2023-2024学年上学期期中模拟考试
九年级数学·答题卡
第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
第4页 第5页 第6页
第1页 第2页 第3页
（北京）股份有限公司
y个
A
0
C
x
B
Ap/(kg/m)
7
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5
4
3
A(4,2.5)
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A
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E
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F
C
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G
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2023-2024学年上学期期中模拟考试
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-3章（湘教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．已知反比例函数的解析式为y，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a≠﹣2 C．a≠±2 D．a＝±2
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．若反比例函数y（k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
4．如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝2，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2 D．x1x2＝7
7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16
C．23﹣23（1﹣x）2＝16 D．23（1﹣2x）＝16
8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（ ）
A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
10．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若，则 ．
12．若点A（﹣2，y1）和点B（﹣1，y2）都在反比例函数y的图象上，则y1 y2．（用“＜”“＞”或“＝”填空）
13．如图，点A（2，2）在双曲线y（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 ．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数y（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为 ．
16．张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-19每题6分，20-21题每题8分，22-23题每题9分，24-25题每题10分。
17．解方程：
（1）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；
（2）2（x﹣3）＝x2﹣9．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象相交于A（3，m），B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点C为x轴正半轴上一点，且满足AC⊥BC，求点C的坐标．
19．关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
20．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．
（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．
21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求的值．
22．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
23．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，．
（1）若AB＝8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
24．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
25．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
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九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-3章（湘教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．已知反比例函数的解析式为y，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a≠﹣2 C．a≠±2 D．a＝±2
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．若反比例函数y（k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
4．如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝2，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2 D．x1x2＝7
7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16
C．23﹣23（1﹣x）2＝16 D．23（1﹣2x）＝16
8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（ ）
A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
10．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若，则 ．
12．若点A（﹣2，y1）和点B（﹣1，y2）都在反比例函数y的图象上，则y1 y2．（用“＜”“＞”或“＝”填空）
13．如图，点A（2，2）在双曲线y（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 ．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数y（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为 ．
16．张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-19每题6分，20-21题每题8分，22-23题每题9分，24-25题每题10分。
17．解方程：
（1）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；
（2）2（x﹣3）＝x2﹣9．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象相交于A（3，m），B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点C为x轴正半轴上一点，且满足AC⊥BC，求点C的坐标．
19．关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
20．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．
（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．
21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求的值．
22．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
23．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，．
（1）若AB＝8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
24．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
25．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页）
试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页）
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九年级数学
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A B B D A B A A C
11．1 12．＞ 13．（，2）
14．2 15．4 16．20%
17．解方程：
（1）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；
（2）2（x﹣3）＝x2﹣9．
解：（1）将x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2整理，得（x﹣3）2＝（5﹣2x）2，
方程两边开平方，得x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝2x﹣5，
∴x1，x2＝2．
（2）2（x﹣3）＝x2﹣9，
2（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3），
（x+3）（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象相交于A（3，m），B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点C为x轴正半轴上一点，且满足AC⊥BC，求点C的坐标．
解：（1）∵点A（3，m）在一次函数 的图象上，
∴．
∴点A的坐标为（3，4）．
∵反比例函数 的图象经过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12．
∴反比例函数的解析式为 ．
（2）过A点作y轴的垂线，垂足为点H，
∵A（3，4），
则 AH＝3，OH＝4．
由勾股定理，得 ．
由图象的对称性，可知 OB＝OA＝5．
又∵AC⊥BC，
∴OC＝OA＝5．
∴C点的坐标为（5，0）．
19．关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴﹣8+4k＞0，
解得：k＞2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
∴αβ3﹣k，
∴k2＝3﹣k+3k，
解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）．
20．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．
（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．
解：（1）设ρ，
将（4，2.5）代入ρ得2.5，
解得k＝10，
∴ρ．
（2）将V＝10代入ρ得ρ＝1．
∴该气体的密度为1kg/m3．
21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求的值．
解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝3，AB＝5，
∴．
22．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，
依题意得：x+2x﹣100＝800，
解得：x＝300，
∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．
答：4月份再生纸的产量为500吨．
（2）依题意得：1000（1%）×500（1+m%）＝660000，
整理得：m2+300m﹣6400＝0，
解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合题意，舍去）．
答：m的值为20．
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
依题意得：1200（1+y）2 a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y） a，
∴1200（1+y）2＝1500．
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
23．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，．
（1）若AB＝8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
解：（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE∥BF，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AB＝8，
∴AD＝2；
（2）∵△ADE∽△ABC，
∴（）2＝（）2，
∵△ADE的面积为1，
∴△ABC的面积是16，
∵四边形BFED是平行四边形，
∴EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴（）2，
∴△EFC的面积＝9，
∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．
24．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则，
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，
∴，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m），
答：旗杆的高度为11.5m．
25．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM13，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AFAM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE﹣AD＝4.9．
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九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-3章（湘教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．已知反比例函数的解析式为y，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a≠﹣2 C．a≠±2 D．a＝±2
解：根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0，由题意可得：|a|﹣2≠0，
解得：a≠±2，
答案：C．
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
解：分两种情况进行讨论：
①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y＝k/x的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过第二、三、四象限；反比例函数y＝k/x的图象在第二、四象限；
∴一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝k/x的图象可能是A．
答案：A．
3．若反比例函数y（k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
解：由题意，将点（2，﹣1）代入y（k≠0），
可得：1，
解得：k＝﹣2．
答案：B．
4．如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝2，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：由题意可得：设C（2，a），则E（1，a+2），
可得：2a＝1×（a+2），
解得：a＝2，
故C（2，2），
则k＝2×2＝4．
答案：B．
5．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I），R、I均大于0，
∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是D选项，
答案：D．
6．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2 D．x1x2＝7
解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，
答案：A．
7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16
C．23﹣23（1﹣x）2＝16 D．23（1﹣2x）＝16
解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴23（1﹣x）2＝16．
答案：B．
8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（ ）
A． B． C． D．
解：∵DE∥BC，
∴．
答案：A．
9．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（ ）
A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
解：设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
整理得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去），
∴小路的宽是5m．
答案：A．
10．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴，
∵BD＝4DC，
∴设DC＝x，
则BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴，
∴AD＝3，
答案：C．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若，则 1 ．
解：∵，
∴1＝2﹣1＝1．
答案：1．
12．若点A（﹣2，y1）和点B（﹣1，y2）都在反比例函数y的图象上，则y1 ＞ y2．（用“＜”“＞”或“＝”填空）
解：令x＝﹣2，
则，
令x＝﹣1，
则，
∵﹣1＞﹣2，
∴y1＞y2，
答案：＞．
13．如图，点A（2，2）在双曲线y（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 （，2） ．
解：∵点A（2，2）在双曲线y（x＞0）上，
∴2．
∴k＝4．
∴双曲线解析式为y．
如图，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，作BG⊥CH，垂足分别为D、H、G．
∵A（2，2），
∴AD＝OD．
∴∠AOD＝45°．
∴∠AOB＝45°．
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．
∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．
∴∠CBG＝∠BCG．
∵BC＝2，
∴BG＝CG．
∴C点的横坐标为．
又C在双曲线y上，
∴C（，2）．
答案：（，2）．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 2 ．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，
∴x1+x23，x1x21，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
答案：2．
15．如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数y（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为 4 ．
解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：
设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），
∴CD＝a，OA＝c，
∵△AOC的面积是6，
∴，
∴ac＝12，
∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴k＝ab，
∵点B为AC的中点，
∴点，
∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴，
即：4k＝a（b+c），
∴4k＝ab+ac，
将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．
答案：4．
16．张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 20% ．
解：设每月盈利的平均增长率是x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴每月盈利的平均增长率是20%．
答案：20%．
三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-19每题6分，20-21题每题8分，22-23题每题9分，24-25题每题10分。
17．解方程：
（1）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；
（2）2（x﹣3）＝x2﹣9．
解：（1）将x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2整理，得（x﹣3）2＝（5﹣2x）2，
方程两边开平方，得x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝2x﹣5，
∴x1，x2＝2．
（2）2（x﹣3）＝x2﹣9，
2（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3），
（x+3）（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象相交于A（3，m），B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点C为x轴正半轴上一点，且满足AC⊥BC，求点C的坐标．
解：（1）∵点A（3，m）在一次函数 的图象上，
∴．
∴点A的坐标为（3，4）．
∵反比例函数 的图象经过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12．
∴反比例函数的解析式为 ．
（2）过A点作y轴的垂线，垂足为点H，
∵A（3，4），
则 AH＝3，OH＝4．
由勾股定理，得 ．
由图象的对称性，可知 OB＝OA＝5．
又∵AC⊥BC，
∴OC＝OA＝5．
∴C点的坐标为（5，0）．
19．关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴﹣8+4k＞0，
解得：k＞2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
∴αβ3﹣k，
∴k2＝3﹣k+3k，
解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）．
20．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．
（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．
解：（1）设ρ，
将（4，2.5）代入ρ得2.5，
解得k＝10，
∴ρ．
（2）将V＝10代入ρ得ρ＝1．
∴该气体的密度为1kg/m3．
21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求的值．
解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝3，AB＝5，
∴．
22．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，
依题意得：x+2x﹣100＝800，
解得：x＝300，
∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．
答：4月份再生纸的产量为500吨．
（2）依题意得：1000（1%）×500（1+m%）＝660000，
整理得：m2+300m﹣6400＝0，
解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合题意，舍去）．
答：m的值为20．
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
依题意得：1200（1+y）2 a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y） a，
∴1200（1+y）2＝1500．
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
23．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，．
（1）若AB＝8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
解：（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE∥BF，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AB＝8，
∴AD＝2；
（2）∵△ADE∽△ABC，
∴（）2＝（）2，
∵△ADE的面积为1，
∴△ABC的面积是16，
∵四边形BFED是平行四边形，
∴EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴（）2，
∴△EFC的面积＝9，
∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．
24．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则，
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，
∴，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m），
答：旗杆的高度为11.5m．
25．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM13，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AFAM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE﹣AD＝4.9．
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