第1章《有理数》中难题训练卷（含解析）

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人教版2023年七年级上册第1章《有理数》培优卷
一、选择题
1．近似数 是精确到（ ）
A．千分位 B．千位 C．百位 D．十位
2．下列运算不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若a＞0，b＜0，则下列各式正确的是（　　）
A．a﹣b＜0 B．a﹣b＞0 C．a﹣b=0 D．（﹣a）+（﹣b）＞0
4．若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．1或﹣1 D．以上都不对
5．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．b＋c＜0 C．a＋c＞0 D．ac＞ab
6．对于正数，规定，例如，则的结果是（　　）
A． B．4 C． D．4
7．小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a的值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知，且．则的值为（ ）
A．0 B．0或1 C．或或 D．或或
9．观察等式：；；；，已知按一定规律排列的一组数：，，．若，用含的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一个点是原点，并且，数对应的点到点，的距离相等，数对应的点到点，的距离相等，若，则原点是（ ）

A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题
11．绝对值不大于4的所有负整数有 ．
12．已知点A和点B在同一数轴上，点A表示数，点B和点A相距2个单位长度，则点B表示的数是 ．
13．设a是最小的正整数，b是倒数等于本身的数，c是绝对值最小的有理数，则a，b，c三个数的和为 ．
14．在，，0，2，6中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最小乘积是 ．
15．若x为有理数，则的最小值为 ．
16．用“”与“”表示一种法则：，，如，则 ．
17．计算： ．
18．a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的有 ．
①；②；③；④；⑤．

三、解答题
19．计算：
(1)； (2)； (3)．
20．计算：
(1)； (2)．
21．出租车司机小李从事滴滴打车营运工作，某天上午的营运全是在沿南北方向的大街进行，若规定向北为正，向南为负．他这天上午所接10位乘客的行车记录为（单位：千米）：．
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李距上午出发点多远？在出发点的南面还是北面？
(2)若每千米汽车耗油0.3升，这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？
(3)若出租车起步价为8元，起步里程为3千米（含3千米），超过部分每千米收费2元（不足1千米按1千米计算），问小李从最后一位乘客中收入多少元？
22．阅读材料，探究规律，完成下列问题．
甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：
； ； ．
(2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：
两数进行*（加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ．
(3)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？例如：所以故加法的交换律仍然适用． 那么加法的结合律在*（加乘）运算中是否适用 （填“适用”或“不适用”）
23．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；，当时．如下面一组等式：
，；根据以上阅读内容完成：
(1)的结果是 　 　，的结果是 　 　．
(2)计算：．
24．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”请你阅读以上材料并完成下列问题：
【直接应用】（1）直接写出计算结果：________________，________________；
【归纳总结】（2）提出问题：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
仔细思考，将下列运算结果直接写成幂的形式．________________；________________；________________．
归纳总结：________________；
【灵活应用】（3）计算：．
25．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：，
所以：
．
计算：
(1)；
(2)；
(3)．
参考答案
1．C
【分析】先将换算为，再判断的0在百位上，即可得到答案．
【详解】解：
∵的0在百位上，
∴近似数是精确到百位，
故选C．
【点睛】本题考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的概念：经过四舍五入得到的数叫近似数．
2．B
【分析】根据有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，原运算正确，故不符合题意；
B、，，原运算错误，故符合题意；
C、，原运算正确，故不符合题意；
D、，原运算正确，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．B
【分析】根据题意，利用有理数的加减法法则进行判断即可.
【详解】因为a＞0，b＜0
所以-a＜0，-b＞0
所以a-b=a+（-b）＞0
故A不正确，B正确，C不正确；
由于a、b的绝对值的大小不确定，故无法判断，故D不正确.
故选：B.
【点睛】此题主要考查了有理数的加减法的应用，关键是根据有理数的加减法的法则进行判断，有点难度，注意符号的变化.
4．B
【分析】利用非负数的性质即可判断出x，y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵
又∵|x+2|+（y﹣3）2＝0，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
解得：x＝﹣2，y＝3，
故x﹣y＝﹣5．
故选B．
【点睛】对于非负数之和为0的题，根据只有每个数都是0时等式才能成立即可判断出字母的取值
5．B
【分析】根据题意，a和b是负数，但是c的正负不确定，根据有理数加减乘除运算法则讨论式子的正负．
【详解】解：∵，
∴数轴的原点应该在表示b的点和表示c的点的中点的右边，
∴c有可能是正数也有可能是负数，a和b是负数，
，但是的符号不能确定，故A错误；
若b和c都是负数，则，若b是负数，c是正数，且，则，故B正确；
若a和c都是负数，则，若a是正数，c是负数，且，则，故C错误；
若b是负数，c是正数，则，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查数轴和有理数的加减乘除运算法则，解题的关键是通过有理数加减乘除运算法则判断式子的正负．
6．A
【分析】计算出的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可．
【详解】解：，
，，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．
7．D
【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的a的值为多少即可．
【详解】解：根据分析，可得
则所有符合条件的a的值为：128、21、20、3．
故答案为：D．
【点睛】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
8．A
【分析】由，，可得、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，由此可得、、的符号有三种情况（，，或，，或，，），再根据绝对值的性质分三种情况求得的值即可解答
【详解】∵，，
∴、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，
∴，，或，，或，，，
当，，时，，，，
∴
；
当，，时，，，，
∴
；
当，，时，，，，
∴
综上，当，时，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到、、的符号有三种情况（，，或，，或，，）是解决问题的关键
9．D
【分析】分析式子猜想规律，利用规律计算解题．
【详解】解：；
；
；
，
，
，
，
原式．
故选：D．
【点睛】本题考查规律问题，找准不变化的量和变化的量是解题关键．
10．B
【分析】利用数轴特点确定a、b的关系，然后根据绝对值的性质解答即可得出答案．
【详解】因为，
所以，
所以
当原点在或点时，，又因为，所以原点可能在或点
当原点在或点时，，所以原点不可能在或点
综上所述，原点应是在或点．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的定义和绝对值的意义，解题的关键是先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．
11．，，，
【分析】利用负整数的定义、绝对值的性质确定答案即可．
【详解】解：∵，，，，
∴绝对值不大于4的所有负整数有，，，．
故答案为：，，，．
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小、绝对值、负整数等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
12．1或
【分析】分点B在点A的左侧和右侧两种情况，分别根据数轴上两点的距离公式列式计算即可．
【详解】解：当点B在点A的左侧时，点B表示的数为；
当点B在点A的右侧时，点B表示的数为．
故答案为1或．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
13．2或0/0或2
【分析】根据题意得出a、b、c的值，即可求解．
【详解】解：∵a是最小的正整数，
∴，
∵b是倒数等于本身的数，
∴或，
∵c是绝对值最小的有理数，
∴，
∴或，
故答案为：2或0．
【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的相关定义，得出a、b、c的值．
14．
【分析】为了使乘积最小，取奇数个负数，使积为负．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，以及有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．9
【分析】由题意分 分类讨论后即可求得答案．
【详解】解：当 时，
原式 ；
当 时，
原式 ；
当 时，
原式 ；
综上， 的最小值为 9 ，
故答案为：9
【点睛】本题考查绝对值及有理数的运算，结合已知条件进行正确的分类讨论是解题的关键．
16．2018
【分析】根据新定义可得，，再计算即可．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律．
17．
【分析】化为，即可求解．
【详解】解：原式
；
故答案：．
【点睛】本题考查了有理数加减混合运算中的简便运算，掌握解法是解题的关键．
18．④⑤
【分析】根据数轴可得，再根据有理数的运算法则逐一判断即可．
【详解】由数轴可知：，
∴，故①错误；
，故②错误，
，故③错误；
，故④正确；
，故⑤正确．
故答案为：④⑤
【点睛】本题考查了数轴、有理数的四则运算，绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，正确掌握有理数混合运算法则及运算顺序是解题的关键．
20．(1)
(2)27
【分析】（1）先分别计算乘方，绝对值，然后进行乘除，最后进行加减运算即可；
（2）先计算乘方，利用乘法分配律计算，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了乘方，绝对值，乘法分配律，有理数的混合运算．解题的关键在于对对知识的熟练掌握与正确运算．
21．(1)小李距上午出发点6km，在出发点的南面
(2)小李的出租车共耗油 15.6 升
(3)18 元
【分析】（1）将已知的数据求和，根据和的结果结合实际意义即可解答；
（2）将已知数据的绝对值求和，再乘以每千米的耗油量解答；
（3）根据出租车走的路程和收费标准解答即可．
【详解】（1）（km)
所以小李距上午出发点6km，在出发点的南面；
（2）
（km)
(升）
答：小李的出租车共耗油 15.6 升
（3），（元），
答：小李从最后一位乘客中收入18元．
【点睛】本题考查了有理数乘法运算的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键．
22．(1)；；5
(2)同号为正，异号为负，并把绝对值相加；结果是这个数的绝对值
(3)不适用
【分析】（1）参照示例，运算求解；
（2）根据示例，分符号和绝对值两部分总结法则；
（3）根据运算，举例验证说明．
【详解】（1）解：；；．
（2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号为正，异号为负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，结果是这个数的绝对值；
（3）解：不适用，举例说明：如
，
∴
∴加法的结合律在*（加乘）运算中不适用．
【点睛】本题考查有理数的运算，新定义运算；转化思想是解决问题的关键．
23．(1)，
(2)
【分析】（1），，即可求解；
（2）可得，可化为，即可求解．
【详解】（1）解：
，
；
故答案：，．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数加减中的简便运算，理解性质，掌握简便解法是解题的关键．
24．（1）；；（2）；；；；（3）
【分析】（1）根据新定义的含义直接计算即可；
（2）根据新定义的运算法则，结合同底数幂的乘法运算法则可得答案；
（3）根据新定义的运算法则，结合有理数的加减乘除乘法运算法则进行运算即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；；
（2），
，
；
；
故答案为：；；；．
（3）
．
【点睛】本题考查的是乘方运算的理解，新定义运算，理解新定义，按照新定义的运算法则进行运算是解本题的关键．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中给出的式子找出规律，再进行计算即可得到答案；
（2）根据，，得出，再进行计算即可得到答案；
（3）将式子化为，再利用题中所给的规律进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，，
，
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，得出规律及，熟练掌握有理数的混合运算法则及顺序是解题的关键．