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题：
画出关于轴对称的，并写出点的坐标．
画出绕原点旋转后得到的，并写出点的坐标．
19.本小题分
如图所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图的方式拼成一个正方形．
请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积直接用含，的代数式表示．
方法一：______ ；
方法二：______ ．
根据的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系．
根据题中的等量关系，解决如下问题：已知实数，满足：，，求的值．
20.本小题分
为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元；购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元．
求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
若学校计划购买这两种文具共个，投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种文具个，求有多少种购买方案？
设学校投入资金元，在的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
21.本小题分
如图，在平行四边形中，，分别是，边上的点，且，连接和的交点为，和的交点为，连接，．
求证：四边形为平行四边形；
若，求的长．
22.本小题分
如图，点是等边内一点，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接．
求证：是等边三角形；
当时，试判断的形状，并说明理由；
探究：当为多少度时，是等腰三角形？
23.本小题分
如图，在平行四边形中，，动点沿边以每秒个单位长度的速度从点向终点运动设点运动的时间为秒．
线段的长为______ 用含的代数式表示．
当平分时，求的值．
如图，另一动点以每秒个单位长度的速度从点出发，在上往返运动、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2.【答案】
【解析】解：，故此选项错误；
B.，故此选项错误；
C.，故此选项错误；
D.
，故此选项正确；
故选：．
直接利用提取公因式法以及公式法分解因式分别判断得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：、不等式两边同时加上，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
B、不等式两边同时乘以，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
C、不等式两边同时乘以，不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意；
D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意．
故选：．
利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．
本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．
4.【答案】
【解析】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值．
解：根据多边形的外角和是，边形的内角和是．
设这个多边形是边形，
根据题意得，
解得，
即这个多边形为六边形．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：是的中垂线，
，
则，
又的周长为，
故AB，
直线上任意一点到、距离和最小为．
故选：．
利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算．
本题考查的是轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等有关知识．难度简单．
6.【答案】
【解析】解：因为正比例函数经过二、四象限，所以，正确；
一次函数经过一、二、三象限，所以，错误；
由图象可得：当时，，错误；
当时，，正确；
故选：．
根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
7.【答案】
【解析】解：点关于原点的对称点为，
则，，
，
故答案为：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得、的值．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
8.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：等边三角形的内角的度数是，正方形的内角度数是，正五边形的内角的度数是：，
．
故答案为：．
三角形的外角和，利用减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，即可得出答案．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：将原方程两边都乘以得，
，
，
此时的系数不可能为，所以当分式方程的结果是时方程无解，
把代入得，
得，
故答案为：．
由题意将该方程化为整式方程，系数为的情况不存在，所以讨论分式方程增根的情况，把它求解即可．
此题考查了分式方程无解的情况，关键是掌握分式方程无解两种情况：分式方程有增根；化为整式方程后，未知数系数为．
11.【答案】
【解析】解：由平移的性质知，，，
，
．
故答案为：．
根据平移的性质得出，，则，则阴影部分面积，根据梯形的面积公式即可求解．
本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形的面积相等是解题的关键．
12.【答案】或或
【解析】解：分三种情况：
当四边形为平行四边形时，如图所示：
则，，
、、的坐标分别是，，，
把点向左平移个单位，再向上平移个单位得的坐标，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
则，，
、、的坐标分别是，，，
把点向右平移个单位，再向上平移个单位得的坐标，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
则，，
、、的坐标分别是，，，
把点向右平移个单位，再向下平移个单位得的坐标，
；
综上所述，点的坐标为或或；
故答案为：或或．
分三种情况，根据题意画出图形，由平行四边形的判定与性质以及平移的性质来确定点的坐标即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质、平移的性质等知识，正确画出图形，利用分类讨论思想是解题的关键．
13.【答案】解：把和代入得，解得，
直线的解析式为；
当时，，则，
解方程组得，则，
的面积；
不等式的解集为．
【解析】利用待定系数法求直线解析式；
先确定点坐标，再解方程方程组得点坐标，然后利用三角形面积公式求解；
写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
14.【答案】解：解第一个不等式可得：，
解第二个不等式可得：，
故原不等式组的解集为：；
原方程两边同乘，去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
经检验，是分式方程的增根，
故原方程无解．
【解析】解各不等式后求得它们的公共部分即可；
利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解一元一次不等式组及解分式方程，熟练掌握解方程组及分式方程的方法是解题的关键．
15.【答案】解：
，
，
解得：，，
当时，
原式；
当时，
原式．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件选取合适的数代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】解：逆时针旋转后得到，点落在边上，
，，
，
，
，
，
，
即的度数为．
【解析】先根据旋转的性质得到，，再利用互余计算出，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
17.【答案】解：是等腰三角形，
理由：，
，
，
，，
，
是等腰三角形；
的周长为，，
，
平分，
，
，
，
，
，
同理，
的周长为：．
【解析】根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论；
根据角平分线的定义和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．
此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得与是等腰三角形是解此题的关键．
18.【答案】解：如图所示，点的坐标；
如图所示，点的坐标．

【解析】分别找出、、三点关于轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出点坐标；
将中的各点、、绕原点旋转后，得到相应的对应点、、，连接各对应点即得，根据图形写出点坐标．
本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．
19.【答案】
【解析】解：由题意得，
图中阴影部分的面积为或，
故答案为：，；
由题可得，
，
代数式，，之间的等量关系可表示为：；
由题结果可得，
，
，
当，时，
．
分别运用大正方形面积减去个矩形面积和直接运用阴影部分边长的平方表示出图中阴影部分的面积；
根据第小题结果进行求解；
运用第小题结果代入、求解．
此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式和数形结合思想进行求解．
20.【答案】解：设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，由题意得：
解得
答：购买一个甲种文具元，一个乙种文具元；
根据题意得：
，
解得，
是整数，
，，，，．
有种购买方案；
，
，
随的增大而增大，
当时，元，
．
答：购买甲种文具个，乙种文具个时需要的资金最少，最少资金是元．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的一次函数关系式．
设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，根据“购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元；购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元”列方程组解答即可；
根据题意列不等式组解答即可；
求出与的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
，
．
四边形是平行四边形；
解：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
，．
【解析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形为平行四边形；
由平行四边形的性质可得，，由三角形中位线定理可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
22.【答案】解：证明：将绕点按顺时针方向旋转得，
，，
是等边三角形；
当时，是直角三角形．
理由是：将绕点按顺时针方向旋转得，
≌，
，
又是等边三角形，
，
，
，，，
，
不是等腰直角三角形，即是直角三角形；
要使，需，
，，
，
；
要使，需．
，
，
；
要使，需．
，
，
，
解得．
综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形．
【解析】本题以“空间与图形”中的核心知识如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等，能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．
根据旋转的性质可得出，结合题意即可证得结论；
结合的结论可作出判断；
找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．
23.【答案】
【解析】由题意可得，
．
故答案为：；
在平行四边形中，，，
．
平分，
，
，
，
，
；
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，
，
当点没有到达点时，，
不合题意舍去，
当点到达点后，返回时，，
，
当点到达点后，返回时，，
，
当点第二次到达点后，，
．
综上所述：的值为或或．
由题意可得，即可求解；
由平行线的性质和角平分线的性质可得，可求解；
利用平行四边形的性质分四种情况可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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